蘇教版選擇性必修第二冊第6章空間距離的計算

空間距離的計算

課程

能用向量的方法解決點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離

標(biāo)準(zhǔn)

1.點(diǎn)到直線的距離

(DP為直線/外一點(diǎn),A是I上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)P和直線I所確定的平面內(nèi)取一個與

IAP,n|

直線I垂直的向量2則點(diǎn)p到直線I的距離為公二n.

(2)P為直線/外一點(diǎn),A是I上任意一點(diǎn),e是直線I的方直向量，記0=<江,e>,則點(diǎn)

P到直線I的距離為^lAPIsin(p.

2.點(diǎn)到平面的距離

如圖，已知平面?的法向量為垂足為Q,A為平面a內(nèi)任一點(diǎn)，則平面外一

點(diǎn)P到平面?的距離為：

-nAP?n|AP?M|

PQ=In|=|n\=|n|

1.已知平面a的一個法向量為"=(221),點(diǎn)A(-l,3,0)在平面a內(nèi)廁點(diǎn)P(-2,l,4)

到平面?的距離為()

A.10B.3C.-D.—

33

IPA?n|

【解析】選D.點(diǎn)尸到平面a的距離仁學(xué)

V4+4+13

2.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直且滿足B4=P5=PC=1廁點(diǎn)P到平面ABC

的距離是0

A.-B.-C.-D.-

6363

【解析】選D.分別以PA,PB,PC所在直線為％軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(l,0,0)1(01,0),。(0,0,1).可以求得平面ABC的一個法向量為九=(1,1,1),

IPA?n|

,V3

則d=In|

3,

3.設(shè)A(2,3,1)旗4,1,2),。(6,3,7),0(-5,-4,8)廁點(diǎn)3到平面ABC的距離為

【解析】設(shè)平面A5C的一個法向量為“=(%,//).

所以n-AB=0,?-AC=0,

(x,y,z)-(2,-2,l)=0,

所以

(x,y,z)-(4,0,6)=0,

3

2%-2y+z=0x=--z,

即'所以2，

4x+6z=0,

令z=-2，則〃=(3,2,-2).又因?yàn)锳D=(-7,-7,7),

IAD,n|

所以點(diǎn)D到平面ABC的距離為d=F~

_|3x(-7)+2x(-7)-2x7|_49V17

J32+22+(-2)217

口卡.17

4.在長方體OABC-OjAiBiCi中QA=2,A5=3A41=2*。到直線AC的距離.

【解析】方法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝UA(2,0,0),0i(0,0,2),。(0,3,0),過01作OiD±AC于點(diǎn)D,

設(shè)。(%>0),貝1)舟=(%,》,-2),AD=(x-2,y,0).

因?yàn)锳C=(-2,3,0),AC,AD//AC,

C~2x+3y=0,(x=—,

所以在2y解得

(-2-3，(/=石，

所以。借，H，。)，

所以1而H(W+(W+(02=等

即5到直線AC的距離為察.

方法二:連接A。,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝UA(2,0,0),01(0,0,2),C(0,3,0),

所以記1=(-2,0,2),沃=(-2,3,0),

元

所以記廣京=(20,2).(-2,3,0)=4,。=記戶(-2,0,2),"=1讖HW，W，0)，

所以_______

所以。到直線AC的距離占加2一3〃)2=嚕.

一、選擇題

1.在長方體A5CDA1SGA中5A5=5C=aA4i=2a,則點(diǎn)A到直線AC的距離為()

A.V3aB.—aC.-D.—

232

【解析】選D.方法一:連接5DAC交于點(diǎn)0(圖略),

則DiO=J(2a)2+(子。)為所求.

方法二:如圖建立空間直角坐標(biāo)系易得。3。,0),。(0,a,2a),

元

取a=CDI=(-Q,0,2a),M=IAC|=停,y,0),

則點(diǎn)。1到直線4。的距離為口^7=J5a2必2考a

2.RtAABC的兩條直角邊5C=3,AC=4,尸。，平面A5Gpet，貝［］點(diǎn)P到斜邊AB的

距離是()

A.3B,9C.12D.2V3

【解析】選A.以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,C氏。尸所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則A(4,0,0),JB(0,3,0),P(0,0,|),

所以百=(一4,3,0),AP=(-4,0,1).

所以點(diǎn)P到AB的距離d=

3.若正方體A5CD4向G功的棱長為1,則直線AC到平面ACDy的距離為()

A.1B.—C.—D.V3

36

【解析】選B.因?yàn)锳iC］〃ACACu平面AC。15Alec平面ACA,所以ACi〃平面

4cA，則點(diǎn)Ai到平面ACDi的距離即為直線AC到平面ACD1的距離.建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

易知AX=(0,0』),由題得ACLBD,ACLBBx,BD^BB^B,BD,BB\^^^BDBi,所以

AC±^^BDB>,

所以AC±DBi,|W|?ADiXDBi,

因?yàn)锳CAADi^A,ACADICACDI,

所以。3_L平面AC。，

所以茄?是平面ACDi的一個法向量，

IAX?函|

所以平面ACA的一個法向量為防尸(1,-1,1),故所求的距離為?而?=*=岸

4.(2022.揚(yáng)州高二檢測)已知棱長為1的正方體A5CD43GA,則平面A3C與平

面4G。之間的距離為()

人遮D遮c2遮「V3

A.—r).—C.U.—

6332

【解析】選B.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝114(1,0,0),G(0,l,0),0(0,0,1),4(101),

所以血=(1,0,一1),55^(0,1,-1),AD=(-1,0,0),

設(shè)平面AiCiD的一個法向量為m=(x,y,l),

嚴(yán)_1_DAi,

則1一訪，

咽：0,

解瞰::;

故加=(1,1,1),顯然平面ABC〃平面A1C1D,

IAD?m|1

所以平面A3。與平面AiCiD之間的距離1ml=*=字

5.在直三棱柱A5c45G中底面是等腰直角三角形,NAC5=90。側(cè)棱AAi=2Q,E

分別是CCi與AiB的中點(diǎn)點(diǎn)E在平面ABD上的射影是及鉆。的重心G,則點(diǎn)Ai

到平面ABD的距離為()

AV6^276?V5_2V5

A.—￡).C.—U.

3333

【解析】選B.由題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)C4C5CC所在直線分別為兀y,z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)G4=C5=a,則A(a,0,0)1(0,。,0),。(0,0,1),4(。,0,2),可得E(ppl),

G6，狷),皿杭，|),麗=(。,山),

因?yàn)辄c(diǎn)E在平面ABD上的射影是及45。的重心G,所以GEJ_平面ABD,

所以近.玩=0,

即:x0+R-*xl=0,

解得a=2,即GE=(m),

則點(diǎn)A1到平面ABD的距離為d=2|函=?

二、填空題

6.在棱長為1的正方體A5C?AiSG?中,MN分別是線段仍iBG的中點(diǎn)，則直

線MN到平面AC出的距離為;點(diǎn)D到平面ACDi的距離為.

【解析】如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)QAQCQOi所在直線分別為％軸,y軸,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系.

則D(0,0,0),C(0,l,0),Di(0,0,l),M(l,l,|)4(l,0,0).

所以AC=(-1,1,O),AD>=(-1,0,1).

設(shè)平面ACD,的法向量為"=(%)/),

In?AC=0j

則L?血=。，即以匯；：

令％=1廁y=z=l,所以n=(l,l,l),

IAM?nIr-

所以點(diǎn)M到平面ACD\的距曷d—IM——.

又MNDjAD\故MN〃平面ACDi.

故直線MN到平面ACDi的距離為當(dāng)又OA=(1,0,0),

IDA,n|廣

所以點(diǎn)D到平面AS的距離為d=~^~吟號.

朱安W更

口木,23

7.(2022.如皋高二檢測)已知直線I經(jīng)過點(diǎn)A(2,3,l),且向量〃=(1,0,4)所在直線與I

垂直，則點(diǎn)尸(4,3,2)到/的距離為.

【解析】因?yàn)镻A=(-2,0,-l),Xn與I垂直,

IPA,n|廠

所以點(diǎn)P到/的距離為=等專

答案日

8.如圖，已知正方形ABCD的邊長為平面A5CD且尸。=1,瓦尸分別為A5,5c

的中點(diǎn)

則點(diǎn)D到平面PEF的距離為直線AC到平面PEF的距離為.

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系廁D(0,0,0),P(0,0,1)4(1,0,0),C(0,1,0),

￡(1,1,0),FQ,1,0),PE=(1,I,-l),PF=Q,1,-1),而=(-1,0,1),DP=(0,0,l).

設(shè)平面PEF的法向量為〃=(%,y,z),

[n-PE=0,(i

一\x+-y-z=0,

則ln-PF=0,即

hx+y-z=0,

解得％=y,令％=y=2彳導(dǎo)〃=(2,2,3),

IDP?n|.—

因此點(diǎn)D到平面PEF的距離為=信=啜?

因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，

所以EF//AC5LEFu平面PEF,

所以AC〃平面PER

IAP?n|1—

所以直線AC到平面PEF的距離為=總=當(dāng)

軟安.3VI7V17

1=1木,1717

9.如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1,點(diǎn)M,N分別是邊

AB,CD的中點(diǎn)，則的長為.

【解析】設(shè)AB=p,AC=q,AD=r,

由題意可知,1川=0|=|廠|=1,

且p,q,r三個向量兩兩夾角均為60°,

--A--?--*1--A--*1--*1

MN=AN-AM=-(AC+AD)--AB=-(^+r-p),

所以|MN|2=MN-MN--(q+r-p')\q+r-p)--[q2+r1+p2+2(q-r-q-p-r-p)]--x2--,

4442

所以I函考即MN的長為.

套宏立

1=12

三、解答題

10.在三棱錐B-ACD中，平面平面AC。,若棱長AC^CD^AD^AB^1Z

24。=30。,求點(diǎn)D到平面ABC的距離.

【解析】如圖所示，以AD的中點(diǎn)0為原點(diǎn)，以O(shè)D,

OC所在直線為％軸,y軸，過O作0"，平面ACD交AB于點(diǎn)M以直線OM為z

軸建立空間直角坐標(biāo)系O-0z,則1,0,0),

W等。3。(0，今。)，。&。，。)，

所以無=&}骨。),癌=*

DC=造,0),

設(shè)"=(%,》*)為平面ABC的法向量,

貝U產(chǎn)-*z=-Gt,取n=(-V3,l,3),

IDC?n|Vs,Vs._

代入d-In|得仁士旦

'母V1313'

即點(diǎn)D到平面ABC的距離是等.

一、選擇題

1.已知正方體A5CZK4向GA的棱長為1,若點(diǎn)尸滿足AP=fAB+|通+；*，則點(diǎn)

534

尸到直線的距離為()

A.三B±C.蘭D.叵

144122015

【解析】選B.如圖，過點(diǎn)P作尸加，平面ABCD于點(diǎn)M過點(diǎn)M作NM1AB于點(diǎn)

N,

連接PN,則PN的長即為所求，

因?yàn)闈M足AP=|AB+|AD+iAA

534),

所以AN^MN/MP.

所以PNZMN?+MU*

2.如圖，在四面體ABCD^,AB,BC,BD兩兩垂直方。=5。=2,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若

直線AB與平面ACD所成角的正弦值為點(diǎn)則點(diǎn)B到平面ACD的距離為()

A*.如嗎^

2333

【解析】選B.在四面體ABCD中,AB,BC,BD兩兩垂直，以B為原點(diǎn),BC所在直線

為x軸方。所在直線為y軸,5A所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,5。=瓦)=2,

點(diǎn)石是8的中點(diǎn)，

設(shè)BA=t,^]A(0,0,0,B(0,0,0),C(2,0,0),

D(0,2,0),AB=(0,0,-0,CA=(-2,0,r),

五=(-2,2,0),

設(shè)平面ACD的法向量"=(%,y,z),

In,CA=-2x-\-tz=0

則n?CD=-2rr+2y=0,

取X=1得

因?yàn)橹本€AB與平面ACD所成角的正弦值為點(diǎn)

IAB?幾

21

所以IABIInI='

(-t產(chǎn)^^3

解得仁4(—4,舍),

所以平面ACD的法向量AB=(0,0,-4),

IAB,n|

所以點(diǎn)5到平面AC。的距離為七

13

3.在棱長為1的正四面體ABCD中"為AD上的一點(diǎn)，且AM^AD,N為AC的中

點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面BMN的距離為()

AVlO^V5?Vio^Vs

A.--D.—C.----U.—

551010

【解析】選c.取BC的中點(diǎn)及連接AE交BN于點(diǎn)。連接DO.

因?yàn)樗拿骟wA5CZ)為正四面體,N,E分別為AC,BC的中點(diǎn)，

所以O(shè)為等邊三角形ABC的中心，且平面A5C，以N為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，其中DO//Z軸,

因?yàn)檎拿骟wA5CZ)的棱長為1,

所以A0=|4斤|xjl1罟，

所以。。

則A(0,-1,0),。住,0,,0,0),M0,0,0),

所以NB=^,0,0),

因?yàn)锳M=-A。,即AM=-AD,

所以研區(qū)-冷)，3

所以麗=(小冷)，

設(shè)平面BMN的法向量為〃=(%,y,z),

--73

n?NB=-x=0?

V乙

貝U"麗咯T+"o，

令z=3,則x=0,y=V6,

所以H=(0,V6,3),

又標(biāo)=(o1,o),

IAN,n\V6i—

所以點(diǎn)4到平面BMN的距離d=51=春=黑

V6+910

4.(多選題)在正方體ABCD-AiBiCiDi中，若棱長為1,點(diǎn)E,F分別為線段BD,BCi

上的動點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()

A.DBi±?ACDi

B.面AC/〃面ACDi

C.點(diǎn)F到面ACDi的距離為定值?

D.直線AE與面BBQiD所成角的正弦值為定值:

【解析】選ABC.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題意知A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),

Ai(0,0,l),fii(t0,l),Ci(l,l,l),Di(0,l,l),

設(shè)E(x,y,l),彘=丸記，

即(%-13,0)=(-2兒0),

所以及1辦,1),

設(shè)尸記，

即(0,曠/)=(0,〃,〃),所以4(1,〃,〃).

對于A,因?yàn)槎?(1,一1,1),AC=(l,l,0),啟=(0,1,1),

DBj.AC=0,

所以而?而=0,

所以DBi±AC,DBi±ADi,

又ACADiu平面ACDi,ACnADi=A,

所以。囪，平面ACDt,A正確；

對于B,因?yàn)槠矫鍭CA,所以防心(1,一1,1)為平面ACDi的一個法向量,

因?yàn)檩摹?1,1,0),A^=(l,0,-l),

DBi?AiCi=0,

所以DB^?A7B=0,

所以

又AiG,4i_Bu平面A\C\B,A\C\C\A\B—A\,

所以。平面AC民

所以平面4G5〃平面ACA,B正確；

對于C,因?yàn)锳F=(1,〃,〃)，

I埼?向I_

所以點(diǎn)F到面ACD1的距離d=I而/喘號，為定值,C正確；

對于D,因?yàn)閹缀误w為正方體，所以AC_L平面BBiDiD,

所以元=(1,1,0)是平面BBiDiD的一個法向量，

又屬=(L),

|元?西

設(shè)直線AE與平面BBiDiD所成角為仇則sin。=IAC|?IAE|=.；百,不是定

V2-v2Zz-2Z+2

值,D錯誤.

二、填空題

5.(2022.天津高二檢測)已知點(diǎn)P(5,3,6),直線I過點(diǎn)A(2,3,l),且一個方向向量為

則點(diǎn)P到直線/的距禺為"

【解析】由題設(shè)，舒=(3,0,5),

立T—―

所以|cos<AP,/〉|=IAPIIII=魚:舊=g，故sin<AP,/>=￥^,

所以P到直線l的距離為I畫&n<正/>W^X岑=4立

答案：4魚

6.已知三棱錐P-ABC的每個頂點(diǎn)都在球O的球面上,B4,P氏PC兩兩互相垂直，且

205=B4=PC若球O的表面積為36兀,則球心O到平面ABC的距離為.

【解析】因?yàn)樵谌忮F中PA,PB,PC兩兩互相垂直，所以可把該三棱錐看作一個長

方體的一部分，將該三棱錐補(bǔ)形，得到長方體出。。力及G,此長方體內(nèi)接于球O,

長方體的體對角線為球的直徑，球心O為長方體對角線的中點(diǎn)，設(shè)球O的半徑為

%2+(2久)2x2

氏球O的表面積5=4兀尺2=36瓦,則H=3,設(shè)P5=%,則^一^——=3,解得X=2,即05=2,

所以B4=PC=4,以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以PA,PC,PB方向?yàn)椋ポS,y軸,z軸正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0(2,2,1)44,0,0),。(0,4,0),尸(0,0,0),

5(0,_

所以嬴=(一4,0,2),AC=(-4,4,0),麗=(-2,-2,1),

設(shè)平面ABC的一個法向量為〃=(%,y,z),

/n_LAB9(n,AB=-4JC+2N=0,

貝InIAC即1"?AC=-4%+4y=0,

令％=1得〃=(1,1,2).

設(shè)球心0到平面ABC的距離為d,

_.IOA?n|樂

因?yàn)镺A=(2,-2,-l),則d=Inl="+1+4==.

答案:日

三、解答題

7.如圖，已知四棱錐S-ABCD,SA，底面ABCD,ZDAB=Z

45。=90。25=4,5。=35As=4乃是AB的中點(diǎn)，尸在BC上，且孑C,求點(diǎn)A到平面

SE下的距離.

【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以ADAB,AS所在的直線為％軸,y軸,z軸建立空

間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-盯z,如圖所示，

則A(0,0,