人教版 數(shù)學(xué) 九年級上冊 全冊 分類

類比歸納專題：配方法的應(yīng)用

體會利月配方法解決特定問題

?類型一配方法解方程法正確的是（）

1.一元二次方程/一球一1=0的解是A.有最大值13B.有最小值一3

（）C.有最大值37D.有最小值1

A.X\=X2=\6.（2016—2017?夏津縣月考）求證：代數(shù)

B.xi=1+^2,K2=-I—巾式3/―6x+9的值恒為正數(shù).

C.=X2=i—>^2

D.?=-1+&，X2=—1~\（2

2.用配方法解下列方程時，配方有錯誤

的是（）

A./一2；1—99=0化為（1—1戶=100

B.f+8x+9=0化為。+4）2=257.若M=10〃+2/一7〃+6,N=a2+

C.2於一7f—4=0化為（，-2扶+5。+1,試說明無論。，人為何值，總有

M>N.

D.3/—4x—2=0化為（%—1）=竽

3.利用配方法解下列方程：

⑴（2016?淄博中考濡+4x—1=0；

(2)(x+4)(x+2)=2；?類型三完全平方式中的配方

8.如果多項式f—2/nx+l是完全平方

式，則m的值為（）

A.-1B.1C.±1D.±2

9.若方程259一收一1旨+1=0的左邊

(3)4-1=0；可以寫成一個完全平方式,則k的值為（）

A.一9或11B.—7或8

C.-8或9D.—6或7

?類型四利用配方構(gòu)成非負(fù)數(shù)求值

(4)3-1=0.10.已知加2+〃2+2〃]—6〃+10=0,則

的值為（）

A.3B.-1C.2D.-2

11.已知r+）。一?+6），+13=0,求a

+y）刈6的值.

?類型二配方法求最值或證明

4.代數(shù)式x2-4x+5的最小值是（）

A.-1B.1C.2D.5

5.下列關(guān)于多項式-2?+"+5的說

答案：

l.C2.B

3.解：(1)力=—2+^5,x2=-2—西；

(2)j-]=—3+VT,JT2=-3—用q

zox_2+\/5__2—%/5-

(3)?------—，72------2―；

小_-2+A/7_-2-y/7

4.B

5.A解析：-2/+8/+5=—2(1—2產(chǎn)+13,丁(z—2)2>0,

—2(J?-2)2+13413,即多項式-2/+8?r+5的最大值為

13,沒有最小值.

6.證明：??,對于任何實數(shù)H都有(/-1)2>0,???3/—6力+9=3

(>-2?r)+9=3(f—2]+1)+9—3=3(/—1)2+626>0,故

對于任何實數(shù)了,代數(shù)式3/-6]+9的值恒為正數(shù).

7,解：M-N=(10/+2/-7。+6)-(/+2加+50+1)=9。2—

12a+5=9a2-12a+4+1=(3a-2)2+1,V(3a-2)20,

/.(3a-2)2+l>l>0,BPM-N>0,???無論a,b為何值，總有

M>N.

8.C9.A10.C

2

11.解：O+1y2—4JC—61y+13=0,配方得JC-4?r+4+1y?+6y+

9=0,(1-2)2+(丁+3)2=0,.??/-2=00+3=0.解得1=2,

y=-3.???(/+y產(chǎn)】6=(2—3嚴(yán)16=1.

類比歸納專題：一元二次方程的解法

學(xué)會選擇最優(yōu)的解法

?類型一一元二次方程的一般解法

方法點(diǎn)撥：形如(x+m)2=n(n>0)的方程可用直接開平方法；當(dāng)方程二次項

系數(shù)為1,且一次項系數(shù)為偶數(shù)時，可用配方法；若方程移項后一邊為0,另一邊能分解成

兩個一次因式的積，可用因式分解法：如果方程不能用直接開平方法后因式分解法求解，則

用公式法.

1.用合適的方法解下列方程：

⑴(x-f)一；=。；

(2)x2-6x+7=0；

A/21

(3)x?一拳x+d=0；

Zo

(4)3x(2x+l)=4x+2.

?"類型二一元二次方程的熔殊解法

一、十字相乘法

方法點(diǎn)撥：例如：解方程：x2+3x—4=0.

第1種拆法：4x-x=3x(正確)，

第2種拆法：2x-2x=0(錯誤)，

所以x?+3x—4=(x+4)(x—I)=0,即x+4=0或x—I=0,所以x1=-4,X2=l.

2.解一-元二次方程x2+2x-3=0時，可轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程，請寫出其中的一個

一元一次方程.

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3.用十字相乘法解下列一元二次方程:

(1)X2—5x—6=0；

(2)x?+9x-36=0.

二、換元法

方法點(diǎn)撥：在已知或者未知條件中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，可用一個字母來代替它

從而簡化問題，這就是換元法，當(dāng)然有時候要通過變形才能換元.把一些形式復(fù)雜的方程通

過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的.

4.若實數(shù)a,b滿足(4a+4b)(4a+4b—2)-8=0,則a+b=.

5.解方程：(x?+5x+l)(x?+5x+7)=7.

1.解：(1)移項，得(x—^=],

兩邊開平方，得x—5=上\￡,

5—51

---或X-----

2222

(2)移項，得X2—6x—-7,

配方，得X2—6X+9=-7+9,即(x-3)2=2,

兩邊開平方，得X—3=R5,

XI=3~l-,\/2,X2=3—"\(2i

(3)原方程可化為8x2-44ix+l=0.

Va=8,b=一不僅c=l,

Ab2-4ac=(-4^2)2-4X8Xl=0,

.一(—4也)啦

-x=2X8=4，

...X|=X2=亞；

I(4)原方程可變形為(2x+l)(3x-2)

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=0,

??-2x+l=0或3x-2=0,

.__1_2

??X]——2，X2—

2.x—1=0或x+3=0.

3.解：(1)原方程可變形為(x-6)(x+1)

=0,

Ax—6=0或x+l=0,

??Xi=6?X2=-1;

(2)原方程可變形為(x+12)(x-3)

=0,

Ax+12=0或x—3=0,

.*.xi=—12,X2=3.

4.一爹或1

5.解：設(shè)x2+5x+l=t,則原方程化為t(t

+6)=7,

/.t2+6t—7=0,解得t=l或一7.

當(dāng)t=l時，x2+5x+1=1,x2+5x=0,

x(x+5)=0,

，x=0或x+5=0,/.xi=0,X2=—5；

當(dāng)t=-7時，x2+5x+l=—7,x2+5x

+8=0,

Ab2-4ac=52-4X1X8<0,此時方程

無實數(shù)根.

，原方程的解為Xi=0,X2=-5.

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易錯易混專題：一元二次方程中的易錯問題

?類型一利用方程或其解的定義求

待定系數(shù)時，忽略“，W0”

1.（2016—2017.江都區(qū)期中）若關(guān)于工的

方程3+3泗'-3x+2=0是一元二次方程,

則。的值為.【易錯1】?類型三利用根與系數(shù)關(guān)系求值時,

2.關(guān)于x的一元二次方程（a-l）/+x忽略“/20”

+〃-1=0的一個根是0,則a的值是（）7.（2016?朝陽中考）關(guān)于x的一元二次

A.-1B.1方程f+Ax+Z+lu。的兩根分別為X|,X2，

C.1或一1D.一1或0且R+后=1,則攵的值為.【易錯2】

3.已知關(guān)于x的一元二次方程（m-lM8.已知關(guān)于x的方程/+2（6-2比+

+5x+"戶一3m+2=0的常數(shù)項為0.加2+4=0有兩個實數(shù)根，且這兩根的平方和

（1）求用的值；比兩根的積大21,求加的值.【易錯2】

（2）求方程的解.

?類型二利用判別式求字母取值范

圍時，忽略“4X0”及“段中的

4.（2016-2017?撫州期中）若關(guān)于x的

一元二次方程（〃?-2）2爐+（2〃?+l）x+1=0

有解，那么“的取值范圍是（）

33

A.77?>7B.

44?類型四與三角形結(jié)合時忘記取舍

339.已知三角形兩邊長分別為2和9,第

C.機(jī)>彳且mW2D,m2彳且

三邊的長為一元二次方程/一141+48=0

5.已知關(guān)于r的一元二次方程/+的根.則這個二角形的周長為（）

出二1%一1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則kA.11B.17

的取值范圍是.C.17或19D.19

6.若小是非負(fù)整數(shù)，且關(guān)于x的方程10.在等腰△ABC中，三邊分別為a,

（加一1）/—2x+l=0有兩個實數(shù)根，求小的b,c?其中a=5,若關(guān)于%的方程r+（6+

值及其對應(yīng)方程的根.2就+6—匕=0有兩個相等的實數(shù)根，求

△ABC的周長.

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1.32.A

3.解：（1）.??關(guān)于x的一元二次方程（m—1）jr2+5x+w2—3/w+2

=0的常數(shù)項為0,—3加+2=0且〃?一1/0,解得加=2；

（2）將m=2代入（7〃-1）/+5z+/—3m+2=0得到x2+5x

=0,解得JT1=0,12=-5.

4.D5.^>1

6.解：二?關(guān)于E的方程（"LDf—27+1=0有兩個實數(shù)根，.■?〃？

一1#0,且△=4一4（帆-1）=8—46>0,解得m&2且mKL

???，〃是非負(fù)整數(shù)，???7〃=0或2.當(dāng)771=0時，原方程變?yōu)橐欢?/p>

2N+1=0,解得工1=—1—>/2,x2=—1—y/2；m=2時,原方程

變?yōu)镮?—21+1=0,解得/]=12=1.

7.-1

8.解：設(shè)方程>+2（6-2）7+/+4=0的兩個實數(shù)根為11，￡2，

則有小+以=2（2—利），叫以=川+4.?.?這兩根的平方和比兩

根的積大21,/??+JCZ—JC\O：2=21,即（zi+72）2—3j*iXz=21?

???4（7〃-2）2—3（加2+4）=21,解得7〃=17或加=-1.???△=

4（帆一2）2—4（62+4）>0,解得m<0.故m=17舍去，，m=

-1.

9.D

10.解二?關(guān)于z的方程72+（6+2力+6—〃=0有兩個相等的實

數(shù)根，???△=（6+2）2—4（6—6）=0,即從+泌—20=0,解得b=

2"=—10（舍去）；①當(dāng)a為底浮為腰時，則2+2V5,構(gòu)不成

三角形，此種情況不成立；②當(dāng)。為底,a為腰時，則5-2<5<

5+2,能夠構(gòu)成三角形.此時AABC的周長為5+5+2=12,

?:△ABC的周長是12.

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考點(diǎn)綜合專題：一元二次方程與其他知識的綜合

?類型一一元二次方程與三角形、四邊形綜合

的綜合8.（瀘州中考）若關(guān)于x的一元二次方程

1.（雅安中考）已知等腰三角形的腰和底/-2r+妙+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,

的長分別是一元二次方程4x+3=0的則一次函數(shù)y=kx+b的大致圖象可能是

根，則該三角形的周長可以是（）

A.5B.7C.5或7D.10

2.（廣安中考）一個等腰三角形的兩條邊

長分別是方程/-7彳+10=0的根，則該等

腰三角形的周長是（）

A.12B.99.（安順中考）若一元二次方程/一級一

C.13D.12或9m=0無實數(shù)根，則一次函數(shù)y=（m+l）x+

3.（羅田縣期中）菱形ABCD的一條對角m-1的圖象不經(jīng)過（）

線長為6,邊A8的長是方程爐一女+12=0A.第四象限B.第三象限

的一個根，則菱形ABC。的周長為（）C.第二象限D(zhuǎn).第一象限

A.16B.12C.16或12D.2410.（葫蘆島中考）已知公方是一元二次

4.（煙臺中考）等腰三角形邊長分別為小方程（公+1）（3/-1）=0的兩個根，且左＞從

b,2,且小匕是關(guān)于x的一元二次方程/則函數(shù)丁=丘+6的圖象不經(jīng)過（）

—6x+〃-1=0的兩根，則〃的值為（）A.第一象限B.第二象限

A.9B.10C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

C.9或10D.8或1011.（廣元中考）從3,0?—1,-2,—

5.（齊齊哈爾中考）ZVIBC的兩邊長分別3這五個數(shù)中抽取一個數(shù)，作為函數(shù)y=（5

為2和3,第三邊的長是方程x2—8x+15=—m2）x和關(guān)于x的一元二次方程（〃1+1]+

0的根，則△43C的周長是.1=0中m的值.若恰好使函數(shù)的圖象

6.（西寧中考）若矩形的長和寬是方程經(jīng)過第一、三象限，且使方程有實數(shù)根，則

2r2—16丫+m=0（0VmW32）的兩根，則矩形滿足條件的m的值是.

的周長為.【方法8】

7.已知一直角三角形的兩條直角邊是?類型三一元二次方程與二次根式的

關(guān)于x的一元二次方程/+（22一IM+M+3綜合

=0的兩個不相等的實數(shù)根，如果此直角三12.（達(dá)州中考）方程（m一一[3—mx

角形的斜邊是5,求它的兩條直角邊分別是+1=0有兩個實數(shù)根，則小的取值范圍為

多少.【易錯4】

（）

A.B.出且

C.m23D.且

13.（包頭中考）已知關(guān)于x的一元二次

方程/+，Ex—l=0有兩個不相等的實

數(shù)根，則左的取值范圍是.

?類型二一元二次方程與一次函數(shù)的

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答案：

1.B2.A3.A4.B5.8

6.16解析：設(shè)矩形的長和寬分別為z、y，根據(jù)題意得z+y=8,

所以矩形的周長為2(①+))=16.

7.解：???一元二次方程二十(2々-l)z+/+3=o有兩個不相等的

實數(shù)根，???△>(),???(24-1產(chǎn)-4(公+3)>0,即一穌-11>0,

，々〈一,，令其兩根分別為?,彳2，則有為+工2=1—2笈，彳1?

及=〃+3,??,此方程的兩個根分別是一直角三角形的兩條直角

22

邊，且此直角三角形的斜邊長為5,???6+d=5,???(4+x2)

-2為?蟲=25,???(1-2左產(chǎn)一2(公+3)=25,???戈2—2々-15=

0,???跖=5/2=-3,???左〈一￥，???4=一3,工把左=一3代入

原方程得到二一7/+12=0,解得力=3,①2=4,???直角三角形

的兩直角邊分別為3和4.

8.B

9.D解析：???一元二次方程〃一2z一根=0無實數(shù)根，???△<(),

...△=4—4X1X(—??1)=4+4mV0，.二7〃<—1,；?加+1VI—1,

即m+K0,TW—1<—1—1,即TH—K—2,一次函數(shù)3=(m

+1)%+加-1的圖象不經(jīng)過第一象限.故選D.

10.B11.-2

12.B13.421

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解題技巧專題：拋物線中與

系數(shù)a,b,c有關(guān)的問題

函數(shù)y=ax2+(b-l)x+c的圖象可能是()

?類型一由某一函數(shù)的圖象確定其

他函數(shù)圖象的位置

1.二次函數(shù)y=-x2+ax-b的圖象如

圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b的圖象不經(jīng)?類型二由拋物線的位置確定代數(shù)

過()式的符號或未知數(shù)的值

A.第一象限B.第二象限5.(2016?新疆中考)己知二次函數(shù)y=

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限ax2+bx+c(aW0)的圖象如圖所示，則下列

結(jié)論中正確的是【方法10]()

A.a>0

B.c<0

C.3是方程ax2+bx+c=0的個根

D.當(dāng)xVl時，y隨x的增大而減小

2.已知一次函數(shù)y=—kx+k的圖象如

圖所示，則二次函數(shù)y=-kx2—2x+k的圖

第5題圖第7題圖

6.(2016?黃石中考)以x為自變量的二

次函數(shù)y=x?—2(b—2)x+b2—1的圖象不經(jīng)

過第三象限，則實數(shù)b的取值范圍是【方法

3.己知函數(shù)y=(x—a)(x—b)(其中a>10]()

b)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=ax+b的圖

A.B.b2l或bW-l

象可能正確的是()

C.b>2D.l<b<2

7.(2016?孝感中考)如圖是拋物線y=

ax2+bx+c(aH0)的部分圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)

為(1,n),且與x軸的一個交點(diǎn)在點(diǎn)(3,0)和

(4,0)之間.則下列結(jié)論：①a-b+c>0；

②3a+b=0；?b2=4a(c—n)；④一元二次方

程ax2+bx+c=n-l有兩個不相等的實數(shù)

根.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

8.(2016?天水中考)如圖，二次函數(shù)丫=

4.如圖，一次函數(shù)y)=x與二次函數(shù)yiax2+bx+c(aX0)的圖象與x軸交于A,B兩

=ax2+bx+c的圖象相交于P,Q兩點(diǎn)，則點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且OA=OC,則下列

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結(jié)論：?abc<0；②"4產(chǎn)>。；③ac—b+

1=0；④OAQB=一三.其中正確結(jié)論的序號

a

是.

答案：

1.D2.B3.D

4.A解析：'??一次函數(shù)yi=z與二次函數(shù)+hx+c的圖

象相交于P，Q兩點(diǎn)，工方程a/+(4—l)i+c=0有兩個不相

等的根，，函數(shù)丁=。/+(A—l)/+c與7軸有兩個交點(diǎn).丁一

；>0,a>0,.二1=—?+函數(shù)y=ax2+(6—

LaLacaLa

l)z+c的圖象的對稱軸是直線1=一針>0.???a>0,開口向

La

上，，選項A符合條件.

5.C6.A

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7.C解析：???拋物線與z軸的一個交點(diǎn)在點(diǎn)（3,0）和（4,0）之間，

而拋物線的對稱軸為直線1=1,?,?拋物線與①軸的另一個交點(diǎn)

在點(diǎn)（一2,0）和（一1,0）之間.???當(dāng)x=—1時，y>0,即a—b+c

>0,???①正確；???拋物線的對稱軸為直線2=—/=1，即b=

—2a,/.3a+6=3a—2a=a#0,???②錯誤；,??拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為（］，〃），?,?哈產(chǎn)=〃，?.l=4ac—4a〃=4a（c—〃），.?.③正確；

???拋物線與直線有一個公共點(diǎn)，，拋物線與直線y=〃一1

有2個公共點(diǎn)，，一元二次方程af+6z+c=〃-i有兩個不相

等的實數(shù)根，二④正確.故選C.

8.①③④解析：觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：開口向下今aVO;與y軸交

點(diǎn)在丁軸正半軸0c>0；對稱軸在y軸右側(cè)>一?>0；頂點(diǎn)在

JC軸上方=>生5~~—>0.①-g>0,；?b>0,：.abc

4aca

VO,①成立；②v4'一〃〉0,h2-4ac，②不成立；③?.?

4〃4a<Q

=OC,=-c,將點(diǎn)A(—c,0)代入y=ajc2+fcr+c中，得ac2

—A+c=0,即ac—b-\-1=0，③成立；④■:()A=~TA,QB=ZB,

心?孫=?,???OA?。8=一三，④成立.綜上可知①③④成

立.故答案為①③④.

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易錯易混專題：二次函數(shù)的最值或函數(shù)值的范圍

類比各形式，突破給定范圍求最值

?類型一沒有限定自變最的范圍求（）

最值

A.有最小值本但無最大值

1.函數(shù)y=-（x+l）2+5的最大值為

B.有最小值本有最大值1

2.已知二次函數(shù)y=3x?—12K+13,則

函數(shù)值y的最小值是【方法11］（）C.有最小值1,有最大值學(xué)

A.3B.2C.1D.-1

3.已知函數(shù)y=x（2—3x）,當(dāng)x為何值D.無最小值，也無最大值

時，函數(shù)有最大值還是最小值？并求出最值?類型三限定自變量的取值范圍求

函數(shù)值的范圍

7.從y=2x2—3的圖象上可以看出，當(dāng)

-1WXW2時，y的取值范圍是（）

A.TWyW5B.—5Wy《5

C.-3WyW5D.一2WyWl

8.已知二次函數(shù)y=-x?+2x+3,當(dāng)

x22時，y的取值范圍是（）

A.yN3B.yW3C.y>3D.y<

?類型二限定自變量的取值范圍求3

最值9.二次函數(shù)y=（—x+m（m為常數(shù)）的

4.（2016—2017?雙臺子區(qū)校級月考）函圖象如圖所示，當(dāng)x=a時，yVO；那么當(dāng)x

數(shù)y=x2+2x-3（-2WxW2）的最大值和最=a—1時，函數(shù)值C

小值分別是（）

A.4和一3B.一3和一4

C.5和一4D.-1和一4

5.二次函數(shù)y=—%+去+2的圖象?類型四已知函數(shù)的最值，求自變量

的取值范圍或待定系數(shù)的值

如圖所示，當(dāng)一IWxWO時，該函數(shù)的最大10.當(dāng)二次函數(shù)y=x2+4x+9取最小

值是【方法11］（）值時，x的值為（）

A.3.125B.4C.2D.0A.-2B.1C.2D.9

311.已知二次函數(shù)y=ax2+4x+a-l的

6.已知OWxW］,貝ij函數(shù)y=x?+x+1

最小值為2,則a的值為（）

第13頁共67頁

A.3B.—1

C.4D.4或一1

12.已知y=-x(x+3—a)+1是關(guān)于x

的二次函數(shù)，當(dāng)x的取值范圍在1這xW5時,

y在x=1時取得最大值，則實數(shù)a的取值范

圍是()

A.a=9B.a=5C.aW9D.aW5

13.在AABC中，NA,NB所對的邊

分別為a,b,NC=70。.若二次函數(shù)y=(a+

b)x2+(a+b)x—(a—b)的最小值為一,，則

NA=度.

14.★已知函數(shù)y=-4x2+4ax—4a—

a2,若函數(shù)在OWxWl上的最大值是一5,求

a的值.

答案:

第14頁共67頁

1.52.C

121

3.解：???尸］(2—31)=-3~—毋)+專，?,?該拋物線的頂點(diǎn)坐

標(biāo)是(［■,［■)????一3<0,?,?該拋物線的開口方向向下，，該函

數(shù)有最大值，最大值是;.

4.C5.C

12o

6.C解析：??,=>+R+I=(#+力+予?,?該函數(shù)圖象的對

稱軸是直線1=一十.在04才<5上~隨工的增大而增大，

71Q

當(dāng)才=0時，y最小=1;當(dāng)/=下■時，ya大=7.

7.C

8.B解析：當(dāng)才=2時，y=-4+44-3=3.Vy=-x2+2/+3=

一(了一1產(chǎn)+4,?,?當(dāng)力>1時，1y隨］的增大而減小，.,?當(dāng)z>2

時，》的取值范圍是y<3.

9.C解析：當(dāng)z=a時,yVO,則a的范圍是心VaVz?，又對稱軸

是直線/=:，所以a-l<0.當(dāng)■時，y隨工的增大而減

小，當(dāng)/=。時，函數(shù)值y是，〃.因此當(dāng)］=。-1<0時，函數(shù)值y

一定大于m.

10.A

11.C解析：??,二次函數(shù)丁=a〉+4z+a-l有最小值2,???。>0,

VH小=4""J——=2,整理得/—3a—4=0.解得。=一1

或4.V?>>0,/.?=4.

12.D解析：第一種情況：當(dāng)二次函數(shù)的對稱軸不在14145內(nèi)

時,此時，對稱軸一定在的左邊，函數(shù)方能在這個區(qū)域

取得最大值,彳=三<1，即〃V5.第二種情況：當(dāng)對稱軸在1

內(nèi)時，函數(shù)一定是在頂點(diǎn)處取得最大值，即對稱軸為直

線1=1,?,?%=幺六=1,即a=5,綜上所述a&5.

12rO

13.55解析:將二次函數(shù)配方得尸(a+叭專)-%+中

也??,該二次函數(shù)的最小值為一券，???一3=一,。+,從整理

得a=b.在△ABC中，?.?/。=70°,工當(dāng)a=〃時，NA=NB=

180°二NC=55。,故答案為55.

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14.解：二次函數(shù)的對稱軸為直線1=一亦—=泉340時，

乙八I4）乙乙

a<O,x=O時函數(shù)有最大值，最大值為-4a—/=-5,整理得

1+4。-5=0,解得即=1（舍去），做=-5；0<*<1時，OVa

乙

4X(-4)X(-4a-a2)-(4a)2

<2,最大值為=-5,解得

4X(-4)

??；歹\1時，a22,N=l時，函數(shù)有最大值，此時一4+4a—4a

*乙

一°2=—5,整理得。2=1,解得田=一1（舍去），。2=1（舍去）.

綜上所述,。=-5或。=怖■時，函數(shù)在上的最大值是

一5.

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難點(diǎn)探究專題：拋物線與幾何圖形的綜合(選做)

代兒結(jié)合，突破面積及點(diǎn)的存在性問題

?類型一二次函數(shù)與三角形的綜合

一、全等三角形的存在性問題

1.如圖，拋物線y=x?+bx—c經(jīng)過點(diǎn)

(1,—4)和(一2,5),請解答下列問題：

(1)求拋物線的解析式；

(2)若拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為A,B,

與y軸交于點(diǎn)C.在該拋物線上是否存在點(diǎn)

D,使得aABC與4ABD全等？若存在，求

出D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

?類型二二次函數(shù)與平行四邊形的

綜合

3.如圖，拋物線y=ax2+2ax+c(a>0)

與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn),

A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè).若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在

拋物線上，且以A,C,E,P為頂點(diǎn)的四邊

形是平行四邊形，則符合條件的點(diǎn)P有

()

A.1個8.2個C.3個O.4個

二、線段(或周長)的最值問題及等腰三

角形的存在性問題

2.(2016?涼山州中考)如圖，已知拋物線

y=ax2+bx+c(aW0)經(jīng)過A(—1,0),B(3,

0),C(O,-3)二點(diǎn)，直線I是拋物線的對稱

軸.

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；4.如圖，拋物線y=/2+x—碧x軸

(2)設(shè)點(diǎn)P是直線1上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)

P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短時，求點(diǎn)P相交于A,B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P.

的坐標(biāo)；⑴求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)M也是直線1上的動點(diǎn)，且4MAC(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)E,使4ABP

為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的的面積等于4ABE的面積？若存在，求出符

點(diǎn)M的坐標(biāo).合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由；

(3)坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F,使得以A,

B,P,F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？直

接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo).

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菱形.

8.(2016?百色中考)正方形OABC的邊

長為4,對角線相交于點(diǎn)P,拋物線1經(jīng)過

O,P,A三點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的拋物線1

?類型三二次函數(shù)與矩形、菱形、正上的動點(diǎn).

方形的綜合(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，

①直接寫出O,P,A三點(diǎn)的坐標(biāo)；

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在②求拋物線1的解析式；

拋物線y=x2—2x+2上運(yùn)動.過點(diǎn)A作(2)求AOAE與面積之和的最大值.

AC±x軸于點(diǎn)C,以AC為對憑線作矩形

ABCD,連接BD,則對角線BD的最小值為

6.如圖，拋物線y=ax?—x—9與x軸正半

軸交于點(diǎn)A(3,0).以O(shè)A為邊在x軸上方

作正方形OABC,延長CB交拋物線于點(diǎn)D,

再以BD為邊向上作正方形BDEF.則a=,

點(diǎn)E的坐標(biāo)是.

7.(2016?新疆中考)如圖，對稱軸為直線

7

x=］的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)和B(0,-4).

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)E(x,y)是拋物線上一動點(diǎn)，且

位于第一象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對

角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的

面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)(2)中的平行四邊形OEAF的面積

為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為

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答案:

1.解：（1）??,拋物線）=f+Ar+c經(jīng)過點(diǎn)（1,

（1h~\~c——4,

-4）和（-2,5）,二,解得

\4—26+c=5,

（'=一:'故拋物線的解析式為y=/—22

\c=-3.

-3.

(2)存在.理由如下：???拋物線丁=/一2#—3的對稱軸為直線支

="("2)=i,?,?根據(jù)拋物線的性質(zhì)，點(diǎn)C關(guān)于直線彳=1的對

稱點(diǎn)D即為所求，此時，AC=BD,BC=AD.在和

(AB=BA9

△BAD中，?口AC=BD,???Z\ABC9Z\BAD(SSS).在？=/一

BC=AD,

21—3中，令/=0,得y=—3,則C(0,—3),D(2,—3).

2,解：(1)將A(—1,0),3(3,0),。(0,—3)代

入拋物線y=a^2+bx+c中，得

a—b+c=O,ra=1,

<9a+36+c=0,解得y。=-2,???拋物線的

[c=-3,c=-3.

函數(shù)關(guān)系式為y=x2—2x—3；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在n軸上，P,A,B三點(diǎn)在一條直線上時，點(diǎn)P到點(diǎn)

A、點(diǎn)B的距離之和最短，此時2=1,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為

La

(1,0)；

(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-1),(1,痣)，(1,一同)，(1,0).

3.C

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1Q

.解）令則方＞+①一方=解得JTI?點(diǎn)

4：（1y=0,乙乙0,=-3,i2=l，；

A的坐標(biāo)為（-3,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,0）；

（2）存在.理由如下：拋物線的對稱軸為直線彳=—￥=—1,令

2X十

久=一1，則y=十一1一得=一2,???P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,-2）.

乙乙

??,△ABP的面積等于aABE的面積，，點(diǎn)E到A8的距離等于

1q

2.設(shè)E（a,2）,把E（a,2）代入拋物線的解析式得5公+。-5=

2,解得。=一1一2代或一1+2北\???符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為

（一1一29,2）或（-1+2隹,2）；

（3）所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（一1,2）,（3,—2）,（—5,—2）.

5.1解析：???？=/-21+2=（①一1/+1,???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為（1,1）????四邊形ABCD為矩形，???BD=AC.而AC_Lz軸，

???AC的長等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo).當(dāng)點(diǎn)A在拋物線的頂點(diǎn)時，點(diǎn)A

到彳軸的距離最小，最小值為1,???對角線BD的最小值為1.故

答案為1.

6.（l+yiOU+TIO）解析：把點(diǎn)A（3,0）代入拋物線、=

“一之一告，解得。=4_.???四邊形OAB