【中考沖刺】2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)名校模擬題重要考點(diǎn)分類匯編（天津?qū)Ｓ茫ｎ}11 二次函數(shù)性質(zhì)綜合題（共56道） 解析版

二輪復(fù)習(xí)2024年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類匯編專題11——二次函數(shù)性質(zhì)綜合題（共56道）（天津?qū)Ｓ茫?．（2023上·天津和平·九年級天津市匯文中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是此拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上兩點(diǎn)之間的距離是；(3)①：點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，連接和，求面積的最大值；(4)在①的條件下，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，為軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，連接，探究是否存在最小值．若存在，請直接寫出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)(4)存在，【分析】（1）將，代入即可求解．（2）求出，，利用勾股定理即可求解．（3）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)F，求出直線的解析式為，設(shè)，則，則，進(jìn)而可求解．（4）過點(diǎn)作軸的平行線，且，則四邊形是平行四邊形，可得，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，的值最小，分別求出，，，進(jìn)而求出直線的解析式為，進(jìn)而可求出直線與軸的交點(diǎn)為，則可得，進(jìn)而可求解．【詳解】（1）解：將，代入得：，解得：，拋物線的解析式為．（2），，當(dāng)時，則，，根據(jù)勾股定理得：，故答案為：．（3）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)F，如圖：

設(shè)直線的解析式為，，，，設(shè)，則，，，當(dāng)時，有最大值為．（4）存在最小值，理由如下：當(dāng)時，，，拋物線的對稱軸為直線，垂直對稱軸，軸，，過點(diǎn)作軸的平行線，且，如圖：四邊形是平行四邊形，，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，的值最小，，，，，設(shè)直線的解析式為，，解得：，，，，當(dāng)時存在最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題、勾股定理、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，通過構(gòu)造平行四邊形，利用兩點(diǎn)間線段最短求線段和的最短距離是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·天津南開·九年級南開翔宇學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)（實(shí)數(shù)b，c為常數(shù)）.(1)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為，求此二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，，則該拋物線的頂點(diǎn)隨著k的變化而移動，當(dāng)頂點(diǎn)移動到最高處時，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)記關(guān)于x的二次函數(shù)，若在（1）的條件下，當(dāng)時，總有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，化頂點(diǎn)式等知識．（1）將點(diǎn)代入二次函數(shù)的解析式可得c的值，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可得b的值，由此即可得；（2）由，得出，從而得到頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即從而得到當(dāng)時，頂點(diǎn)移動到最高處，此時拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）先根據(jù)可得令，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，求解即可得．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入得：，∵二次函數(shù)的對稱軸為，∴，解得，二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：∵，，∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即，∴當(dāng)時，頂點(diǎn)移動到最高處，此時拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，（3）解：由1可知，，由得：，即，令，它的對稱軸是直線，且開口向上，∴在內(nèi)，隨x的增大而增大，要使得當(dāng)時，總有即，則只需當(dāng)時，即可，因此有，解得：．3．（2023上·天津?yàn)I海新·九年級天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？计谥校┮阎獟佄锞€與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），頂點(diǎn)為D，且過C（－4，m）．(1)求點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P在該拋物線上（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動時，求△PBC的面積的最大值，②連接BD，當(dāng)∠PCB＝∠CBD時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)A（-5，0），B（-1，0）；C（-4，-3）；D（-3，-4）(2)①；②（0，5）或（，）【分析】（1）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，令y=0，求出x的值即可得到A、B的坐標(biāo)，把x=-4代入拋物線解析式求出y即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）①先求出直線BC的解析式為，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E交BC于F，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，t+1），，再根據(jù)，進(jìn)行求解即可；②分如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時，兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，-4）；令y=0，則，解得或，∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）；令，則，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，-3）；（2）解：①設(shè)直線BC的解析式為，∴，∴，∴直線BC的解析式為，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E交BC于F，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，t+1），∴，∴，∴當(dāng)時，△PBC的面積最大，最大為；

②如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時，∵∠PCB=∠CBD，∴，設(shè)直線BD的解析式為，∴，∴，∴直線BD的解析式為，∴可設(shè)直線PC的解析式為，∴，∴，∴直線PC的解析式為，聯(lián)立得，解得或（舍去），∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）；

如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時，設(shè)BD與PC交于點(diǎn)M，∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（-4，-3），點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)D坐標(biāo)為（-3，-4），∴,，，∴，∴∠BCD=90°，∴∠BCM+∠DCM=90°，∠CBD+∠CDB=90°，∵∠CBD=∠PCB，∴MC=MB，∠MCD=∠MDC，∴MC=MD，∴MD=MB，∴M為BD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-2），設(shè)直線CP的解析式為，∴，∴，∴直線CP的解析式為，聯(lián)立得，解得或（舍去），∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；綜上所述，當(dāng)∠PCB＝∠CBD時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）或（，）；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·天津河?xùn)|·九年級天津市第七中學(xué)校考期中）已知直線：經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．(1)求直線的解析式；(2)若點(diǎn)P（，）在直線上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)（0，-3），且開口向下①求的取值范圍；②設(shè)拋物線G與直線的另一個交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個單長度后得到的點(diǎn)Q'也在G上時，求G在≤≤的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)直線解析式為：；(2)①m＜10，且m≠0；②最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，9）或（2，5）【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）①設(shè)G的頂點(diǎn)式，根據(jù)點(diǎn)P在直線上得出G的關(guān)系式，根據(jù)題意得出點(diǎn)（0，-3）不能成為拋物線G的頂點(diǎn)，進(jìn)而得出點(diǎn)P必須位于直線的上方，可求m的取值范圍，然后結(jié)合點(diǎn)P不能在軸上得出答案；②先根據(jù)點(diǎn)Q，點(diǎn)的對稱，得QQ'=1，可表示點(diǎn)Q和的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)的代入關(guān)系式，求出a，再將點(diǎn)（0，-3）代入可求出m的值，然后分兩種情況結(jié)合取值范圍，求出函數(shù)最大值時，最高點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6），∴，解得，∴直線解析式為：；（2）解：①設(shè)G：（），∵點(diǎn)P（，）在直線上，∴；∴G：（）∵（0，-3）不在直線上，∴（0，-3）不能成為拋物線G的頂點(diǎn)，而以P為頂點(diǎn)的拋物線G開口向下，且經(jīng)過（0，-3），∴點(diǎn)P必須位于直線的上方，則，，另一方面，點(diǎn)P不能在軸上，∴，∴所求取值范圍為：，且；②如圖，QQ'關(guān)于直線對稱，且QQ'=1，∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為，而點(diǎn)Q在上，∴Q（，），Q'（，）；∵Q'（，）在G：上，∴，，∴G：，或．∵拋物線G過點(diǎn)（0，-3），∴，即，，；當(dāng)時，拋物線G為，對稱軸為直線，對應(yīng)區(qū)間為-2≤≤-1，整個區(qū)間在對稱軸的右側(cè)，此時，函數(shù)值隨著的增大而減小，如圖，∴當(dāng)取區(qū)間左端點(diǎn)時，達(dá)最大值9，最高點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，9）；當(dāng)時，對應(yīng)區(qū)間為≤≤，最高點(diǎn)為頂點(diǎn)P（2，5），如圖，∴G在指定區(qū)間圖象最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，9）或（2，5）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，求二次函數(shù)的極值等．解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)時，頂點(diǎn)在直線與軸的交點(diǎn)（0，7），此時拋物線不可能過點(diǎn)（0，-3），因此，可能會被忽視．5．（2023上·天津·九年級天津一中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是拋物線上不與點(diǎn)，，重合的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接．①如圖，若點(diǎn)在第一象限，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②直線交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在軸上時，求線段的長．【答案】(1)(2)①，②或【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）①過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，由題意可得，從而得到方程，求出即可求點(diǎn)，；②設(shè)，，求出直線的解析式可知，然后可求出點(diǎn)，然后可分類求解即可【詳解】（1）解：將點(diǎn)和點(diǎn)代入，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：①當(dāng)時，，∴設(shè)，∵點(diǎn)在第一象限，∴，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，∵，∴，∴解得（舍）或，∴；②設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，∴，設(shè)直線的解析式為，∴解得，∴直線的解析式為，當(dāng)在軸正半軸上時，，∴，∴，∴，∵、的中點(diǎn)為在直線上，∴，解得，∴∴當(dāng)在軸負(fù)半軸上時，，∴，∴，∴，∵、的中點(diǎn)為在直線上，∴，解得，∴∴∴綜上所述：的長為或

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023上·天津·九年級天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線的對稱軸x＝1與拋物線交于點(diǎn)D，與直線BC交于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)F是直線BC上方的拋物線上的一個動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使四邊形ABFC的面積最大，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)和最大值；若不存在，請說明理由；(3)平行于DE的一條動直線l與直線BC相交于點(diǎn)P，與拋物線相交于點(diǎn)Q，若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．(4)探究對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+x+4(2)存在，四邊形ABFC的面積最大為16，F(xiàn)（2，4）(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）或（2+，2﹣）或（2﹣，2+）(4)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）或（1，﹣）或（1，1）或（1，4+）或（1，4﹣）【分析】（1）先由拋物線的對稱軸是直線x＝1，求得b＝﹣2a，再將將A（﹣2，0），C（0，4）代入，即可求函數(shù)的解析式；（2）過點(diǎn)F作FGy軸交BC于點(diǎn)G，設(shè)F（t，+t+4），則G（t，﹣t+4），再由，當(dāng)t＝2時，四邊形ABFC的面積最大，最大值為16，此時F（2，4）；（3）設(shè)P（m，﹣m+4），Q（t，+m+4），分兩種情況討論：①當(dāng)DP為平行四邊形的對角線時，此時P（3，1）；②當(dāng)DQ為平行四邊形的對角線時，此時P（2，2）或（2，2）；（4）設(shè)P（1，n），分三種情況討論：①當(dāng)AP＝AC時，20＝9+，此時P（1，）或（1，）；②當(dāng)AP＝PC時，9+＝1+，此時P（1，1）；③當(dāng)AC＝PC時，20＝1+，此時P（1，4）或（1，4）．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸x＝1，∴1，∴b＝﹣2a，∴，將A（﹣2，0），C（0，4）代入，得，解得，∴；（2）存在點(diǎn)F使四邊形ABFC的面積最大，理由如下：令y＝0，則x2+x+4＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴B（4，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，過點(diǎn)F作FGy軸交BC于點(diǎn)G，設(shè)F（t，+t+4），則G（t，﹣t+4），∴PG+t+4+t﹣4+2t，∵A（﹣2，0），B（4，0），∴AB＝6，∴，∴當(dāng)t＝2時，四邊形ABFC的面積最大，最大值為16，此時，∴F（2，4）；（3）∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，當(dāng)x＝1時，，y＝﹣x+4＝﹣1＋4＝3，∴D（1，），E（1，3），設(shè)P（m，﹣m+4），Q（t，m2+m+4），①當(dāng)DP為平行四邊形的對角線時，，解得（舍）或，當(dāng)m＝3時，﹣m+4＝1，∴P（3，1）；②當(dāng)DQ為平行四邊形的對角線時，，解得或，當(dāng)m＝時，﹣m+4＝，當(dāng)m＝時，﹣m+4＝2，∴P（2，2）或（2，2）；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）或（2，2）或（2，2）；（4）存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，理由如下：∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，設(shè)P（1，n），∴，，，①當(dāng)AP＝AC時，，解得n＝±，∴P（1，）或（1，）；②當(dāng)AP＝PC時，，解得n＝1，∴P（1，1）；③當(dāng)AC＝PC時，20，解得n＝4或n＝4，∴P（1，4）或（1，4）；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）或（1，）或（1，1）或（1，4）或（1，4）．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（2023上·天津和平·九年級天津市匯文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過A(，0)，B(，)兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連接CD．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動時，求的面積的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；②該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）①，P(，)，②存在，P(，)或(0，5)【分析】（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）①根據(jù)S△PBC=PG（xC-xB），即可求解；②分點(diǎn)P在直線BC下方、上方兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：y=x2+6x+5…①，令y=0，則x=-1或-5，即點(diǎn)C（-1，0）；（2）①如圖1，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)G，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線BC的表達(dá)式為：y=x+1…②，設(shè)點(diǎn)G（t，t+1），則點(diǎn)P（t，t2+6t+5），，∵?＜0，∴S△PBC有最大值，當(dāng)t=-時，其最大值為；②設(shè)直線BP與CD交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時，∵∠PBC=∠BCD，∴點(diǎn)H在BC的中垂線上，線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-，-），過該點(diǎn)與BC垂直的直線的k值為-1，設(shè)BC中垂線的表達(dá)式為：y=-x+m，將點(diǎn)（-，-）代入上式并解得：直線BC中垂線的表達(dá)式為：y=-x-4…③，同理直線CD的表達(dá)式為：y=2x+2…④，聯(lián)立③④并解得：x=-2，即點(diǎn)H（-2，-2），同理可得直線BH的表達(dá)式為：y=x-1…⑤，聯(lián)立①⑤并解得：x=-或-4（舍去-4），故點(diǎn)P（-，-）；當(dāng)點(diǎn)P（P′）在直線BC上方時，∵∠PBC=∠BCD，∴BP′∥CD，則直線BP′的表達(dá)式為：y=2x+s，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得：s=5，即直線BP′的表達(dá)式為：y=2x+5…⑥，聯(lián)立①⑥并解得：x=0或-4（舍去-4），故點(diǎn)P（0，5）；故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-，-）或（0，5）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．8．（2023上·天津和平·九年級天津市第五十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，為常數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為．(1)當(dāng)時，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)時，點(diǎn)，若，求該拋物線的解析式；(3)當(dāng)時，點(diǎn)，過點(diǎn)作直線平行于軸，，，，是直線上的動點(diǎn)．當(dāng)為何值時，的最小值為，并求此時點(diǎn)，的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)或．(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為【分析】（1）結(jié)合題意，通過列一元一次方程并求解，即可得到拋物線的解析式，將解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到答案（2）根據(jù)題意，得拋物線的解析式為；根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)，計算得點(diǎn)D的坐標(biāo)為；過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)G，根據(jù)勾股定理和一元二次方程的性質(zhì)，得，，從而得到答案；（3）當(dāng)時，將點(diǎn)向左平移3個單位長度，向上平移1個單位長度得；作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，當(dāng)滿足條件的點(diǎn)M落在線段上時，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，得最小，結(jié)合題意，根據(jù)勾股定理和一元二次方程性質(zhì)，得，從而得直線的解析式，通過計算即可得到答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時，拋物線的解析式為．∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為，∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時，由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，可知，∴拋物線的解析式為，∴拋物線的對稱軸為：，當(dāng)時，，∴拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

在中，，，∴，在中，，，∴．∵，即，∴，解得：，，∴拋物線的解析式為或．（3）當(dāng)時，將點(diǎn)向左平移3個單位長度，向上平移1個單位長度得．作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，得點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)滿足條件的點(diǎn)落在線段上時，最小，此時，．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

在中，，，∴．又，即．解得：，（舍），∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴直線的解析式為．當(dāng)時，．∴，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．9．（2023上·天津和平·九年級天津市雙菱中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是拋物線上的一動點(diǎn)（點(diǎn)在直線的下方），過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求線段的長（用含的代數(shù)式表示）；(3)在（2）的條件下，連接、，求面積的最大值，并求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）將，代入，求出、的值即可；（2）根據(jù)，兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的解析式，結(jié)合點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，在拋物線上求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)軸，點(diǎn)在直線上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出線段的長；（3）設(shè)的面積為，根據(jù)，用含的式子表示出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出取最大值時的值，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把，代入得解得：∴；（2）∵，，∴直線AB的方程為：，又∵過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，，∴；（3）設(shè)的面積為S，由（2）得：，則∵∴時，S取最大值，∴故的面積最大時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：；∴故的面積最大取最大值時，點(diǎn)的坐標(biāo)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及包含的線段和面積問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？家荒＃┮阎簰佄锞€（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0），C（0，4），點(diǎn)B為拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)M，N是該拋物線對稱軸上的兩個動點(diǎn)，且，點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，求四邊形AMNC周長的最小值．【答案】(1)(2)（3，5）(3)【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)首先點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出直線BC的解析式，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，交于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)，,當(dāng)時，有最大值,即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由四邊形AMNC的周長，得到當(dāng)AM+CN最小時，四邊形AMNC的周長最小，得出AM+CN=AM+DM，求出的最小值即可得到結(jié)論.【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），C（0，4），∴解得∴該拋物線的解析式：（2）解：∵點(diǎn)B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，∴，∴，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，

∵點(diǎn)B（6，0），C(0，4)∴解得，∴直線解析式為：，

如圖，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，交于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)，

∴，∴∴當(dāng)時，有最大值，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，5）．（3）解：∵A（-2，0），C（0，4），∴，∵四邊形AMNC的周長，，∴當(dāng)AM+CN最小時，四邊形AMNC的周長最小.將CN向下平移2個單位長度，得到對應(yīng)線段DM，∴點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），∴AM+CN=AM+DM，可知拋物線的對稱軸為直線，如圖，作點(diǎn)D關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，可求得（4，2），連接，則，

過點(diǎn)作⊥x軸于點(diǎn)E，，，∴的最小值為，∴四邊形周長的最小值為．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)中考壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、最短路線問題等知識點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？级＃┮阎獟佄锞€y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a>0）經(jīng)過A(-1，0)和B(3，0)兩點(diǎn)，點(diǎn)C(0，-3)，連接BC，點(diǎn)Q為線段BC上的動點(diǎn)．(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)C；①求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；②連接AC，過點(diǎn)Q作PQ∥AC交拋物線的第四象限部分于點(diǎn)P，連接PA，PB，AQ，△PAQ與△PBQ面積記為S1，S2，若S=S1+S2，當(dāng)S最大時，求點(diǎn)P坐標(biāo)；(2)若拋物線與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)H，線段AB上有一個動點(diǎn)G，AG=BQ，連接HG，AQ，當(dāng)AQ+HG最小值為時，求拋物線解析式．【答案】(1)①；(1，-4)②，(2)【分析】（1）①運(yùn)用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②如圖①，連接CP，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于E，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CF⊥PD，可得出S=S△PCQ+S△PBQ=S△CPB=S△CPD+S△BPD，求出直線BC的解析式為y=x﹣3，設(shè)P()，D()(0<m<3)，得PD=，根據(jù)S=S△CPD+S△BPD可得S=，從而進(jìn)一步可得結(jié)論；（2）如圖②，把線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段AE，連接EH交x軸于點(diǎn)G，由y＝ax2+bx+c經(jīng)過A(-1，0)，B(3，0)得y＝ax2﹣2ax﹣3a，可得H(0，﹣3a)，當(dāng)點(diǎn)E，G，H共線時，AQ+HG值最小，即HE=，過點(diǎn)E作EN⊥y軸，ET⊥x軸，可得E（），根據(jù)勾股定理列方程，求出a的值即可解決問題【詳解】（1）∵拋物線拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A(-1，0)，B(3，0)和C(0，-3)∴y=a(x+1)(x﹣3)把C(0，-3)代入，解得a=1∴拋物線解析式為∵∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）②如圖①，連接CP，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于E，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CF⊥PD∵PQ//AC∴S△PAQ=S△PCQ∴S=S1+S2=S△PAQ+S△PBQ∴S=S△PCQ+S△PBQ=S△CPB=S△CPD+S△BPD·設(shè)直線BC的解析式為解得．∴直線BC的解析式為y=x﹣3.設(shè)P()，則D()，(0<m<3)∴PD=S=S△CPD+S△BPD∴S=∵∴∴P，（2）如圖②，把線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段AE，連接EH交x軸于點(diǎn)G，∴AE=AB=4，∠EAB=45°.∵y＝ax2+bx+c經(jīng)過A(-1，0)，B(3，0)·∴y=a(x+1)(x﹣3)∴y＝ax2﹣2ax﹣3a令x=0，可得y=﹣3a∴H(0，﹣3a).∵∠BOC=90°，OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°∴∠EAB=∠OBC=45°.又∵AG=BQ∴ΔAEG≌ΔBAQ.∴EG=AQ∴AQ+HG=EG+HG≥HE.當(dāng)點(diǎn)E，G，H共線時，AQ+HG值最小即HE=過點(diǎn)E作EN⊥y軸，ET⊥x軸，在RtΔATE中，∠EAT=45°∴sin∠EAT=，cos∠EAT=∴∴E（）在Rt△ENH中，∴可得解得∵∴∴拋物線的解析式為【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)求最值等，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)等相關(guān)知識，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．12．（2022·天津·天津市雙菱中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)若，是二次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)，求證：；(3)當(dāng)時，函數(shù)的最大值與最小值之差為，直接寫出的值．【答案】(1)(2)見解析(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；（2）將點(diǎn)，點(diǎn)帶入解析式，求出，求出最值即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找到對稱軸，求出當(dāng)時，，當(dāng)時，，可設(shè)動點(diǎn)，，根據(jù)題意分三種情況，當(dāng)，，時，根據(jù)函數(shù)的最大值與最小值之差為，分情況討論進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，將點(diǎn)，點(diǎn)代入解析式，，解得：，此二次函數(shù)的解析式為；（2）將點(diǎn)，點(diǎn)帶入解析式，得：，，，；（3）由（1）可知二次函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可設(shè)動點(diǎn)，，根據(jù)題意分三種情況，①當(dāng)，即時，隨增大而增大，二次函數(shù)在點(diǎn)時取最大值，在點(diǎn)處取得最小值，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得：；②當(dāng)時，即時，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，，當(dāng)，即時，點(diǎn)到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，

當(dāng)時，，，解得：，，均不符合題意，舍去；當(dāng)時，此時點(diǎn)到對稱軸的距離等于到對稱軸的距離，

二次函數(shù)在和時均取最小值，此時，，不符合題意，舍去，當(dāng)，即時，點(diǎn)到對稱軸的距離小于到對稱軸的距離，

當(dāng)時，，，解得：，（不符合題意，舍去）；③當(dāng)時，隨增大而減小，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，解得：（不符合題意，舍去）．綜上所述，滿足條件的的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)求最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的增減性分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023下·天津南開·九年級南開翔宇學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C都在拋物線y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x軸，∠ABC＝135°，且AB＝4．（1）當(dāng)m＝1時，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)C到直線AB的距離（用含a的式子表示）；（3）若點(diǎn)C到直線AB的距離為1，當(dāng)2m﹣5≤x≤2m﹣2時，y的最大值為2，求m的值．【答案】（1）（1，﹣3）；（2）點(diǎn)C到直線AB的距離為﹣；（3）m的值為或10+2【分析】（1）由配方法可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，代入解析式可求解；（3）先求出a值，分三種情況考慮：①當(dāng)m＞2m﹣2，即m＜2時，x＝2m﹣2時y取最大值，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②當(dāng)2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5時，x＝m時y取最大值，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③當(dāng)m＜2m﹣5，即m＞5時，x＝2m﹣5時y取最大值，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之可求出m的值．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)m＝1時，拋物線的解析式為y＝ax2﹣2ax+a﹣3，∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a（x﹣1）2﹣3，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3）；（2）如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長線于D，∵∠ABC＝135°，∴∠CBD＝45°，∵CD⊥AD，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m﹣5），∵AB＝4，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m+2，∵點(diǎn)B在拋物線y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴y＝a（m+2﹣m）2+2m﹣5＝4a+2m﹣5，∴點(diǎn)B（m+2，4a+2m﹣5），設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，∴BD＝CD＝d，∴點(diǎn)C（m+2+d，4a+2m﹣5﹣d），∵點(diǎn)C在拋物線y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣d＝a（m+2+d﹣m）2+2m﹣5，整理得：ad2+4ad+d＝0，∵d≠0，∴d＝﹣，∴點(diǎn)C到直線AB的距離為﹣；（3）∵點(diǎn)C到直線AB的距離為1，∴﹣＝1，∴a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三種情況考慮：①當(dāng)m＞2m﹣2，即m＜2時，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣14m+39＝0，解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；②當(dāng)2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5時，有2m﹣5＝2，解得：m＝；③當(dāng)m＜2m﹣5，即m＞5時，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣20m+60＝0，解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．綜上所述：m的值為或10+2．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形，解一元二次方程以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）利用配方法將二次函數(shù)解析式變形為頂點(diǎn)式；（2）利用參數(shù)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）分m＜2、2≤m≤5及m＞5三種情況考慮．14．（2023下·天津和平·九年級天津一中校考階段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，，分別是線段，上的動點(diǎn)（點(diǎn)，不與點(diǎn)，，重合）．(1)求此拋物線的表達(dá)式；(2)連接并延長交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)軸，且時，求的長；(3)連接．①如圖2，將沿軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖3，連接，當(dāng)時，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）把點(diǎn)B代入拋物線關(guān)系式，求出a的值，即可得出拋物線的關(guān)系式；（2）根據(jù)拋物線可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)，利用三角函數(shù)，求出DE的長，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)相同，得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入拋物線的關(guān)系式，求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；（3）①連接交于點(diǎn)，設(shè)，則，求出，得出點(diǎn)，將其代入拋物線關(guān)系式，列出關(guān)于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐標(biāo)；②在下方作且，連接，，證明，得出，說明當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，最小，最小為，過作，垂足為，先證明∠CAH=45°，算出AC長度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根據(jù)勾股定理求出CQ的長度即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵在拋物線上，∴，解得，∴，即；（2）在中，令，得，，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴．（3）①連接交于點(diǎn)，如圖1所示：∵與關(guān)于軸對稱，∴，，設(shè)，則，，∴，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，解得（舍去），，∴；②在下方作且，連接，，如圖2所示：∵，∴，∴，∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，最小，最小為，過作，垂足為，∵，，∴，，∵，，，，∴，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求拋物線的關(guān)系式，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角函數(shù)的定義，作出輔助線，證明，得出當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，最小，是解題的關(guān)鍵．15．（2023下·天津?yàn)I海新·九年級天津經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)C作直線軸，動點(diǎn)在直線l上．①連接，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時，過點(diǎn)P作軸，與x軸交于點(diǎn)E，連接，把沿直線翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為，與y軸交于點(diǎn)G，求的長；②點(diǎn)N在拋物線上，且在第四象限，滿足．動點(diǎn)在x軸上，連接，，，當(dāng)t為何值時，的值最小，并求出的最小值．【答案】（1）D的坐標(biāo)為，；（2）①的長為；②的最小值為【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式進(jìn)行求解最后化為頂點(diǎn)式即可；（2）①先求出直線BD的解析式，在根據(jù)P在直線BD上求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)翻折的定義用勾股定理求解即可；②直線的解析式為，然后求出N點(diǎn)坐標(biāo)；將頂點(diǎn)向下平移3個單位長度，得點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)Q，連接，當(dāng)，Q，N三點(diǎn)在一條直線上時，取得最小值，，然后求出的長度最后進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：（1）由已知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，得．∴．∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，得解得，∴拋物線的解析式為．配方,得．∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（2）①設(shè)直線的解析式為，由，得解得∴直線的解析式為，∵在直線上，∴．解得．∴P點(diǎn)坐標(biāo)為．∵軸，∴，∵把沿直線翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為，∴，∴，∴．設(shè)，則．在中，有，∴，解得．∴的長為②過點(diǎn)A作交拋物線于點(diǎn)N，滿足，則直線的解析式為．∵在直線上，得，解得，∴直線的解析式為，由解得或∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．將頂點(diǎn)向下平移3個單位長度，得點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)Q．連接，則．∵，∴軸，且．∴，且．∴四邊形是平行四邊形．∴．當(dāng)，Q，N三點(diǎn)在一條直線上時，取得最小值，此時，，設(shè)直線的解析式為，由，得解得∴直線的解析式為．當(dāng)時，，∴，即．過點(diǎn)N作軸交的延長線于點(diǎn)H，在中，，．∴，∴當(dāng)時，的值最小，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識點(diǎn)．16．（2023下·天津和平·九年級天津市雙菱中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是第一象限的拋物線上一動點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)．①若，求點(diǎn)坐標(biāo)；②過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時，拋物線上是否存在一點(diǎn)，使，如果存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，3)；②存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，【分析】（1）把兩點(diǎn)代入拋物線，利用待定系數(shù)法求解；（2）①連接CD，證明△AOC為等腰直角三角形，△CDE為等腰直角三角形，根據(jù)角之間的關(guān)系推出CD∥OA，求出點(diǎn)C和D的縱坐標(biāo)都等于3，把y＝3代入拋物線解析式即可求出；②DF⊥x軸，得出DH⊥OA，證明△DEF為等腰直角三角形，因?yàn)椤鱀EF的周長等于．有，求出直線AC的解析式為y＝－x＋3，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，則，利用配方法研究最值．【詳解】（1）解：把兩點(diǎn)代入拋物線則，解得．∴拋物線的解析式為；（2）解：①連接CD，當(dāng)x＝0時，y＝3，即OC＝3，∵OC＝OA＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC為等腰直角三角形，∠CAO＝45°．∵DE⊥AC，DE＝CE，∴△CDE為等腰直角三角形，∠DCE＝45°，∴∠DCE＝∠OAC＝45°，即CD∥OA．∴點(diǎn)C和D的縱坐標(biāo)都等于3．把y＝3代入拋物線解析式得，，解得（舍去），，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3）．②∵DF⊥x軸，∴DH⊥OA，∵∠CAO＝45°，∴∠AFH＝45°，∵DE⊥AC，∠DFE＝∠AFH＝45°，∴△DEF為等腰直角三角形，∴則△DEF的周長等于．∵，∴直線AC的解析式為y＝－x＋3．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，則．∴當(dāng)時，DF取得最大值，此時△DEF的周長取得最大值．點(diǎn)D的坐標(biāo)為．∵，∴點(diǎn)P和D到直線AC的距離相等．容易得知點(diǎn)P和D重合時符合題意，此時P的坐標(biāo)為．作直線l和k都和直線AC平行，且到直線AC的距離都相等，則直線l的解析式為，直線k的解析式為．聯(lián)立直線與拋物線得，，解得，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，．綜上所述：符合題意得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)、待定系數(shù)求解解析式、等腰直角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用屬性結(jié)合的思想進(jìn)行求解．17．（2023上·天津河西·九年級天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線（為常數(shù)），點(diǎn)A（-1，-1），B（3，7）．（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時，求拋物線解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）拋物線的頂點(diǎn)隨著的變化而移動，當(dāng)頂點(diǎn)移動到最高處時，①求拋物線的解析式；②在直線AB下方的拋物線上有一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥軸，交直線AB于點(diǎn)F，求線段EF取最大值時的點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若拋物線與線段AB只有一個交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）拋物線的解析式為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；（2）①函數(shù)解析式為；②EF取得最大值時，；（3）m的取值范圍為：或或．【分析】（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式求解確定，即可確定函數(shù)解析式，將解析式化解為頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)行整理，使頂點(diǎn)移動到最高處，即使頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)最大，化簡可得出，即可確定解析式；②設(shè)直線AB的解析式為，將A、B兩點(diǎn)代入解析式求解確定函數(shù)解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解確定自變量的取值范圍，設(shè)點(diǎn)，，且，根據(jù)題意，表示出，化為頂點(diǎn)式即可得出取得最大值時自變量的取值，然后代入函數(shù)解析式即可；（3）將一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式聯(lián)立求解可得，，在線段AB上，根據(jù)題意中拋物線與線段AB只有一個交點(diǎn)，分三種情況討論：①拋物線與直線AB只有一個交點(diǎn)，即點(diǎn)M與點(diǎn)N重合；②點(diǎn)N在線段AB的延長線上時；③點(diǎn)N在線段BA的延長線上時，依次進(jìn)行討論求解即可得．【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式可得：，解得：，∴拋物線的解析式為：，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；（2）①拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，整理可得，使頂點(diǎn)移動到最高處，即取得最大值，，當(dāng)時，取得最大值，此時函數(shù)解析式為：將代入可得：；②如圖所示：設(shè)直線AB的解析式為，將A、B兩點(diǎn)代入解析式可得：，解得：，∴直線解析式為：，將直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立可得：，解得：；，∴，，設(shè)點(diǎn)，，且，，，，∵，∴當(dāng)時，EF取得最大值，，∴；（3），將①代入②可得：，整理可得：，∵，，，∴，，，∴拋物線與直線AB有交點(diǎn)，解方程，，解得：，，∴；，∴拋物線與直線AB的交點(diǎn)為：，，將代入直線AB解析式，可得：，∴在直線AB上，∵，∴在線段AB上，∵拋物線與線段AB只有一個交點(diǎn)，∴分三種情況討論：①拋物線與直線AB只有一個交點(diǎn)，如圖所示，即點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，∴，∴；②點(diǎn)N在線段AB的延長線上時，如圖所示：∴，∴；③點(diǎn)N在線段BA的延長線上時，如圖所示：∴，∴；綜上可得：m的取值范圍為：或或．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，函數(shù)最值問題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)及分類討論思想，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，作出相應(yīng)圖象是解題關(guān)鍵．18．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，在y軸正半軸上有一點(diǎn)C，．點(diǎn)D，E分別是線段，上的動點(diǎn)，且均不與端點(diǎn)重合．(1)求此拋物線的解析式；(2)如圖①，連接，將沿x軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)G在拋物線上時，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)如圖②，連接，當(dāng)時，求的最小值．【答案】(1)(2)點(diǎn)G的坐標(biāo)為．(3)的最小值為．【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式．（2）連接，設(shè)，利用，表示出G點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可求得結(jié)果．（3）構(gòu)造，轉(zhuǎn)化成，當(dāng)C，E，Q三點(diǎn)共線時，最小，最小為，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，∴，∴，∴此拋物線的解析式為：．（2）如圖①，連接交于M∵與關(guān)于x軸對稱，∴，，∵，，∴，設(shè)，則，，∴，∵點(diǎn)G在拋物線上，∴，∴，（舍去），∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為．（3）如圖②，在下方作且，連接、，∵，∴，∴，當(dāng)C，E，Q三點(diǎn)共線時，最小，最小為，過點(diǎn)C作，垂足為H，∵，，∴，．∵，，∴，，∴，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，軸對稱，三角形全等，線段之和最短等知識，會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來是解題關(guān)鍵．19．（2023·天津河?xùn)|·天津市第七中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，且．(1)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)．①求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；②若，求頂點(diǎn)到的距離；(2)當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為1，點(diǎn)M，N在對稱軸的異側(cè)，求a的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①將點(diǎn)代入中即可求出二次函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)時，此時為平行x軸的直線，將代入二次函數(shù)解析式中求出，再由求出直線為，最后根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（2）分兩種情形：若M，N在對稱軸的異側(cè)，；若M、N在對稱軸的異側(cè)，，x1<2，分別求解即可．【詳解】（1）解：①將點(diǎn)代入中，∴，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：；②當(dāng)時，此時為平行x軸的直線，將代入二次函數(shù)中得到：，將代入二次函數(shù)中得到：，∵，∴=，整理得到：，又∵，代入上式得到：，解出，∴，即直線為：，又二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-1)，∴頂點(diǎn)(2,-1)到的距離為；（2）解：若M，N在對稱軸的異側(cè)，，∴x1+3>2，∴x1>-1，∵∴，∴-1<，∵函數(shù)的最大值為y1=a（x1-2）2-1，最小值為-1，∴y-（-1）=1，∴a=，∴，∴；若M、N在對稱軸的異側(cè)，，x1<2，∵，∴，∵函數(shù)的最大值為y=a（x2-2）2-1，最小值為-1，∴y-（-1）=1，∴a=，∴，∴，綜上所述，a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)及二次函數(shù)的最值等問題：當(dāng)開口向上(向下)時，自變量的取值離對稱軸越遠(yuǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值就越大(越小)．20．（2023下·天津河北·九年級天津二中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)C，且對稱軸在y軸的左側(cè)，拋物線的頂點(diǎn)為P.（1）當(dāng)時，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時，求b的值；（3）在（1）的條件下，點(diǎn)Q為x軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，直線、分別交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M、N.請問是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.【答案】（1）.（2）.（3），為定值【分析】（1）將，A坐標(biāo)代入拋物線解析式即可；（2）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，可證明是等腰直角三角形，通過勾股定理即可求得長度，即的長，從而求得b的值.（3）設(shè)，求得直線，直線，用含t的代數(shù)式表示即可求解.【詳解】（1）∵，∴拋物線為，∴將點(diǎn)代入，得，∴，∴拋物線的解析式為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）由已知將點(diǎn)代入，得，∴，∵對稱軸在y軸的左側(cè)，∴，∴，∴；設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，則∴，∴，是等腰直角三角形，∴由勾股定理得，又∵，∴，解得.（3）為定值，如圖所示:∵拋物線的對稱軸為：直線∴，設(shè)設(shè)直線解析式為∴，解得：∴直線當(dāng)時，∴設(shè)直線解析式為∴解得：∴直線當(dāng)時，∴∴，為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合知識；解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和特征，能夠準(zhǔn)確的進(jìn)行字母運(yùn)算.21．（2023下·天津河?xùn)|·九年級天津市第五十四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝-x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，交直線y＝﹣x+2于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P位于直線BC上方的拋物線上時，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，求當(dāng)PE取得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求PE的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）(2，0)或(2+2，0)或(2﹣2，0)；（3）P(2，3)，PE最大值為．【分析】（1）根據(jù)直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C可求出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入y＝-x2+bx+c可得關(guān)于b、c的二元一次方程組，解方程組求出b、c的值即可得答案；（2）根據(jù)PQ⊥x軸，直線y＝﹣x+2于點(diǎn)D，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m可用m表示出D、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OC=PD=2，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出m的值即可得答案；（3）利用勾股定理可求出BC的長，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠OCB＝∠PDE，可證明△PED∽△BOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可用m表示出PE的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得答案．【詳解】（1）∵直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，2）．∵拋物線y＝-x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，∴，解得，∴二次函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+x+2．（2）∵P點(diǎn)在拋物線上，橫坐標(biāo)為m，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+2），∵PQ⊥x軸，垂足為Q，交直線y＝﹣x+2于點(diǎn)D．∴Q坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m+2），當(dāng)P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，則有PD＝OC＝2，∴|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|＝2，即|﹣m2+2m|＝2，當(dāng)﹣m2+2m＝2時，解得：m＝2，∴Q坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)﹣m2+2m＝﹣2時，解得：m＝2±2，∴Q坐標(biāo)為（2+2，0）或（2﹣2，0），綜上可知：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）．（3）由（2）可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+2），Q坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m+2），∴PD＝﹣m2+2m．在Rt△OBC中，OC＝2，OB＝4，∴BC＝=2，∵PQ∥OC，∴∠OCB＝∠PDE．∵PE⊥BC，∴∠PED＝∠COB＝90°．∴△PED∽△BOC．∴，即，解得PE＝，∵P在直線BC上方，∴0＜m＜4，∴當(dāng)m＝2時PE有最大值，當(dāng)m＝2時，﹣m2+m+2=3，∴此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)最值的求法、平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．22．（2023上·天津和平·九年級天津二十中校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，過動點(diǎn)H（0,）作平行于軸的直線，直線與二次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)D，E．(1)寫出點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若，以DE為直徑作⊙Q，當(dāng)⊙Q與軸相切時，求的值；(3)直線上是否存在一點(diǎn)F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A（4，0）和B（－1，0）；(2)；(3)存在，m=或或3或．【分析】（1）A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為0，所以代入y=0，求解即可．（2）由圓和拋物線性質(zhì)易得圓心Q位于直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)處，則Q的橫坐標(biāo)為，可推出D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，因?yàn)镈、E都在拋物線上，代入一點(diǎn)即可得m．（3）使得△ACF是等腰直角三角形，重點(diǎn)的需要明白有幾種情形，分別以三邊為等腰三角形的兩腰或者底，則共有3種情形；而三種情形中F點(diǎn)在AC的左下或右上方又各存在2種情形，故共有6種情形．求解時．利用全等三角形知識易得m的值．【詳解】（1）解：當(dāng)y=0時，有，解之得：，∴

A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）和（－1，0）．（2）解：∵⊙Q與軸相切，且與交于D、E兩點(diǎn)，∴圓心O位于直線與拋物線對稱軸的交點(diǎn)處，且⊙Q的半徑為H點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）．∵拋物線的對稱軸為，∴D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：且均在二次函數(shù)的圖像上．∵，解得或（不合題意，舍去）．∴（3）解：存在．①當(dāng)∠ACF=90°，AC=FC時，如圖1，

過點(diǎn)F作FG⊥y軸于G，∴∠AOC=∠CGF=90°．∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG．∴△ACO≌△∠CFG，∴CG=AO=4．∵CO=2，∴或=OG=2+4=6．②當(dāng)∠CAF=90°，AC=AF時，如圖2，過點(diǎn)F作FP⊥x軸于P，∴∠AOC=∠APF=90°．∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，

∴

∠ACO=∠FAP．∴△ACO≌△∠FAP，∴FP=AO=4．∴或=FP=4．③當(dāng)∠AFC=90°，F(xiàn)A=FC時，如圖3，則F點(diǎn)一定在AC的中垂線上，此時存在兩個點(diǎn)分別記為F，F(xiàn)′，分別過F，F(xiàn)′兩點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，分別交于E，G，D，H．∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°，∴∠DFC=∠EFA．∵∠CDF=∠AEF，CF=AF，∴△CDF≌△AEF．∴CD=AE，DF=EF．∴四邊形OEFD為正方形．∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD．∴4=2+2?CD．∴CD=1，∴m=OC+CD=2+1=3．∵∠HF′C+∠CGF′=∠CGF′+∠GF′A，∴∠HF′C=∠GF′A．∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′．∴△HF′C≌△GF′A．∴HF′=GF′，CH=AG．∴四邊形OHF′G為正方形．∴．∴OH=1．∴m=．∵，∴y的最大值為．∵直線l與拋物線有兩個交點(diǎn)，∴m＜∴m可取值為m=或或3或．綜上所述，m的值為m=或或3或．【點(diǎn)睛】本題難度適中，考查的主要是二次函數(shù)、圓、等腰直角三角形及全等三角形性質(zhì)，但是最后一問情形較多不易找全，非常鍛煉學(xué)生的全面思考．23．（2022上·天津和平·九年級天津二十中校考期末）如圖，已知拋物線的圖象與x軸的一個交點(diǎn)為B（5，0），另一個交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）P的坐標(biāo)為（2，－3）或（3，－4）【分析】（1）由B（5，0），C（0，5），應(yīng)用待定系數(shù)法即可求直線BC與拋物線的解析式．（2）構(gòu)造MN關(guān)于點(diǎn)M橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求解．（3）根據(jù)S1=6S2求得BC與PQ的距離h，從而求得PQ由BC平移的距離，根據(jù)平移的性質(zhì)求得PQ的解析式，與拋物線聯(lián)立，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）設(shè)直線BC的解析式為，將B（5，0），C（0，5）代入，得，得．∴直線BC的解析式為．將B（5，0），C（0，5）代入，得，得．∴拋物線的解析式．（2）∵點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的動點(diǎn)，∴設(shè)M．∵點(diǎn)N是直線BC上與點(diǎn)M橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，∴N．∵當(dāng)點(diǎn)M在拋物線在x軸下方時，N的縱坐標(biāo)總大于M的縱坐標(biāo)．∴．∴MN的最大值是．（3）當(dāng)MN取得最大值時，N．∵的對稱軸是，B（5，0），∴A（1，0）．∴AB=4．∴．∴平行四邊形CBPQ的面積S1=6S2=30．設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．，∴BC?BD=30，，過點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD為等腰直角三角形，，∵B（5，0），∴E（-1，0），設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+t，將E（-1，0）代入，得1+t=0，解得t=-1∴直線PQ的解析式為y=-x-1．解方程組，得，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（2，-3）（與點(diǎn)D重合）或P2（3，-4）．24．（2023上·天津南開·九年級南開中學(xué)?？计谀┮阎喝鐖D，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左則），交軸于點(diǎn)，作直線是直線上方拋物線上的一個動點(diǎn)．過點(diǎn)作直線平行于直線是直線上的任意點(diǎn)，是直線上的任意點(diǎn)，連接，始終保持為，以和邊，作矩形．（1）在點(diǎn)移動過程中，求出當(dāng)?shù)拿娣e最大時點(diǎn)的坐標(biāo)；在的面積最大時，求矩形的面積的最小值．（2）在的面積最大時，線段交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)四個點(diǎn)組成平行四邊形時，求此時線段與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）點(diǎn)坐標(biāo)為，矩形的最小值為；（2）交點(diǎn)坐標(biāo)為（3+，﹣），（3﹣，﹣），（1﹣，），（1+，）．【分析】（1）當(dāng)△DEB的面積最大時，直線DN與拋物線相切，可求出直線DN的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)，當(dāng)矩形面積最小時，MG最小，求出MG的最小值即可．（2）分兩種情況討論，以DB為邊和以DB為對角線，分別求出此時ON的解析式，聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）如圖1所示，過點(diǎn)D作y軸的平行線交MB于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作OQ垂直MB于點(diǎn)Q，令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，y＝2，∴E（0，2），設(shè)直線BE的解析式為y＝kx+b，則解得，∴直線BE的解析式為y＝﹣x+2，∵DN∥BE，∴設(shè)直線DN的解析式為y＝﹣x+b1，S△DEB＝DH?（xB﹣xE），∴當(dāng)△DEB面積最大時，即是DH最大的時候，∴﹣x+b1＝﹣x2+x+2，△＝b2﹣4ac＝0，即16﹣4（2b1﹣4）＝0，解得b1＝4，點(diǎn)D（2，3），S矩＝2S△MOG+S平形四邊形，∴矩形面積最小時就是MG最小，設(shè)QG＝m，MQ＝n，∴MG＝m+n，∵m+n≥2，∵△QOG∽△MQO，∴OQ2＝m?n，∵△OEQ∽△EOB，∴OQ＝，∴m?n＝，∴m+n的最小值為．∴MG＝，∴S矩＝2S△MOG+S平形四邊形＝．（2）分兩種情況討論，情況一：當(dāng)GN∥DB時，直線DB的解析式為：y＝﹣x+6，則直線NG的解析式為y＝﹣x，∴﹣x＝﹣x2+x+2，解得x1＝3+，x2＝3﹣，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（3+，﹣），（3﹣，﹣），情況二：DB為對角線時，此時NG必過DB的中點(diǎn)（3，），設(shè)直線ON的解析式為y＝k1x，則k1＝，∴直線OD的解析式為y＝x，＝﹣x2+x+2，解得x1＝1﹣，x2＝1+，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，），（1+，），綜上所述：交點(diǎn)坐標(biāo)為（3+，﹣），（3﹣，﹣），（1﹣，），（1+，）．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)與幾何相結(jié)合的問題，轉(zhuǎn)化矩形面積最小和三角形面積最大為某條線段的最值為解題關(guān)鍵．25．（2023上·天津河北·九年級天津十四中?？计谀┮阎獟佄锞€的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接，有一動點(diǎn)D在線段上運(yùn)動，過點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求出的最大面積和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以B，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時，的值最大為，(3)當(dāng)Q點(diǎn)為或或時，以B，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)，，可得，再利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）求出直線AC的解析式，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解；（3）分三種情況討論：當(dāng)為平行四邊形的對角線時；當(dāng)為平行四邊形的對角線時；當(dāng)為平行四邊形的對角線時，即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，，∴，將，代入，∴，∴，∴拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)直線AC的解析式為，∴，解得：，∴直線AC的解析式為，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，的值最大為，∴；（3）解：存在，理由如下：∵，∴，設(shè)，①當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，解得，∴；②當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，解得，∴；③當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，解得，∴；綜上所述：當(dāng)Q點(diǎn)為或或時，以B，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2022上·天津南開·九年級天津育賢中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作BC的垂線與拋物線的對稱軸和y軸分別交于點(diǎn)G，H，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．①求DF＋HF的最大值；②連接EG，是否存在點(diǎn)D，使△EFG是等腰三角形．若存在，直接寫出m的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3(2)①；②存在，m＝2或m＝﹣1+2或m＝【分析】（1）利用二次函數(shù)的交點(diǎn)式求解析式；（2）①先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而得到∠OBC＝∠OCB＝45°和直線BC的解析式，再過點(diǎn)F作FM⊥y軸于點(diǎn)M，交對稱軸于點(diǎn)N，從而得到∠MFH＝∠MHF＝45°，進(jìn)而得到FM和FH的關(guān)系，然后用含有m的式子表示DF+FH，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；②用含有m的式子表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后分情況討論：①EF＝EG；②EF＝FG；③EG＝FG．【詳解】（1）解：∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．（2）解：①當(dāng)x＝0時，y＝3，∴C（0，3），又∵B（3，0），∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如圖，過點(diǎn)F作FM⊥y軸于點(diǎn)M，則∠MCF＝∠MFC＝45，∵FH⊥BC，∴∠MFH＝∠MHF＝45°，∴FH＝FM＝OE＝m，∴DF+FH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）+m＝﹣m2+（3+）m，∵0＜m＜3，0＜＜3，a＝﹣1＜0，∴當(dāng)m＝時，DF+FH的最大值為﹣（）2+（3+）×＝；②∵F（m，﹣m+3），E（m，0），∴N（1，﹣m+3），EF＝﹣m+3，∴NF＝|m﹣1|，由①理得，∠NFG＝∠NGF＝45°，∴NF＝NG＝|m﹣1|，當(dāng)m＞1時，G（1，﹣m+3﹣m+1）即（1，﹣2m+4）；當(dāng)m＜1時，G（1，﹣m+3+（﹣m+1））即（1，﹣2m+4），∴G（1，﹣2m+4），∴EF2＝（﹣m+3）2，EG2＝（m﹣1）2+（2m﹣4）2，F(xiàn)G2＝（m﹣1）2+（m﹣1）2，當(dāng)EF＝EG時，（﹣m+3）2＝（m﹣1）2+（2m﹣4）2，解得：m＝1（舍）或m＝2，當(dāng)EF＝FG時，（﹣m+3）2＝（m﹣1）2+（m﹣1）2，解得：m＝﹣1+2或m＝﹣1﹣2（舍），當(dāng)EG＝FG時，（m﹣1）2+（2m﹣4）2＝（m﹣1）2+（m﹣1）2，解得：m＝3（舍）或m＝，綜上所述，存在m＝2或m＝﹣1+2或m＝，使得△EFG是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是判定△OBC為等腰直角三角形．27．（2022上·天津和平·九年級天津一中校考期末）如圖，已知拋物線的解析式為，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交點(diǎn)于點(diǎn)C．(1)請分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；(2)連接AC、BC，將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為M、N，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為該拋物線上一動點(diǎn)，在（2）的條件下，請求出使最大時點(diǎn)的坐標(biāo)，并請直接寫出的最大值．【答案】(1)A（-4，0），B（1，0），C（0，3），對稱軸為直線(2)M（1，5），N（4，1）(3)當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0）或時，的值最大，此時最大值為【分析】（1）提取二次項(xiàng)系數(shù)后分解因式，可以得出拋物線與x軸交點(diǎn)，令x=0代入可以得到與y軸的交點(diǎn)，把解析式配方后可得對稱軸；（2）根據(jù)題意作出幾何圖形，通過旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及通過AAS求證△OBC≌△QNB即可分別求出M、N的坐標(biāo)；（3）分析題意可得出，當(dāng)P，N，B在同一直線上時，|NP-BP|的值最大，聯(lián)立直線BN解析式以及拋物線解析式即可求出P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵，令x=0，則y=3，令y=0，則，解得x=-4或1，∴A（-4，0），B（1，0），C（0，3），∵，∴對稱軸為直線x=-；（2）解：如圖所示：過N作NQ⊥x軸于點(diǎn)Q，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得MB⊥x軸，∠CBN=90°，BM=AB=5，BN=BC，∴M（1，5），∠OBC+∠QBN=90°，∵∠OBC+∠BCO=90°，∴∠BCO=∠QBN，又∵∠BOC=∠NQB=90°，BN=BC，∴△OBC≌△QNB（AAS），∴BQ=OC=3，NQ=OB=1，∴OQ=1+3=4，∴N（4，1）；（3）解：設(shè)直線NB的解析式為y=kx+b.∵B（1，0）、N（4，1）在直線NB上，∴，解得：，∴直線NB的解析式為：y=x-，當(dāng)點(diǎn)P，N，B在同一直線上時|NP-BP|=NB=，當(dāng)點(diǎn)P，N，B不在同一條直線上時|NP-BP|＜NB，∴當(dāng)P，N，B在同一直線上時，|NP-BP|的值最大，即點(diǎn)P為直線NB與拋物線的交點(diǎn)．解方程組：，解得：或，∴當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0）或時，|NP-BP|的值最大，此時最大值為．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，本題的關(guān)鍵是數(shù)形相結(jié)合，以及正確討論出當(dāng)P，N，B在同一直線上時，|NP-BP|的值最大是解題的關(guān)鍵．28．（2022上·天津南開·九年級南開翔宇學(xué)校?？计谀┮阎獟佄锞€過點(diǎn)，，．(1)求此拋物線的解析式（直接寫出結(jié)果即可）；(2)若點(diǎn)是該拋物線第三象限的任意一點(diǎn)，求四邊形的最大面積；(3)若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)，且．求點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）把，，三點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，即可；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，根據(jù)三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（3）連接，以的中點(diǎn)為圓心，為直徑作圓，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為圓心，為半徑作交軸于點(diǎn)；根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)，則，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)垂直平分線，得，又根據(jù)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；又根據(jù)勾股定理，，即可求出點(diǎn)．【詳解】（1）∵拋物線過點(diǎn)，，，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，∵點(diǎn)在第三象限的拋物線上，∴，∴，∵，，∵，，∴，，∴，，，∴當(dāng)時，四邊形的面積有最大值為．（3）∵，∴頂點(diǎn)，連接，以的中點(diǎn)為圓心，為直徑作圓，作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為圓心，為半徑作交軸于點(diǎn)，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵是的直徑，∴，∵點(diǎn)在的垂直平分線上，∴，設(shè)點(diǎn)，∴，又∵點(diǎn)在上，∴，∴，聯(lián)立，∴或，∴點(diǎn)，（舍去），∵，，∴在中，，∴，設(shè)點(diǎn)，∴，∴，，∴點(diǎn)或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線，函數(shù)的最值，幾何動點(diǎn)與函數(shù)的綜合．29．（2022上·天津河西·九年級天津市第四十二中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€（，為常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．(1)當(dāng)時，求該拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時，點(diǎn)，若，求該拋物線的解析式．【答案】(1)拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；(2)拋物線的解析式為或【分析】（1）由，即可求解；（2）求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由得：，根據(jù)公式列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，當(dāng)時，拋物線的解析式為，故拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）解：∵，故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由得：，即，解得或，故拋物線的解析式為或．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．30．（2022上·天津河西·九年級天津市海河中學(xué)校考期末）已知點(diǎn)A(2，－3)是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)：(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值與最小值的差：(3)當(dāng)時，若函數(shù)的最大值與最小值的差為4，求t的值．【答案】(1)(3，－4)(2)當(dāng)－1≤x≤4時，函數(shù)的最大值與最小值的差為16(3)t＝1或2【分析】（1）把點(diǎn)A代入解析式中，解得，再利用配方法化成頂點(diǎn)式解析式即可解得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分別解得當(dāng)－1≤x≤4時，函數(shù)的最大值與最小值，再求差；（3）當(dāng)t≤x≤t+3時，對t進(jìn)行分類討論，①當(dāng)t+3＜3時，即t＜0，y隨著x的增大而減??；②當(dāng)0≤t＜3時，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)；③當(dāng)t>3時，y隨著x的增大而增大，分別解得函數(shù)對應(yīng)的最大值，再由函數(shù)的最大值與最小值的差為4，列方程，解方程即可解答．【詳解】（1）解：∵已知A(2，-3)是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)∴解得∴此二次函數(shù)的解析式為：∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－4）；（2）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－4），∴當(dāng)x＝3時，y最小值＝－4，當(dāng)x＝－1時，y最大值＝12∴當(dāng)－1≤x≤4時，函數(shù)的最大值與最小值的差為16；（3）當(dāng)t≤x≤t+3時，對t進(jìn)行分類討論，①當(dāng)t+3＜3時，即t＜0，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x＝t時，y最大值＝t2-6t+5當(dāng)x＝t+3時，y最小值＝（t+3）2-6（t+3）+5＝t2-4，t2-6t+5-（t2-4）=4﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9=4，解得（不合題意，舍去），②當(dāng)0≤t＜3時，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，∴y最小值＝－4，i）當(dāng)0≤t≤時，在x＝t時，y最大值＝t2-6t+5，∴t2-6t+5－（－4）=4，解得t1＝1，t2＝5（不合題意，舍去）；ii）當(dāng)＜t＜3時，在x＝t+3時，y最大值＝t2－4，∴t2－4－（－4）=4，∴解得t1＝2，t2＝－2（不合題意，舍去），③當(dāng)t>3時，y隨著x的增大而增大，當(dāng)x＝t時，y最小值=t2-6t+5，當(dāng)x＝t+3時，y最大值＝t2-4，∴t2-4-（t2-6t+5）=4解得（不合題意，舍去），綜上所述，t＝1或2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、將一般式解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式、解一元二次方程等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．31．（2022上·天津和平·九年級天津市第二十一中學(xué)校考期末）如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）點(diǎn)E時線段BC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到（2，1）時，四邊形CDBF的面積最大，S四邊形C