高二數(shù)學(xué)考點講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集(原卷版+解析)

2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集一、單選題1．已知，則下列比例式成立的是（

）A． B． C． D．2．《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸，屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”，意思是：用繩子去量一根長木，繩子還余尺，將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問長木長多少尺（

）A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺3．已知關(guān)于的方程的解集為，則實數(shù)的值（

）A．0B．1C．D．4．一元二次方程的解集為（

）A． B． C． D．5．某市長期追蹤市民的經(jīng)濟(jì)狀況，依照訂立的標(biāo)準(zhǔn)將市民分為高收入和低收入兩類.統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明該市高收入市民人口一直是低收入市民人口的兩倍，且高收入市民中每年有會轉(zhuǎn)變?yōu)榈褪杖胧忻?那么該市每年低收入市民中轉(zhuǎn)變?yōu)楦呤杖胧忻竦陌俜直仁牵?/p>

）A． B． C． D．6．下列運用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形中，正確的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么7．設(shè)，，，，則，，的大小關(guān)系是（

）．A．B．C．D．8．若，，b，，則的最小值為（

）A．B．C．D．二、多選題9．方程解集為單元素集，那么該方程的解集可以是（

）A． B． C． D．10．設(shè)，，若，則實數(shù)a的值可以為（

）A． B．0 C．3 D．三、填空題11．我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的直角三角形，若，則小正方形的面積是________.12．設(shè)，若關(guān)于x與y的二元一次方程組的解集為空集，則______.13．一般情況下，不成立，但也有數(shù)可以使它成立，如．使得成立的一對數(shù)m、n我們稱為“相伴數(shù)對”，記為（m，n）．若（x，1）是“相伴數(shù)對”，則x的值為______．14．若等式恒成立，則常數(shù)a與b的和為______.四、解答題15．今年10月份，學(xué)校從某廠家購進(jìn)了A、B型電腦共250臺，A、B兩種型號電腦的單價分別為7000元、9000元，其中購進(jìn)A型、B型電腦的總金額和為205萬元.（1）求學(xué)校10月份購進(jìn)A、B型電腦各多少臺？（2）為推進(jìn)學(xué)校設(shè)備更新進(jìn)程，學(xué)校決定11月份在同一廠家再次購進(jìn)A、B兩種型號的電腦，在此次采購中，比起10月份進(jìn)購的同類型電腦，A型電腦的單價下降了a%，A型電腦數(shù)量增加了，B型電腦的單價上升了元，B型電腦數(shù)量下降了，這次采購A、B兩種型號電腦的總金額為205萬元，求a的值.16．設(shè)集合，.(1)若，試判斷集合與的關(guān)系；(2)若，求實數(shù)的取值集合.2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集一、單選題1．已知，則下列比例式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等式的性質(zhì)可判斷各選項的正誤.【詳解】因為，則，則，，故B選項正確，ACD選項錯誤.故選：B.2．《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸，屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”，意思是：用繩子去量一根長木，繩子還余尺，將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問長木長多少尺（

）A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺【答案】C【分析】利用條件可得方程組，即得.【詳解】設(shè)長木長為x尺，繩子長為y尺，則，解得故選：C.3．已知關(guān)于的方程的解集為，則實數(shù)的值（

）A．0 B．1C． D．【答案】C【分析】先對方程整理得，再由解集為空集可得，從而可求出實數(shù)的值【詳解】由，得，因為關(guān)于的方程的解集為，所以，得，故選：C4．一元二次方程的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接求解一元二次方程的解即可.【詳解】可化為，解得或所以一元二次方程的解集為故選：B5．某市長期追蹤市民的經(jīng)濟(jì)狀況，依照訂立的標(biāo)準(zhǔn)將市民分為高收入和低收入兩類.統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明該市高收入市民人口一直是低收入市民人口的兩倍，且高收入市民中每年有會轉(zhuǎn)變?yōu)榈褪杖胧忻?那么該市每年低收入市民中轉(zhuǎn)變?yōu)楦呤杖胧忻竦陌俜直仁牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)原來低收入市民人口為，則高收入市民人口為，設(shè)該市每年低收入市民中轉(zhuǎn)變?yōu)楦呤杖胧忻竦陌俜直葹?，然后由題意列方程可求得結(jié)果【詳解】解：設(shè)原來低收入市民人口為，則高收入市民人口為，設(shè)該市每年低收入市民中轉(zhuǎn)變?yōu)楦呤杖胧忻竦陌俜直葹椋瑒t由題意可得，解得，故選：C6．下列運用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形中，正確的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【分析】取，可判斷A；或，可判斷B；取，可判斷C；利用等式的性質(zhì)，可判斷D【詳解】選項A，當(dāng)時，顯然不成立；選項B，如果，那么或，顯然不成立；選項C，當(dāng)時，無意義，不成立；選項D，如果，則，故，即，成立故選：D7．設(shè)，，，，則，，的大小關(guān)系是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】通過作差法分別比較與，與的大小，從而得出，，的大小關(guān)系.【詳解】因為，所以，所以，，所以，即.故選：C.8．若，，b，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求出a，b，c的值，即可求解．【詳解】解：因為，，b，，所以聯(lián)立方程組，求得，，，從而，，，所以當(dāng)a，b異號時，取最小值為．故選：B．二、多選題9．方程解集為單元素集，那么該方程的解集可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】將所求方程化為，由分類討論求出的值，再解原方程即可.【詳解】由題意可知且，則原方程可化為，得，若方程有一根為0，則，此時原方程的解為，（舍去），符合題意；若方程有一根為，則，此時原方程的解為，（舍去），符合題意；若，解得，故原方程為，解得.故選：ABC.10．設(shè)，，若，則實數(shù)a的值可以為（

）A． B．0 C．3 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，得到，然后分，討論求解.【詳解】，，，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，要使，則或，解得或．綜上，或或．故選：ABD．三、填空題11．我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的直角三角形，若，則小正方形的面積是________.【答案】1【分析】設(shè)出小正方形邊長，用勾股定理列出方程，求出小正方形的邊長和面積.【詳解】設(shè)小正方形邊長為，由勾股定理得：，解得：，故小正方形的面積為.故答案為：112．設(shè)，若關(guān)于x與y的二元一次方程組的解集為空集，則______.【答案】3【分析】兩式相減，得到，進(jìn)而分，兩種情況討論求解即可得答案.【詳解】兩式相減，得到，當(dāng)時，方程無解，從而原方程組無解，其解集為空集．當(dāng)時，方程的解為，解不是空集.綜上，．故答案為：.13．一般情況下，不成立，但也有數(shù)可以使它成立，如．使得成立的一對數(shù)m、n我們稱為“相伴數(shù)對”，記為（m，n）．若（x，1）是“相伴數(shù)對”，則x的值為______．【答案】【分析】利用“相伴數(shù)對”的定義求解.【詳解】由題意，得，解得．故答案為：14．若等式恒成立，則常數(shù)a與b的和為______.【答案】2【分析】整式型函數(shù)恒為0，則各項系數(shù)均同時為零是本題入手點.【詳解】等式恒成立，即恒成立，則有，解之得，故故答案為：2四、解答題15．今年10月份，學(xué)校從某廠家購進(jìn)了A、B型電腦共250臺，A、B兩種型號電腦的單價分別為7000元、9000元，其中購進(jìn)A型、B型電腦的總金額和為205萬元.（1）求學(xué)校10月份購進(jìn)A、B型電腦各多少臺？（2）為推進(jìn)學(xué)校設(shè)備更新進(jìn)程，學(xué)校決定11月份在同一廠家再次購進(jìn)A、B兩種型號的電腦，在此次采購中，比起10月份進(jìn)購的同類型電腦，A型電腦的單價下降了a%，A型電腦數(shù)量增加了，B型電腦的單價上升了元，B型電腦數(shù)量下降了，這次采購A、B兩種型號電腦的總金額為205萬元，求a的值.【答案】（1）100臺，150臺；（2）50.【分析】（1）設(shè)學(xué)校月份購進(jìn)型電腦臺，結(jié)合總金額列方程，由此求得型電腦購進(jìn)的臺數(shù).（2）結(jié)合采購的總金額列方程，由此求得的值.【詳解】（1）設(shè)學(xué)校10月份購進(jìn)A型電腦x臺，則學(xué)校購進(jìn)B型電腦臺，由題意得：，解得：，則學(xué)校10月份B型電腦為（臺）；答：學(xué)校10月份購進(jìn)A、B型電腦各100、150臺.（2）根據(jù)第（1）可得