北師大版2019選擇性必修第一冊(cè)專題6.1隨機(jī)事件的條件概率(3類必考點(diǎn))(原卷版+解析)

專題6.1隨機(jī)事件的條件概率TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：條件概率】 1【考點(diǎn)2：乘法公式與事件的獨(dú)立性】 6【考點(diǎn)3：全概率公式】 13【考點(diǎn)1：條件概率】【知識(shí)點(diǎn)：條件概率】定義設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率性質(zhì)①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)[方法技巧]解決條件概率問(wèn)題的步驟第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“已知”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率．題目中若沒(méi)有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時(shí)，也需注意是否為條件概率．若為條件概率，則進(jìn)行第二步．第二步，計(jì)算概率，這里有兩種思路：思路一縮減樣本空間法計(jì)算條件概率，如求P(A|B)，可分別求出事件B，AB包含的基本事件的個(gè)數(shù)，再利用公式P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)計(jì)算思路二直接利用公式計(jì)算條件概率，即先分別計(jì)算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)計(jì)算[提醒]要注意P(B|A)與P(A|B)的不同：前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．1．（2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考期末）甲、乙兩個(gè)家庭出去游玩，準(zhǔn)備分別從北京、上海、重慶和天津4個(gè)地點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)，記事件A：甲和乙選擇的地點(diǎn)不同，事件B：甲和乙恰有一個(gè)選擇北京，則P(B∣A)=（

）A．14 B．34 C．232．（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┙?jīng)統(tǒng)計(jì)，某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行兩次射擊時(shí)，第一次擊中9環(huán)的概率為0.6，在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為0.8.那么她兩次均擊中9環(huán)的概率為（

）A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.753．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）近年來(lái)，準(zhǔn)南市全力推進(jìn)全國(guó)文明城市創(chuàng)建工作，構(gòu)建良好的宜居環(huán)境，城市公園越來(lái)越多，某周末，甲、乙兩位市民準(zhǔn)備從龍湖公園、八公山森林公園、上密森林公園、山南中央公園4個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇共中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件M：甲和乙至少一人選擇八公山森林公園，事件N：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則PNM=A．716 B．78 C．374．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)校考期末）小明每天上學(xué)途中必須經(jīng)過(guò)2個(gè)紅綠燈，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間觀察發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：在第一個(gè)紅綠燈處遇到紅燈的概率是12，連續(xù)兩次遇到紅燈的概率是16，則在第一個(gè)紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個(gè)紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為（A．23 B．34 C．135．（江蘇省南京市六校聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）寒假期間，甲，乙，丙，丁，戊共5位同學(xué)被安排到A，B，C，D四個(gè)小區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)小區(qū)至少安排一位同學(xué)，且每位同學(xué)只能到一個(gè)小區(qū)參加實(shí)踐活動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不同的安排方法共有240種B．甲同學(xué)被安排到A小區(qū)的概率是1C．甲乙兩位同學(xué)被安排在同一小區(qū)的概率為1D．在甲同學(xué)被安排到A小區(qū)的前提下，A小區(qū)有兩位同學(xué)的概率是26．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，事件B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則PB7．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國(guó)的中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對(duì)治療新冠肺炎有顯著療效，功不可沒(méi).“三藥”分別為金花清感顆粒?蓮花清?膠囊和血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯?化濕敗毒方和宣肺敗毒方.若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出三種，A表示事件“選出的三種中至少有一藥”，B表示事件“選出的三種中有且僅有一方”，則PB∣A8．（2022春·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）某班從6名班干部（其中男生4人，女生2人）中選3人參加學(xué)校學(xué)生會(huì)的干部競(jìng)選.(1)求女生乙被選中的概率；(2)在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率.9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）盒中裝有5個(gè)同種產(chǎn)品，其中3個(gè)一等品，2個(gè)二等品，不放回地從中取產(chǎn)品，每次取1個(gè)，求；(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率；(2)取兩次，第二次取得一等品的概率；(3)取兩次，已知第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率．10．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)袋中有大小與質(zhì)地相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球，如果不放回地抽取2個(gè)球，記事件A表示“第一次抽到黑球”；事件B表示“第二次抽到黑球”．(1)分別求事件A、B、A∩B發(fā)生的概率；(2)求PB【考點(diǎn)2：乘法公式與事件的獨(dú)立性】【知識(shí)點(diǎn)：乘法公式與事件的獨(dú)立性】定義設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立性質(zhì)①若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)；②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也都相互獨(dú)立相互獨(dú)立事件概率的求法與相互獨(dú)立事件A，B有關(guān)的概率的計(jì)算公式如下表：事件A，B相互獨(dú)立概率計(jì)算公式A，B同時(shí)發(fā)生P(AB)＝P(A)P(B)A，B同時(shí)不發(fā)生P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一個(gè)不發(fā)生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一個(gè)發(fā)生P＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰有一個(gè)發(fā)生P＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)[方法技巧]求相互獨(dú)立事件概率的步驟第一步，先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件，并把題中涉及的事件分為若干個(gè)彼此互斥的事件的和；第二步，求出這些彼此互斥的事件的概率；第三步，根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算公式求出結(jié)果．此外，也可以從對(duì)立事件入手計(jì)算概率．1．（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）對(duì)于事件A，B，下列命題不正確的是（

）A．若A，B互斥，則PB．若A，B對(duì)立，則PC．若A，B獨(dú)立，則PD．若A，B獨(dú)立，則P2．（2023秋·遼寧·高二遼河油田第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎狝、B是隨機(jī)事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若A、B是互斥事件，則PB．若A、B是對(duì)立事件，則A、B是互斥事件C．若事件A、B相互獨(dú)立，則PD．事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生的概率不小于A、B恰好有一個(gè)發(fā)生的概率3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某校10月份舉行校運(yùn)動(dòng)會(huì)，甲?乙?丙三位同學(xué)計(jì)劃從長(zhǎng)跑，跳繩，跳遠(yuǎn)中任選一項(xiàng)參加，每人選擇各項(xiàng)目的概率均為13，且每人選擇相互獨(dú)立，則（

A．三人都選擇長(zhǎng)跑的概率為1B．三人都不選擇長(zhǎng)跑的概率為2C．至少有兩人選擇跳繩的概率為4D．在至少有兩人選擇跳遠(yuǎn)的前提下，丙同學(xué)選擇跳遠(yuǎn)的概率為54．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）甲、乙、丙三家企業(yè)都有意向購(gòu)買同一種型號(hào)的機(jī)床設(shè)備，他們購(gòu)買該機(jī)床設(shè)備的概率分別為12、13、5．（2023秋·湖北恩施·高二校聯(lián)考期末）甲、乙兩人獨(dú)立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目的概率是23，乙解出這道題目的概率是36．（2022秋·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）甲、乙兩人約定進(jìn)行乒乓球比賽，采取三局兩勝制（在三局比賽中，優(yōu)先取得兩局勝利的一方獲勝，無(wú)平局），乙每局比賽獲勝的概率都為137．（2022秋·上海虹口·高二?？计谀┰诟咧袑W(xué)生軍訓(xùn)表演中，學(xué)生甲的命中率為0.4，學(xué)生乙的命中率為0.3，甲乙兩人的擊互不影響，求：(1)甲乙同時(shí)射中目標(biāo)的概率；(2)甲乙中至少有一人擊中目標(biāo)的概率.8．（2022秋·上海浦東新·高二?？计谀┘?、乙兩位同學(xué)上課后獨(dú)自完成自我檢測(cè)題，甲及格概率為45，乙及格概率為3(1)求甲、乙兩人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．9．（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）某工廠為了保障安全生產(chǎn)，舉行技能測(cè)試，甲、乙、丙3名技術(shù)工人組成一隊(duì)參加技能測(cè)試，甲通過(guò)測(cè)試的概率是0.8，乙通過(guò)測(cè)試的概率為0.9，丙通過(guò)測(cè)試的概率為0.5，假定甲、乙、丙3人是否通過(guò)測(cè)試相互之間沒(méi)有影響.(1)求甲、乙、丙3名工人都通過(guò)測(cè)試的概率P1(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通過(guò)測(cè)試的概率P210．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：第一輪：甲和乙進(jìn)行比賽，同時(shí)丙和丁進(jìn)行比賽，兩個(gè)獲勝者進(jìn)入勝者組，兩個(gè)敗者進(jìn)入敗者組；第二輪：勝者組進(jìn)行比賽，同時(shí)敗者組進(jìn)行比賽，敗者組中失敗的選手淘汰；第三輪：敗者組的勝者與勝者組的敗者進(jìn)行比賽，失敗的選手淘汰；第四輪：第三輪中的勝者與第二輪中勝者組的勝者進(jìn)行決賽，勝者為冠軍．已知甲與乙、丙、丁比賽，甲的勝率分別為12,23,(1)求丙在第二輪被淘汰的概率；(2)在丙在第二輪被淘汰的條件下，求甲所有比賽全勝并獲得冠軍的概率．【考點(diǎn)3：全概率公式】【知識(shí)點(diǎn)：全概率公式】若樣本空間中的事件滿足：（1）任意兩個(gè)事件均互斥，即，．（2）．（3）．則對(duì)任意事件，都有，則稱該公式為全概率公式．上述公式可借助圖形來(lái)理解：1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5mm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有25塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為5塊，10塊，10塊，若甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品率分別為0.1，0.2，0.3，則從這25塊芯片中任取一塊芯片，是正品的概率為（

）A．0.78 B．0.64 C．0.58 D．0.482．（2022·安徽黃山·統(tǒng)考一模）兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%、合格品率為95%，第二批占60%、合格品率為96A．95.6% B．42.4% C．59.6%3．（2023·吉林·長(zhǎng)春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）長(zhǎng)白飛瀑，高句麗遺跡，鶴舞向海，一眼望三國(guó)，偽滿皇宮，松江霧凇，凈月風(fēng)光，查干冬漁，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季來(lái)的概率是23，夏季來(lái)的概率是13，如果冬季來(lái)，則看不到長(zhǎng)白飛瀑，鶴舞向海和凈月風(fēng)光，若夏季來(lái)，則看不到松江霧凇和查干冬捕，無(wú)論什么時(shí)候來(lái)，由于時(shí)間原因，只能在可去景點(diǎn)當(dāng)中選擇兩處參觀，則某人去了“一眼望三國(guó)”景點(diǎn)的概率為（A．1115 B．1645 C．17454．（2023秋·遼寧葫蘆島·高二葫蘆島第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┘状杏?個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，分別以A1,A2,A．PBA1C．PA1B5．（2023秋·海南·高三統(tǒng)考期末）已知小明每天步行上學(xué)的概率為0.6，騎自行車上學(xué)的概率為0.4，且步行上學(xué)有0.05的概率遲到，騎自行車上學(xué)有0.02的概率遲到．若小明今天上學(xué)遲到了，則他今天騎自行車上學(xué)的概率為________．6．（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考期末）在臨床上，經(jīng)常用某種試驗(yàn)來(lái)診斷試驗(yàn)者是否患有某種癌癥，設(shè)A=“試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性”，B=“試驗(yàn)者患有此癌癥”，據(jù)臨床統(tǒng)計(jì)顯示PAB=0.99，P7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某病毒會(huì)造成“持續(xù)的人傳人”，即存在甲傳乙，乙又傳丙，丙又傳丁的傳染現(xiàn)象，那么甲，乙，丙就被稱為第一代、第二代、第三代傳播者.假設(shè)一個(gè)身體健康的人被第一代、第二代、第三代傳播者感染的概率分別為0.9，0.8，0.5.已知健康的小明參加了一次多人宴會(huì)，參加宴會(huì)的人中有5名第一代傳播者，3名第二代傳播者，2名第三代傳播者，若小明參加宴會(huì)僅和感染的10個(gè)人中的一個(gè)有所接觸，則被感染的概率為______.8．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期末）小明每天去學(xué)校有A，B兩條路線可供選擇，小明上學(xué)時(shí)隨機(jī)地選擇一條路線.如果小明上學(xué)時(shí)選擇A路線，那么放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率為0.6;如果小明上學(xué)時(shí)選擇B路線，那么放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率為0.8.(1)求小明放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率;(2)已知小明放學(xué)時(shí)選擇A路線，求小明上學(xué)時(shí)選擇B路線的概率.9．（2023·山西·統(tǒng)考一模）假設(shè)有兩個(gè)密閉的盒子，第一個(gè)盒子里裝有3個(gè)白球2個(gè)紅球，第二個(gè)盒子里裝有2個(gè)白球4個(gè)紅球，這些小球除顏色外完全相同.(1)每次從第一個(gè)盒子里隨機(jī)取出一個(gè)球，取出的球不再放回，經(jīng)過(guò)兩次取球，求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；(2)若先從第一個(gè)盒子里隨機(jī)取出一個(gè)球放入第二個(gè)盒子中，搖勻后，再?gòu)牡诙€(gè)盒子里隨機(jī)取出一個(gè)球，求從第二個(gè)盒子里取出的球是紅球的概率.10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）鮮花餅是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥餅，是具有云南特色的云南經(jīng)典點(diǎn)心代表，鮮花餅的保質(zhì)期一般在三至四天.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某超市一天鮮花餅賣出3箱的概率為15，賣出2箱的概率為12，賣出1箱的概率為15，沒(méi)有賣出的概率為110，為了保證顧客能夠買到新鮮的鮮花餅，該超市規(guī)定當(dāng)天結(jié)束營(yíng)業(yè)后檢查貨架上存貨，若賣出2箱及以上，則需補(bǔ)貨至(1)在第一天結(jié)束營(yíng)業(yè)后貨架上有2箱鮮花餅的條件下，求第二天結(jié)束營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有1箱存貨的概率；(2)求第二天結(jié)束營(yíng)業(yè)時(shí)貨架上有1箱存貨的概率.專題6.1隨機(jī)事件的條件概率TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：條件概率】 1【考點(diǎn)2：乘法公式與事件的獨(dú)立性】 6【考點(diǎn)3：全概率公式】 13【考點(diǎn)1：條件概率】【知識(shí)點(diǎn)：條件概率】定義設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率性質(zhì)①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)[方法技巧]解決條件概率問(wèn)題的步驟第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“已知”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率．題目中若沒(méi)有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時(shí)，也需注意是否為條件概率．若為條件概率，則進(jìn)行第二步．第二步，計(jì)算概率，這里有兩種思路：思路一縮減樣本空間法計(jì)算條件概率，如求P(A|B)，可分別求出事件B，AB包含的基本事件的個(gè)數(shù)，再利用公式P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)計(jì)算思路二直接利用公式計(jì)算條件概率，即先分別計(jì)算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)計(jì)算[提醒]要注意P(B|A)與P(A|B)的不同：前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．1．（2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考期末）甲、乙兩個(gè)家庭出去游玩，準(zhǔn)備分別從北京、上海、重慶和天津4個(gè)地點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)，記事件A：甲和乙選擇的地點(diǎn)不同，事件B：甲和乙恰有一個(gè)選擇北京，則P(B∣A)=（

）A．14 B．34 C．23【答案】D【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】事件AB：甲乙只有其中一個(gè)人選擇了北京，故P(AB)=2×34×4,P(A)=4×3故選：D2．（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┙?jīng)統(tǒng)計(jì)，某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行兩次射擊時(shí)，第一次擊中9環(huán)的概率為0.6，在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為0.8.那么她兩次均擊中9環(huán)的概率為（

）A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75【答案】C【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可．【詳解】設(shè)某射擊運(yùn)動(dòng)員“第一次擊中9環(huán)”為事件A，“第二次擊中9環(huán)”事件B，則由題意得PA=0.6，所以她兩次均擊中9環(huán)的概率為PAB故選：C．3．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）近年來(lái)，準(zhǔn)南市全力推進(jìn)全國(guó)文明城市創(chuàng)建工作，構(gòu)建良好的宜居環(huán)境，城市公園越來(lái)越多，某周末，甲、乙兩位市民準(zhǔn)備從龍湖公園、八公山森林公園、上密森林公園、山南中央公園4個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇共中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件M：甲和乙至少一人選擇八公山森林公園，事件N：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則PNM=A．716 B．78 C．37【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)立事件可求出PM=7【詳解】由已知可得，甲乙兩人隨機(jī)選擇景點(diǎn)，所有的情況為4×4=16種，甲乙兩人都不選擇八公山森林公園的情況為3×3=9種，所有甲乙兩人都不選擇八公山森林公園的概率為p1=9事件MN：甲選擇八公山森林公園，乙選擇其他，有3種可能；或乙選擇八公山森林公園，甲選擇其他，有3種可能.甲乙兩人隨機(jī)選擇有所以事件MN發(fā)生的概率為PMN根據(jù)條件概率公式可得，PN故選：D.4．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？计谀┬∶髅刻焐蠈W(xué)途中必須經(jīng)過(guò)2個(gè)紅綠燈，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間觀察發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：在第一個(gè)紅綠燈處遇到紅燈的概率是12，連續(xù)兩次遇到紅燈的概率是16，則在第一個(gè)紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個(gè)紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為（A．23 B．34 C．13【答案】C【分析】由條件概率公式求解即可【詳解】設(shè)“小明在第一個(gè)紅綠燈處遇到紅燈”為事件A，“小明在第二個(gè)紅綠燈處遇到紅燈”為事件B，則由題意可得PA則在第一個(gè)紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個(gè)紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為PB∣A故選：C．5．（江蘇省南京市六校聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）寒假期間，甲，乙，丙，丁，戊共5位同學(xué)被安排到A，B，C，D四個(gè)小區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)小區(qū)至少安排一位同學(xué)，且每位同學(xué)只能到一個(gè)小區(qū)參加實(shí)踐活動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不同的安排方法共有240種B．甲同學(xué)被安排到A小區(qū)的概率是1C．甲乙兩位同學(xué)被安排在同一小區(qū)的概率為1D．在甲同學(xué)被安排到A小區(qū)的前提下，A小區(qū)有兩位同學(xué)的概率是2【答案】ABD【分析】由捆綁法判斷A；由捆綁法結(jié)合概率公式判斷B；由組合公式得出甲乙兩位同學(xué)被安排在同一小區(qū)的方法數(shù)結(jié)合概率公式判斷C；由概率公式判斷D.【詳解】對(duì)A，甲、乙、丙、丁、戊共5位同學(xué)被安排到A，B，C，D四個(gè)小區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，則共有C5對(duì)B，甲同學(xué)被安排到A小區(qū)，若A小區(qū)只有一個(gè)人，則有C42A33=36種安排方法，若A小區(qū)只有2個(gè)人，則有A44=24對(duì)C，甲乙兩位同學(xué)被安排在同一小區(qū)，共有A44=24對(duì)D，甲同學(xué)被安排到A小區(qū)有60種安排方法，在甲同學(xué)被安排到A小區(qū)支教的前提下，A小區(qū)有兩名同學(xué)的安排方法有24種，所以在甲同學(xué)被安排到A小區(qū)支教的前提下，A小區(qū)有兩名同學(xué)的概率是2460故選：ABD6．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，事件B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則PB【答案】13【分析】根據(jù)組合知識(shí)可得事件A，AB包含的基本事件數(shù)，再利用條件概率公式即得.【詳解】由題可知事件A包含的基本事件數(shù)為nA事件AB包含的基本事件數(shù)為nAB所以P(BA故答案為：13407．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)校考階段練習(xí)）我國(guó)的中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對(duì)治療新冠肺炎有顯著療效，功不可沒(méi).“三藥”分別為金花清感顆粒?蓮花清?膠囊和血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯?化濕敗毒方和宣肺敗毒方.若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出三種，A表示事件“選出的三種中至少有一藥”，B表示事件“選出的三種中有且僅有一方”，則PB∣A【答案】9【分析】利用古典概型分別求出P(A)，P(AB)，進(jìn)而求得P(B|A).【詳解】若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出三種，A表示事件“選出的三種中至少有一藥”，B表示事件“選出的三種中有且僅有一方”，則P(A)=C63∴P(B∣A)=P(AB)故答案為：98．（2022春·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）某班從6名班干部（其中男生4人，女生2人）中選3人參加學(xué)校學(xué)生會(huì)的干部競(jìng)選.(1)求女生乙被選中的概率；(2)在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率.【答案】(1)1(2)2【分析】（1）直接用古典概型的概率求解即可.（2）先算男生甲被選中的概率，再算女生乙被選中，然后根據(jù)條件概率求解.【詳解】（1）女生乙被選中事件的概率P=C（2）設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，則P9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）盒中裝有5個(gè)同種產(chǎn)品，其中3個(gè)一等品，2個(gè)二等品，不放回地從中取產(chǎn)品，每次取1個(gè)，求；(1)取兩次，兩次都取得一等品的概率；(2)取兩次，第二次取得一等品的概率；(3)取兩次，已知第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率．【答案】(1)3(2)3(3)1【分析】（1）利用古典概型概率的計(jì)算公式，計(jì)算出所求答案.（2）根據(jù)概率的知識(shí)求得正確答案.（3）根據(jù)條件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求答案.【詳解】（1）有5個(gè)同種產(chǎn)品，其中3個(gè)一等品，取兩次，兩次都取到一等品的概率為35（2）有5個(gè)同種產(chǎn)品，其中3個(gè)一等品，根據(jù)概率的知識(shí)可知：取兩次，第二次取得一等品的概率為35（3）記事件Ai表示“第i次取到一等品”，其中i=1,2取兩次，已知第二次取得一等品，則第一次取得二等品的概率為P(A10．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)袋中有大小與質(zhì)地相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球，如果不放回地抽取2個(gè)球，記事件A表示“第一次抽到黑球”；事件B表示“第二次抽到黑球”．(1)分別求事件A、B、A∩B發(fā)生的概率；(2)求PB【答案】(1)PA=25，(2)1【分析】（1）由獨(dú)立事件發(fā)生的概率求解即可；（2）由條件概率公式求解即可．（1）記“第一次抽到黑球”為事件A，則P(A)=C“第二次抽到黑球”為事件B．則PBA∩B表示“第一次和第二次都抽到黑球”，則PA∩B（2）由（1）得：PB【考點(diǎn)2：乘法公式與事件的獨(dú)立性】【知識(shí)點(diǎn)：乘法公式與事件的獨(dú)立性】定義設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立性質(zhì)①若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)；②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也都相互獨(dú)立相互獨(dú)立事件概率的求法與相互獨(dú)立事件A，B有關(guān)的概率的計(jì)算公式如下表：事件A，B相互獨(dú)立概率計(jì)算公式A，B同時(shí)發(fā)生P(AB)＝P(A)P(B)A，B同時(shí)不發(fā)生P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一個(gè)不發(fā)生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一個(gè)發(fā)生P＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰有一個(gè)發(fā)生P＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)[方法技巧]求相互獨(dú)立事件概率的步驟第一步，先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件，并把題中涉及的事件分為若干個(gè)彼此互斥的事件的和；第二步，求出這些彼此互斥的事件的概率；第三步，根據(jù)互斥事件的概率計(jì)算公式求出結(jié)果．此外，也可以從對(duì)立事件入手計(jì)算概率．1．（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）對(duì)于事件A，B，下列命題不正確的是（

）A．若A，B互斥，則PB．若A，B對(duì)立，則PC．若A，B獨(dú)立，則PD．若A，B獨(dú)立，則P【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)立事件，獨(dú)立事件和互斥事件的性質(zhì)，分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)锳，B互斥，互斥事件概率和在(0,1]區(qū)間，所以PA+PB因?yàn)锳，B對(duì)立，對(duì)立事件概率和為1，所以PA+PB因?yàn)锳，B獨(dú)立，則A,B也相互獨(dú)立，所以PAPB因?yàn)锳，B獨(dú)立，由獨(dú)立事件的性質(zhì)可知：二者同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B)，由概率大于零可知：PA+PB所以命題不正確的是D，故選：D.2．（2023秋·遼寧·高二遼河油田第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎狝、B是隨機(jī)事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若A、B是互斥事件，則PB．若A、B是對(duì)立事件，則A、B是互斥事件C．若事件A、B相互獨(dú)立，則PD．事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生的概率不小于A、B恰好有一個(gè)發(fā)生的概率【答案】BD【分析】利用互斥事件的定義可得出AB=?，進(jìn)而可判斷A選項(xiàng)；利用對(duì)立事件的定義可判斷B選項(xiàng)；利用并事件的概率公式以及獨(dú)立事件的概率公式可判斷C選項(xiàng)；列舉兩個(gè)事件所包含的基本情況，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若A、B是互斥事件，則A∩B=?，則PAB對(duì)于B選項(xiàng)，若A、B是對(duì)立事件，則A、B是互斥事件，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若事件A、B相互獨(dú)立，則PA+B對(duì)于D選項(xiàng)，事件A、B至少發(fā)生一個(gè)包含三種情況：AB、AB、事件A、B恰好發(fā)生一個(gè)包含兩種情況：AB、A因此，事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生的概率不小于A、B恰好有一個(gè)發(fā)生的概率，D對(duì).故選：BD.3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某校10月份舉行校運(yùn)動(dòng)會(huì)，甲?乙?丙三位同學(xué)計(jì)劃從長(zhǎng)跑，跳繩，跳遠(yuǎn)中任選一項(xiàng)參加，每人選擇各項(xiàng)目的概率均為13，且每人選擇相互獨(dú)立，則（

A．三人都選擇長(zhǎng)跑的概率為1B．三人都不選擇長(zhǎng)跑的概率為2C．至少有兩人選擇跳繩的概率為4D．在至少有兩人選擇跳遠(yuǎn)的前提下，丙同學(xué)選擇跳遠(yuǎn)的概率為5【答案】AD【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由已知三人選擇長(zhǎng)跑的概率為13三人都不選擇長(zhǎng)跑的概率為23至少有兩人選擇跳繩的概率為13記至少有兩人選擇跳遠(yuǎn)為事件A，所以PA記丙同學(xué)選擇跳遠(yuǎn)為事件B，所以PAB所以在至少有兩人選擇跳遠(yuǎn)的前提下，丙同學(xué)選擇跳遠(yuǎn)的概率為PB故選：AD4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）甲、乙、丙三家企業(yè)都有意向購(gòu)買同一種型號(hào)的機(jī)床設(shè)備，他們購(gòu)買該機(jī)床設(shè)備的概率分別為12、13、【答案】11【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】三家企業(yè)中恰有一家購(gòu)買該機(jī)床設(shè)備的概率是：12故答案為：115．（2023秋·湖北恩施·高二校聯(lián)考期末）甲、乙兩人獨(dú)立解同一道數(shù)學(xué)題目，甲解出這道題目的概率是23，乙解出這道題目的概率是3【答案】11【分析】設(shè)這道題沒(méi)被解出來(lái)為事件A，則這道題被解出（至少有一人解出來(lái)）的概率P=1?P【詳解】設(shè)數(shù)學(xué)題沒(méi)被解出來(lái)為事件A，則PA故這道題被解出（至少有一人解出來(lái)）的概率P=1?PA=1?故答案為：116．（2022秋·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）甲、乙兩人約定進(jìn)行乒乓球比賽，采取三局兩勝制（在三局比賽中，優(yōu)先取得兩局勝利的一方獲勝，無(wú)平局），乙每局比賽獲勝的概率都為13【答案】20【分析】判斷甲獲勝的情況為前兩局勝或第一局勝第二局輸?shù)谌謩倩虻谝痪州數(shù)诙謩俚谌謩?，根?jù)互斥事件的概率加法公式即可求得答案.【詳解】因?yàn)槠古仪虮荣惖囊?guī)則是三局兩勝制（無(wú)平局），由題意知甲每局比賽獲勝的概率都為23因此甲獲勝的情況為前兩局勝或第一局勝第二局輸?shù)谌謩倩虻谝痪州數(shù)诙謩俚谌謩?，所以最后甲獲勝的概率P=2故答案為：207．（2022秋·上海虹口·高二?？计谀┰诟咧袑W(xué)生軍訓(xùn)表演中，學(xué)生甲的命中率為0.4，學(xué)生乙的命中率為0.3，甲乙兩人的擊互不影響，求：(1)甲乙同時(shí)射中目標(biāo)的概率；(2)甲乙中至少有一人擊中目標(biāo)的概率.【答案】(1)0.12(2)0.58【分析】（1）設(shè)出相應(yīng)的事件，找出對(duì)應(yīng)事件的概率，利用相互獨(dú)立事件的概率求解即可，（2）利用對(duì)立事件性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）設(shè)“甲擊中目標(biāo)”為事件A，“乙擊中目標(biāo)”為事件B，則PA=0.4,PB=0.3，且事件所以甲乙同時(shí)射中目標(biāo)的概率為PA?B（2）設(shè)“甲乙中至少有一人擊中目標(biāo)”為事件C，則它的對(duì)立事件為“甲乙都沒(méi)有擊中目標(biāo)”記為：A?則PC8．（2022秋·上海浦東新·高二?？计谀┘?、乙兩位同學(xué)上課后獨(dú)自完成自我檢測(cè)題，甲及格概率為45，乙及格概率為3(1)求甲、乙兩人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．【答案】(1)12(2)23(3)11【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；（2）先求出兩人都不及格的概率，再根據(jù)對(duì)立事件概率求解即可；（3）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；【詳解】（1）解：因?yàn)榧准案窀怕蕿?5，乙及格概率為3所以，甲、乙兩人都及格的概率P1（2）解：因?yàn)榧准案窀怕蕿?5，乙及格概率為3所以，兩人都不及格的概率為(1?4所以，至少有一人及格的概率P2（3）解：因?yàn)榧准案窀怕蕿?5，乙及格概率為3所以，恰有一人及格的概率P39．（2022秋·陜西漢中·高一校聯(lián)考期末）某工廠為了保障安全生產(chǎn)，舉行技能測(cè)試，甲、乙、丙3名技術(shù)工人組成一隊(duì)參加技能測(cè)試，甲通過(guò)測(cè)試的概率是0.8，乙通過(guò)測(cè)試的概率為0.9，丙通過(guò)測(cè)試的概率為0.5，假定甲、乙、丙3人是否通過(guò)測(cè)試相互之間沒(méi)有影響.(1)求甲、乙、丙3名工人都通過(guò)測(cè)試的概率P1(2)求甲、乙、丙3人中恰有2人通過(guò)測(cè)試的概率P2【答案】(1)0.36；(2)0.49.【分析】（1）根據(jù)概率乘法公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)概率加法公式和乘法公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)甲、乙、丙3人通過(guò)測(cè)試分別為事件A，B，C，則PA=0.8，PB∴P1（2）甲、乙、丙3人中恰有2人通過(guò)測(cè)試，等價(jià)于恰有1人未通過(guò)測(cè)試，∴P=0.2×0.9×0.5+0.8×0.1×0.5+0.8×0.9×0.5=0.49.10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：第一輪：甲和乙進(jìn)行比賽，同時(shí)丙和丁進(jìn)行比賽，兩個(gè)獲勝者進(jìn)入勝者組，兩個(gè)敗者進(jìn)入敗者組；第二輪：勝者組進(jìn)行比賽，同時(shí)敗者組進(jìn)行比賽，敗者組中失敗的選手淘汰；第三輪：敗者組的勝者與勝者組的敗者進(jìn)行比賽，失敗的選手淘汰；第四輪：第三輪中的勝者與第二輪中勝者組的勝者進(jìn)行決賽，勝者為冠軍．已知甲與乙、丙、丁比賽，甲的勝率分別為12,23,(1)求丙在第二輪被淘汰的概率；(2)在丙在第二輪被淘汰的條件下，求甲所有比賽全勝并獲得冠軍的概率．【答案】(1)724(2)276875【分析】（1）由題可得第一輪中丙敗給丁，第二輪丙敗給甲或乙，進(jìn)而即得；（2）設(shè)“丙在第二輪被淘汰”為事件A，“甲所有比賽全勝并獲得冠軍”為事件B，根據(jù)條件分類討論可得PAB【詳解】（1）若丙在第二輪被淘汰，則根據(jù)規(guī)則，第一輪中丙和丁比賽，丙為敗者的概率為12而甲與乙比賽的敗者分兩種情況，若第二輪甲進(jìn)入敗者組，其概率為12則第二輪丙被淘汰的概率P1若第二輪乙進(jìn)入敗者組，其概率為12第二輪丙被淘汰的概率P2故丙在第二輪被淘汰的概率為P=P（2）第一輪甲與乙比賽中，甲獲勝進(jìn)入勝者組的概率為12并且與丁進(jìn)行第二輪比賽，第二輪勝者組比賽甲獲勝的概率為25丁與乙進(jìn)行第三輪比賽，故分兩種情況，若第三輪乙獲勝，乙獲勝的概率為35，甲與乙進(jìn)行決賽，甲獲勝的概率為1此時(shí)甲獲得冠軍的概率為P3若第三輪丁獲勝，丁獲勝的概率為25，甲、丁進(jìn)行決賽，甲獲勝的概率為2此時(shí)甲獲得冠軍的概率為P設(shè)“丙在第二輪被淘汰”為事件A，“甲所有比賽全勝并獲得冠軍”為事件B，則P(BA【考點(diǎn)3：全概率公式】【知識(shí)點(diǎn)：全概率公式】若樣本空間中的事件滿足：（1）任意兩個(gè)事件均互斥，即，．（2）．（3）．則對(duì)任意事件，都有，則稱該公式為全概率公式．上述公式可借助圖形來(lái)理解：1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5mm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有25塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為5塊，10塊，10塊，若甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品率分別為0.1，0.2，0.3，則從這25塊芯片中任取一塊芯片，是正品的概率為（

）A．0.78 B．0.64 C．0.58 D．0.48【答案】A【分析】設(shè)B=“任取一塊芯片是正品”，Ai【詳解】設(shè)B=“任取一塊芯片是正品”，Ai根據(jù)題意可得∶P(AP(B|A由全概率公式可得∶P(B)=P(A1)P(B|故選：A2．（2022·安徽黃山·統(tǒng)考一模）兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%、合格品率為95%，第二批占60%、合格品率為96A．95.6% B．42.4% C．59.6%【答案】D【分析】次品率等于1減合格品率，計(jì)算可得.【詳解】40%故選：D.3．（2023·吉林·長(zhǎng)春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）長(zhǎng)白飛瀑，高句麗遺跡，鶴舞向海，一眼望三國(guó)，偽滿皇宮，松江霧凇，凈月風(fēng)光，查干冬漁，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季來(lái)的概率是23，夏季來(lái)的概率是13，如果冬季來(lái)，則看不到長(zhǎng)白飛瀑，鶴舞向海和凈月風(fēng)光，若夏季來(lái)，則看不到松江霧凇和查干冬捕，無(wú)論什么時(shí)候來(lái)，由于時(shí)間原因，只能在可去景點(diǎn)當(dāng)中選擇兩處參觀，則某人去了“一眼望三國(guó)”景點(diǎn)的概率為（A．1115 B．1645 C．1745【答案】C【分析】根據(jù)古典概型分別求出冬季去了“一眼望三國(guó)”和夏季去了“一眼望三國(guó)”的概率，再結(jié)合全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)事件A1=“冬季去吉林旅游”，事件A2則PA1=在冬季去了“一眼望三國(guó)”的概率PB|在夏季去了“一眼望三國(guó)”的概率PB|所以去了“一眼望三國(guó)”的概率PB故選：C.4．（2023秋·遼寧葫蘆島·高二葫蘆島第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┘状杏?個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，分別以A1,A2,A．PBA1C．PA1B【答案】AC【分析】計(jì)算出PA1=12，PA1【詳解】由題意得：PA1=故PBPA2=PA3=故PBPA故選：AC5．（2023秋·海南·高三統(tǒng)考期末）已知小明每天步行上學(xué)的概率為0.6，騎自行車上學(xué)的概率為0.4，且步行上學(xué)有0.05的概率遲到，騎自行車上學(xué)有0.02的概率遲到．若小明今天上學(xué)遲到了，則他今天騎自行車上學(xué)的概率為________．【答案】4【分析】根據(jù)題目信息利用全概率公式可計(jì)算出小明上學(xué)遲到的概率，再根據(jù)條件概率即可算出結(jié)果.【詳解】用A表示事件“小明步行上學(xué)”，B表示事件“小明騎自行車上學(xué)”，C表示事件“小明遲到”；由已知得PA=0.6，PB=0.4，根據(jù)全概率公式可知PC利用條件概率可得PB即小明今天騎自行車上學(xué)的概率為419故答案為：46．（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考期末）