新華師大版八年級下冊初中數(shù)學(xué)全冊教案

第16章分式

16.1.1分式

教學(xué)目標：

1、經(jīng)歷實際問題的解決過程，從中認識分式，并能概括分式；

2、使學(xué)生能正確地判斷一個代數(shù)式是否是分式；

3、能通過回憶分數(shù)的意義，類比地探索分式的意義及分式的值如某一特定情況的條件，滲

透數(shù)學(xué)中的類比，分類等數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)重點：

探索分式的意義及分式的值為某一特定情況的條件。

教學(xué)難點：

能通過回憶分數(shù)的意義，探索分式的意義。

教學(xué)過程：

一、做一做

(1)面積為2平方米的長方形的一邊長為3米，則它的另一邊長為米；

(2)面積為S平方米的長方形的一邊長為。米，則它的另一邊長為米：

(3)一箱蘋果的售價為p元，總重用千克，箱重〃千克，則每千克蘋果的售價是一元.

二、概括：

形如4(4、8是整式，且8中含有字母，8翔)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分

B

子,B叫做分式的分母.

整式和分式統(tǒng)稱為有理式，

三、例題：

例1下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？

⑴L⑵々⑶工⑷包工

x2x+y3

解：屬于整式的有(2)、(4)；屬于分式的有：(1)、(3).

注意：在分式中，分母的值不能是0.如果分母的值是0,那么分式?jīng)]有意義.例如，在分

S9

式一中，在分式-----中，m^n.

am-n

例2當X取什么值時，下列分式有意義?

(1)

x—\2x+3

分析：耍使分式有意義，必須且只需分母不等于0.

解：(1)分母犬一19，即xri.所以，當X*時，分式」一有意義.

%—1

(2)分母2x+3r0,即尤六］3.所以，當x齊3三時，分式x—-2有意義.

222x+3

四、練習(xí)：

1.判斷下列各式哪些是整式，哪些是分式？

9x+4,1,212,I,_L.

x205y2x-9

2.當x取何值時，下列分式有意義？

(1)-^―(2)(3)

x+23-2xx--4

3.當x為何值時，分式的值為0?

(1)x+7(2)_(3)?-1

5x21-3x

五、小結(jié)：

什么是分式？什么是有理式？

六、教學(xué)反思:

16.1.2分式的基本性質(zhì)

教學(xué)目標：

1、掌握分式的基本性質(zhì)，掌握分式的約分方法，熟練進行約分，并了解最簡分式的意義。

2、使學(xué)生理解分式通分的意義，掌握分式通分的方法及步驟。

教學(xué)重點：

讓學(xué)生知道約分、通分的依據(jù)和作用，學(xué)會分式約分與通分的方法。

教學(xué)難點：

1、分子、分母是多項式的分式約分。

2、幾個分式的最簡公分母的確定。

教學(xué)過程：

一、概括

分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變.

用式子表示是：個=￡_絲,2=2上巴(其中M是不等于0的整式)。

BBxMBB+M

與分數(shù)類似，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，可以對分式進行約分和通分.

二、例題

1、例3約分

-I6x2y3--4

20xy4X2-4X+4

分析分式的約分，即要求把分子與分母的公因式約去.為此，首先要找出分子與分母

的公因式.

解.⑴_]6/y3_..4孫3.4x__4x⑵-2-4_(x+2)(x-2)_x+2

20xy44-xy3-5y5yx2-4x+4(x-2)2x-1

約分后，分子與分母不再有公因式.分子與分母沒有公因式的分式稱為曩簡分立

2、例4通分

1

(1)-z—，——；(2)----，----；(3)----

abakrx-yx+yx-yx2+xy

解：(1)，一與的最簡公分母為〃2左，所以

crbab

1bI_laa

a2ba2b-ba2b2'ab2ab2-aa2b2

(2)二一與」一的最簡公分母為(x-y；(x+y),即/一產(chǎn)，所以

x-yx+y

1_1-(x4-y)_x+y1_1?(%-y)_x-y

x-y(x-y)(x+y)x2-y2'x+y(x+y)(x-y)x2-y2'

請同學(xué)們根據(jù)這兩小題的解法，完成第(3)小題。

三、小結(jié)：

(1)請你分別用數(shù)學(xué)語言和文字表述分式的基本性質(zhì)；

(2)分式的約分運算，用到了哪些知識？

讓學(xué)生發(fā)言，互相補充，歸結(jié)為：①因式分解；②分式的基本性質(zhì)；③分式中符號變換規(guī)律;

約分的結(jié)果是，一般要求分子、分母不含“一

(3)把幾個異分母的分式，分別化成與原來分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

分式通分，是讓原來分式的分子、分母同乘一個適當?shù)恼?，根?jù)分式的基本性質(zhì)，通分前

后分式的值沒有改變。通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的公分母，從而確定各分式的分子、分母

要乘什么樣的"適當整式”，才能化成同一分母。確定公分母的方法，通常是取各分母所有因

式的最高次基的積做公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。

五、教學(xué)反思：

16.2分式的運算

16.2.1分式的乘除

教學(xué)目標：

1、讓學(xué)生通過實踐總結(jié)分式的乘除法，并能較熟練地進行式的乘除法運算；

2、使學(xué)生理解分式乘方的意義，掌握乘方的運算規(guī)律，并能進行分式的乘方運算.

3、引導(dǎo)學(xué)生通過分析、歸納，培養(yǎng)學(xué)生用類比的方法探索新知識的能力.

教學(xué)重點：

分式的乘除法、乘方運算

教學(xué)難點：

分式的乘除法、混合運算以及分式的乘法、除法、乘方運算中符號的確定。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)與情境導(dǎo)入

1、(1)什么叫做分式的約分？約分的依據(jù)是什么？

(2)下列各式是否正確？為什么？

-x+y

①多=一;②一-=0;

x+y

-a+ba+b1

③——r:----r；

-a-ba-b-x+yx+y

2、嘗試探究：計算:

回憶：如何計算。十。?

64

a2a

(1)―；-------；(2)從中可以得到什么啟示。

b33a

概括：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.如果得到的不

是最簡分式，應(yīng)該通過約分進行化簡.

分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.(用式子表示如右圖

所示)a.cac

b*d=_—_

bd

acadad

—-r—=—?—=__

bdbcbe

二、例題:

例1計算:

(1)火ay2a2xya2yz

(2)

byb2x產(chǎn)+斤.

a2xay")a2x-ay2_。3a2xya2yz_a2xyb2x2__x3

by2b2xby2-b2xhyb2z2b2x2b2z2a2yzz'

x-2X2-9

x+3x2-4.

x—2(x+3)(x-3)_x-3

解：原式

x+3(x+2)(%—2)x+2

三、思考

怎樣進行分式的乘方呢？試計算：

(1)(—)3；(2)(―)上(女是正整數(shù)).

mm

mmmmm-m-m

⑵（K）*==〃?〃[?〃=.

mm-m-Lm

仔細觀察所得的結(jié)果，試總結(jié)出分式乘方的法則.

四、小結(jié)：

1、怎樣進行分式的乘除法？

2、怎樣進行分式的乘方？

五、教學(xué)反思：

16.2.2分式的加減

教學(xué)目標：

1、使學(xué)生掌握同分母、異分母分式的加減，能熟練地進行同分母，異分母分式的加減運算。

2、通過同分母、異分母分式的加減運算，復(fù)習(xí)整式的加減運算、多項式去括號法則以及分

式通分，培養(yǎng)學(xué)生進行分式運算的能力。

3、滲透類比、化歸數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的解題能力。

教學(xué)重點：

讓學(xué)生熟練地掌握同分母、異分母分式的加減法。

教學(xué)難點：

分式的分子是多項式的分式減法的符號法則，去括號法則應(yīng)用。

教學(xué)過程：

一、實踐與探索

1、回憶：同分母的分數(shù)的加減法法則：

同分母的分數(shù)相加減，分母不變，把分子相加減。

2'試一試：回憶：如何計算由、工+工,

斗留小匕J力23(一46

aa；~a^~~ab［從中可以得到什么啟示？

3、總結(jié)一下怎樣進行分式的加減法？

二、概括

同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減;

異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.

三、例題

1、例3計算：(x+y)2廠

xyxy

324

2、例4計算:

x-4x2-16

分析:.這里兩個分式的分母不同，要先通分.為此，先找出它們的最簡公分母.

注意到/-16=(x+4)(%—4),所以最簡公分母是(x+4)(x-4).

x-4x2-16

324=3(x+4)24=3(x+4)—24

x-4(x+4)(x-4)(x+4)(x-4)(x+4)(x-4)(x+4)(x-4)

_3x-123(x4)3

(x+4)(x-4)(x+4)(x-4)x+4'

四、小結(jié)：

1、同分母分式的加減法：類似于同分母的分數(shù)的加減法;

2、異分母分式的加減法步驟：

①正確地找出各分式的最簡公分母。

求最簡公分母概括為：(1)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；(2)凡出現(xiàn)的以字母為底的暴的因

式都要??；(3)相同字母的基的因式取指數(shù)最大的。取這些因式的積就是最簡公分母。

②準確地得出各分式的分子、分母應(yīng)乘的因式。

③用公分母通分后，進行同分母分式的加減運算。

④公分母保持積的形式，將各分子展開。

⑤將得到的結(jié)果化成最簡分式或整式。

五、教學(xué)反思：

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16.3可化為一元一次方程的分式方程(1)

教學(xué)目標：

1、使學(xué)生理解分式方程的意義，會按一般步驟解可化為一元一次方程的分式方程.

2、使學(xué)生理解增根的概念，了解增根產(chǎn)生的原因，知道解分式方程需驗根并掌握驗根的方

法.

3、使學(xué)生領(lǐng)會“轉(zhuǎn)化”的思想方法，認識到解分式方程的關(guān)鍵在于將它轉(zhuǎn)化為整式方程來解.

4、培養(yǎng)學(xué)生自主探究的意識，提高學(xué)生觀察能力和分析能力。

教學(xué)重點：

使學(xué)生理解分式方程的意義，會按一般步驟解可化為一元一次方程的分式方程.

教學(xué)難點：

使學(xué)生理解增根的概念，了解增根產(chǎn)生的原因，知道解分式方程需驗根并掌握驗根的方法.

教學(xué)過程：

一、問題情境導(dǎo)入

輪船在順水中航行80千米所需的時間和逆水航行60千米所需的時間相同.已知水流的

速度是3千米/時，求輪船在靜水中的速度.

分析

設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/時，根據(jù)題意，得&-=0_.(1)

x+3x-3

概括

方程(1)中含有分式，并且分母中含有未知數(shù)，像這樣的方程叫做分式方程.

思考

怎樣解分式方程呢？有沒有辦法可以去掉分式方程中的分母把它轉(zhuǎn)化為整式方程呢？試動

手解一解方程(1).

方程(1)可以解答如下：

方程兩邊同乘(x+3)(x-3),約去分母，得80(x-3)=60(x+3).

解這個整式方程，得x=21.

所以輪船在靜水中的速度為21千米/時.

概括

上述解分式方程的過程，實質(zhì)上是將方程的兩邊乘同一個整式，約去分母，把分式方程

轉(zhuǎn)化為整式方程來解.所乘的整式通常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡公分母.

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二、例題:

1_2

1、例1解方程:

x-1x2-1

解：方程兩邊同乘((-I),約去分母，得x+l=2.

解這個整式方程，得41.

解到這兒，我們能不能說產(chǎn)1就是原分式方程的解(或根)呢？細心的同學(xué)可能會發(fā)現(xiàn),

當戶1時，原分式方程左邊和右邊的分母(x-1)與(/一1)都是0,方程中出現(xiàn)的兩個分

式都沒有意義，因此，不是原分式方程的解，應(yīng)當舍去.所以原分式方程無解.

我們看到，在將分式方程變形為整式方程時，方程兩邊同乘一個含未知數(shù)的整式，并約

去了分母，有時可能產(chǎn)生不適合原分式方程的解(或根)，這種根通常稱為增根.因此，在解

分式方程時必須進行檢驗.

，句切、山10030

2、例2解方程：---=-----.

xx-1

解：方程兩邊同乘x(x-7),約去分母，得100(x-7)=30x.

解這個整式方程，得x=10.

檢驗：把戶10代入x(x-7),得10x(10-7)8

所以A10是原方程的解.

三、小結(jié)：

⑴、什么是分式方程？舉例說明；

⑵、解分式方程的一般步驟:在方程的兩邊都乘最簡公分母，約去分母,化為整式方程.解

這個整式方程，驗根，即把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是0,若結(jié)果不是0,

說明此根是原分式方程的根；若結(jié)果是0,說明此根是原分式方程的增根，必須舍去.

⑶、解分式方程為什么要進行驗根？怎樣進行驗根？

四、教學(xué)反思：

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16.3可化為一元一次方程的分式方程(2)

教學(xué)目標：

1、進一步熟練地解可化為一元一次方程的分式方程。

2、通過分式方程的應(yīng)用教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

教學(xué)重點：

讓學(xué)生學(xué)習(xí)審清題意設(shè)未知數(shù)，列分式方程。

教學(xué)難點：

在不同的實際問題中，設(shè)元列分式方程。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)并導(dǎo)入問題

1、復(fù)習(xí)練習(xí)

解下列方程：(1)-3-r=—4+^X--2；(2)-2+3-=7

x+1x+1x+322x+6

2、列方程解應(yīng)用題的一般步驟？

概括：這些解題方法與步驟，對于學(xué)習(xí)分式方程解應(yīng)用題也適用。這節(jié)課，我們將學(xué)習(xí)

列分式方程解應(yīng)用題。

二、實踐與探索：列分式方程解應(yīng)用題

例3某校招生錄取時，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯，2640名學(xué)生的成績數(shù)據(jù)分別由兩位程

序操作員各向計算機輸入一遍，然后讓計算機比較兩人的輸入是否一致.己知甲的輸入速度

是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時輸完.問這兩個操作員每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成

績？

解：設(shè)乙每分鐘能輸入x名學(xué)生的成績，則甲每分鐘能輸入2%名學(xué)生的成績，根據(jù)題

解得x=ll.

經(jīng)檢驗，x=ll是原方程的解.并且x=ll,2x=2xll=22,符合題意.

答：甲每分鐘能輸入22名學(xué)生的成績，乙每分鐘能輸入11名學(xué)生的成績.

強調(diào)：既要檢驗所求的解是否是原分式方程的解，還要檢驗所求得的解是否符合題意.

三、小結(jié)：

列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：

(1)審清題意；

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(2)設(shè)未知數(shù)(要有單位)；

(3)根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列出式子，找出相等關(guān)系，列出方程;

(4)解方程，并驗根，還要看方程的解是否符合題意；

(5)寫出答案(要有單位)。

五、教學(xué)反思：

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16.4.1零指數(shù)嘉與負整數(shù)指數(shù)塞

教學(xué)目標：

1、使學(xué)生掌握不等于零的零次辱的意義。

2、使學(xué)生掌握"-"=口("0,“是正整數(shù))并會運用它進行計算。

3、通過探索，讓學(xué)生體會到從特殊到一般的方法是研究數(shù)學(xué)的一個重要方法。

教學(xué)重點、難點：

不等于零的數(shù)的零次事的意義以及理解和運用負整數(shù)指數(shù)暴的性質(zhì)是本節(jié)課的重點也是難

點。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)并導(dǎo)入問題

問題1在介紹同底數(shù)幕的除法公式時，有一個附加條件：m>n,即被除數(shù)

的指數(shù)大于除數(shù)的指數(shù).當被除數(shù)的指數(shù)不大于除數(shù)的指數(shù)，即機=〃或川<”時，情況怎樣

呢？

二、探索1：不等于零的零次第的意義

先考察被除數(shù)的指數(shù)等于除數(shù)的指數(shù)的情況.例如，考察下列算式:52￡2,103X03,爐M5(存0)

一方面,如果仿照同底數(shù)幕的除法公式來計算,得52+52=52-2=5。，103^03=1()3一3=]00,

/子爐—a5-5—以々/)).

另一方面，由于這幾個式子的被除式等于除式，由除法的意義可知，所得的商都等于1.

概括：jG%零次第]

由此啟發(fā)，我們規(guī)定：5°=1,10°=1,a°=\(?#0).廠A沒有意義

這就是說：任何不等于零的數(shù)的零次幕都等于L—

三、探索2：負整數(shù)指數(shù)第

我們再來考察被除數(shù)的指數(shù)小于除數(shù)的指數(shù)的情況，例如考察下列算式：

52+55,1CP+107,

一方面，如果仿照同底數(shù)基的除法公式來計算，得

52+55=52'5=5-3,1。3+107=10+7=10-4.

另一方面，我們可利用約分，直接算出這兩個式子的結(jié)果為

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37

52+55=-=F-----r=—;10^-10=-7=—z------T=-T-.

5552X5353IO7103xl04104

概括：

由此啟發(fā)，我們規(guī)定：5-3=1，10-4=工

53104

一般地，我們規(guī)定：(存0,〃是正整數(shù)).

a

這就是說，任何不等于零的數(shù)的一〃(〃為正整數(shù))次第，等于這個數(shù)的〃次第的倒數(shù).

四、例題:

1、例1計算：(1)3-2；(2)x10-'.

2、例2用小數(shù)表示下列各數(shù):

(1)IO4；(2)2.1X105.

解：⑴1()4=Ro。。］

104

1

(2)2.1xl0-5=2.1x=2.1x0.00001=0.000021.

五、探索

現(xiàn)在，我們已經(jīng)引進了零指數(shù)辱和負整數(shù)指數(shù)累，指數(shù)的范圍已經(jīng)擴大到了全體整數(shù).

那么，在“哥的運算”中所學(xué)的幕的性質(zhì)是否還成立呢？與同學(xué)們討論并交流一下，判斷下列

式子是否成立.

(1)a2-a~3=?2+<-3)；(2)(“J尸=)"3；

(3)(a-3)2=#3)x2.⑷。2+〃-3=42-(-3).

六、小結(jié)：

1、引進了零指數(shù)基和負整數(shù)指數(shù)基，指數(shù)的范圍擴大到了全體整數(shù)，基的性質(zhì)仍然成立。

同底數(shù)累的除法公式am^an=am-n(a^tO,m>n)

當帆二〃時，,嚴：相=；當機<〃時，amjran=.

2、任何數(shù)的零次累都等于1嗎？(注意：零的零次塞無意義。)

3、規(guī)定以一"=￡，其中4,〃有沒有限制，如何限制。

七、教學(xué)反思：

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16.4.2科學(xué)記數(shù)法

教學(xué)目標：

1、會用科學(xué)計數(shù)法表示一些絕對值小于1的數(shù)；

2、運用科學(xué)計數(shù)法解決實際問題。

教學(xué)重點：

會用科學(xué)記數(shù)法表示一些絕對值小于1的數(shù)。

教學(xué)難點：有精確度要求的科學(xué)計數(shù)法。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)并導(dǎo)入問題

二、探索：科學(xué)記數(shù)法

我們曾用科學(xué)記數(shù)法表示一些絕對值較大的數(shù)，即利用10的正整數(shù)次哥，把一個絕對

值大于10的數(shù)表示成axion的形式，其中〃是正整數(shù)，1WI。I<10.例如，864000可以寫

成8.64x105

類似地，我們可以利用10的負整數(shù)次暴，用科學(xué)記數(shù)法表示一些絕對值較小的數(shù)，即

將它們表示成ax10川的形式，其中"是正整數(shù)，1W|a|<10.例如，上面例2(2)中的0.000

021可以表示成2.1X10-5.

例1：一個納米粒子的直徑是35納米，它等于多少米？請用科學(xué)記數(shù)法表示.

分析我們知道：1納米=—g米.

109

由=1CP可知，1納米=1()-9米.所以35納米=35x10-9米.

而35x10-9=(3,5x10)xlO-9=35xl01+(-9,=3.5xl0-8,

所以這個納米粒子的直徑為3.5x10*米.

三、小結(jié)：

科學(xué)記數(shù)法不僅可以表示一個絕對值大于10的數(shù)，也可以表示一些絕對值較小的數(shù).

在應(yīng)用中，要注意。必須滿足，10IaI<10.其中〃是正整數(shù)。

四、課后反思：

五、教學(xué)反思：

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17.1變量與函數(shù)(1)

教學(xué)目標

1.掌握常量和變量、自變量和因變量(函數(shù))基本概念.

2.了解表示函數(shù)關(guān)系的三種方法：解析法、列表法、圖象法，并會用解析法表示數(shù)量關(guān)系.

過程性目標

1.通過實際問題，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知，領(lǐng)悟函數(shù)基本概念的意義.

2.引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系代數(shù)式和方程的相關(guān)知識，繼續(xù)探索數(shù)量關(guān)系，增強數(shù)學(xué)建模意識，列出函

數(shù)關(guān)系式.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境

在學(xué)習(xí)與生活中，經(jīng)常要研究一些數(shù)量關(guān)系，先看下面的問題.

⑴這天的6時、10時和14時的氣溫分別為多少？任意給出這天中的某一時亥J,說出這一時

刻的氣溫.

(2)這一天中，最高氣溫是多少？最低氣溫是多少？

(3)這一天中，什么時段的氣溫在逐漸升高？什么時段的氣溫在逐漸降低？

解：(1)這天的6時、10時和14時的氣溫分別為-1℃、2℃、5℃.

(2)這一天中，最高氣溫是5℃,最低氣溫是一4℃.

(3)這一天中，3時?14時的氣溫在逐漸升高.0時?3時和14時?24時的氣溫在逐漸

降低.

從圖中我們可以看到，隨著時間f(時)的變化，相應(yīng)地氣溫7(℃)也隨之變化.那么在生活

中是否還有其它類似的數(shù)量關(guān)系呢？

二、探究歸納

問題2小蕾在過14歲生日的時候，看到了爸爸為她記錄的各周歲時的體重，如下表：

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周歲1234567891()II1213

體重(kg)7.912.215.618.420.723.025.628.531.234.037.641.244.9

觀察上表，說說隨著年齡的增長，小蕾的體重是如何變化的？在哪一段時間內(nèi)體重增加

得較快？

解：隨著年齡的增長，小蕾的體重也隨著增長，且在1-2歲增加得較快.

問題3收音機刻度盤的波長和頻率分別是用米(m)和千赫茲(kHz)為單位標刻的.下面是一

些對應(yīng)的數(shù)值：

波長/(m)30050060010001500

頻率鄧Hz)1000600500300200

觀察上表回答：

(1)波長/和頻率/數(shù)值之間有什么關(guān)系？

(2)波長/越大，頻率/就.

解：(1)/與/的乘積是一個定值，即『=300000,或者說7=3°,00.

(2)波長/越大，頻率f就越小.

問題4圓的面積隨著半徑的增大而增大.如果用/■表示圓的半徑，S表示圓的面積，則S與

，之間滿足下列關(guān)系：S=.

利用這個關(guān)系式，試求出半徑為1cm、1.5cm、2cm、2.6cm>3.2cm時圓的面積，并

將結(jié)果填入下表：

???

半徑r(cm)11.522.63.2

???

圓面積S(cm2)

由此可以看出，圓的半徑越大，它的面積就.

解：S=7rr.

半徑r(cm)11.522.63.2???

圓面積S(cm2)3.147.06512.5621,226432,1536???

圓的半徑越大，它的面積就越大.

在上面的問題中，我們研究了一些數(shù)量關(guān)系，它們都刻畫了某些變化規(guī)律.這里出現(xiàn)了

各種各樣的量，特別值得注意的是出現(xiàn)了一些數(shù)值會發(fā)生變化的量.例如問題1中，刻畫氣

溫變化規(guī)律的量是時間f和氣溫T,氣溫T隨著時間t的變化而變化，它們都會取不同的數(shù)

值.像這樣在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量，叫做變量(variable).

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上面各個問題中，都出現(xiàn)了兩個變量，它們互相依賴，密切相關(guān).一般地，如果在一個

變化過程中，有兩個變量，例如X和y,對于X的每一個值，y都有唯一的值與之對應(yīng)，我

們就說x是自變量(independentvariable),y是因變量(dependentvariable),此時也稱y是x

的函數(shù)(function).

表示函數(shù)關(guān)系的方法通常有三種：

(1)解析法，如問題3中的/=3°：°0°,問題4中的S=%產(chǎn)，這些表達式稱為函數(shù)的關(guān)系

式.

(2)列表法，如問題2中的小蕾的體重表，問題3中的波長與頻率關(guān)系表.

(3)圖象法，如問題1中的氣溫曲線.

問題的研究過程中，還有一種量，它的取值始終保持不變，我們稱之為常量(constant),如

問題3中的300000,問題4中的兀等.

在研究函數(shù)時，必須注意自變量的取值范圍.實際問題中，自變量的取值必須符合實際

意義.例如，上述問題4中，自變量r表示圓的半徑，不能為負數(shù)和零，即它的取值范圍為

一切正實數(shù).

三、實踐應(yīng)用

例1下表是某市2017年統(tǒng)計的中小學(xué)男學(xué)生各年齡組的平均身高：

年齡組(歲)789101112131415161718

平均身高(cm)117121125130135142148155162167170172

(1)從表中你能看出該市14歲的男學(xué)生的平均身高是多少嗎？

(2)該市男學(xué)生的平均身高從哪一歲開始迅速增加？

(3)上表反映了哪些變量之間的關(guān)系?其中哪個是自變量?哪個是因變量？

解：(1)平均身高是155cm；

(2)約從14歲開始身高增加得特別迅速；

(3)反映了該市男學(xué)生的平均身高和年齡這兩個變量之間的關(guān)系，其中年齡是自變量，平均

身高是因變量.

例2寫出下列各問題中的關(guān)系式，并指出其中的常量與變量，指出自變量的取值范圍：

(1)圓的周長C與半徑r的關(guān)系式；

(2)火車以60千米/時的速度行駛，它駛過的路程s(千米)和所用時間f(時)的關(guān)系式；

(3)〃邊形的內(nèi)角和S與邊數(shù)n的關(guān)系式.

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解：(1)C=2乃r,2乃是常量，八C是變量，r>0；

(2)5=60/,60是常量,八s是變量，侖0；

(3)5=(〃-2)x180,2、180是常量，〃、S是變量，n>3.

四、交流反思

1.函數(shù)的概念包含：

(1)兩個變量；

(2)兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

2.在某個變化過程中，可以取不同數(shù)值的量，叫做變量；數(shù)值始終保持不變的量，叫做

常量.例如x和y,對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，我們就說r是自變量，y

是因變量.

3.函數(shù)關(guān)系的三種表示方法：

(1)解析法；

(2)列表法；

(3)圖象法.

4.函數(shù)的取值范圍：

在研究函數(shù)時，必須注意自變量的取值范圍.實際問題中，自變量的取值必須符合實際

意義.

五、檢測反饋

1.舉3個日常生活中遇到的函數(shù)關(guān)系的例子.

2.分別指出下列各關(guān)系式中的變量與常量：

(1)三角形的一邊長為5cm,它的面積5?峭)與這邊上的高〃(cm)的關(guān)系式是S=-h；

2

(2)若直角三角形中的一個銳角的度數(shù)為a,則另一個銳角”與a間的關(guān)系式是￡=90—

a；

(3)若某種報紙的單價為a元，x表示購買這種報紙的份數(shù)，則購買報紙的總價y(元)與x

間的關(guān)系是：

3.寫出下列函數(shù)關(guān)系式，并指出式中的自變量與因變量：

(1)每個同學(xué)購一本代數(shù)教科書，書的單價是2元，求總金額丫(元)與學(xué)生數(shù)〃(個)的關(guān)

系；

(2)計劃購買50元的乒乓球，求所能購買的總數(shù)〃(個)與單價a(元)的關(guān)系.

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4.填寫如圖所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子橫向

的乘數(shù)，y表示縱向的乘數(shù)，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

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17.1變量與函數(shù)(2)

教學(xué)目標

1.掌握根據(jù)函數(shù)關(guān)系式直觀得到自變量取值范圍以及實際背景對自變量取值的限制.

2.掌握根據(jù)函數(shù)自變量的值求對應(yīng)的函數(shù)值.

過程性目標

1.使學(xué)生在探索、歸納求函數(shù)自變量取值范圍的過程中，增強數(shù)學(xué)建模意識；

2.聯(lián)系求代數(shù)式的值的知識，探索求函數(shù)值的方法.

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境

問題1

(1)填寫如圖所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？

(2)如果把這些涂黑的格子橫向的加數(shù)用x表示，縱向的加數(shù)用y表示，試寫出y與x的函數(shù)

關(guān)系式.

解：如圖能發(fā)現(xiàn)涂黑的格子成一條直線.函數(shù)關(guān)系式：y=10—x.

問題2試寫出等腰三角形中頂角的度數(shù)y與底角的度數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式.

解：y與x的函數(shù)關(guān)系式：y=180—2x.

問題3如圖，等腰直角AABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為10cm,AC與MN

在同一條直線上，開始時點A與點M重合，讓△ABC向右運動，最后點A與點N重合.試

寫出重疊部分面積ycm2與MA的長度xcm之間的函數(shù)關(guān)系式.

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解：y與X的函數(shù)關(guān)系式：y=

二、探究歸納

思考：(1)在上面的問題中所出現(xiàn)的各個函數(shù)中，自變量的取值有限制嗎？如果有，寫出它

的取值范圍.

(2)在上面問題1中，當涂黑的格子橫向的加數(shù)為3時，縱向的加數(shù)是多少？當縱向的加數(shù)

為6時，橫向的加數(shù)是多少？

分析：問題1,觀察加法表中涂黑的格子的橫向的加數(shù)的數(shù)值范圍.

問題2,因為三角形的內(nèi)角和是180。,所以等腰三角形的底角的度數(shù)x不可能大于或等于90。.

問題3,開始時點A與點M重合，的長度為0cm,隨著△ABC不斷向右運動的過程中，

MA的長度逐漸增長，最后點4與點N重合時，MA的長度達到10cm.

解：(1)問題1,自變量x的取值范圍是：上爛9；

問題2,自變量x的取值范圍是：0<xV90；

問題3,自變量x的取值范圍是：0SE10.

(2)當涂黑的格子橫向的加數(shù)為3時，縱向的加數(shù)是7；當縱向的加數(shù)為6時，橫向的加數(shù)是

4.

上面例子中的函數(shù)，都是利用解析法表示的，又例如：s=60r,SfRL

在用解析式表示函數(shù)時，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義.在確定函數(shù)中自變量的

取值范圍時，如果遇到實際問題，不必使實際問題有意義.例如，函數(shù)解析式S=4?2中自變

量R的取值范圍是全體實數(shù)，如果式子表示圓面積S與圓半徑R的關(guān)系，那么自變量R的取值

范圍就應(yīng)該是R>0.

對于函數(shù)y=x(30—x),當自變量x=5時，對應(yīng)的函數(shù)y的值是y=5x(30-5)=5x25=125.

125叫做這個函數(shù)當x=5時的函數(shù)直

三、實踐應(yīng)用

例1求下列函數(shù)自變量x的取值范圍：

(l)>-=3x-l；(2)y=2x2+7；(3)y=—；(4)y=Jx-2.

x+2

分析：用數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)，一般來說，自變量只能取使式子有意義的值.例如，在(1),

(2)中，x取任意實數(shù)，3x—1與常+7都有意義；而在(3)中，x=-2時，」一沒有意義；

x+2

在(4)中，x<2時，Jx-2沒有意義.

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解：(l)x的取值范圍是任意實數(shù)：(2)x的取值范圍是任意實數(shù)；

(3)x的取值范圍是在一2；(4)x的取值范圍是x>2.

歸納：四個小題代表三類題型.(1),(2)題給出的是只含有一個自變量的整式；(3)題給出的是

分母中只含有一個自變量的式子；(4)題給出的是只含有一個自變量的二次根式.

例2分別寫出下列各問題中的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍：

(1)某市民用電費標準為每度0.50元，求電費)，(元)關(guān)于用電度數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)已知等腰三角形的面積為20cm2,設(shè)它的底邊長為x(cm),求底邊上的高>(cm)關(guān)于x的

函數(shù)關(guān)系式；

⑶在一個半徑為10cm的圓形紙片中剪去一個半徑為《cm)的同心圓，得到一個圓環(huán).設(shè)圓環(huán)

的面積為S(cm2),求S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式.

解：(l)y=0.50x,x可取任意正數(shù)；

40

(2)y=—，x可取任意正數(shù)；

x

(3)5=100乃一萬產(chǎn)，r的取值范圍是0<r<10.

例3在上面的問題(3)中，當AM=lcm時，重疊部分的面積是多少？

解：設(shè)重疊部分的面積為ycm?,歷4的長為xcm,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

2

V=-1X.

2

當X=1時，V=—XI2=—.

-22

所以當M4=lcm時，重疊部分的面積是'em?.

2

例4求下列函數(shù)當x=2時的函數(shù)值：

(l)y=2x-5；(2)y=-3x2；

2____

(3)y=——-；(4)y=.

x-\

分析：函數(shù)值就是y的值，因此求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值.

解：⑴當x=2時，^=2x2-5=-!；

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(2)當x=2時，y=-3x22=-12；

2

(3)當x=2時，y=------=2；

2-1

(4)當x=2時，y=V2-2=0.

四、交流反思

1.求函數(shù)自變量的取值范圍的兩個依據(jù)：

(1)要使函數(shù)的解析式有意義.

①函數(shù)的解析式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

②函數(shù)的解析式分母中含有字母時，自變量的取值應(yīng)使分母不等于零；

③函數(shù)的解析式是二次根式時，自變量的取值應(yīng)使被開方數(shù)大于零.

(2)對于反映實際問題的函數(shù)關(guān)系，應(yīng)使實際問題有意義.

2.求函數(shù)值的方法：把所給出的自變量的值代入函數(shù)解析式中，即可求出相應(yīng)的函數(shù)值.

五、檢測反饋

1.分別寫出下列各問題中的函數(shù)關(guān)系式，并指出式中的自變量與函數(shù)以及自變量的取值范

圍：

(1)一個正方形的邊長為3cm,它的各邊長減少xcm后，得到的新正方形的周長為ycm.求y

和x間的關(guān)系式；

(2)寄一封質(zhì)量在20克以內(nèi)的市內(nèi)平信，需郵資0.60元，求寄"封這樣的信所需郵資M元)

與n間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)矩形的周長為12cm,求它的面積S(cm2)與它的一邊長x(cm)間的關(guān)系式，并求出當一邊

長為2cm時這個矩形的面積.

2.求下列函數(shù)自變量x的取值范圍：

(l)y=—Zv—5x2；(3)y=x(x+3)；

6xr------

(3)y---------；(4)y=j2x-l.

x+3

3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在時間/(秒)滑下的距離s(米).由下式給出：s=10/+2產(chǎn).假如滑

到坡底的時間為8秒，試問坡長為多少？

4.當x=2及x=—3時，分別求出下列函數(shù)的函數(shù)值：

x+2

(l)y=(x+l)(x-2)；(2)y=2x2-3x+2；(3)y=--.

x-\

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17.2函數(shù)的圖象

第一課時函數(shù)的圖象(一)

教學(xué)目標

使學(xué)生理解函數(shù)的圖象是由許多點按照一定的規(guī)律組成的圖形，能夠在平面直角坐

標系內(nèi)畫出簡單函數(shù)的圖象.

教學(xué)過程

一、引入課題

問題：右邊的氣溫曲線圖給了我們許多信息，例如，哪一時刻的氣溫最高，哪一時刻的

氣溫最低，早上6點的氣溫是多少？也許許多同學(xué)都可以看出fT(t)

來，那么請同學(xué)們說說你是如何從上面的氣溫曲線圖中知道a,

這些信息的.待同學(xué)回答完畢，教師給予解釋：寸......*ZK皿

,4-：、時也

在上面的圖形中，有一個直角坐標系，它的橫軸表示時間；-j也罵胸例小乎一

它的縱軸表示氣溫，這一氣溫曲線圖實質(zhì)上給出某日氣溫尸二

T(℃)與時間t(時)的函數(shù)關(guān)系，因為對于一日24小時的任

何一刻，都有惟一的溫度與之對應(yīng)。例如，上午10時的氣溫

是2℃,表現(xiàn)在曲線上，就可以找到這樣的對應(yīng)點，它的坐標(10,2),也就是說，當t=10

時，對應(yīng)的函數(shù)值T=2.由于坐標平面上的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的關(guān)系，因此，氣

溫曲線圖是由許許多多的點(t,T)組成的。

二、函數(shù)的圖象

1.函數(shù)的圖象是由直角坐標系中的一系列點組成，圖象上的每一點的坐標(x,y)代表了函數(shù)

的一對對應(yīng)值，即把自變量x與函數(shù)值y的每一對對應(yīng)值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在

直角坐標系中描出相應(yīng)的點，這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象。

2.畫函數(shù)的圖象

例1.畫出函數(shù)y=x'的圖象

分析：要畫出一個函數(shù)的圖象，關(guān)鍵是要畫出圖象上的一些點，為此，要取一些自變量

的值，并求出對應(yīng)的函數(shù)值.

第一步，列表。第二步，描點。第三步，連線。

用光滑曲線依次把這些點連起來，便可得到這個函數(shù)的圖象。

三、課堂練習(xí)

四、小結(jié)

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1.函數(shù)圖象上的點的坐標是函數(shù)的自變量與函數(shù)值的一對對應(yīng)值。2.根據(jù)列表、描點、

連線這三個步驟畫出函數(shù)的圖象.

五、教學(xué)反思：

第二課時函數(shù)的圖象（二）

教學(xué)目標

通過觀察函數(shù)的圖象，深刻領(lǐng)會函數(shù)中兩個變量的關(guān)系，能夠從所給的圖象中獲取信息，從

而解答一些簡單的實際問題.

教學(xué)過程

一、從所給的函數(shù)圖象中獲取信息

例1、王教授和孫子小強經(jīng)常一起進行早鍛煉，主要活動

是爬山.有一天，小強讓爺爺先上，然后追趕爺爺；右圖中

兩條線段分別表示小強和爺爺離開山腳的距離y（米）與爬

山所用時間x（分）的關(guān)系（從小強開始爬山時計時），看圖回

答下列問題：

1.小強讓爺爺先上多少米？

2.山頂距離山腳多少米?誰先爬上山頂?

3.小強經(jīng)過多長時間追上爺爺?

分析：從題意可以知道，線條①表達了小強離開山腳的距離與爬山所用時間的關(guān)系，線

條②表達了爺爺離開山腳的距離與爬山所用時間的關(guān)系（這兩條線并不是小強與爺爺?shù)呐郎?/p>

路線）。剛開始計時時，爺爺己經(jīng)在小強的前方60米處，小強讓爺爺先上60米；從上圖來

看，山頂距離山腳300米，因為小強登上山頂用的時間比爺爺用的少，所以，小強比爺爺先

登上山頂；小強經(jīng)過8分鐘追上爺爺。

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例2.如圖表示某學(xué)校秋游活動時?，學(xué)生乘坐旅游車所行走的路程與

時間的關(guān)系的示意圖，請根據(jù)示意圖回答下列問題:

1.學(xué)生何時下車參觀第一風(fēng)景區(qū)?參觀時間有多長?

2.11:00時該車離開學(xué)校有多遠?

3.學(xué)生何時返回學(xué)校，返回學(xué)校時車的平均速度是多少?

分析：從圖象上可以看出，該校學(xué)生上午8點出發(fā)，8點到9點、

到16點這些時段路程有發(fā)生變化，說明學(xué)生是在路途中，而9點到10點半、11點半到14

點這兩個時段的路程沒有發(fā)生變化，說明學(xué)生在參觀景區(qū)或休息。如果同學(xué)們能夠從圖象上

獲取這些信息，對于上述的幾個問題就容易得到解決。

二、課堂練習(xí)

三、小結(jié)

本節(jié)課進一步認識函數(shù)的圖象，懂得如何從函數(shù)的圖象中獲取我們所要的信息，希望同學(xué)們

多觀察圖象，應(yīng)用所學(xué)的知識來獲得信息，解決問題.

四、教學(xué)反思：

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課題名稱17.3.1一次函數(shù)

教學(xué)目標1.經(jīng)歷探索的過程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力.

2.理解一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念.

3.能根據(jù)已知條件，寫出簡單的一次函數(shù)表達式，進一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)

學(xué)應(yīng)用能力.

教學(xué)重點理解一次函數(shù)和正比例函教學(xué)難點能根據(jù)條件寫出簡單的函數(shù)

數(shù)的概念.表達式

創(chuàng)設(shè)問題情境