廣東省惠州市博羅縣楊僑中學(xué)、石灣中學(xué)兩校2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2025屆8月楊僑中學(xué)石灣中學(xué)兩校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式求得集合，進而求得.【詳解】集合.而，故.故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義、模長公式計算即可.【詳解】易知，則，所以．故選：C．3.已知和的夾角為，且，則（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算求得正確答案.【詳解】故選：C4.記為等比數(shù)列的前項和，若，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，由，即，解得.所以.故選：C.5.為了美化廣場環(huán)境，縣政府計劃定購一批石墩．已知這批石墩可以看作是一個圓臺和一個圓柱拼接而成，其軸截面如下圖所示，其中，，則該石墩的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過點作于，根據(jù)條件，求出圓臺的高，再利用圓臺與圓柱的體積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，過點作于，因為，，所以，，所以圓臺的體積為，又圓柱的體積為，所以該石墩的體積為，故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角和差公式以及倍角公式化簡求值可得答案.【詳解】由題干得所以，故選：B.7.已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于的不等式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，當時，，可得在上遞增，要使得函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則滿足，且，解可得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B8.函數(shù)所有零點的和等于（）A.6 B.7.5 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】把問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點的橫坐標，畫出函數(shù)的圖像，即可求解.【詳解】函數(shù)所有零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點的橫坐標，而可化為，如圖，畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可知有6個交點，且兩兩關(guān)于直線對稱，所以零點的和為故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為B.已知隨機變量服從正態(tài)分布，；則C.已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程，若，則D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為4【答案】BC【解析】【分析】利用第百分位數(shù)的性質(zhì)判斷A，利用正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B，利用回歸方程的性質(zhì)判斷C，利用數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】對于A，我們首先按順序排列數(shù)據(jù)，得到，而第百分位數(shù)即為中位數(shù)，所以該數(shù)為，故A錯誤，對于B，因為隨機變量服從正態(tài)分布，，所以，，故，得到，故B正確，對于C，因為，所以，將代入中，得到，解得，故C正確，對于D，因為樣本數(shù)據(jù)的方差為，所以數(shù)據(jù)的方差為，故D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.若是上的增函數(shù)，則B.當時，函數(shù)有兩個極值C.當時，函數(shù)有兩零點D.當時，在點處的切線與只有唯一個公共點【答案】AB【解析】【分析】對A：借助導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于零恒成立即可得；對B：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得；對C：舉出反例即可得；對D：計算出在點處的切線方程后，聯(lián)立，解出方程即可得.【詳解】對A：，由是上的增函數(shù)，則有恒成立，即，解得，故A正確；對B：由，則當時，，故有兩個不等實根，設(shè)這兩個根分別為且，則當時，，當時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)有兩個極值，故B正確；對C：令，對，有，若，則，此時有兩個非零不等實根，即有三個零點，故C錯誤；對D：當時，，則，，由，則在點處的切線為，令，即有，解得或，故在點處的切線與有兩個公共點，故D錯誤.故選：AB.11.雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，同時也具有特殊的有價值的藝術(shù)美.它既是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計作品的主要幾何元素.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯數(shù)字中的“8”，如圖曲線是雙紐線，下列說法正確的是（）A.曲線的圖象關(guān)于原點對稱B.曲線經(jīng)過7個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）C.曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過3D.若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】選項A，由曲線上任一點關(guān)于原點的對稱點適合曲線方程可判斷；選項B，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程，通過判別式得出范圍，再賦值求解整點的坐標即可；選項C，利用已知方程變形，根據(jù)有界性結(jié)合兩點間距離公式可判斷；選項D，聯(lián)立直線y＝kx與曲線C研究方程根的情況即可．【詳解】A項，設(shè)曲線上任意一點，則坐標滿足曲線方程，即方程成立，可得成立，即點關(guān)于原點的對稱點也適合曲線方程，所以曲線的圖象關(guān)于原點對稱，故A正確；B項，方程可化為，令，則方程，由判別式，可得，若是整數(shù)，則.令，，解得或3或，有三個整點，，；令，，解得或5，此時無整點；所以曲線共經(jīng)過3個整點，故B錯誤；C項，設(shè)曲線C上任一點，當為原點時，到原點的距離為，滿足題意；當不為原點時，，則由可得，，所以點到原點的距離，且；綜上，曲線C上任一點到原點的距離都不超過3，故C正確；D項，直線恒過原點，且曲線C經(jīng)過，則直線與曲線至少一個公共點，又與曲線C只有一個公共點，故除原點外無其他公共點.聯(lián)立，消得，當時，方程僅一解，滿足題意；當時，當時，方程恒成立，即恒有一解，當時，方程化簡得，即當時，方程無解，滿足題意；綜上，，解得或，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：已知直線與曲線交點個數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)問題，通常將直線方程代入曲線方程轉(zhuǎn)化為一元方程根的情況研究，再結(jié)合方程類型變形建立不等式，通過解不等式確定參數(shù)范圍，但也要注意變形過程中的等價處理.如復(fù)合方程通過整體換元轉(zhuǎn)化為簡單方程來研究時，不能忽視求解新元的范圍；高次方程因式分解轉(zhuǎn)化為低次方程來研究時，要注意幾個低次方程之間的重根討論；分式方程化為整式方程研究時，分母是否為0的分類討論；無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程時，被開方數(shù)的限制條件等.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)是雙曲線C:的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且，則面積為____________.【答案】3【解析】【分析】利用雙曲線定理結(jié)合勾股定理求出的長，再利用三角形面積公式即可.【詳解】由題意得雙曲線中，，則其焦點坐標，根據(jù)雙曲線對稱性，不妨假設(shè)點在第一象限，設(shè)，其中，因為，則，根據(jù)勾股定理知，即，解得（負舍），則，則面積為.故答案為：3.13.若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)的取值范圍是____.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)后，將問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)方程有解問題、參變分離即可得解.【詳解】，由題意曲線存在垂直于軸的切線，所以在上有解，即在上有解，而在上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.第33屆奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.某田徑運動員準備參加100米?200米兩項比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運動員100米比賽未能站上領(lǐng)獎臺的概率為，200米比賽未能站上領(lǐng)獎臺的概率為，兩項比賽都未能站上領(lǐng)獎臺的概率為，若該運動員在100米比賽中站上領(lǐng)獎臺，則他在200米比賽中也站上領(lǐng)獎臺的概率是___________.【答案】##0.6【解析】【分析】設(shè)出事件，根據(jù)事件的關(guān)系得到，進而求出，再利用條件概率公式求出答案.【詳解】設(shè)在200米比賽中站上領(lǐng)獎臺為事件，在100米比賽中站上領(lǐng)獎臺為事件，則，，，，則，則，故.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對邊分別為．已知．（1）求的大?。唬?）若，再從下列條件①，條件②中任選一個作為已知，求的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由正弦定理化邊為角，結(jié)合內(nèi)角和公式，三角函數(shù)恒等變換化簡求；(2)若選①，由正弦定理求，由條件求，結(jié)合三角形面積公式求面積，若選②，由條件可設(shè)，利用余弦定理求，結(jié)合三角形面積公式求面積.【小問1詳解】，由正弦定理知，即．在中，由，．．．．小問2詳解】若選擇條件①，由正弦定理，得．．又，即．．．若選擇條件②，由，即．設(shè)．則．由，得．．．16.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且右焦點為．（1）求橢圓標準方程；（2）直線交橢圓于，兩點，若線段中點的橫坐標為．求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點坐標求得，根據(jù)長軸和短軸的對應(yīng)關(guān)系，以及列方程組，可求得的值，進而求得橢圓的標準方程.（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，消去并化簡，寫出韋達定理，根據(jù)中點的橫坐標求得的值，進而求解.【小問1詳解】由橢圓的長軸長是短軸長的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以橢圓的標準方程為．【小問2詳解】設(shè)，，由，得．則，．因為線段中點的橫坐標為，所以．解得，即，經(jīng)檢驗符合題意．所以直線l的方程為．17.如圖，AB是圓的直徑，平面PAC面ACB，且APAC.（1）求證：平面；（2）若，求直線AC與面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合直徑的性質(zhì)、線面垂直的判定定理進行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】因為平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB，平面PAC，所以PA面ACB，又因為平面PBC，所以PA，又因為AB是圓的直徑，所以，因為平面，所以平面；【小問2詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，因，所以，所以，則，設(shè)平面PBC的法向量為m=x,y,z，則而，設(shè)直線AC與面PBC所成角為，則，所以直線AC與面PBC所成角的正弦值為.18.已知函數(shù)．（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，，求a的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．【答案】（1）f(x)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）（3）見解析【解析】【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.【小問1詳解】當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當時，有，所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.小問3詳解】取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.19.對任意正整數(shù)，定義的豐度指數(shù)，其中為的所有正因數(shù)的和．（1）求的值：（2）若，求數(shù)列的前項和（3）對互不相等的質(zhì)數(shù)，證明：，并求的值．【答案】（1）（2）（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）先找出的所有正因數(shù)，再根據(jù)題設(shè)定義，即可求解；（2）由題設(shè)定義，結(jié)合的正因數(shù)，求出，再由分組求和與錯位相減法，即可求出結(jié)果；（3）先分別求出及的正因數(shù)，由豐度指數(shù)的定義，證明，再利用結(jié)論求解即可.【小問1詳解】因為的所有正因數(shù)為，所以，得到.【小問2詳解】因為共有個正因數(shù)