2023-2024學年八年級數(shù)學下冊同步學與練（浙教版）第01講 二次根式的概念與性質(zhì)（4個知識點+5類題型）-八年級數(shù)學下冊同步學與練（浙教版）（解析版）

第01講二次根式的概念與性質(zhì)（4個知識點+5類題型）課程標準學習目標1.二次根式的概念；2.二次根式有無意義的條件；3.二次根式的性質(zhì)與化簡；1.掌握二次根式的概念；2.掌握二次根式有無意義的條件；3、掌握二次根式的性質(zhì)與化簡；知識點01.二次根式的定義形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號；判斷一個式子是二次根式，需要滿足以下條件：（1）根指數(shù)必須是2；（2）被開方數(shù)為非負數(shù).【即學即練1】1、（2023秋?云巖區(qū)月考）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、當x＜0時，二次根式無意義，故選項A一定是二次根式，選項A不符合題意；B、是二次根式，故選項B符合題意；C、當x+2＜0時，此時二次根式無意義，故選項C不一定是二次根式，選項C不符合題意；D、﹣2＜0，二次根式無意義，故選項D一定不是二次根式，選項D不符合題意；故選：B．【即學即練2】2、（2023春?宜城市期末）在式子，，，x+y中，二次根式有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：在式子，，，x+y中，二次根式有，，共有2個，故選：B．知識點02.二次根式有無意義的條件：

（1）如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．

（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．【即學即練3】3、（2023?大理州二模）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥0 B．x≥5 C．x≥﹣5 D．x≤5【答案】B【解答】解：∵x﹣5≥0，∴x≥5．故選：B．【即學即練4】4、（2023秋?寧安市期末）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為（）A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠0 D．x＞0且x≠2【答案】A【解答】解：由題意得：3x≥0且x﹣2≠0，解得：x≥0且x≠2知識點03.二次根式的性質(zhì)：（1），（雙重非負性）．（2）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．應用：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（3）（4）=·（a≥0，b≥0）（5）=（a≥0，b>0）【即學即練5】5、（2023春?無棣縣期末）下列等式正確的是（）A．＝﹣2 B．＝±9 C．＝﹣2 D．＝﹣5【答案】C【解答】解：CA、＝2，故A不符合題意；B、＝9，故B不符合題意；C、＝﹣2，故C符合題意；D、無意義，故D不符合題意；故選：C．【即學即練6】6、（2023春?新市區(qū)校級期末）下列各式中，正確的是（）A． B．﹣ C． D．【答案】B【解答】解：∵＝|﹣3|＝3，∴A選項的結(jié)論不正確；∵﹣＝﹣3，∴B選項的結(jié)論正確；∵＝|﹣3|＝3，∴C選項的結(jié)論不正確；∵＝3，∴D選項的結(jié)論不正確，故選：B．知識點04.二次根式的化簡：（1）二次根式化簡的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，所得結(jié)果為最簡二次根式或整式．（2）最簡二次根式的條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【即學即練7】7、（2023秋?石鼓區(qū)期末）若a＜0，則化簡|a﹣3|﹣的結(jié)果為（）A．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣3【答案】B【解答】解：∵a＜0，∴a﹣3＜0，∴|a﹣3|﹣＝3﹣a﹣（﹣a）＝3﹣a+a＝3，故選：B．【即學即練8】8、（2023春?廣陽區(qū)校級期末）當1＜a＜2時，代數(shù)式+的值是（）A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a【答案】A【解答】解：∵1＜a＜2，∴a﹣2＜0，a﹣1＞0，∴原式＝|a﹣2|+|a﹣1|＝2﹣a+a﹣1＝1．故選：A．題型01求二次根式的值1．（2023下·八年級課時練習）當時，二次根式的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】將代入計算即可得．【詳解】解：當時，，故選：A．【點睛】本題考查了二次根式的值，熟練掌握二次根式的運算是解題關鍵．2．（2023下·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）已知二次根式，當x＝1時，此二次根式的值為（）A．2 B．±2 C．4 D．±4【答案】A【分析】將x取值代入二次根式求值即可．【詳解】解：當x＝1時，原式＝，故選：A．【點睛】本題考查二次根式的計算，注意算術(shù)平方根開出來是正數(shù)，這一點是本題關鍵．3、（2023下·浙江溫州·八年級蒼南縣金鄉(xiāng)鎮(zhèn)第二中學校聯(lián)考階段練習）當時，二次根式的值為．【答案】1【分析】直接將代入進行計算即可．【詳解】解：當時，，故答案為：1．【點睛】本題考查了代數(shù)式的值，二次根式的計算，題目比較簡單．4．（2023下·浙江·八年級專題練習）當時，二次根式的值為．【答案】1【分析】直接把代入，進而求出答案．【詳解】解：當時，二次根式．故答案為：1．【點睛】本題考查了二次根式的求值，直接代入x的值是解題關鍵．5．（2023上·浙江寧波·七年級?？计谥校┊攁＝2，b＝1.5時，求下列代數(shù)式的值．（1）a2+2ab+b2（2）+ab+1．【答案】（1）12.25；（2）7；【分析】（1）把a，b的值代入算式計算即可求出值；（2）把a，b的值代入算式計算即可求出值．【詳解】解：（1）當a＝2，b＝1.5時，原式＝22+2×2×1.5+1.52＝12.25；（2）當a＝2，b＝1.5時，原式＝+2×1.5+1＝7．【點睛】本題考查代數(shù)式求值、二次根式和平方運算，熟練掌握二次根式和平方的運算是解本題的關鍵．題型02求二次根式中的參數(shù)1．（2023下·八年級單元測試）已知是正整數(shù)，則實數(shù)n的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次根式有意義的條件和正整數(shù)的范疇進行合格判斷是解題的一般過程．【詳解】解：由題意是正整數(shù)所以，且n為整數(shù)，∴，解得，∴實數(shù)n最大值取，故選：B【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，理解掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于零是解題的關鍵．2．（2023下·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】因為是整數(shù)，且，則6n是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)n為6．【詳解】解：，且是整數(shù)，∴是整數(shù)，即6n是完全平方數(shù)；∴n的最小正整數(shù)值為6．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，關鍵是根據(jù)乘除法則和二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件時被開方數(shù)是非負數(shù)進行解答3．（2023上·四川達州·八年級?？计谥校┮阎欣頂?shù)滿足，則的值是.【答案】【分析】將已知等式整理得，由a，b為有理數(shù)，得到，求出a，b的值，代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵a，b為有理數(shù)，∴，解得，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了求二次根式中的參數(shù)，將已知等式整理后得到對應關系，由此求出a，b的值是解題的關鍵．4．（2023上·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期末）若是二次根式，則a的取值范圍是；若是正整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值是．【答案】3【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)有意義的條件求出a的取值范圍，利用正整數(shù)的意義得到a的最小值．【詳解】解：∵是二次根式，∴300a≥0，解得a≥0；∵是正整數(shù)，且300a=100×3a，∴整數(shù)a的最小值是3，故答案為，3．【點睛】此題考查了二次根式被開方數(shù)有意義的條件，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵．5．（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀材料并解決下列問題：已知a、b是有理數(shù)，并且滿足等式5﹣﹣a，求a、b的值．解：∵5﹣﹣a即5﹣∴2b﹣a＝5，﹣a＝解得：a＝﹣（1）已知a、b是有理數(shù)，并且滿足等式﹣1，則a＝，b＝．（2）已知x、y是有理數(shù)，并且滿足等式x+x+18，求xy的平方根．【答案】（1）4，1；（2）±【分析】（1）利用等式左右兩邊的有理數(shù)相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可．（2）先將等式變形，再利用等式左右兩邊的有理數(shù)相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴b=1，a-b=3，∴a=4；（2），∴，∴，解得：，∴xy=21，∴xy的平方根為±．【點睛】此題是一個閱讀題目，主要考查了實數(shù)的運算．對于閱讀理解題要讀懂閱讀部分，然后依照同樣的方法和思路解題．題型03二次根式有意義的條件1．（2023下·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）如果有意義，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到得到答案．【詳解】解：如果有意義，故，解得，故選D．【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．2．（2023下·浙江衢州·八年級期中）代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．一切實數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件進行求解即可．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴，∴且，故選C．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不為0，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0是解題的關鍵．3．（2023下·浙江·八年級開學考試）若，為實數(shù)，且，則的值為．【答案】【分析】本題考查了二次根式的非負性，利用被開方數(shù)是非負數(shù)得出，是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得：，，解得：，，，，故答案為：．4．（2023下·浙江寧波·九年級浙江省余姚市實驗學校?？计谀┐鷶?shù)式的值等于．【答案】10【分析】根據(jù)被開方數(shù)為非負數(shù)可求出，再代入計算即可．【詳解】解：∵，，∴，∴原式．故答案為：10．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值．根據(jù)被開方數(shù)為非負數(shù)求出是解題關鍵．5．（2023下·浙江·八年級專題練習）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)0【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件，列出不等式組，即可求解；（2）由（1）得，推出，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】（1）解：依題意有，即，∴，解得；（2）解：由（1）得，則，∴，解得，則．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，非負數(shù)的性質(zhì)，關鍵是能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負性解決相關問題．題型04利用二次根式的性質(zhì)化簡1．（2023上·河北邢臺·八年級邢臺三中校聯(lián)考階段練習）若，則x的值不能是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】本題考查的是二次根式的化簡，掌握是解本題的關鍵；由二次根式的性質(zhì)可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴A符合題意，B，C，D不符合題意；故選A2．（2024·全國·八年級假期作業(yè)）先化簡再求值：當時，求的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式；乙的解答為：原式，在兩人的解法中（）A．甲正確 B．乙正確 C．都不正確 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查二次根式運算，先判斷的正負，再根據(jù)化簡，最后將代入計算即可．【詳解】當時，，，∴乙計算正確．觀察甲的解答可知，甲在化簡二次根式時出現(xiàn)錯誤，結(jié)果不正確，故選B．3．（2023上·四川達州·八年級?？计谥校┤簦敲吹慕Y(jié)果是【答案】/【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)字母的取值范圍，得到式子的符號，根據(jù)二次根式的非負性，進行化簡計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故答案為：．4．（2023上·重慶·八年級重慶市鳳鳴山中學?？计谥校┮阎海啠海敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)題意化簡二次根式，即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．5．（2023下·八年級單元測試）計算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)9(4)【分析】(1)首先把帶分數(shù)化為假分數(shù)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，即可求得結(jié)果；(2)首先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再進行有理數(shù)的減法運算，即可求得結(jié)果；(3)首先根據(jù)平方差公式進行運算，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，即可求得結(jié)果；(4)首先進行有理數(shù)的減法運算，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查了利用利用二次根式的性質(zhì)化簡運算，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關鍵．題型05復合二次根式的化簡1．（2023下·河北石家莊·八年級統(tǒng)考階段練習）下面的推導中開始出錯的步驟是（

）因為，①，②所以.③所以.④A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負性即可判斷．【詳解】解：第②步中是負數(shù)，而是一個正數(shù)，二者并不相等，∴第②步推導錯誤．故選B．【點睛】本題主要考查算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟練掌握平方根和算術(shù)平方根的正負性是解決本題的關鍵．2．（2023上·上海寶山·八年級統(tǒng)考期中）下列各式中，與化簡所得結(jié)果相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解．【詳解】解：∵有意義，∴∴，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2023上·廣東佛山·八年級佛山市實驗學校?？茧A段練習）形如的根式叫做復合二次根式，把變成叫做復合二次根式的化簡，請將復合二次根式化簡為．【答案】/【分析】先把10拆成與的平方和，則可寫成完全平方式，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：；故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)：．也考查了完全平方公式的運用．4．（2023下·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：如果我們能找到兩個正整數(shù)，使且，這樣，那么我們就稱為“和諧二次根式”，則上述過程就稱之為化簡“和諧二次根式”．例如：，根據(jù)閱讀材料解決下列問題：化簡“和諧二次根式”．【答案】/【分析】仿照題意進行求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了化簡復合二次根式，正確理解題意是解題的關鍵．5．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學?？茧A段練習）閱讀材料：小李同學在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小李同學進行了以下探索：設（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．∴，．這樣小李同學就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小李同學的方法探索并解決下列問題：(1)當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：______，______；(2)若且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．(3)化簡：．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）利用完全平方公式將展開即可求解；（2）由（1）中所得結(jié)論結(jié)合a、m、n均為正整數(shù)，即可求解；（3），據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵∴．故答案為：．（2）解：∵∴，由（1）中結(jié)論可知：，∴，∵m、n均為正整數(shù)，∴或，當時，；當時，；∴a的值為或．（3）解：，∴．【點睛】本題考查復合二次根式的化簡．正確理解題意是解題關鍵．A夯實基礎1．（2023下·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期末）式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件．根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解．【詳解】解：∵式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴的取值范圍是．故選：B2．（2023上·福建泉州·八年級?？茧A段練習）使式子有意義的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】A【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件．直接利用二次根式有意義的條件以及結(jié)合分式有意義的條件得出答案．【詳解】解：使式子有意義，則，且，解得：．故選：A．3．（2023上·吉林長春·八年級長春外國語學校校考階段練習）如果二次根式有意義，則a的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握“二次根式有意義的條件：．”是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，解得：；故答案：．4．（2023上·湖南衡陽·八年級衡陽市實驗中學校考期中）已知x、y為實數(shù)，且．則的平方根．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值，平方根定義，解題關鍵是根據(jù)二次根式有意義的條件求出，．【詳解】解：∵，∴，解得：，∴，∴，36的平方根為，故答案為：．5．（2023上·浙江·八年級專題練習）求下列函數(shù)的自變量x的取值范圍：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)全體實數(shù)(2)全體實數(shù)(3)(4)(5)且【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，列式計算即可得解．【詳解】（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)；（2）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)；（3）依題意有，解得；（4）依題意有，解得；（5）依題意有且，解得且．【點睛】本題主要考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．6．（2023上·江蘇·八年級專題練習）（1）已知的平方根是的平方根是，求的平方根；（2）若都是實數(shù)，且，求的立方根．【答案】（1）；（2）3【分析】（1）由的平方根是的平方根是，列方程組，再解方程組，求解，從而可得答案；（2）先根據(jù)二次根式有意義的條件求解，再求解，再求解的立方根即可．【詳解】解：由題意可知：，，，的平方根是，即的平方根為．解：由題意可知：，，，，的立方根是3，即的立方根是3．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的解法，一元一次不等式組的解法，平方根，算術(shù)平方根，立方根的含義，二次根式有意義的條件，掌握以上基礎知識是解題的關鍵．B能力提升1．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考階段練習）函數(shù)中，自變量x的取值范圍為（

）．A． B． C．且 D．【答案】A【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件列不等式組求解即可；掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負數(shù)、分式有意義的條件是分母不為零成為解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，解得：．故選A．2．（2023上·四川達州·九年級?？茧A段練習）若則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次根式的性質(zhì)，進行求解即可．掌握：，是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，故選B．3．（2023上·陜西西安·八年級西安市航天中學校考階段練習）已知，則的平方根等于．【答案】【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)是解題的關鍵．根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)列出不等式組，解不等式組，求出x的值，從而求出y值，再代入根據(jù)平方根的定義解答即可．【詳解】解：由題意，得，解得：，∴∴的平方根故答案為：．4．（2023上·湖南岳陽·八年級岳陽市弘毅新華中學校考階段練習）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：化簡：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡絕對值，判定絕對值符號里面的代數(shù)式正負是解題關鍵．【詳解】解：由數(shù)軸可知：，∴，∴故答案為：5．（2023上·四川遂寧·八年級四川省遂寧市第二中學校?？茧A段練習）閱讀下列材料：我們可以通過以下方法求代數(shù)式的最小值．，且，當時，有最小值．請根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)若，則的值是___________．(2)求證：無論取何值都有意義；(3)若代數(shù)式的最小值為2，求的值【答案】(1)(2)證明過程見解答(3)的值為【分析】本題考查了完全平方公式的應用；（1）把右邊化簡，求出和的值，進而可求出的值；（2）把被