【中考沖刺】2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)名校模擬題重要考點(diǎn)分類匯編（天津?qū)Ｓ茫ｎ}08 銳角三角函數(shù)實(shí)際問(wèn)題 解析版

二輪復(fù)習(xí)2024年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)名校模擬題分類匯編專題08——銳角三角函數(shù)實(shí)際問(wèn)題（天津?qū)Ｓ茫?．（2023下·天津?yàn)I海新·九年級(jí)天津經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了“解直角三角形及其應(yīng)用”后，選定測(cè)量小河對(duì)岸一幢建筑物BC的高度，他們先在A處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為28°，然后從A處前進(jìn)40m到達(dá)D處，在D處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，點(diǎn)A，D，C在同一水平的直線上，且BC⊥DC.求建筑物BC的高度（結(jié)果精確到0.1）．（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，3≈1.73）【答案】建筑物BC的高度約為30.6m．【分析】根據(jù)三角函數(shù)得出AC和DC，進(jìn)而列出方程解答即可．【詳解】解：在Rt△BCD中，tan∠BDC=∴BC=DC·tan∴BC=DC·tan在Rt△ABC中，tan∠BAC=∴tan28°∴40+DCtan∴0.53∴DC≈53∴BC=答：建筑物BC的高度約為30.6m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟練利用三角函數(shù)的知識(shí)求解是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023下·天津和平·九年級(jí)天津市雙菱中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，為求出河對(duì)岸兩棵樹(shù)A，B間的距離，小坤在河岸上選取一點(diǎn)C，然后沿垂直于AC的直線前進(jìn)了12m到達(dá)D點(diǎn)，測(cè)得∠CDB=90°．取CD的中點(diǎn)E，測(cè)得∠AEC=56°，∠BED=67°參考數(shù)據(jù)：sin56°≈45，tan56°≈3

【答案】13米【分析】根據(jù)E為CD中點(diǎn)，CD=12，得到CE=DE=6．在Rt△ACE中，求得AC=CE?tan56°，在Rt△BDE中，求得【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，∵E為CD中點(diǎn)，CD=12m∴CE=DE=6m在Rt△ACE∵tan∴AC=CE?在Rt△BDE中，tanBD=DE·tan∵AF⊥BD，∴AC=DF=9m，AF=CD=12∴BF=BD?DF=14?9=5m在Rt△AFB中，AF=12m，∴AB=A∴兩樹(shù)間距離為13米．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形，并選擇正確的邊角關(guān)系．3．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，用測(cè)角儀測(cè)量遠(yuǎn)處建筑物的高度AD．已知測(cè)角儀的高度為1.6米，在水平線MD上點(diǎn)M處測(cè)得建筑物最高點(diǎn)A的仰角為22°，沿MD方向前進(jìn)24米，達(dá)到點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，求建筑物的高度AD．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40【答案】17.6米【分析】延長(zhǎng)BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝24m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x，得到BE＝24+x，解直角三角形即可得到答案．【詳解】解：延長(zhǎng)BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝24米，DE＝CN＝BM＝1.6米，∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x米，∴BE＝24+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°＝AEBE＝x24+x≈解得：x＝16，∴AD＝AE+ED＝16+1.6＝17.6（米），答：建筑物的高度約為17.6米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣仰角俯角問(wèn)題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．4．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為30m，從甲的頂部A處測(cè)得乙的頂部D處的俯角為35°測(cè)得底部C處的俯角為43°，求甲、乙兩建筑物的高度AB和DC（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.70，tan43°≈0.93）【答案】AB為28m，DC為7m.【分析】作AE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于E．則四邊形ABCE是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可多AE＝BC＝30，AB＝CE，在Rt△ACE中，由EC＝AE?tan43°求得EC的長(zhǎng)，即可得AB的長(zhǎng)；在Rt△AED中，DE＝AE?tan35°，由CD＝EC﹣DE即可求得CD的長(zhǎng).【詳解】如圖作AE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于E．則四邊形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝30，AB＝CE，在Rt△ACE中，EC＝AE?tan43°≈27.9（m），∴AB＝CE≈27.9（m），在Rt△AED中，DE＝AE?tan35°，∴CD＝EC﹣DE＝AE?tan43°﹣AE?tan35°＝30×0.93﹣30×0.7≈7（m），答：甲、乙建筑物的高度AB為28m，DC為7m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？级＃┤鐖D，斜立于地面的木桿AB，從點(diǎn)C處折斷后，上半部分BC倒在地上，桿的頂部B恰好接觸到地面D處，測(cè)得∠ACD=60°，∠ADC=37°，折斷部分CD長(zhǎng)5.73米，求木桿AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75【答案】9米【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，在Rt△AED和Rt△AEC中，利用三角函數(shù)解得DE=AEtan37°，CE=33AE，【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，∴∠AEC=∠AED=90°，由題意可知∠ACD=60°，∠ADC=37°，CD=5.73，在Rt△AED中，tan∠ADC=∴DE=AE∵在Rt△AEC中，tan∠ACD=AECE∴CE=AEtan60°∵DC=CE+DE=5.73，∴33∴解得AE≈3，∴AB=AC+CD=2答：木桿AB的長(zhǎng)度約是9米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．6．（2022·天津·天津市雙菱中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，從地面上的點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°，向前走6m到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°．（1）求∠BPQ的度數(shù)；（2）求該電線桿PQ的高度（結(jié)果精確到1m）．備用數(shù)據(jù)：3≈1.7，【答案】（1）30°；（2）9m．【分析】（1）延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可；（2）設(shè)PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用x表示出AE和BE，根據(jù)AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函數(shù)求得QE的長(zhǎng)，則PQ的長(zhǎng)度即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）設(shè)PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，則AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，BE=33PE=3∵AB=AE-BE=6米，則x-33解得：x=9+33．則BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：電線桿PQ的高度約9米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．7．（2019·天津和平·天津二十中?？级＃┠承５慕淌褹位于工地O的正西方向，且OA=200m，一臺(tái)拖拉機(jī)從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒5m的速度沿北偏西53°的方向行駛，設(shè)拖拉機(jī)的噪聲污染半徑為130m，則教室A是否在拖拉機(jī)的噪聲污染范圍內(nèi)？若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若在，求出教室A受噪聲污染的時(shí)間有幾秒．(參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)【答案】(1)教室A在拖拉機(jī)的噪聲污染范圍內(nèi)；(2)影響的時(shí)間為20s【分析】(1)問(wèn)教室A是否在拖拉機(jī)的噪聲污染范圍內(nèi)，其實(shí)就是問(wèn)A到OM的距離是否大于污染半徑130m，如果大于則不受影響，反正則受影響．如果過(guò)A作AB⊥OM于B，那么AB就是所求的線段．直角三角形AOB中，∠AOB的度數(shù)容易求得，又已知了OA的值，那么AB便可求出了．然后進(jìn)行判斷即可．(2)如果設(shè)拖拉機(jī)從C到D教室受影響，那么要求教室受影響的時(shí)間，其實(shí)就是求CD的值，直角三角形ABC中，AB的值已經(jīng)求得．又有AC的值，那么BC的值就能求出了．CD也就能求出了，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度即可得出時(shí)間是多少．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OM于點(diǎn)B，∵∠MON=53°，∴∠AOM=90°﹣53°=37度．在Rt△ABO中，∠ABO=90°，∵sin∠AOB=∴AB=AO?sin∠AOB=200×sin37°≈120(m)．∵120m＜130m．∴教室A在拖拉機(jī)的噪聲污染范圍內(nèi)．根據(jù)題意，在OM上取C，D兩點(diǎn)，連接AC，AD，使AC=AD=130m，∵AB⊥OM，∴B為CD的中點(diǎn)，即BC=DB，∴BC=A∴CD=2BC=100(m)．即影響的時(shí)間為1005【點(diǎn)睛】本題是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可把條件和問(wèn)題放到直角三角形中，進(jìn)行解決．8．（2021上·天津南開(kāi)·九年級(jí)南開(kāi)翔宇學(xué)校?？茧A段練習(xí)）為提高城市幸福感，某市旅游局開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)C，已知景點(diǎn)C在景點(diǎn)A北偏東37°方向上，景點(diǎn)C在景點(diǎn)B北偏東60°方向上，且景點(diǎn)B在景點(diǎn)A正北方向，A，B兩個(gè)景點(diǎn)相距980米，求AC和BC的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】AC的長(zhǎng)約為2163米，BC的長(zhǎng)約為1500米.【分析】根據(jù)題意，從復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中整理已知條件構(gòu)建方程，即可得解.【詳解】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖所示：設(shè)BE=x米，則AE=(980+x)米，∵在Rt△ACE中，∠CAE=37°，∴CE=AE·tan∵在Rt△BCE中，∠CBE=60°，∴CE=3x，∴0.75(x+980)=3解得x≈750，∴BC=2x≈1500，AC=答：AC的長(zhǎng)約為2163米，BC的長(zhǎng)約為1500米.【點(diǎn)睛】此題屬于中等難度題，主要考查利用方位角構(gòu)建方程求解距離.失分原因有3個(gè)：（1）不能正確地理解題意，從復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中整理已知條件；（2）沒(méi)有掌握“母子型”模型的解題方法；（3）計(jì)算時(shí)出錯(cuò).9．（2022上·天津河?xùn)|·九年級(jí)天津市第四十五中學(xué)?？计谀?shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測(cè)量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測(cè)得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處，測(cè)得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°【答案】51【分析】由三角函數(shù)求出AC=CEtan34°，得出BC=AC?AB，在【詳解】解：∵∠ACE=90°，∠CAE=34∴tan∴AC=CE∵AB=21m，∴BC=AC?AB=61.1m，在RtΔBCD中，tan∴CD=3∴DE=CD?EC=105.7?55≈51m，答：炎帝塑像DE的高度約為51m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解，難度適中．10．（2023下·天津河?xùn)|·九年級(jí)天津市第五十四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，小明在一塊平地上測(cè)山高，先在B處測(cè)得山頂A的仰角為30°，然后向山腳直行100米到達(dá)C處，再測(cè)得山頂A的仰角為37°，求山高AD是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，測(cè)角儀高忽略不計(jì)．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，【答案】251米【分析】設(shè)AD=xm，在Rt△ACD中，根據(jù)正切的概念用x表示出CD，在Rt△ABD【詳解】解：由題意得，∠ABD=30°，∠ACD=37°，BC=100m設(shè)AD=xm，在Rt△ACD中，∴CD≈x∴BD=BC+CD=100+x在Rt△ABD中，tan∴x=300∴x≈251，答：山高AD約為251米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．11．（2023下·天津河北·九年級(jí)天津二中?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量建筑物AB的高度．他們?cè)贑處仰望建筑物頂端A，測(cè)得仰角為37°．再往建筑物的方向前進(jìn)9m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端A的仰角為63°，求建筑物AB的高度（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m）．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.8，sin63°≈0.9，【答案】12米【分析】設(shè)AB=xm，Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，再利用銳角三角函數(shù)列方程，再解方程可得．【詳解】解：設(shè)AB=xm∵∠ADB=63°∴在Rt△ADB中，tan∠ADB=ABBD∴2=xBD∵CD=9,∴BC=9+1∴在Rt△ABC中，∠ACB=37°，∴tan∴x解得x=12m，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.答，建筑物AB的高度為12m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想找出各邊之間的關(guān)系，然后找出所求問(wèn)題需要的條件．12．（2023·天津河?xùn)|·天津市第七中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某大橋采用低塔斜拉橋橋型（如甲圖），圖乙是從圖甲引申出的平面圖，假設(shè)你站在橋上測(cè)得拉索AB與水平橋面的夾角是27°，拉索BD與水平橋面的夾角是58°，兩拉索底端距離AD=20米，求立柱BC的高．（結(jié)果保留一位小數(shù)）[參考數(shù)據(jù)：tan58°≈1.6，tan27°≈0.5]【答案】立柱BC的高約為14.5米【分析】設(shè)立柱BC的高為x米，根據(jù)正切的定義用x分別表示出CD、AC，根據(jù)題意列出方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)立柱BC的高為x米，在Rt△BCD中，tan∠BDC=∴CD=BC在Rt△ABC中，tan∠BAC=∴AC=BC由題意得：2x?5解得：x≈14.5，答：立柱BC的高約為14.5米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2023下·天津南開(kāi)·九年級(jí)南開(kāi)翔宇學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖1所示，某登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者由山坡①的山頂點(diǎn)A處沿線段AC至山谷點(diǎn)C處，再?gòu)狞c(diǎn)C處沿線段CB至山坡②的山頂點(diǎn)B處．如圖2所示，將直線l視為水平面，山坡①的坡角∠ACM=30°，其高度AM為0.6千米，山坡②的坡度i=1:1，BN⊥l于N，且CN=2(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)求在此過(guò)程中該登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者走過(guò)的路程．【答案】(1)105°(2)3.2【分析】（1）根據(jù)山坡②的坡度i=1:1，可求∠BCN=45°，∠ACB=180°?∠BCN?∠ACM即可求解；（2）由余弦值和正弦值分別求出BC、AC即可求解；【詳解】（1）解：∵山坡②的坡度i=1:1，∴tan∠BCN=∴∠BCN=45°，∵∠ACM=30°，∴∠ACB=180°?∠BCN?∠ACM=180°?45°?30°=105°，（2）∵∠BCN=45°，CN=2∴cos∠BCN=∴BC=2千米，∵∠ACM=30°，AM=0.6km∴sin∠ACM=∴AC=1.2km∴該登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者走過(guò)的路程．AC+BC=1.2+2=3.2km【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2023下·天津和平·九年級(jí)天津一中校考階段練習(xí)）如圖，甲乙兩樓的水平距離為120m，自乙樓樓頂C處，測(cè)得甲樓頂端A處的仰角為60°，測(cè)得甲樓底部B處的俯角為46°，求甲樓AB的高度．（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：tan46°≈1.04，【答案】甲樓AB的高度約為332【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．在Rt△BCE中，∠BCE=46°，BD=CE=120m由tan∠BCE=∴BE=1.04×120=124.8m在Rt△ACE中，∠ACE=60°，由tan∠ACE=得tan60°=∴AE=120×∴AB=AE+BE=124.8+207.6=332.4m∴AB=AE+BE≈332m答：甲樓AB的高度約為332m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形?仰角俯角、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．15．（2020·天津·九年級(jí)天津市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小婷在放學(xué)路上，看到隧道上方有一塊宣傳“中國(guó)﹣南亞博覽會(huì)”的豎直標(biāo)語(yǔ)牌CD．她在A點(diǎn)測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌頂端D處的仰角為42°，測(cè)得隧道底端B處的俯角為30°（B，C，D在同一條直線上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求標(biāo)語(yǔ)牌CD的長(zhǎng)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，3≈1.73）【答案】標(biāo)語(yǔ)牌CD的長(zhǎng)為6.3m．【詳解】分析：如圖作AE⊥BD于E．分別求出BE、DE，可得BD的長(zhǎng)，再根據(jù)CD=BD-BC計(jì)算即可；詳解：如圖作AE⊥BD于E．在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，∴BE=12AB=5（m），AE=53在Rt△ADE中，DE=AE?tan42°=7.79（m），∴BD=DE+BE=12.79（m），∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），答：標(biāo)語(yǔ)牌CD的長(zhǎng)為6.3m．點(diǎn)睛：本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．16．（2019·天津和平·天津二十中?？家荒＃┤鐖D，小明在大樓30米高（即PH＝30米）的窗口P處進(jìn)行觀測(cè)，測(cè)得山坡上A處的俯角為15°，山腳B處的俯角為60°，已知該山坡的坡度i（即tan∠ABC）為1：3，點(diǎn)P、H、B、C、A在同一個(gè)平面上．點(diǎn)H、B、C在同一條直線上，且PH⊥HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度數(shù)等于度；（2）求A、B兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732）．【答案】（1）30．（2）34.6米．【分析】（1）根據(jù)特殊角度的三角函數(shù)值即可求解；（2）在直角△PHB中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得PB的長(zhǎng)，然后在直角△PBA中利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】（1）∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）為1：3．∴tan∠ABC=33∴∠ABC=30°；故答案為：30；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的水平線為PQ，則由題意得：∠QPA=15°,∠QPB=60°∴∠PBH=∠QPB=60°,∠APB=∠QPB=45°∵∴∠ABC=30°∴∠ABP=90°在Rt△PBH中，PB=PHsin在Rt△PBA中，AB=PB=20答：A、B兩點(diǎn)間的距離約34.6米．17．（2019下·天津·九年級(jí)天津一中階段練習(xí)）隨著航母編隊(duì)的成立，我國(guó)海軍日益強(qiáng)大，2018年4月12日，中央軍委在南海海域降重舉行海上閱兵，在閱兵之前我軍加強(qiáng)了海上巡邏，如圖，我軍巡邏艦在某海域航行到A處時(shí)，該艦在觀測(cè)點(diǎn)P的南偏東45°的方向上，且與觀測(cè)點(diǎn)P的距離PA為400海里；巡邏艦繼續(xù)沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于觀測(cè)點(diǎn)P的北偏東30°方向上的B處，問(wèn)此時(shí)巡邏艦與觀測(cè)點(diǎn)P的距離PB為多少海里？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，結(jié)果精確到1海里）．【答案】PB約為566每里【詳解】分析：通過(guò)勾股定理得到線段PC的長(zhǎng)度，然后解直角△BPC求得線段PB的長(zhǎng)度即可．詳解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，則AC=PC．∵AP=400海里，∴由勾股定理知，AP2=AC2+P故PC=2002又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，∴PB=PC答：此時(shí)巡邏艦與觀測(cè)點(diǎn)P的距離PB約為566海里．點(diǎn)睛：本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用和解直角三角形的應(yīng)用．此題是一道方向角問(wèn)題，結(jié)合航海中的實(shí)際問(wèn)題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．18．（2019下·天津南開(kāi)·九年級(jí)南開(kāi)翔宇學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）海島A的周圍8海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得海島A位于北偏東67°，航行12海里到達(dá)C點(diǎn)，又測(cè)得海島A在北偏東45°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，那么它有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【參考數(shù)據(jù)：sin67°≈【答案】無(wú)觸礁的危險(xiǎn)，理由詳見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：作AD⊥BC,利用三角函數(shù)計(jì)算AD試題解析：作AD⊥BC,交BC延長(zhǎng)線于D設(shè)AD=x,由三角函數(shù)知CD=AD?tan45°=x,BD=ADtan67°=12xBD-CD=BC,所以x=6078<607【點(diǎn)睛】19．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量塔的高度．如圖，塔AB前有一座高為DE的觀景臺(tái)，已知C