人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題11.7期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題十大題型總結(jié)(學(xué)生版+解析)(七年級(jí)下冊(cè))

專題11.7期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題十大題型總結(jié)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1相交線中的旋轉(zhuǎn)問題】 1【題型2平行線中的定值問題】 3【題型3平行線中探究角度之間的關(guān)系】 5【題型4估算無理數(shù)的大小】 6【題型5實(shí)數(shù)的應(yīng)用】 7【題型6平面直角坐標(biāo)系中的面積問題】 9【題型7二元一次方程組與不等式組的綜合】 11【題型8新定義問題】 11【題型9閱讀理解問題】 13【題型10規(guī)律探究問題】 15【題型1相交線中的旋轉(zhuǎn)問題】【例1】（2024七年級(jí)·內(nèi)蒙古赤峰·期末）點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，射線OC從OA出發(fā)繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到OB停止，設(shè)∠AOC=α（0°≤α≤180°），射線OD⊥OC，作射線OE平分∠BOD．(1)如圖1，若α=40°，且OD在直線AB的上方，求∠DOE的度數(shù)（要求寫出簡(jiǎn)單的幾何推理過程）．(2)射線OC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖2，當(dāng)射線OD在直線AB的下方時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)你用含α的代數(shù)式表示∠DOE的度數(shù)，（要求寫出簡(jiǎn)單的幾何推理過程）．(3)射線OC從OA出發(fā)繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OB，在旋轉(zhuǎn)過程中你發(fā)現(xiàn)∠DOE與∠AOC（0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOB≤180°）之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你直接用含α的代數(shù)式表示【變式1-1】（2024七年級(jí)·浙江紹興·期末）張老師將教鞭和直角三角板放在量角器上．如圖①，MN是量角器的直徑，點(diǎn)O是圓心，教鞭OC與OM重合，直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OB與ON重合，∠AOB=30°．如圖②，現(xiàn)將教鞭OC繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)將直角三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OC與ON重合時(shí)，三角板和教鞭OC同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，求∠AON的度數(shù)（用含t的代數(shù)式表示）．(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，OA⊥MN．(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線OC，OA，OB中的兩條射線組成的角（指大于0°而不超過180°的角）恰好被第三條射線平分，求出此時(shí)t的值．【變式1-2】（2024七年級(jí)·陜西西安·期末）問題提出已知一副直角三角尺按如圖1方式拼接在一起，其中OC與直線MN重合，∠AOB=45°，∠AOM=∠COD=30°．（1）在圖1中，∠BOD的度數(shù)為______．問題探究（2）如圖1，三角尺COD固定不動(dòng)，將三角尺AOB繞著點(diǎn)O以每秒4°的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角尺均在直線MN的上方．設(shè)三角尺AOB的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)OB平分∠AOD時(shí)，請(qǐng)求出t的值．問題解決（3）如圖1，若三角尺AOB繞著點(diǎn)O以每秒4°的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角尺COD也繞著點(diǎn)O以每秒1°的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角尺均在直線MN的上方，且當(dāng)三角尺AOB停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角尺COD也停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)三角尺AOB的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時(shí)刻∠AOD=2∠BOC？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式1-3】（2024七年級(jí)·浙江金華·期末）如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，∠AOC=30°，將一個(gè)含有60°角的直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，較長的直角邊OM在射線OB上，較短的直角邊ON在直線AB的下方．【操作一】：將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O以每秒12°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．當(dāng)它完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．（1）圖1中與∠BOC互補(bǔ)的角有．（2）當(dāng)ON⊥OC，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間t．【操作二】：如圖2將一把直尺的一端點(diǎn)也放在點(diǎn)O處，另一端點(diǎn)E在射線OC上．如圖3，在三角尺繞著點(diǎn)O以每秒3x度的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，直尺也繞著點(diǎn)O以每秒x度的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一方完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，另一方也停止旋轉(zhuǎn)．試探索：在三角尺與直尺旋轉(zhuǎn)的整個(gè)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得∠COM與∠AOE這兩個(gè)角中，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的一半？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足題意時(shí)∠COM的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．你的答案是：．

【題型2平行線中的定值問題】【例2】（2024七年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB和CD之間，且在直線BD的左側(cè)，∠ABE=1(1)如圖1，求∠BED的度數(shù)（用含α的式子表示）；(2)連接BD，過點(diǎn)E作EF∥BD，交AB于點(diǎn)F，動(dòng)點(diǎn)G在射線BE上，①如圖2，若k=5，DG平分∠BDE，判斷DG與BE的位置關(guān)系并說明理由．②連接DF，若∠DFE=12∠DFB，DG⊥BE于點(diǎn)G，是否存在常數(shù)k，使∠FDG【變式2-1】（2024七年級(jí)·福建漳州·期末）已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、

(1)如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數(shù)．(2)在（1）的條件下，已知∠BMG的平分線MH交∠GND的平分線NH于點(diǎn)H，求∠MHN的度數(shù)．(3)如圖2，若點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MT平分∠BMP，NC平分∠TNP，已知∠BMT=40°，證明：∠MTN?∠P為定值．【變式2-2】（2024七年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖1，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A、B在直線l1上，點(diǎn)C、D在l2上，線段AD交線段(1)求證：∠ABE+∠EDC=60°；(2)如圖2，當(dāng)F、G分別在線段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，標(biāo)記∠BFE為∠1，∠BGD為∠2．①若∠1?∠2=16°，求∠ADC的度數(shù)；②當(dāng)k=________時(shí)，k∠1+∠2為定值，此時(shí)定值為________．【變式2-3】（2024七年級(jí)·湖南長沙·期末）如圖，兩個(gè)形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）①如圖1，∠DPC＝度．②我們規(guī)定，如果兩個(gè)三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個(gè)三角形為“孿生三角形”，如圖1，三角板BPD不動(dòng)，三角板PAC從圖示位置開始每秒10°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（0°<旋轉(zhuǎn)<360°），問旋轉(zhuǎn)時(shí)間t為多少時(shí)，這兩個(gè)三角形是“孿生三角形”．（2）如圖3，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速3°/秒，同時(shí)三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2°/秒，在兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)）．設(shè)兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，以下兩個(gè)結(jié)論：①∠CPD∠BPN為定值；②∠BPN+∠CPD【題型3平行線中探究角度之間的關(guān)系】【例3】（2024七年級(jí)·湖南長沙·期末）如圖1，AB∥CD，G為(1)若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求證：(2)如圖2，若∠AEP=25∠AEF，∠CFP=25∠EFC，且FP的延長線交∠AEP的角平分線于點(diǎn)(3)如圖3，若點(diǎn)H是射線EB之間一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)G平分∠EFH，MF平分∠EFC，過點(diǎn)G作GQ⊥FM于點(diǎn)Q，請(qǐng)猜想∠EHF與【變式3-1】（2024七年級(jí)·湖南株洲·期末）已知：MN∥PQ，點(diǎn)A，B分別在MN，PQ上，點(diǎn)

(1)如圖1，若∠MAC=45°，∠PBC=43°，求(2)如圖2，AD，BD，AE，(3)在（2）的條件下，如圖3，過點(diǎn)D作DA的垂線交PQ于點(diǎn)G，點(diǎn)F在PQ上，∠FDA=2∠FDB，F(xiàn)D的延長線交EA的延長線于點(diǎn)H，若3∠C=4∠E，猜想∠H與∠GDB的倍數(shù)關(guān)系并證明．【變式3-2】（2024七年級(jí)·廣東廣州·期末）點(diǎn)A，C，E在直線l上，點(diǎn)B不在直線l上，把線段AB沿直線l向右平移得到線段CD．（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段AC上，求證：∠B+∠D=∠BED；（2）若點(diǎn)E不在線段AC上，試猜想并證明∠B，∠D，∠BED之間的等量關(guān)系；（3）在（1）的條件下，如圖2所示，過點(diǎn)B作PB//ED，在直線BP，ED之間有點(diǎn)M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同時(shí)點(diǎn)F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，設(shè)∠BMD=m，利用（1)中的結(jié)論求∠BFD的度數(shù)（用含m，n的代數(shù)式表示）．【變式3-3】（2024七年級(jí)·浙江·期末）已知a//b，直角△ABC的邊與直線a分別相交于O、G兩點(diǎn)，與直線b分別交于E，F(xiàn)點(diǎn)，且∠ACB=90°．（1）將直角△ABC如圖1位置擺放，如果∠AOG=56°，則∠CEF=________；（2）將直角△ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點(diǎn)，∠NEF+∠CEF=180°，請(qǐng)寫出∠NEF與∠AOG之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）將直角△ABC如圖3位置擺放，若∠GOC=135°，延長AC交直線b于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是射線GF上一動(dòng)點(diǎn)，探究∠POQ,∠OPQ與∠PQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【題型4估算無理數(shù)的大小】【例4】（2024七年級(jí)·吉林長春·期末）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道2是無理數(shù)，而無理是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用2?1來表示2的小數(shù)部分，事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)?的整數(shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是2的小數(shù)部分，又例如：∵23<72<3請(qǐng)解答（1）11的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是_______。（2）如果5的小數(shù)部分為a，41的整數(shù)部分為b，求a+b?5（3）已知x是3+5的整數(shù)部分，y是其小數(shù)部分，直接寫出x?y【變式4-1】（2024七年級(jí)·福建莆田·期末）閱讀下面的文字,解答問題:大家知道2是無理數(shù),而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此2的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來,而1＜2＜2于是可用2?1來表示(1)21的整數(shù)部分是_______，小數(shù)部分是_________；(2)如果7的小數(shù)部分為a，15的整數(shù)部分為b，求a+b?(3)已知:100+110=x+y，其中x是整數(shù),且0＜y＜1，求【變式4-2】（2024七年級(jí)·浙江杭州·期末）確定一個(gè)用算術(shù)平方根表示的數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分時(shí)，可以用如下辦法：例如11，因?yàn)?<11<16，所以9<11<16，即3<11<4．故11的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是11?3．又例如50，因?yàn)?9<50<64，所以49（1）確定10的整數(shù)部分和小數(shù)部分；（2）若9+13的小數(shù)部分為a，9?13的小數(shù)部分為b，求【變式4-3】（2024七年級(jí)·山西·期末）閱讀理解，回答問題.我們都知道3是無理數(shù)，因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此不可能把3的小數(shù)部分全部寫出來，于是小磊用3?1表示3（1）5的小數(shù)部分是；（2）已知m是正整數(shù)，m是一個(gè)無理數(shù)，且m?3表示m①m的取值范圍是；②當(dāng)m是5的倍數(shù)時(shí)，求m?14+2m【題型5實(shí)數(shù)的應(yīng)用】【例5】（2024七年級(jí)·河南周口·期末）座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為T=2πl(wèi)g，其中T表示周期（單位：s），l表示擺長（單位：m）．假如一臺(tái)座鐘的擺長為0.2m．（π取3，(1)求擺針擺動(dòng)的周期．(2)如果座鐘每擺動(dòng)一個(gè)來回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？【變式5-1】（2024七年級(jí)·全國·課后作業(yè)）用電器的電阻R、功率P與它兩端的電壓U之間有關(guān)系：P=U2R．有兩個(gè)外觀完全相同的用電器，甲的電阻為18.4Ω，乙的電阻為20.8Ω【變式5-2】（2024七年級(jí)·北京·期末）“說不完的2”探究活動(dòng)，根據(jù)各探究小組的匯報(bào)，完成下列問題．(1)2到底有多大？下面是小欣探索2的近似值的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：我們知道面積是2的正方形邊長是2，且2>1.4．設(shè)2由面積公式，可得x2+______因?yàn)閤值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即(2)怎樣畫出2？請(qǐng)一起參與小敏探索畫2過程．現(xiàn)有2個(gè)邊長為1的正方形，排列形式如圖（1），請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．小敏同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長為xx>0．依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有x2=2請(qǐng)參考小敏做法，現(xiàn)有5個(gè)邊長為1的正方形，排列形式如圖（3），請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程．【變式5-3】（2024七年級(jí)·安徽蚌埠·期末）如圖，長方形ABCD的長為2cm，寬為1（1）將長方形ABCD進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睿ó嫵龇指罹€），使分割后的圖形能拼成一個(gè)正方形，并畫出所拼的正方形；（標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)和數(shù)據(jù)）（2）求所拼正方形的邊長．【題型6平面直角坐標(biāo)系中的面積問題】【例6】（2024七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A?4,2，B4,0，將線段OA平移后得到線段CD，點(diǎn)C在y軸上，連接BD、AD，AD交y軸于點(diǎn)M，

(1)直接寫出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)N為線段AM上一點(diǎn)，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為t，連接ON、NC，用含t的式子表示三角形CON的面積（不要求寫出t取值范圍）；(3)在（2）的條件下，線段CD與線段EF重合（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，點(diǎn)D與點(diǎn)F重合），將線段EF沿y軸向下平移，連接AE、DE、BE、BF、BD，當(dāng)三角形ADE的面積比三角形BEF的面積大2時(shí)，DF=MN，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【變式6-1】（2024七年級(jí)·廣東汕頭·期末）如圖，在長方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為a，0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0，b，且a，b滿足a?4+

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)3.5秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；(2)在移動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為4個(gè)單位長度時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間；(3)在移動(dòng)過程中，當(dāng)△OBP的面積是10時(shí)，求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間．【變式6-2】（2024七年級(jí)·云南保山·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Aa,0，Bb,0，其中a，b滿足(1)填空：a＝______，b＝______；(2)如果在第三象限內(nèi)有一點(diǎn)M?4,n，請(qǐng)用含n的式子表示三角形ABM(3)在（2）的條件下，當(dāng)n=?4時(shí)，線段MB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)C0,?2，在y軸上有一點(diǎn)P，使得三角形BMP的面積與三角形ABM的面積相等，請(qǐng)求出點(diǎn)P【變式6-3】（2024七年級(jí)·河南信陽·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(0，a)，B(b，0)，且a、b滿足|2a?b?6|+a+2b?13=0，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，連接AB、(1)如圖1，若△AOC的面積是△AOB面積的34倍，求點(diǎn)C(2)如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OB方向移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度在AO間往返移動(dòng)，即先沿AO方向移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O反向移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，四邊形ACQB與△ABP的面積分別記為S1、S2，若存在時(shí)間t(0≤t≤5)使S1＝4S2，直接寫出【題型7二元一次方程組與不等式組的綜合】【例7】（2024七年級(jí)·福建廈門·期末）已知在方程組3x+2y=m+22x+y=m?1中，x、y(1)求出x、y的值（用含m代數(shù)式表示）；(2)求出m的取值范圍；(3)當(dāng)m為何正整數(shù)時(shí)，求：s=2x?3y+m的最大值？【變式7-1】（2024七年級(jí)·重慶開州·期末）若一個(gè)兩位數(shù)M的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，其中1≤a≤9，1≤b≤9，規(guī)定s=a+b，t=2a?b，F(xiàn)m=s+t(1)求F23和F(2)若一個(gè)兩位數(shù)P滿足個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大2，另一個(gè)兩位數(shù)Q滿足個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字的2倍少1，規(guī)定K=FP?3FQ，當(dāng)【變式7-2】（2024七年級(jí)·福建福州·期末）若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足x+y=2a?b?5x?y=b?5(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?2,?1)，求a，b的值；(2)若點(diǎn)P在第二象限，且符合要求的整數(shù)a只有五個(gè)，求b的取值范圍；(3)若點(diǎn)P為不在x軸上的點(diǎn)，且關(guān)于z的不等式y(tǒng)z+3x+15>0的解集為z<35，求關(guān)于t的不等式【變式7-3】（2024七年級(jí)·湖北宜昌·期末）某研學(xué)基地為激發(fā)來研學(xué)學(xué)生參與活動(dòng)的積極性，經(jīng)常組織競(jìng)賽活動(dòng)，并購買保溫杯和臺(tái)燈作為獎(jiǎng)品獎(jiǎng)勵(lì)學(xué)生．該基地在某超市購買保溫杯、臺(tái)燈若干次，其中前兩次購買時(shí)，均按標(biāo)價(jià)購買；成為老顧客后，從第三次購買開始，保溫杯、臺(tái)燈同時(shí)以相同折扣數(shù)的打折價(jià)購買．前三次購買保溫杯、臺(tái)燈的數(shù)量及費(fèi)用如下表所示：購買保溫杯的數(shù)量/個(gè)購買臺(tái)燈的數(shù)量/個(gè)購買總費(fèi)用/元第一次購買54800第二次購買37940第三次購買98912(1)求保溫杯、臺(tái)燈的標(biāo)價(jià)；(2)某日，甲、乙兩校師生同時(shí)來到該基地研學(xué)，基地為兩校組織了一次陶泥制作比賽，并頒發(fā)獎(jiǎng)品20個(gè)保溫杯和10個(gè)臺(tái)燈（均按打折價(jià)購買），甲、乙兩校各獲得15個(gè)獎(jiǎng)品，甲校所獲獎(jiǎng)品的購買金額不低于800元，乙校所獲獎(jiǎng)品的購買金額不低于750元，求甲、乙兩校分別獲得保溫杯和臺(tái)燈各多少個(gè)？【題型8新定義問題】【例8】（2024七年級(jí)·湖南長沙·期末）新定義：對(duì)于實(shí)數(shù)x，我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[1.4]=1，[2]=2，[?3.5]=?4，試解決下列問題：(1)填空：①[π]=________(π為圓周率），②如果[x?2]=3，則實(shí)數(shù)x的取值范圍________；(2)若點(diǎn)P(x,y)位于第一象限，其中x，y是方程組x+y=[a]+23x+4y=6[a]+3的解，求a(3)若f(k)=[k+14]?[k4①f（1）=0；

②f(k+4)=f(k)；

③f(k+1)?f(k)；

④f(k)=0或1．正確的有________（填序號(hào)）．【變式8-1】（2024七年級(jí)·江西贛州·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：點(diǎn)A到x軸、y軸距離的較大值稱為點(diǎn)A的“長距”，當(dāng)點(diǎn)P的“長距”等于點(diǎn)Q的“長距”時(shí)，稱P，Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”．

(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為?3,1．①則點(diǎn)A的“長距”是．②在點(diǎn)E0,3，F(xiàn)3,?3，G2,?5③若點(diǎn)B的坐標(biāo)為B2,m+6，且A，B兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則m(2)若T1?1,?k?3，T2【變式8-2】（2024七年級(jí)·廣東廣州·期末）對(duì)a，b定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均為非零實(shí)數(shù)）．例如：T（1，1）＝3x+3y．（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；（2）已知關(guān)于x，y的方程組T1，?1=3?aT0，2=8a，若a（3）在（2）的條件下，已知平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)A（x，y）落在坐標(biāo)軸上，將線段OA沿x軸向右平移2個(gè)單位，得線段O′A′，坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)B滿足三角形BOA′的面積為9，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．【變式8-3】（2024七年級(jí)·江蘇揚(yáng)州·期末）對(duì)x、y定義了一種新運(yùn)算T，規(guī)定Tx,y=ax+by2x+y（其中a，已知T1,?1=?2，（1）求a，b的值；（2）求T?2,2（3）若關(guān)于m的不等式組T2m,5?4m≤4T【題型9閱讀理解問題】【例9】（2024七年級(jí)·山東日照·期末）（1）閱讀下面材料：已知：如圖1，AB∥CD，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE，得到∠AEC．求證：解答過程如下，并請(qǐng)你在括號(hào)內(nèi)填寫推理的依據(jù)：過點(diǎn)E作EF∥則有∠AEF+∠A=180°（______）．∵AB∥∴EF∥∴∠FEC+∠C=180°（______）．∴∠AEF+∠A+∠FEC+∠C=360°,又∵∠AEC=∠AEF+∠FEC∴∠AEC+∠A+∠C=360°．假若將具有圖1特征的圖形稱為“平行凸折線”，“平行凸折線”的性質(zhì)可以表述如下：若AB∥CD，E為AB，CD（2）已知：直線m∥n，點(diǎn)A，B在直線m上，點(diǎn)C，D在直線n上，連接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直線交于點(diǎn)①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，若∠ADC=80°，∠BED=160°，請(qǐng)你結(jié)合（1）中“平行凸折線”的性質(zhì)，求∠ABC的度數(shù)；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC=α，∠ADC=β，請(qǐng)直接寫出∠BED的度數(shù)（用含有α，β的式子表示）．【變式9-1】（2024七年級(jí)·重慶九龍坡·期末）閱讀材料：已知關(guān)于x，y的二元一次方程mx+ny=c有一組整數(shù)解x=x0y=y0，則方程mx+ny=c的全部整數(shù)解可表示為x=小明參考閱讀材料，解決該問題如下：解：該方程一組整數(shù)解為x0=6y0=9因?yàn)??19t>09+7t>0，解得因?yàn)閠為整數(shù)，所以t=0或-1．所以該方程的正整數(shù)解為x=6y=9和x=25通過你所知曉的知識(shí)，請(qǐng)解決以下問題：(1)方程3x-5y=11的全部整數(shù)解表示為：x=2+5ty=θ+3t（t(2)請(qǐng)你參考小明的解題方法，求方程2x+3y=24的全部正整數(shù)解；(3)若a，b均為正整數(shù)，試判斷二元一次方程組2x+3y=24ax+by=24【變式9-2】（2024七年級(jí)·重慶·期末）數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：39．眾人感覺十分驚奇，請(qǐng)華羅庚給大家解讀其中的奧秘．你知道怎樣迅速準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的問題試一試：①∵31000=10，3∴10<359319<100②∵59319的個(gè)位數(shù)是9，又∵93=729③如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而327<359<(1)現(xiàn)在換一個(gè)數(shù)13824，按這種方法求立方根，請(qǐng)完成下列填空．①它的立方根是位數(shù)；②它的立方根的個(gè)位數(shù)是；③它的立方根的十位數(shù)是；④13824的立方根是．(2)根據(jù)計(jì)算步驟，請(qǐng)計(jì)算3195112【變式9-3】（2024七年級(jí)·福建廈門·期末）閱讀：一動(dòng)點(diǎn)沿著數(shù)軸向右平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，相當(dāng)于向右平移1個(gè)單位，用實(shí)數(shù)加法表示為3(2)1．若坐標(biāo)平面上的點(diǎn)作如下平移：沿x軸方向平移的數(shù)量為a（向右為正，向左為負(fù)，平移a個(gè)單位），沿y軸方向平移的數(shù)量為b（向上為正，向下為負(fù)，平移b個(gè)單位），則把有序數(shù)對(duì){a，b}叫做這一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}與“平移量”{c，d}的加法運(yùn)算法則為{a，b}{c，d}{ac，bd}．解決問題：（1）計(jì)算：3,1+（2）動(dòng)點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把動(dòng)點(diǎn)P按照“平移量”{1，2}平移到C．再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置還是點(diǎn)B．請(qǐng)你在圖1中畫出四邊形OABC；（3）如圖2，一艘船從碼頭O出發(fā)，先航行到湖心島碼頭P(2,3)，再從碼頭P航行到碼頭Q(5,5)，最后回到出發(fā)點(diǎn)O．請(qǐng)用“平移量”加法算式表示它的航行過程．

【題型10規(guī)律探究問題】【例10】（2024七年級(jí)·浙江杭州·期末）觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：（1）2≈1.414，200≈14.14，0.03≈0.1732，3≈1.732，由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向______移動(dòng)______位．（2）已知15≈3.873，1.5≈1.225，則150≈（3）31=1，31000小數(shù)點(diǎn)的變化規(guī)律是_______________________．（4）已知310≈2.154，3y【變式10-1】（2024七年級(jí)·浙江·期末）電子蜘蛛在邊長為1的正方形網(wǎng)格上織網(wǎng)，若電子蜘蛛從P1a,b出發(fā)，先爬到P2?b+2,a?2，再下一步爬到P3?a?2（1）若P3?5,3則P1（2）分別取P1坐標(biāo)0,0（3）在電子蜘蛛織網(wǎng)過程中，第n步的坐標(biāo)Pn?5,3，請(qǐng)你寫出第1步（4）進(jìn)一步思考：若點(diǎn)P1a,b那么點(diǎn)Pn有沒有可能始終在y軸的右側(cè)，若有可能直接寫出a【變式10-2】（2024七年級(jí)·江西撫州·期末）學(xué)習(xí)概念：由9個(gè)數(shù)字組成的一個(gè)三行三列的矩陣，其每一行、每一列和兩條對(duì)角線的數(shù)字的和都相等，這就是三級(jí)幻方，其對(duì)角線、橫行、縱向的數(shù)字之和均相等，這個(gè)和叫做幻和，正中間那個(gè)數(shù)叫中心數(shù)．探究規(guī)律：（1）圖1是1~9組成的一個(gè)三級(jí)幻方，小潔根據(jù)圖2推出下列四個(gè)關(guān)系式，①a1+a2+a3請(qǐng)你用圖1中的數(shù)驗(yàn)證上述四個(gè)式子，其中正確的有______；應(yīng)用規(guī)律根據(jù)上面的規(guī)律，用方程組思想解答下面的問題：（2）如圖3，若2a8?a6【變式10-3】（2024七年級(jí)·四川宜賓·期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在直線AB，CD上，P為直線AB和CD之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足(1)如圖1，∠EPF、∠AEP、∠PFC之間的數(shù)量關(guān)系為．(2)如圖2，∠EPF、∠AEP、∠PFC之間的數(shù)量關(guān)系為．(3)如圖3，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，點(diǎn)P在EF左側(cè)，點(diǎn)Q在EF右側(cè)．①若∠EPF=60°，求∠EQF的度數(shù)．②猜想規(guī)律：∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系可表示為．③如圖4，若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2與∠DFQ2專題11.7期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題十大題型總結(jié)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1相交線中的旋轉(zhuǎn)問題】 1【題型2平行線中的定值問題】 11【題型3平行線中探究角度之間的關(guān)系】 23【題型4估算無理數(shù)的大小】 32【題型5實(shí)數(shù)的應(yīng)用】 36【題型6平面直角坐標(biāo)系中的面積問題】 39【題型7二元一次方程組與不等式組的綜合】 49【題型8新定義問題】 54【題型9閱讀理解問題】 59【題型10規(guī)律探究問題】 66【題型1相交線中的旋轉(zhuǎn)問題】【例1】（2024七年級(jí)·內(nèi)蒙古赤峰·期末）點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，射線OC從OA出發(fā)繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到OB停止，設(shè)∠AOC=α（0°≤α≤180°），射線OD⊥OC，作射線OE平分∠BOD．(1)如圖1，若α=40°，且OD在直線AB的上方，求∠DOE的度數(shù)（要求寫出簡(jiǎn)單的幾何推理過程）．(2)射線OC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖2，當(dāng)射線OD在直線AB的下方時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)你用含α的代數(shù)式表示∠DOE的度數(shù)，（要求寫出簡(jiǎn)單的幾何推理過程）．(3)射線OC從OA出發(fā)繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OB，在旋轉(zhuǎn)過程中你發(fā)現(xiàn)∠DOE與∠AOC（0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOB≤180°）之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你直接用含α的代數(shù)式表示【答案】(1)∠DOE=25°(2)∠DOE=(3)∠DOE=45°?12∠AOC即∠DOE=45°?12α或∠DOE=45°+12∠AOC即【分析】（1）根據(jù)α=40°，∠COD=90°，求出∠BOD=50°，根據(jù)OE平分∠BOD，即可得出結(jié)果；（2）先用α表示出∠BOC，再根據(jù)∠COD=90°表示出∠BOD，根據(jù)OE平分∠BOD，即可得出結(jié)果；（3）分四種情況進(jìn)行討論，分別求出∠DOE與∠AOC的關(guān)系，用含α的代數(shù)式表示∠DOE的度數(shù)即可．【優(yōu)尖升-詳解】（1）解：∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∵α=40°，即∠AOC=40°，∴∠BOD=180°?∠COD?∠AOC=50°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1（2）∵∠AOC=α，∴∠BOC=180°?α，∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∴∠BOD=∠COD?∠BOC=90°?=α?90°∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1（3）①當(dāng)0°≤∠AOC≤90°，OD在直線AB的上方時(shí)，如圖所示：∠BOD=180°?∠COD?∠AOC=180°?90°?∠AOC=90°?∠AOC，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1即∠DOE=45°?1②當(dāng)0°≤∠AOC≤90°，OD在直線AB的下方時(shí)，如圖所示：∵∠AOD=∠COD?∠AOC=90°?∠AOC，∴∠BOD=180°?∠AOD=90°+∠AOC，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1即∠DOE=45°+1③當(dāng)90°＜∠AOC≤180°，OD在直線∵∠BOC=180°?∠AOC，∴∠BOD=∠DOC+∠BOC=90°+180°?∠AOC=270°?∠AOC，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1即∠DOE=135°?1④當(dāng)90°＜∠AOC≤180°，OD在直線∵∠BOC=180°?∠AOC，∴∠BOD=∠COD?∠BOC=90°?=∠AOC?90°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=1即∠DOE=1綜上分析可知，∠DOE=45°?12∠AOC即∠DOE=45°?12α或∠DOE=45°+12∠AOC即∠DOE=45°+【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，垂直的定義，根據(jù)α的大小和OD的位置分類討論，是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2024七年級(jí)·浙江紹興·期末）張老師將教鞭和直角三角板放在量角器上．如圖①，MN是量角器的直徑，點(diǎn)O是圓心，教鞭OC與OM重合，直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OB與ON重合，∠AOB=30°．如圖②，現(xiàn)將教鞭OC繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)將直角三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OC與ON重合時(shí)，三角板和教鞭OC同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，求∠AON的度數(shù)（用含t的代數(shù)式表示）．(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，OA⊥MN．(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線OC，OA，OB中的兩條射線組成的角（指大于0°而不超過180°的角）恰好被第三條射線平分，求出此時(shí)t的值．【答案】(1)30°+2°t或30+2t度或30°+(2)當(dāng)t=30秒時(shí)，OA⊥MN(3)當(dāng)t=24秒或33秒或42秒時(shí)，射線OC，OA，OB中的兩條射線組成的角恰好被第三條射線平分【分析】（1）根據(jù)題意，可得∠AON=∠AOB+∠BON，據(jù)此列出代數(shù)式即可求解；（2）當(dāng)OA⊥MN時(shí)，∠AON=90°，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．（3）分3種情況：①如圖3，當(dāng)OA平分∠COB時(shí)，∠COA=∠AOB=30°．②如圖4，當(dāng)OC平分∠AOB時(shí)，∠AOC=∠COB=12∠AOB=15°．③如圖5，當(dāng)OB平分∠AOC【優(yōu)尖升-詳解】（1）解：如圖1，∵∠AOB=30°，∠BON=2t∴∠AON=∠AOB+∠BON=30+2t；（2）如圖2，∵當(dāng)OA⊥MN時(shí)，∠AON=90°，∴∠AON=30°+2t解得：t=30（秒）．∴當(dāng)t=30秒時(shí)，OA⊥MN；（3）分3種情況：①如圖3，當(dāng)OA平分∠COB時(shí)，∠COA=∠AOB=30°．∴∠COM+∠BON=180°?∠COB，3t+2t=180?60解得：t=24（秒）．②如圖4，當(dāng)OC平分∠AOB時(shí)，∠AOC=∠COB=1∴∠COM+∠BON=180°?∠COB，即3t+2t=180?15解得：t=33（秒）．③如圖5，當(dāng)OB平分∠AOC時(shí)，∠AOB=∠COB=30°．∴∠COM+∠BON?∠COB=180°．3t+2t?30=180解得：t=42（秒）∴綜上所述，當(dāng)t=24秒或33秒或42秒時(shí)，射線OC，OA，OB中的兩條射線組成的角恰好被第三條射線平分．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，一元一次不等式的應(yīng)用，列代數(shù)式，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2024七年級(jí)·陜西西安·期末）問題提出已知一副直角三角尺按如圖1方式拼接在一起，其中OC與直線MN重合，∠AOB=45°，∠AOM=∠COD=30°．（1）在圖1中，∠BOD的度數(shù)為______．問題探究（2）如圖1，三角尺COD固定不動(dòng)，將三角尺AOB繞著點(diǎn)O以每秒4°的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角尺均在直線MN的上方．設(shè)三角尺AOB的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)OB平分∠AOD時(shí)，請(qǐng)求出t的值．問題解決（3）如圖1，若三角尺AOB繞著點(diǎn)O以每秒4°的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角尺COD也繞著點(diǎn)O以每秒1°的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角尺均在直線MN的上方，且當(dāng)三角尺AOB停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，三角尺COD也停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)三角尺AOB的旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時(shí)刻∠AOD=2∠BOC？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）75°；（2）152秒；（3）28秒或22【分析】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的變化，角平分線的定義，角的計(jì)算，利用三角板的特殊角，分清運(yùn)動(dòng)的情形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可；根據(jù)t=10算出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，從而得到∠AOD（2）先求出旋轉(zhuǎn)角，再除以轉(zhuǎn)動(dòng)速度即可；（3）分當(dāng)OB在OC左側(cè)和當(dāng)OB在OC右側(cè)兩種情形，結(jié)合圖形分別求解．【優(yōu)尖升-詳解】解：（1）∵∠AOB=45°，∠AOM=∠COD=30°，∴∠BOD=180°?故答案為：75°；（2）當(dāng)邊OB平分∠AOD時(shí)，∵∠AOB=45°∴∠AOB=∴旋轉(zhuǎn)角為：75°?45°=30°，∴t=30÷4=15（3）存在，理由是：在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOD=180°?30°?30°?4+1當(dāng)OB在OC左側(cè)時(shí)，∵∠BOC=180°?30°?45°?（∴120°?5°t=2105°?5°t解得：t=18；當(dāng)OB在OC右側(cè)時(shí)，∴∠AOD=120°?5°t,∠BOC=5°t?105°,∵∠AOD=2∠BOC,∴120°?5°t=2(5°t?105°),∴t=22,綜上：t的值為18秒或22秒．【變式1-3】（2024七年級(jí)·浙江金華·期末）如圖1，點(diǎn)O在直線AB上，∠AOC=30°，將一個(gè)含有60°角的直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，較長的直角邊OM在射線OB上，較短的直角邊ON在直線AB的下方．【操作一】：將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O以每秒12°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．當(dāng)它完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．（1）圖1中與∠BOC互補(bǔ)的角有．（2）當(dāng)ON⊥OC，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間t．【操作二】：如圖2將一把直尺的一端點(diǎn)也放在點(diǎn)O處，另一端點(diǎn)E在射線OC上．如圖3，在三角尺繞著點(diǎn)O以每秒3x度的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，直尺也繞著點(diǎn)O以每秒x度的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一方完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，另一方也停止旋轉(zhuǎn)．試探索：在三角尺與直尺旋轉(zhuǎn)的整個(gè)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得∠COM與∠AOE這兩個(gè)角中，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的一半？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足題意時(shí)∠COM的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．你的答案是：．

【答案】【操作一】（1）∠AOC，∠OMN；（2）12.5秒或27.5秒；【操作二】存在，607°，24°，12°，【分析】操作一：（1）利用補(bǔ)角的定義解答即可；（2）根據(jù)垂直的定義建立方程求解即可；操作二：分三種情況：①0°≤α≤30°；②30°≤α≤50°；③50°≤α≤120°，分別建立方程求解即可．【優(yōu)尖升-詳解】（1）解：∵∠AOC=30°，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠BOC=150°，由題意可知∠OMN=30°，∴∠BOC+∠OMN=180°，∴圖1中與∠BOC互補(bǔ)的角為∠AOC和∠OMN．故答案為：∠AOC和∠OMN；（2）解：∵將圖1中的三角尺繞著點(diǎn)O以每秒12°的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)t秒，∴三角尺旋轉(zhuǎn)角度為12t度，若ON⊥OC，則ON需順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°或330°，∴12t=150或12t=330，解得：t=12.5或t=27.5，答：旋轉(zhuǎn)的時(shí)間t=12.5秒或t=27.5秒．【操作二】存在．∵OM的旋轉(zhuǎn)速度是OE旋轉(zhuǎn)速度的3倍，∴∠BOM=3∠COE，設(shè)∠COE=α，則∠BOM=3α，∵0°≤3α≤360°，∴0°≤α≤120°，分三種情況討論，①當(dāng)0°≤α≤30°時(shí)，∠AOE=30°?α，若∠AOE=2∠COM，則30°?α=2150°?3α∴α=54°，不符合題意，舍去，若∠COM=2∠AOE，則150°?3α=230°?α∴α=90°，不符合題意，舍去，②當(dāng)30°≤α≤50°時(shí)，∠AOE=α?30°，∠COM=150°?3α，若∠AOE=2∠COM，則α?30°=2150°?3α∴α=330則∠COM=150°?3α=60若∠COM=2∠AOE，則150°?3α=2α?30°∴α=42°，則∠COM=150°?3α=24°，③當(dāng)50°≤α≤120°時(shí)，∠AOE=α?30°，∠COM=3α?150°，若∠AOE=2∠COM，α?30°=23α?150°∴α=54°，則∠COM=3α?150°=12°，若∠COM=2∠AOE，則3α?150°=2α?30°∴α=90°，則∠COM=3α?150°=120°，故答案為：607°，24°，12°，【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)角、垂直等定義，一元一次方程的應(yīng)用，角的和差，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解決問題．【題型2平行線中的定值問題】【例2】（2024七年級(jí)·福建泉州·期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB和CD之間，且在直線BD的左側(cè)，∠ABE=1(1)如圖1，求∠BED的度數(shù)（用含α的式子表示）；(2)連接BD，過點(diǎn)E作EF∥BD，交AB于點(diǎn)F，動(dòng)點(diǎn)G在射線BE上，①如圖2，若k=5，DG平分∠BDE，判斷DG與BE的位置關(guān)系并說明理由．②連接DF，若∠DFE=12∠DFB，DG⊥BE于點(diǎn)G，是否存在常數(shù)k，使∠FDG【答案】(1)5α(2)①DG⊥BE，理由見解析；②存在k=12使得【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義：（1）如圖所示，過點(diǎn)E作EF∥AB，則AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEF=∠CDE=4α，∠BEF=∠ABE=α，則∠BED=∠DEF+∠BEF=5α；（2）①由平行線的性質(zhì)得到∠DBE=∠BEF=kα=5α，則∠ABD=6α，則∠BDC=180°?6α，進(jìn)而得到∠BDE=180°?10α，由角平分線的定義得到∠BDG=90°?5α，則∠DGB=180°?∠BDG?∠DBG=90°，即可得到DG⊥BE；②分當(dāng)DF在DG左側(cè)時(shí)，當(dāng)DF在DG右側(cè)時(shí)，兩種情況先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BDF=∠DFE，∠DBE=∠BEF=kα，進(jìn)而得到∠BDG=90°?kα，再由∠ABD=k+1α，得到∠DFB+∠BDF=180°?k+1【優(yōu)尖升-詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠DEF=∠CDE=4α，∠BEF=∠ABE=α，∴∠BED=∠DEF+∠BEF=5α；（2）解：①DG⊥BE，理由如下：∵EF∥∴∠DBE=∠BEF=kα=5α，∴∠ABD=∠ABE+∠DBE=6α，∵AB∥CD，∴∠BDC=180°?∠ABD=180°?6α，∴∠BDE=∠BDC?∠CDE=180°?10α，∵DG平分∠BDE，∴∠BDG=1∴∠DGB=180°?∠BDG?∠DBG=90°，∴DG⊥BE；②如圖所示，當(dāng)DF在DG左側(cè)時(shí)，∵EF∥BD，∴∠BDF=∠DFE，∵DG⊥BE，∴∠DGB=90°，∴∠BDG=180°?∠DGB?∠DBE=90°?kα，∵∠ABD=∠ABE+∠DBE=k+1∴∠DFB+∠BDF=180°?∠DBF=180°?k+1∵∠DFE=1∴∠DFB=2∠DFE=2∠BDF，∴2∠BDF+∠BDF=180°?∠DBF=180°?k+1∴∠BDF=180°?∴∠FDG=∠BDF?∠BDG===kα?=2kα?α∴此時(shí)不存在常數(shù)k使得∠FDG為定值，如圖所示，當(dāng)DF在DG右側(cè)時(shí)，同理可得∠FDG=∠BDG?∠BDF=30°?α?2kα∴當(dāng)1?2k=0，即k=12時(shí)，綜上所述，存在k=12使得【變式2-1】（2024七年級(jí)·福建漳州·期末）已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別是AB、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接MG、

(1)如圖1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度數(shù)．(2)在（1）的條件下，已知∠BMG的平分線MH交∠GND的平分線NH于點(diǎn)H，求∠MHN的度數(shù)．(3)如圖2，若點(diǎn)P是CD下方一點(diǎn)，MT平分∠BMP，NC平分∠TNP，已知∠BMT=40°，證明：∠MTN?∠P為定值．【答案】(1)90°(2)135°(3)見解析【分析】（1）過點(diǎn)G作GE∥（2）分別過點(diǎn)G和H作GE∥AB，F(xiàn)H∥（3）根據(jù)角平分線的定義求出∠1=∠2=40°，∠BMP=80°，∠3=∠4，設(shè)∠3=∠4=x°，求出∠MTN=220°?x°，∠P=100°?x°，相減即可證明．【優(yōu)尖升-詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)G作GE∥

∵AB∥CD∴AB∥∴∠AMG=∠1，∠CNG=∠2，∵GM⊥GN，∴∠MGN=90°，∴∠AMG+∠CNG=∠1+∠2=∠MGN=90°．（2）如圖所示，過點(diǎn)H作HF∥

∵∠AMG+∠CNG=90°，∠AMG+∠BMG=180°，∠CNG+∠GND=180°，∴∠BMG+∠GND=360°?90°=270°∵M(jìn)H平分∠BMG，NH平分∠GND，∴∠3+∠6=∵AB∥∴AB∥∴∠3=∠4，∠5=∠6，∴∠MHN=∠4+∠5=∠3+∠6=135°；（3）如圖所示，將MP與CD的交點(diǎn)記作K，

∵M(jìn)T平分∠BMP，且∠BMT=40°，∴∠1=∠2=40°，∠BMP=80°，∵NC平分∠TNP，∴∠3=∠4，設(shè)∠3=∠4=x°，∴∠TND=180°?x°，由（1）同理可得，∠MTN=∠1+∠TND=40°+180°?x°=220°?x°，∵AB∥∴∠NKP=80°，∴在△KPN中，∠P=180°?80°?x°=100°?x°，∴∠MTN?∠P=120°，即∠MTN?∠P為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行的常見模型，對(duì)于平行的輔助線添加，可過轉(zhuǎn)折點(diǎn)處作已知直線的平行線，再利用平行的性質(zhì)求解．關(guān)于度數(shù)的定值問題，可以借助代數(shù)式求證．【變式2-2】（2024七年級(jí)·湖北武漢·期末）如圖1，已知直線l1∥l2，點(diǎn)A、B在直線l1上，點(diǎn)C、D在l2上，線段AD交線段(1)求證：∠ABE+∠EDC=60°；(2)如圖2，當(dāng)F、G分別在線段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，標(biāo)記∠BFE為∠1，∠BGD為∠2．①若∠1?∠2=16°，求∠ADC的度數(shù)；②當(dāng)k=________時(shí)，k∠1+∠2為定值，此時(shí)定值為________．【答案】(1)證明見解析(2)①36°；②2；140°【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)解答即可；（2）①設(shè)∠FBE=a，∠GDC=b，則∠ABF=2a，∠EDG=2b，結(jié)合平行線的性質(zhì)，利用方程的思想方法，依據(jù)已知條件列出方程組即可求解；②利用①中的方法，設(shè)∠FBE=a，∠GDC=b，則∠ABF=2a，∠EDG=2b，通過計(jì)算k∠1+∠2，令計(jì)算結(jié)果中的a的系數(shù)為0即可求得結(jié)論．【優(yōu)尖升-詳解】（1）證明：如圖，作EF∥l∴∠FED=∠EDC，∵l1∴EF∥l∴∠ABE=∠BEF，∵∠BED=60°，∴∠ABE+∠EDC=∠BEF+∠FED=∠BED=60°（2）設(shè)∠FBE=a，∠GDC=b，∵∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，∴∠ABF=2a，∠EDG=2b，∵l1∴∠BAD=∠ADC=3b，∠ABC=∠BCD=3a，由（1）可得：∠1=2a+3b，∠2=3a+b，∠BED=3a+3b=60°，∴a+b=20°，∴∠1=60°?a，∠2=20°+2a，①∵∠1?∠2=16°，∴60°?a?20°+2a∴a=8°，b=12°，∴∠ADC=3b=36°；②k=2，定值為140°，理由如下：k∠1+∠2=k=60°k?ka+20°+2a=當(dāng)k=2時(shí)，k∠1+∠2=140°，∴當(dāng)k=2時(shí)，k∠1+∠2為定值，此時(shí)定值為140°．故答案為：2；140°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)．利用方程或方程組的思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2024七年級(jí)·湖南長沙·期末）如圖，兩個(gè)形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）①如圖1，∠DPC＝度．②我們規(guī)定，如果兩個(gè)三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個(gè)三角形為“孿生三角形”，如圖1，三角板BPD不動(dòng)，三角板PAC從圖示位置開始每秒10°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周（0°<旋轉(zhuǎn)<360°），問旋轉(zhuǎn)時(shí)間t為多少時(shí)，這兩個(gè)三角形是“孿生三角形”．（2）如圖3，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速3°/秒，同時(shí)三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速2°/秒，在兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過程中，（PC轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)）．設(shè)兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，以下兩個(gè)結(jié)論：①∠CPD∠BPN為定值；②∠BPN+∠CPD【答案】（1）①90；②t為3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s；（2）①正確，②錯(cuò)誤，證明見解析．【分析】（1）①由平角的定義，結(jié)合已知條件可得：∠DPC=180°?∠CPA?∠DPB,從而可得答案；②當(dāng)BD//PC時(shí)，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時(shí)間；當(dāng)PA//BD時(shí)，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時(shí)間；當(dāng)AC//DP時(shí)，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質(zhì)與角的和差關(guān)系求解旋轉(zhuǎn)角，可得旋轉(zhuǎn)時(shí)間；當(dāng)（2）分兩種情況討論：當(dāng)PD在MN上方時(shí)，當(dāng)PD在MN下方時(shí)，①分別用含t的代數(shù)式表示∠CPD,∠BPN，從而可得∠CPD∠BPN的值；②分別用含t的代數(shù)式表示∠CPD,∠BPN，得到∠BPN+∠CPD是一個(gè)含t【優(yōu)尖升-詳解】解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，故答案為90；②如圖1﹣1，當(dāng)BD∥PC時(shí)，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為3秒；如圖1﹣2，當(dāng)PC∥BD時(shí)，∵PC//BD,∠∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為180°+30°＝210°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為21秒，如圖1﹣3，當(dāng)PA∥BD時(shí)，即點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，此時(shí)∠ACP＝∠BPD＝30°，則AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠APN＝90°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為9秒，如圖1﹣4，當(dāng)PA∥BD時(shí)，∵∠DPB＝∠ACP＝30°，∴AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠BPA＝90°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°+180°＝270°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為27秒，如圖1﹣5，當(dāng)AC∥DP時(shí)，∵AC∥DP，∴∠C＝∠DPC＝30°，∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為60°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為6秒，如圖1﹣6，當(dāng)AC//∵AC//DP，∴∠DPA=∠PAC=90°，∠DPN+∠DPA=180°?30°+90°=240°，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為240°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為24秒，如圖1﹣7，當(dāng)AC∥BD時(shí)，∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠BAC＝90°，∴點(diǎn)A在MN上，∴三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為180°，∵轉(zhuǎn)速為10°/秒，∴旋轉(zhuǎn)時(shí)間為18秒，當(dāng)AC//BP時(shí)，如圖1-3，1-4，旋轉(zhuǎn)時(shí)間分別為：9s，綜上所述：當(dāng)t為3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s時(shí)，這兩個(gè)三角形是“孿生三角形”；（2）如圖，當(dāng)PD在MN上方時(shí)，①正確，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，∴∠BPN=2∠CPD=180°?2t,∴∠CPD∠BPN②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時(shí)間在變化，不為定值，結(jié)論錯(cuò)誤．當(dāng)PD在MN下方時(shí)，如圖，①正確，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝2t?30°,∠APN＝3t．∴∠CPD＝360°?∠CPA?∠APN?∠DPB?∠BPN=360°?60°?3t?30°?(180°?2t)=90°?t∴∠BPN=2∠CPD=180°?2t,∴∠CPD∠BPN②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時(shí)間在變化，不為定值，結(jié)論錯(cuò)誤．綜上：①正確，②錯(cuò)誤．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和差倍分關(guān)系，平行線的性質(zhì)與判定，角的動(dòng)態(tài)定義（旋轉(zhuǎn)角）的理解，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．【題型3平行線中探究角度之間的關(guān)系】【例3】（2024七年級(jí)·湖南長沙·期末）如圖1，AB∥CD，G為(1)若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求證：(2)如圖2，若∠AEP=25∠AEF，∠CFP=25∠EFC，且FP的延長線交∠AEP的角平分線于點(diǎn)(3)如圖3，若點(diǎn)H是射線EB之間一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)G平分∠EFH，MF平分∠EFC，過點(diǎn)G作GQ⊥FM于點(diǎn)Q，請(qǐng)猜想∠EHF與【答案】(1)證明見解析；(2)∠EMF+∠ENF=108°，理由見解析；(3)∠FGQ=1【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEF+∠CFE=180°，再利用角平分線的定義可求解∠FEG+∠GFE=90°，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）分別過M,N作MG∥AB，NH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得（3）根據(jù)垂線的定義可求得∠FGQ=90°?∠GFQ，再根據(jù)角平分線的定義可求解∠FGQ=1本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【優(yōu)尖升-詳解】（1）∵AB∥∴∠AEF+∠CFE=180°，∵GE平分∠AEF,GF平分∠EFC，∴∠AEG=∠FEG=12∠AEF∴∠FEG+∠GFE=90°，即EG⊥FG；（2）如圖，分別過M,N作MG∥AB，∵AB∥∴AB∥∴∠AEM=∠EMG，∠GMF=∠MFC，∠AEN=∠ENH，∠HNF=∠NFC，∴∠EMF=∠AEM+∠MFC，∠ENF=∠AEN+∠NFC，同理：∠EPF=∠AEP+∠PFC，∴∠EMF+∠ENF=∠AEM+∠MFC+∠AEN+∠NFC，∵EM平分∠AEN，F(xiàn)N平分∠MFC，∴∠AEM=12∠AEN∴∠EMF+∠ENF=∵∠AEP=2∴∠MFC+∠AEN=2∠EMF+∠ENF=（3）∠FGQ=1∵AB∥∴∠EHF+∠CFH=180°，∵GQ⊥MF，∴∠FGQ=90°?∠GFQ，∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，∴∠GFE=12∠EFH∴∠GFQ=1∴∠FGQ=90°?90°?【變式3-1】（2024七年級(jí)·湖南株洲·期末）已知：MN∥PQ，點(diǎn)A，B分別在MN，PQ上，點(diǎn)

(1)如圖1，若∠MAC=45°，∠PBC=43°，求(2)如圖2，AD，BD，AE，(3)在（2）的條件下，如圖3，過點(diǎn)D作DA的垂線交PQ于點(diǎn)G，點(diǎn)F在PQ上，∠FDA=2∠FDB，F(xiàn)D的延長線交EA的延長線于點(diǎn)H，若3∠C=4∠E，猜想∠H與∠GDB的倍數(shù)關(guān)系并證明．【答案】(1)88°(2)見解析(3)∠H=3∠GDB，理由見解析【分析】（1）過C作EF∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)即可；（2）利用AD，BD，AE，BE分別為（3）根據(jù)角之間的關(guān)系求出∠GDB=18°，∠H=54°，即可得出結(jié)論．【優(yōu)尖升-詳解】（1）證明：如圖1，過C作EF∥MN，，∵M(jìn)N∥PQ，∴MN∥EF∥PQ，∴∠ACF=∠MAC=45°，∴∠ACF+∠BCF=∠MAC+∠PBC=88°，即∠ACB=∠ACF+∠BCF=88°；（2）解：如圖2，

，∵AD，AE分別為∴∠MAD=1∴∠MAD+∠NAE=1同理可得：∠PBD+∠QBE=90°，由（1）得：∠D=∠MAD+∠PBD，∠E=∠NAE+∠QBE，∴∠D+∠E=∠MAD+∠PBD+∠NAE+∠QBE=180°；（3）解：猜想：∠H=3∠GDB，理由如下：如圖3，

，由（1）可知：∠C=∠MAC+∠PBC=2∠MAD+∠PBD∵3∠C=4∠E，∴6∠ADB=4∠E，∴3∠ADB=2∠E，∵∠ADB+∠E=180°，∴∠ADB=72°，∵DG⊥DA，∴∠GDB=18°，∵∠FDA=2∠FDB=∠FDB+∠ADB，∴∠FDB=∠ADB，∴∠HDA=36°，∵DA⊥AE，∴∠H=54°，∴∠H=3∠GDB．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2024七年級(jí)·廣東廣州·期末）點(diǎn)A，C，E在直線l上，點(diǎn)B不在直線l上，把線段AB沿直線l向右平移得到線段CD．（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段AC上，求證：∠B+∠D=∠BED；（2）若點(diǎn)E不在線段AC上，試猜想并證明∠B，∠D，∠BED之間的等量關(guān)系；（3）在（1）的條件下，如圖2所示，過點(diǎn)B作PB//ED，在直線BP，ED之間有點(diǎn)M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同時(shí)點(diǎn)F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，設(shè)∠BMD=m，利用（1)中的結(jié)論求∠BFD的度數(shù)（用含m，n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上時(shí)，∠BED=∠D-∠B；當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上時(shí)，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）m【分析】（1）如圖1中，過點(diǎn)E作ET∥AB．利用平行線的性質(zhì)解決問題．（2）分兩種情形：如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上時(shí)，如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上時(shí)，構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)求解即可．（3）利用（1）中結(jié)論，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解決問題即可．【優(yōu)尖升-詳解】解：（1）證明：如圖1中，過點(diǎn)E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．（2）如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上時(shí)，過點(diǎn)E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上時(shí)，過點(diǎn)E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．（3）如圖，設(shè)∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，∵AB∥CD，∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴m=2x+2y，∴x+y=12m∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，∴∠BFD=n?1nx+n?1ny=【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)條件常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考常考題型．【變式3-3】（2024七年級(jí)·浙江·期末）已知a//b，直角△ABC的邊與直線a分別相交于O、G兩點(diǎn)，與直線b分別交于E，F(xiàn)點(diǎn)，且∠ACB=90°．（1）將直角△ABC如圖1位置擺放，如果∠AOG=56°，則∠CEF=________；（2）將直角△ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點(diǎn)，∠NEF+∠CEF=180°，請(qǐng)寫出∠NEF與∠AOG之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）將直角△ABC如圖3位置擺放，若∠GOC=135°，延長AC交直線b于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是射線GF上一動(dòng)點(diǎn)，探究∠POQ,∠OPQ與∠PQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）見解析【分析】（1）作CP//a，則CP//a//b，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解．（2）作CP//a，由平行線的性質(zhì)及等量代換得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．（3）分類討論點(diǎn)P在線段GF上或線段GF延長線上兩種情況，過點(diǎn)P作a，b的平行線求解．【優(yōu)尖升-詳解】解：（1）如圖，作CP//a，∵a//b，CP//a，∴CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，∴∠BCP=180°-∠CEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：如圖，作CP//a，則CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，∵∠NEF+∠CEF=180°，∴∠BCP=∠NEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+∠NEF=90°．（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，作PN//a，連接PQ，OP,則PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，∴∠GOP=135°-∠POQ，∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．如圖，當(dāng)點(diǎn)P在GF延長線上時(shí)，作PN//a，連接PQ，OP,則PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，通過添加輔助線及分類討論的方法求解．【題型4估算無理數(shù)的大小】【例4】（2024七年級(jí)·吉林長春·期末）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道2是無理數(shù)，而無理是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用2?1來表示2的小數(shù)部分，事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)?的整數(shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是2的小數(shù)部分，又例如：∵23<72<3請(qǐng)解答（1）11的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是_______。（2）如果5的小數(shù)部分為a，41的整數(shù)部分為b，求a+b?5（3）已知x是3+5的整數(shù)部分，y是其小數(shù)部分，直接寫出x?y【答案】（1）3；11﹣3；（2）4；（3）x﹣y=7﹣5．【分析】（1）由3＜11＜4可得答案；（2）由2＜5＜3知a=5﹣2，由6＜41＜7知b=6，據(jù)此求解可得；（3）由2＜5＜3知5＜3+5＜6，據(jù)此得出x、y的值代入計(jì)算可得．【優(yōu)尖升-詳解】（1）∵3＜11＜4，∴11的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是11﹣3；故答案為3；11﹣3．（2）∵2＜5＜3，∴a=5﹣2，∵6＜41＜7，∴b=6，∴a+b﹣5=5﹣2+6﹣5=4．（3）∵2＜5＜3，∴5＜3+5＜6，∴3+5的整數(shù)部分為x=5，小數(shù)部分為y=3+5﹣5=5﹣2．則x﹣y=5﹣（5﹣2）=5﹣5+2=7﹣5．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，解決本題的關(guān)鍵是熟記估算無理數(shù)的大?。咀兪?-1】（2024七年級(jí)·福建莆田·期末）閱讀下面的文字,解答問題:大家知道2是無理數(shù),而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),因此2的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來,而1＜2＜2于是可用2?1來表示(1)21的整數(shù)部分是_______，小數(shù)部分是_________；(2)如果7的小數(shù)部分為a，15的整數(shù)部分為b，求a+b?(3)已知:100+110=x+y，其中x是整數(shù),且0＜y＜1，求【答案】(1)4，21-4；(2)1;(2)±12．【分析】（1）先估算出21的范圍，即可得出答案；（2）先估算出7、15的范圍，求出a、b的值，再代入求出即可；（3）先估算出110的范圍，求出x、y的值，再代入求出即可．【優(yōu)尖升-詳解】解：（1）∵4＜21＜5，∴21的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是21-4，故答案為4，21-4；（2）∵2＜7＜3，∴a=7-2，∵3＜15＜4，∴b=3，∴a+b-7=7-2+3-7=1；（3）∵100＜110＜121，∴10＜110＜11，∴110＜100+110＜111，∵100+110=x+y，其中x是整數(shù)，且0＜y＜1，∴x=110，y=100+110-110=110-10，∴x+110+24-y=110+110+24-110+10=144，x+110+24-y的平方根是±12．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出21、7、15、110的范圍是解此題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2024七年級(jí)·浙江杭州·期末）確定一個(gè)用算術(shù)平方根表示的數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分時(shí)，可以用如下辦法：例如11，因?yàn)?<11<16，所以9<11<16，即3<11<4．故11的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是11?3．又例如50，因?yàn)?9<50<64，所以49（1）確定10的整數(shù)部分和小數(shù)部分；（2）若9+13的小數(shù)部分為a，9?13的小數(shù)部分為b，求【答案】（1）整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是10?3【分析】（1）仿照題例，可直接求出10的整數(shù)部分和小數(shù)部分；（2）根據(jù)題例，先確定a、b，再計(jì)算4(a+b)+8即可．【優(yōu)尖升-詳解】解：（1）∵9<10<16，∴9<10<故10的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是10?3（2）∵9<13<16，∴9<13<同理：?4<?13∴9+13的小數(shù)部分為a=139?13的小數(shù)部分為b=4?∴4(a+b)+8=4×（13?3+4?【點(diǎn)睛】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出各無理數(shù)的小數(shù)部分是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2024七年級(jí)·山西·期末）閱讀理解，回答問題.我們都知道3是無理數(shù)，因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此不可能把3的小數(shù)部分全部寫出來，于是小磊用3?1表示3（1）5的小數(shù)部分是；（2）已知m是正整數(shù)，m是一個(gè)無理數(shù)，且m?3表示m①m的取值范圍是；②當(dāng)m是5的倍數(shù)時(shí)，求m?14+2m【答案】（1）5?2；（2）①9<m<16；②當(dāng)m是5的倍數(shù)時(shí)，|m?14|+2m【分析】（1）仿照小磊的方法表示即可；（2）①根據(jù)m?3表示m②根據(jù)①中的結(jié)果，可求出m的值，分別代入|m?14|+2m中計(jì)算即可.【優(yōu)尖升-詳解】解：（1）∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴5的小數(shù)部分是5?2（2）①∵m?3表示m∴3＜m＜4，∴9<m<16；②∵9<m<16且m是5的倍數(shù)，∴m=10或m=15，當(dāng)m=10時(shí)，|m?14|+2m=14?m+2m=14+m=14+10=24，當(dāng)m=15時(shí)，|m?14|+2m=m?14+2m=3m?14=45?14=31，綜上，當(dāng)m是5的倍數(shù)時(shí)，|m?14|+2m的值為24或31.【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的估算，利用被開方數(shù)越大算術(shù)平方根越大得出2＜5＜3和3＜m＜4是解題的關(guān)鍵.【題型5實(shí)數(shù)的應(yīng)用】【例5】（2024七年級(jí)·河南周口·期末）座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為T=2πl(wèi)g，其中T表示周期（單位：s），l表示擺長（單位：m）．假如一臺(tái)座鐘的擺長為0.2m．（π取3，(1)求擺針擺動(dòng)的周期．(2)如果座鐘每擺動(dòng)一個(gè)來回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？【答案】(1)6(2)該座鐘大約發(fā)出了420次滴答聲【分析】（1）將數(shù)據(jù)代入函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）用總時(shí)間除以一個(gè)周期的時(shí)間進(jìn)行計(jì)算即可．【優(yōu)尖升-詳解】（1）解：∵T=2πl(wèi)∴當(dāng)l=0.2m時(shí)，T=2×3（2）6×60÷6答：該座鐘大約發(fā)出了420次滴答聲．【點(diǎn)睛】本題考查求實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2024七年級(jí)·全國·課后作業(yè)）用電器的電阻R、功率P與它兩端的電壓U之間有關(guān)系：P=U2R．有兩個(gè)外觀完全相同的用電器，甲的電阻為18.4Ω，乙的電阻為20.8Ω【答案】甲【分析】根據(jù)P=U2R【優(yōu)尖升-詳解】∵P=∴U=∴U甲=P【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用，鍛煉了學(xué)生估計(jì)無理數(shù)大小的能力，本題還用到物理中的電功率的知識(shí)．【變式5-2】（2024七年級(jí)·北京·期末）“說不完的2”探究活動(dòng)，根據(jù)各探究小組的匯報(bào)，完成下列問題．(1)2到底有多大？下面是小欣探索2的近似值的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：我們知道面積是2的正方形邊長是2，且2>1.4．設(shè)2由面積公式，可得x2+______因?yàn)閤值很小，所以x2更小，略去x2，得方程______，解得x≈____（保留到0.001），即(2)怎樣畫出2？請(qǐng)一起參與小敏探索畫2過程．現(xiàn)有2個(gè)邊長為1的正方形，排列形式如圖（1），請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．小敏同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長為xx>0．依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有x2=2請(qǐng)參考小敏做法，現(xiàn)有5個(gè)邊長為1的正方形，排列形式如圖（3），請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）