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計算機數(shù)學基礎教程

本書是整合計算機專業(yè)以及相關專業(yè)必備數(shù)學基礎知識而編寫的教材。全書共分7篇17章；內(nèi)容包括數(shù)學基礎、微積分與級數(shù)、高等代數(shù)與線性代數(shù)、空間解析幾何與圖論、數(shù)理邏輯、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等基礎數(shù)學分支。本書編寫貫徹少而精、重基礎、重實踐的原則。其特點主要是，內(nèi)容分布均勻、重點突出、選材重在基礎和必備，按數(shù)學自身規(guī)律有機組織知識內(nèi)容、教材體系完整統(tǒng)一。本書針對應用型計算機專業(yè)以及相關專業(yè)學生編寫；適合應用型普通高校及高職高專院校計算機專業(yè)及相關專業(yè)學生教學使用；也可以用作IT行業(yè)從業(yè)人員為提高數(shù)學基礎知識的讀本或?qū)I(yè)培訓教材。

本書特色◎按數(shù)學自身規(guī)律組織教材內(nèi)容；實現(xiàn)課程優(yōu)質(zhì)教學?！騼?nèi)容分布均勻、合理；適合計算機專業(yè)基礎知識的需求?！蚺囵B(yǎng)目標明確課程學時適宜；建議128學時?！蜃⒅貙嵺`，學以致用；例題豐富，課外練習適量。第一篇數(shù)學與計算機數(shù)學

第1章緒論第二篇數(shù)學基礎

第2章集合與關系

第3章函數(shù)第三篇微積分

第4章極限與連續(xù)

第5章導數(shù)與微分

第6章不定積分

第7章定積分

第8章無窮級數(shù)第四篇代數(shù)

第9章行列式、矩陣與向量

第11章抽象代數(shù)第五篇空間解析幾何與圖論

第12章空間解析幾何

第13章圖論第六篇數(shù)理邏輯

第14章命題邏輯

第15章謂詞邏輯第七篇概率論與數(shù)理統(tǒng)計

第16章概率論基礎

第17章數(shù)理統(tǒng)計基礎

友情提示◎本課件幾乎包括了教材的全部內(nèi)容。但任課教師最好根據(jù)教學對象的認知條件和教學目標，進行必要的選擇、修訂和刪改，以便更好地適應教學要求；

◎課件制作了頗多的動畫，視覺效果可能是比較好的；但是，由于PPT的功能缺陷，使容易在不當操作時變形；提醒任課教師謹慎操作和使用。在上課前最好先試用一遍，了解正確的操作過程。最好再留有一個副本，以便必要時復用?！虮窘滩暮捅菊n件中可能存在許多謬誤之處，請任課教師不吝賜教；并盡可能通知作者，以便在適當時候修正。容作者先表示感謝。

聯(lián)系方式：jlshi@

第1章緒論計算機數(shù)學基礎教程本章目錄

第1章緒論

第一篇

數(shù)學與計算機數(shù)學

本章目錄1.1數(shù)學1.2計算機數(shù)學1.3計算機數(shù)學的教學和學習

內(nèi)容要點數(shù)學的意義1數(shù)學的發(fā)展歷史與實踐2數(shù)學的主要特性3計算機數(shù)學的產(chǎn)生與構(gòu)建4計算機數(shù)學內(nèi)容的規(guī)范與組織5計算機數(shù)學的教材與學習61.1數(shù)學恩格斯說：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關系與空間形式的科學?！?，數(shù)學是研究數(shù)的學問

⑴數(shù)學源于“現(xiàn)實世界”；⑵數(shù)學研究事物的內(nèi)在數(shù)量關系及外部幾何形體的特性；⑶數(shù)學的研究內(nèi)容則是數(shù)與數(shù)之間的關系及空間形式；⑷研究數(shù)量關系是數(shù)學的主要內(nèi)容；⑸數(shù)學是研究抽象符號之間關系的一門科學。1.1數(shù)學計算機的主要用途數(shù)學的發(fā)展

早期主要用于數(shù)值計算第一階段自然數(shù)幾何學

加工處理的對象：純粹的數(shù)值

第二階段解析幾何微積分

數(shù)值計算的關鍵如何得出數(shù)學模型（方程）？

第四階段

離散數(shù)學

組合數(shù)學第三階段集合論數(shù)理邏輯

2，數(shù)學的發(fā)展歷史與實踐

基礎性一切科學和技術都需要數(shù)學數(shù)學是科學不可動搖的基石嚴謹性表現(xiàn)形式按嚴格的規(guī)則組織在推導上按嚴格的規(guī)則推理應用性數(shù)學是人類知識活動的有力工具用數(shù)抽象事物用數(shù)學符號和語言形式化用數(shù)學規(guī)則構(gòu)建數(shù)學理論抽象性1.1數(shù)學3.數(shù)學的主要特性1.2計算機數(shù)學1，計算機技術的發(fā)展催生了計算機數(shù)學的誕生

計算機數(shù)學是學習和應用計算機所需要掌握的數(shù)學知識的匯集。計算機的硬件原理和軟件設計，都基于一種問題的數(shù)學模型；計算機系統(tǒng)是一種以數(shù)學為基礎的裝置。計算機的運作以離散數(shù)學為基礎，計算機的應用以連續(xù)數(shù)學為基礎。連續(xù)數(shù)學需要建立相關的離散數(shù)學模型。

數(shù)學教學是提取具有公共基礎性的數(shù)學分支構(gòu)成，以利于計算機專業(yè)的基礎數(shù)學的教學。1.2計算機數(shù)學2，計算機數(shù)學的構(gòu)建原則

計算機數(shù)學綜合多門數(shù)學課程，刪繁求簡、擇其基礎；少而精，重應用。

計算機數(shù)學按數(shù)學規(guī)率組織內(nèi)容，安排順序，使達到知識的整合性、內(nèi)容的完整性、體系的統(tǒng)一性。計算機數(shù)學在內(nèi)容上互相溝通、互相交融；使概念統(tǒng)一，理論統(tǒng)一，教學統(tǒng)一；把多個數(shù)學分支組成一個統(tǒng)一整體。1.2計算機數(shù)學3，計算機數(shù)學的內(nèi)容規(guī)范和組織

計算機數(shù)學內(nèi)容的一般包含，

（1）連續(xù)數(shù)學部分：連續(xù)性概念、微積分、級數(shù)、多元微積分、微分方程、數(shù)值計算，概率及數(shù)理統(tǒng)計等。

（2）離散數(shù)學部分：集合論、圖論、代數(shù)（包括高等代數(shù)、線性代數(shù)及抽象代數(shù)）、解析幾何、離散概率、數(shù)理邏輯及組合數(shù)學等。計算機數(shù)學內(nèi)容的最小包含，

（1）連續(xù)數(shù)學部分—微積分（2）離散數(shù)學部分—集合論、圖論、代數(shù)與數(shù)理邏輯。根據(jù)不同層次的學校、不同專業(yè)及不同要求在最大集合及最小集合間選擇1.3計算機數(shù)學的教學和學習1，計算機數(shù)學的教學

以建立必要的數(shù)學基礎知識與數(shù)學應用能力為宗旨組織內(nèi)容、教學體系和教學過程。

在內(nèi)容的深度和寬度上也可以進行適當選擇和協(xié)調(diào)；如盡可能減少或回避理論證明，多引入應用實例、指導問題數(shù)學建模等內(nèi)容。1.3計算機數(shù)學的教學和學習2，計算機數(shù)學的學習

建立必須的數(shù)學知識和數(shù)額學素養(yǎng)

學習和掌握基本的數(shù)學知識和應用能力

要學會用數(shù)學思維思考問題。1.3計算機數(shù)學的教學和學習3，本教材的內(nèi)容體系

①

集合論

數(shù)學的基礎

②連續(xù)數(shù)學部分極限與連續(xù)、微分與積分、級數(shù)等

③

代數(shù)

高等代數(shù)、線性代數(shù)與抽象代數(shù)

④

代數(shù)的繼續(xù)

空間解析幾何與圖論

⑤

數(shù)理邏輯命題邏輯與謂詞邏輯

⑥

概率與統(tǒng)計概率論基礎與數(shù)理統(tǒng)計基礎

第2章集合與關系計算機數(shù)學基礎教程本章目錄

第2章集合與關系第3章函數(shù)與運算

第二篇

數(shù)學基礎本章目錄2.1集合基礎2.2關系

內(nèi)容要點集合論的數(shù)學意義1集合的基本概念2集合的表示方法與集合間關系3集合的基本性質(zhì)與集合的運算4關系的基本概念5關系的表示方法與關系的運算62.1集合基礎

集合論是一種研究數(shù)學基礎性問題的數(shù)學。集合與關系是數(shù)學的基礎

集合是數(shù)學的研究對象關系是數(shù)學研究的內(nèi)容2.1

集合基礎解釋1.

集合是一些具有共同目標的對象匯集在一起形成的一個集體。集合一般可用大寫字母

S，A，B，…，等表示之。解釋2.

元素是集合中具有共同目標的對象稱元素；或者說，集合是由元素組成的。元素一般可用小寫字母：e，a，b，c，…，等表示之。解釋3.

空集是不含任何元素的集合，可記為φ。解釋4.

全集是在所討論或關注范圍內(nèi)的所有元素所組成的集合，稱為全集，可記為E。1.集合的基本概念

—集合、元素、空集與全集

2.1

集合基礎（1）枚舉法：

在一對花括號中列舉出集合中所有元素，元素間用逗號隔開。形如，A={a1,a2,...,an}2.集合的表示方法

例，阿拉伯數(shù)字字符的集合，表示為，

D={

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9

}26個拉丁字母的集合，表示為，C={

a，b，c，……，z

}2.1

集合基礎（2）性質(zhì)刻劃法：

用某個能唯一刻劃元素性質(zhì)的p（公式）表示之。形如，

S＝｛x|p(x)｝2.集合的表示方法

例，

1到100的自然數(shù)集合，表示為，

N’={x|x≥1且x≤100且x在N中}2008年北京奧運會冠軍的集合，表示為，B=｛x|x為2008奧運會冠軍獲得者｝2.1

集合基礎（3）圖示法：

用平面區(qū)域上的一個矩形表示全集；其它集合則用矩形中的不同園表示之，又稱文氏圖，形如，2.集合的表示方法

全集某集合2.1

集合基礎3.集合間的關系---集合與元素，集合與集合間可以有多種的關系

（1）集合與元素間的關系：

元素與集合間存在著“隸屬”關系。若元素e屬于集合S，表示為，e∈S若元素e不屬于集合S，表示為，e∈S例，設N為自然數(shù)集合，則3∈N，2π∈N設R為自然數(shù)集合，則有2π∈N，2+5i∈N2.1

集合基礎3.集合間的關系---集合與元素，集合與集合間可以有多種的關系

（2）集合與集合間的關系：

集合A與集合B之間存在著多種關系。（a）相離關系若有元素e，e∈A，e∈B，則A，B為相離關系。圖示法表示如右圖。例，若A={1，3，5，7，9}；B={0，2，4，6，8}，則A，B有相離關系。若C={a，b，c，d，e}；D={s，w，x，y，z}，則C，D有相離關系。ABE2.1

集合基礎3.集合間的關系---集合與元素，集合與集合間可以有多種的關系

（2）集合與集合間的關系：

集合A與集合B之間存在著多種關系。（b）相交關系若有元素e，e∈A，e∈B，則A，B為相交關系。圖示法表示如右圖。例，若A={1，3，5，7，9}；B={0，3，4，5，8}，則A，B有相交關系。若C={a，b，c，d，e}；D={a，b，x，y，z}，則C，D有相交關系。ABE2.1

集合基礎3.集合間的關系---集合與元素，集合與集合間可以有多種的關系

例，若A={1，3，5，7，9}；B={3，4，5}，則稱A包含B。若C={a，b，c，d，e}；D={a，b}，則稱C包含D。ABE（2）集合與集合間的關系：

集合A與集合B之間存在著多種關系。

c）包含關系

對于e∈B的任何元素，必有e∈A，則稱A包含B；表示為AB或BA。圖示法表示如右圖。2.1

集合基礎3.集合間的關系---集合與元素，集合與集合間可以有多種的關系

例，若A={1，3，5，7，9}；B={3，4，5}，則稱A包含B。若C={a，b，c，d，e}；D={a，b}，則稱C包含D。ABE（2）集合與集合間的關系：

集合A與集合B之間存在著多種關系。

c）包含關系若AB且有∈A，而∈B則稱A真包含B；表示為AB或BA。圖示法表示如右圖。2.1

集合基礎3.集合間的關系---集合與元素，集合與集合間可以有多種的關系

例，若A={1，3，5，7，9}；B={1，3，5，7，9}，則A=B。若C={a，b，c，d，e}；D={a，b，c，d，e}，則C=D。ABE（2）集合與集合間的關系：

集合A與集合B之間存在著多種關系。c）包含關系若AB且BA則稱A與B相等；表示為A=B或B=A。圖示法表示如右圖。2.1

集合基礎4.集合的基本性質(zhì)性質(zhì)1.集合元素的確定性：

對于集合S與元素e，或者e∈S，或者e∈S；二者必居其一。性質(zhì)2.集合元素的相異性：

集合中的元素均不相同。若e1∈S且e2∈S，則e1≠e2。性質(zhì)3.集合元素的無序性：

集合中的元素與其排列次序無關。性質(zhì)4.集合與元素的相異性：

在集合論中，集合與元素是兩個不同概念。集合是由元素組成，不等同于元素。2.1

集合基礎4.集合的基本性質(zhì)性質(zhì)5.集合與元素的相同性：

一個集合可以是另一個集合的元素。這個性質(zhì)反映了集合的嵌套性。性質(zhì)6.集合的層次性：

設有集合S，則{S}也是集合，但S≠{S}，{S}是比S更高一層次的集合。同樣，有{S}≠{{S}}，{{S}}是比{S}更高一層次的集合，…。由此類推，可以得到一個集合的多個層次的集合。性質(zhì)7.空集是一切集合的子集：

對任一集合S，都有φS。性質(zhì)8.所有集合都是全集的子集：

對任一集合S，都有SE。由性質(zhì)7和性質(zhì)8有：對任一集合S，都有φSE。2.1

集合基礎5.集合運算運算1.并運算：

將集合A與集合B中所有元素合并的運算。記為C=A∪B，所得集合C稱為A與B的并集。ABEC圖示為，2.1

集合基礎5.集合運算運算2.交運算：

將集合A與B中的公共元素取出的運算。記為C=A∩B，所得集合C稱為A與B的交集。圖示為，BECA2.1

集合基礎5.集合運算運算3.補運算：

將集合A中所有屬于E但不屬于A的元素取出的運算；記為B=～A，所得集合B稱為A的補集。圖示為，EBA2.1

集合基礎5.集合運算集合的運算定律：定律1.交換律：集合的并、交運算滿足交換律。

A∪B＝B∪AA∩B＝B∩A

定律2.結(jié)合律：集合的并、交運算滿足結(jié)合律。

A∪（B∪C）＝（A∪B）∪CA∩（B∩C）＝（A∩B）∩C

定律3.分配律：集合的并、交運算滿足分配律。A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）

2.1

集合基礎5.集合運算集合的運算定律：定律4.等幕律：集合的并、交運算滿足等幕律。A∪A＝AA∩A＝A

定律5.雙否定律：集合的補運算滿足雙否定律。～（～A）＝A

定律6.互補律：集合的并、交、補運算滿足互補律。即，A∪～A＝EA∩～A＝Φ～E＝Φ～Φ＝E2.1

集合基礎5.集合運算集合的運算定律：定律7.同一律：集合的并、交運算滿足同一律。A∩E＝AA∪Φ＝AA∩Φ＝ΦA∪E＝E

定律8.吸收律：集合的并、交運算滿足吸收律。A∪（A∩B）＝AA∩（A∪B）＝A

定律9.德·摩根律：集合的并、交運算滿足摩根律。～（A∪B）＝～A∩～B～（A∩B）＝～A∪～B2.1

集合基礎5.集合運算運算4.笛卡爾乘---集合的擴充運算：序偶：按一定次序排列的兩個元素a與b組成的一個有序?qū)Γ洖椋╝，b）。其中，a與b分別稱為（a，b）的第一分量與第二分量。

序偶是兩個元素之間構(gòu)成的次序；構(gòu)成了一種新的、特殊結(jié)構(gòu)的元素；序偶本身不表示是由兩個元素組成的集合。

序偶集：以序偶為元素所組成的集合。

（1）兩個概念：2.1

集合基礎5.集合運算運算4.笛卡爾乘---集合的擴充運算：

在集合A與集合B中，將A中元素作為第一分量，B中元素作為第二分量構(gòu)作的所有序偶所形成序偶集的過程，稱為笛卡爾乘；記為A×B。笛卡爾乘所形成的結(jié)果集C是一個序偶集，稱為A與B的笛卡爾乘積，或簡稱為笛卡爾積。笛卡爾乘表示如下，C=A×B＝｛（a，b）|a∈A，b∈B｝（2）笛卡爾乘：2.1

集合基礎5.集合運算運算4.笛卡爾乘---集合的擴充運算：

n個按一定次序排列的元素a1，a2，…，an組成一個有序序列稱為n元有序組；記為（a1，a2，…，an）。其中ai（i＝1,2,…n）可稱為（a1，a2，…，an）的第i個分量。（3）n元有序組與n元有序組集：

以n元有序組為元素所組成的集合稱為n元有序組集。2.1

集合基礎5.集合運算運算4.笛卡爾乘---集合的擴充運算：

在n個集合S1，S2，…，Sn中,將Si（i＝1,2,…n）中元素作為第i個分量構(gòu)作的所有n元有序組所形成n元有序組集的過程稱為n階笛卡爾乘，記為S1×S2×…×Sn；所形成的結(jié)果集C是一個n元有序組集；稱集合S1，S2，…，Sn的n階笛卡爾乘積。表示如下，

C=S1×S2×…×Sn={(x1，x2，…，xn)｜xi∈Si（i＝1,2,…n）}（4）n階笛卡爾乘積：當S=S1=S2=…=Sn時，n階笛卡爾乘積可簡記為Sn；即

S1×S2×…×Sn=Sn

2.2關系1.關系的基本概念關系是世間存在的普遍現(xiàn)象。在數(shù)學及眾多學科中，對各類復雜關系的研究為其主要內(nèi)容。這里的關系表現(xiàn)為對各學科中關系的一般性規(guī)則的研究。例如，

人與人之間：“朋友“，”“冤家對頭”，“親戚”，“師生”，“上下級”，“雙親或子女”關系等。

程序間：“調(diào)用”，“并行”關系等等。

數(shù)學上：“大于”，“小于”，“相等”關系，“函數(shù)”關系等。2.2關系1.關系的基本概念例如，

集合A={1，2，3}集合B={a，b，c，d，e，f}結(jié)果集合R={(1,a),(2,b)，(3,c)，(1,d)，(2,e)，(3,f)}

集合A與B的一個從A到B的二元關系R是一個序偶集；該序偶集是A×B的一個子集；記為R

A×B。

二元關系一般常稱為關系。在從A到B的關系R中，A稱為R的前域，B稱為R的陪域。當A=B時，稱R為集合A上的關系；即RA×A。關系的定義：2.2關系1.關系的基本概念

集合A與B的一個從A到B的二元關系R是一個序偶集；該序偶集是A×B的一個子集；記為R

A×B。

二元關系一般常稱為關系。在從A到B的關系R中，A稱為R的前域，B稱為R的陪域。當A=B時，稱R為集合A上的關系；即RA×A。關系的定義：從A到B的關系R中,凡(a，b)∈R中的所有a∈A所構(gòu)成的集合稱R的定義域，記為D(R)；而所有b∈B所構(gòu)成的集合稱R的值域，記為R(R)。一般而言，AD(R)且BR(R)?？蓤D示為2.2關系2.關系的表示法（1）枚舉法：列出關系中的所有序偶。一般形式為，R={序偶1,序偶2,...,序偶n}（2）特性刻劃法：是一種關系的隱式表示法，即可用一個唯一刻劃序偶的性質(zhì)P表示之;一般形式為，

R={(x，y)｜P（x，y）}（3）圖示法：表示從A到B的關系R時，A，B中的元素可用圖中結(jié)點表示；R中的序偶（ai，bj）用從結(jié)點ai到結(jié)點bj帶箭頭的邊表示。一般形式為右圖，2.2關系3.關系運算(1)復合運算：設R是一個從集合X到Y(jié)的關系，S是從Y到Z的關系，則R與S的復合運算表示為RοS；并定義為，

C

=RοS={(x,z)|x∈X,z∈Z,且存在y∈Y有(x,y)∈R,(y,z)∈S

}則稱C為R與S的復合關系。例如，設X=Y=Z={1，2，3，4，5}，且有，R＝｛（1，2）,（3，4）,（2，2）｝S＝｛（4，2）,（2，5）,（3，1）｝則有RοS＝{(1，5）,(3，2)，(2，5)｝123451234512345RSRοS2.2關系3.關系運算(2)逆運算：設R是一個從集合X到Y(jié)的關系，即,則R的逆運算定義為

。

例如，設X={1，2，3}Y={a，b，c}，且有，R＝｛（1，a）,（2，b）,（3，c）｝則有＝{(a，1）,(b，2)，(c，3)｝123abcR2.2關系4.n元關系上面討論的都是2(n=2)元關系；實際地，還有多元關系。

例如，設A={1，2，3}B={a，b}，C={α，β}；則有3元關系，R＝｛（1，a，α）,（2，b，α）,（3，a,β）｝n元關系的定義：

集合S1，S2，…，Sn所確定的n元關系R是一個n元有序組集，它是S1×S2×…×Sn的一個子集；亦即有，RS1×S2×…×Sn

第3章函數(shù)與運算計算機數(shù)學基礎教程本章目錄

第2章集合與關系第3章函數(shù)與運算

第二篇

數(shù)學基礎本章目錄3.1函數(shù)的基本概念3.2函數(shù)運算3.3

實函數(shù)討論3.4

初等函數(shù)3.5

多元函數(shù)3.6

運算與代數(shù)系統(tǒng)3.7

有限集與無限集

內(nèi)容要點函數(shù)定義與函數(shù)表示1函數(shù)的分類2實函數(shù)的定義、表示和性質(zhì)4初等函數(shù)與多元函數(shù)5運算與代數(shù)系統(tǒng)6函數(shù)的運算3有限集與無限集的概念73.1函數(shù)的基本概念

函數(shù)是數(shù)學中的一個基本概念。函數(shù)是一種典型的、規(guī)范的關系函數(shù)是一種特殊的、規(guī)范的關系。函數(shù)建立從一個集合到另一個集合的映射關系。往往用函數(shù)取代關系作為數(shù)學的研究內(nèi)容。3.1函數(shù)的基本概念1.函數(shù)的定義定義1，設有集合X與Y，f是從X到Y(jié)的關系；若對于每個x∈X都存在唯一的y∈Y，使得（x,y）∈f，則稱f是X到Y(jié)的函數(shù)，或稱X到Y(jié)的映射；可記為f：X→Y，或，或y=f（x）。

在函數(shù)f：X→Y中，若X=Y，則稱f為X上的函數(shù)；Y中對應于x∈X的元素y稱為X的像，而x稱為y的像源。例子1，設自然數(shù)集N={0，1，2，3，…},若f：N→N,f(n)＝n+1是函數(shù)；且稱為后繼函數(shù)，或稱皮亞諾函數(shù)。例子2，設實數(shù)集R，函數(shù)f:R→R是一種實數(shù)函數(shù)，也稱實函數(shù)。3.1函數(shù)的基本概念1.函數(shù)的定義定義2，函數(shù)f：X→Y是一個滿足下面兩個條件的關系，(1)存在性條件：對每個x∈X,必存在y∈Y,使(x,y)∈f；(2)唯一性條件：對每個x∈X,僅存在一個y∈Y,使得(x,y)∈f。在函數(shù)f：X→Y中，定義域D(f)可表示為Df；一般地，Df=X；值域R(f)可表示為Cf，一般地，CfY。3.1函數(shù)的基本概念2.函數(shù)的表示（1）枚舉法：

用序偶集表示函數(shù)；形如，

F={序偶1,序偶2,...,序偶n}例子，設X={x1，x2，x3，x4，x5}，

Y={y1，y2，y3，y4，y5}；則可建立函數(shù)f：X→Y為，

f＝{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x4,y1),(x5,y5)}。3.1函數(shù)的基本概念2.函數(shù)的表示（2）特性刻劃法：

用某個能唯一刻劃函數(shù)關系的p（公式）表示之。形如，

F＝｛(x,y)|p(x,y)｝或y＝f(x)例子，f：R→R中，

y＝x2，

y＝

x2+2x+1實函數(shù)大都可用特性刻劃法表示。3.1函數(shù)的基本概念2.函數(shù)的表示（3）圖示法：

用矩形或橢圓形表示集合及其中的元素，用箭頭線表示函數(shù)關系。形如，3.1函數(shù)的基本概念3.函數(shù)的分類---滿射、內(nèi)射、單射和雙射（1）滿射函數(shù)和內(nèi)射函數(shù)：

若函數(shù)f：X→Y，有Cf＝Y(jié)，則稱f為從X到Y(jié)的滿射函數(shù)；否則稱為從X到Y(jié)的內(nèi)射函數(shù)。滿射函數(shù)例內(nèi)射函數(shù)例3.1函數(shù)的基本概念3.函數(shù)的分類---滿射、內(nèi)射、單射和雙射（2）單射函數(shù)和多對一函數(shù)：

若函數(shù)f：X→Y，對任意i、j有i≠j時必有f(xi)≠f(xj)，則稱f為從X到Y(jié)的單射函數(shù)，或稱為從X到Y(jié)的一對一函數(shù)；否則，則稱為多對一函數(shù)。多對一函數(shù)例單射函數(shù)例3.1函數(shù)的基本概念3.函數(shù)的分類---滿射、內(nèi)射、單射和雙射（3）雙射函數(shù)：

若函數(shù)f：X→Y，是從X到Y(jié)的一一對應的；則稱f為從X到Y(jié)的雙射，或稱為一一對應函數(shù)。若X＝Y(jié)，則稱f是X上的變換。雙射函數(shù)例3.2函數(shù)運算1.函數(shù)的復合運算

設有函數(shù)f：X→Y，g：Y→Z，則f與g的復合運算fοg可定義為，

fοg={(x,z)|x∈X,z∈Z且至少存在一個y∈Y,有y=f(x),z＝g(y)}復合運算的結(jié)果是一個函數(shù)，稱為復合函數(shù);令其結(jié)果為h；則有h：X→Z，即h＝fοg=g(f(x)).3.2函數(shù)運算2.函數(shù)的逆運算

設函數(shù)f：X→Y是雙射的，則由f構(gòu)成其逆函數(shù)的運算稱為函數(shù)的逆運算，記為f-1。設運算結(jié)果為h，則h：Y→X，記為h=f-1，并稱其為f的逆函數(shù)或反函數(shù)。逆運算的結(jié)果是一個函數(shù)，稱為逆函數(shù)或反函數(shù);令其結(jié)果為h；則有h：Y→X，即h＝f-1=h(y)；函數(shù)f存在逆函數(shù)的條件是，f必須是雙射函數(shù)。函數(shù)f函數(shù)f-13.3實函數(shù)討論1.實函數(shù)---高等數(shù)學的主要研究對象

y=f(x)中，

x∈X是x在Df中變化的變量，稱為自變量；

y∈Y則是在Cf中隨x而變化的變量，稱為因變量。實函數(shù)的定義：

設有函數(shù)f:X→Y，其中且x∈X往往是在實數(shù)段a與b（a<b）間變化的，則稱f為實函數(shù)；記為y=f(x)。3.3實函數(shù)討論2.實函數(shù)的表示(1)特性刻劃法:用自變量的表達式表示因變量;稱為顯式函數(shù)或顯函數(shù)表示。如,y=(x+a)2,y=x3+3x2+2x-5等等?；蛴米宰兞縳與因變量y構(gòu)成的方程式表示；稱為隱式函數(shù)或隱函數(shù)表示。形如，F(xiàn)(x,y)=0；如，5x-3y+7=0，+y-18=0等等。3.3實函數(shù)討論2.實函數(shù)的表示(2)圖示法:實函數(shù)表示的圖示法建立在笛卡爾坐標系上。實數(shù)的圖示表示法：

實數(shù)集R上的任何一個實數(shù)r用笛卡爾坐標系中數(shù)軸上的一點p表示之。圖示為，p0x實數(shù)區(qū)間的圖示表示法：

用數(shù)軸上的一個線段表示；開區(qū)間記為(a,b)，閉區(qū)間記為[a,b]。圖示為，a0xb3.3實函數(shù)討論2.實函數(shù)的表示(2)圖示法:實函數(shù)表示的圖示法建立在笛卡爾坐標系上。實函數(shù)的圖示表示法：

對實函數(shù)上的任意一個序偶（x,y），用笛卡爾坐標上的一個點p表示。序偶（x,y）與點p之間有一一對應關系。如，y=x+1,y=x2的圖示法表示如下圖。3.3實函數(shù)討論3.實函數(shù)的幾個主要性質(zhì)性質(zhì)1.函數(shù)的有界性：設有函數(shù)y=f(x)，若存在任意大的正數(shù)M，使得對于任一都有，則稱f(x)在A上是有界的，或稱f(x)為有界函數(shù)；M稱為函數(shù)的界。若函數(shù)f(x)不存在界M，則稱函數(shù)f(x)在A上無界，或稱f(x)為A上的無界函數(shù)。例如，

函數(shù)

y=x2

在[-1,1]上有界，即M

=

1。3.3實函數(shù)討論3.實函數(shù)的幾個主要性質(zhì)性質(zhì)2.函數(shù)的單調(diào)性：設有函數(shù)y=f(x)，若對于任意，當x1≤x2時,必有f(x1)≤f(x2)，則稱f(x)是在I上的單調(diào)遞增函數(shù)。同樣，當x1≤x2時必有f(x1)≤f(x2)，則稱f(x)是在I上的單調(diào)遞減函數(shù)。類似地，當x1＜x2時,必有f(x1)＜f(x2)，則稱f(x)是在I上的嚴格單調(diào)遞增函數(shù)。當x1＜x2時必有f(x1)＞f(x2)，則稱f(x)是在I上的嚴格單調(diào)遞減函數(shù)。3.3實函數(shù)討論3.實函數(shù)的幾個主要性質(zhì)性質(zhì)3.函數(shù)的奇偶性：設有函數(shù)y=f(x)，對任一,必有-且滿足f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)。若滿足f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)。例，

是奇函數(shù)；是偶函數(shù)。3.3實函數(shù)討論3.實函數(shù)的幾個主要性質(zhì)性質(zhì)4.函數(shù)的周期性：設有函數(shù)y=f(x)，若存在非0數(shù)T，使得對每一個都有，且總有f(x)=f(x+T)，則稱f(x)是周期函數(shù)，T稱為f(x)的周期。例，

是周期T=2π的周期函數(shù)；是周期T=π的周期函數(shù)。3.4初等函數(shù)4.初等函數(shù)的定義---數(shù)學中常用的函數(shù)(1)基本初等函數(shù)：初等函數(shù)中最簡單、最原始的函數(shù)。（a）常數(shù)函數(shù)：y=C(C為常數(shù))（b）冪函數(shù)：y=xa(a為常數(shù))（c）指數(shù)函數(shù)：y=ax(a為常數(shù)且a>0且a≠1)（d）對數(shù)函數(shù)：(a為常數(shù)且a>且qa≠1)（e）三角函數(shù)：

（f）反三角函數(shù)：3.4初等函數(shù)4.初等函數(shù)的定義---數(shù)學中常用的函數(shù)(2)初等函數(shù)：基本初等函數(shù)，以及通過運算構(gòu)造的初等函數(shù)。初等函數(shù)的定義：滿足以下條件的函數(shù)為初等函數(shù)，1.基本初等函數(shù)是初等函數(shù)；2.對初等函數(shù)y=f(x)與y=g(x)作加、減、乘、除運算y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x),y=f(x)×g(x),y=f(x)/g(x)，得到的函數(shù)是初等函數(shù)；3.對初等函數(shù)y=f(z)與z=g(x)作復合函數(shù)y=f(g(x))得到的函數(shù)是初等函數(shù)；4.通過且僅通過有限次步驟使用2-3而得到得函數(shù)是初等函數(shù)。3.5多元函數(shù)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的概念：函數(shù)f：X→Y稱為一元函數(shù)；即由一個像源決定一個像。若由n個像源決定一個像時，這種函數(shù)就稱為多元函數(shù)或n元函數(shù)。多元函數(shù)的定義：

設有集合X1，X2，…，Xn及Y；則f：X1×X2×…×Xn

→Y表示從n階笛卡爾乘積X1×X2×…×Xn到Y(jié)的n元函數(shù)，可表示為f（x1，x2，…，xn）=y，其中xi∈Xi（i=1，2，…，n）。稱其為多元函數(shù)。多元函數(shù)的例，

設f：R×R→R；f＝{((x,y),x+y)|x∈R,y∈R}。該函數(shù)f是一個二元運算。3.6

運算與代數(shù)系統(tǒng)1，運算

在函數(shù)的基礎上可以建立運算的概念；在運算的基礎上可以建立代數(shù)的概念。3.6

運算與代數(shù)系統(tǒng)1，運算

運算是研究數(shù)學的有效手段和工具常見運算：四則運算：加、減、乘、除代數(shù)運算：乘方、開方、指數(shù)、對數(shù)

抽象運算：集合運算、關系運算、微分運算、積分運算、

行列式運算、矩陣運算、向量運算3.6

運算與代數(shù)系統(tǒng)1，運算

運算的定義：

設有集合S上的n元函數(shù)

，稱f為S上的n元運算。一個具體的運算，由元數(shù)和運算符決定

元數(shù)，表示為n。當n=1時，稱為1元運算當n=2時，稱為2元運算當n≥3時，稱為多元運算

運算符，用適當符號表示運算。如四則運算表示為，＋（加）－（減）×（乘）÷（除）

在數(shù)學研究中，可以用抽象符號表示某種運算。

如用“○”或“*”等定義某個運算；

3.6

運算與代數(shù)系統(tǒng)2，代數(shù)系統(tǒng)

代數(shù)又稱代數(shù)系統(tǒng)或稱抽象代數(shù)。

以運算為核心,建立基礎集合以及運算結(jié)果封閉性所組成的一種系統(tǒng)；

代數(shù)系統(tǒng)由三部分組成：

（1）集合：是代數(shù)系統(tǒng)的基礎。集合給出了代數(shù)系統(tǒng)的研究對象。（2）運算：給出代數(shù)系統(tǒng)的研究手段與工具。（3）封閉性：在集合S上的運算結(jié)果仍在S中。它表示了運算范圍是受限的，即運算受限于集合S。3.6

運算與代數(shù)系統(tǒng)2，代數(shù)系統(tǒng)例，（1）整數(shù)集Z上帶有加法運算的系統(tǒng)構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)（Z，+）（2）實數(shù)集R上帶有加、乘運算的系統(tǒng)構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)（R，＋，×）（3）在自然數(shù)集N上帶有減法運算的系統(tǒng)不能構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)（N，-）（4）在整數(shù)集Z上帶有除法運算的系統(tǒng)不能構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)（Z，÷）。代數(shù)系統(tǒng)的定義：

非空集合S上的k（k>0）個運算

(一元或二元運算)所構(gòu)成的封閉系統(tǒng)稱為代數(shù)系統(tǒng)；記為，

（S，

）3.7有限集與無限集1，有限集與無限集定義：對于集合S，若其元素個數(shù)有限，則稱為有限集；若其元素個數(shù)無限，則稱為無限集。

集合按性質(zhì)分為有限集與無限集兩種。

任一種集合中的一些特性都不能任意推廣至另一種集合中去。例，

有限集如：S={1月，2月，3月，…，12月}A={a，b，c，d，…，z}無限集如：自然數(shù)集N

時間的集合T3.7有限集與無限集2，集合的基數(shù)（勢）定義：集合S中元素的個數(shù)稱為S的基數(shù)或稱勢，記為|S|。

集合的基數(shù)（或集合的勢）是集合的元素的個數(shù)的表示。例，

集合S={1月，2月，3月，…，12月}，|S|=12集合A={a，b，c，d，…，z}，|S|=26對于有限集，集合的基數(shù)是一個自然數(shù)。對于無限集，其基數(shù)用一個專門的符號表示

例，自然數(shù)集N的基數(shù)為（讀做Aleph零）與N一一對應的無限集的基數(shù)也為不與N一一對應的無限集的基數(shù)為與一一對應的無限集的基數(shù)為3.7有限集與無限集2，集合的基數(shù)（勢）定義：集合S中元素的個數(shù)稱為S的基數(shù)或稱勢，記為|S|。

集合的基數(shù)（或集合的勢）是集合的元素的個數(shù)的表示。例，

集合S={1月，2月，3月，…，12月}，|S|=12集合A={a，b，c，d，…，z}，|S|=26對于有限集，集合的基數(shù)是一個自然數(shù)。對于無限集，其基數(shù)用一個專門的符號表示

例，自然數(shù)集N的基數(shù)為（讀做Aleph零）與N一一對應的無限集的基數(shù)也為不與N一一對應的無限集的基數(shù)為與一一對應的無限集的基數(shù)為3.7有限集與無限集3，集合的層次

有限集：集合的基數(shù)|S|為有限時

可列集：集合的基數(shù)為時連續(xù)統(tǒng)：集合的基數(shù)為時3.7有限集與無限集4，連續(xù)數(shù)學與離散數(shù)學

由有限集及基數(shù)為

的無限集為基礎構(gòu)成了離散數(shù)學

由基數(shù)為的無限集為基礎構(gòu)成了連續(xù)數(shù)學

第4章極限與連續(xù)計算機數(shù)學基礎教程本章目錄

第4章極限與連續(xù)

第5章導數(shù)與微分

第6章不定積分

第7章定積分

第8章無窮級數(shù)

第三篇

微積分

本章目錄

4.1極限的概念

4.2無窮大量與無窮小量

4.3函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)

數(shù)列的極限和數(shù)列極限的性質(zhì)1函數(shù)的極限和函數(shù)極限的性質(zhì)2函數(shù)極限的運算法則3

極限存在的判別準則、兩個重要極限4無窮大量與無窮小量5函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)性質(zhì)6內(nèi)容要點4.1極限的概念4.1.1數(shù)列的極限1.什么是數(shù)列

數(shù)列的定義如下：

按一定順序排列的無窮多個數(shù)

y1,y2,y3,……,yn,……稱為一個無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列或序列，并記為{yn}。數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，其中yn稱為數(shù)列的通項，或稱一般項；其實質(zhì)是給出計算數(shù)列中每一個數(shù)的公式。

注意點：①數(shù)列有無窮多個②它們按一定順序排列。例如就是一個數(shù)列。4.1極限的概念

數(shù)列與函數(shù)一樣，有下列重要性質(zhì)：

⑴數(shù)列的單調(diào)增減性

4.1.1數(shù)列的極限如果數(shù)列{yn}滿足y1≤y2≤y3≤…≤yn≤…則稱數(shù)列{yn}是單調(diào)遞增的。準確地說是單調(diào)不減的；如果去掉等號，則稱是嚴格單調(diào)遞增的。如果{yn}滿足

y1≥y2≥y3≥…≥yn≥…則稱數(shù)列{yn}是單調(diào)不增的；如果去掉等號，則稱是嚴格單調(diào)遞減的。單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。4.1極限的概念

⑵數(shù)列的有界性4.1.1數(shù)列的極限對于數(shù)列{yn}，如果存在一個正數(shù)M，使得所有yn都滿足∣yn∣≤M則稱數(shù)列{yn}是有界的；如果不存在這樣的M，就稱數(shù)列{yn}是無界的。在教材例4.1中，數(shù)列（8）、（9）是單調(diào)遞增的，數(shù)列（1）、（2）是單調(diào)遞減的；數(shù)列（7）、（8）是無界的，其余數(shù)列是有界的。4.1極限的概念

2.數(shù)列的極限對數(shù)列的研究，最主要的是討論隨著n的無限增大，yn有怎樣的變化趨勢。有一類數(shù)列，隨著n的無限增大，對應的yn會向某一個固定的常數(shù)A無限接近，這時稱數(shù)列{yn}當n無限增大時趨向于極限A，并記為,

此時稱數(shù)列{yn}是收斂的，或稱數(shù)列{yn}有極限存在。另有一類數(shù)列，不具有上面所說的性質(zhì)；即當n無限增大時，yn并不無限接近某個固定的常數(shù)A。這類數(shù)列稱為是發(fā)散的，或稱數(shù)列的極限不存在。4.1.1數(shù)列的極限4.1極限的概念

下面給出數(shù)列極限的定義：

對于數(shù)列{yn}，當n無限增大時，如果yn無限接近于一個固定常數(shù)A，則稱此常數(shù)A為當n趨于無窮大時數(shù)列{yn}的極限。記為，

稱有極限存在的數(shù)列為收斂數(shù)列，無極限存在的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列；并統(tǒng)稱為數(shù)列的斂散性。上面的“當n無限增大時，yn無限接近于一個固定的常數(shù)A”的說法可用數(shù)學語言表述為：∣yn-A∣→0，當n→+∞時.

4.1.1數(shù)列的極限

4.1極限的概念

3.數(shù)列極限的性質(zhì)下面是數(shù)列極限的一些重要性質(zhì)。

性質(zhì)4.1一個數(shù)列{yn}如果有極限，則它的極限必是唯一的。

性質(zhì)4.2

若數(shù)列{yn}有極限，則數(shù)列{yn}必是有界的。由性質(zhì)4.2可知，如果數(shù)列{yn}無界，它一定發(fā)散。例如，因為yn=0.0001×n是無界的，所以它一定是發(fā)散的。但必須注意，發(fā)散的數(shù)列不一定無界。如數(shù)列{0，1，0，1，0，1，……}，它有界，但沒有極限，是發(fā)散數(shù)列。4.1.1數(shù)列的極限

4.1極限的概念

4.1.1數(shù)列的極限

性質(zhì)4.3

數(shù)列極限的四則運算法則：若數(shù)列{yn}，{zn}都有極限，即；則有：（1）（2）特別地，設c是常數(shù)，則有，上面的數(shù)列極限的運算法則(1)、(2)均可推廣到有限多個數(shù)列的情形。（3）性質(zhì)4.3說明，如果兩個數(shù)列都有極限，則這兩個數(shù)列的各對應項之和、差、積、商組成的數(shù)列也必有極限存在，其極限分別等于這兩個數(shù)列的極限的和、差、積、商（注意，作為除數(shù)的數(shù)列的極限不能為0）。

4.1極限的概念

4.1.1數(shù)列的極限

4.1極限的概念

由于數(shù)列可以看作是自變量為正整數(shù)n的函數(shù)yn=?(n)，所以數(shù)列的極限是函數(shù)極限的特殊類型，其自變量的變化方式是“離散型”的。下面要討論的是一般函數(shù)y=?(x)的極限，即在自變量的某個范圍內(nèi)“連續(xù)”無限變化的過程中，對應函數(shù)值的變化趨勢。下面分三種情況討論。

1.當x→x0時函數(shù)?(x)的極限

定義4.3

設函數(shù)?(x)在點x0附近有定義（但可以在點x0處無定義），如果當x無限接近于x0（但不等于x0）時，函數(shù)值?(x)無限接近于某個確定的常數(shù)A，則稱A為當x→x0時函數(shù)?(x)的極限，記為，即當∣x-x0∣→0時，∣?(x)-A∣→0。4.1.2函數(shù)的極限

4.1極限的概念

4.1.2函數(shù)的極限

在討論函數(shù)?(x)在x→x0的極限時，有兩點需要注意：①函數(shù)?(x)在x0處可以有定義，也可以沒有定義，這不影響函數(shù)?(x)在x0處的極限是否存在的討論；②自變量x無限接近于x0的方式是任意的，可從x0的左邊接近，也可從x0的右邊接近，甚至從x0的兩邊同時接近，函數(shù)的極限都要相同。根據(jù)定義4.3有下面兩個重要結(jié)論：（1）（c為常量）即常量的極限就是常量本身。（2）即函數(shù)y=x在x0點的極限就是x0

?？疾旌瘮?shù)，當x→1時的變化情況。

4.1極限的概念

4.1.2函數(shù)的極限

4.1極限的概念

2.函數(shù)?(x)的單側(cè)極限在求函數(shù)極限時，有時只需或只能考察x從x0的某一側(cè)無限趨近于x0時函數(shù)值的變化趨勢，這就是單側(cè)（或左、右）極限的概念。

定義4.4

對于在x0左側(cè)某個鄰域中有定義的函數(shù)y=?(x),如果當x從x0的左側(cè)無限趨近于x0（記作x→x0-0）時，函數(shù)?(x)無限地趨近于某一個確定的常數(shù)A，則稱A是?(x)在x=x0處的左極限，記為，4.1.2函數(shù)的極限

4.1極限的概念

定義4.5

對于在x0的右側(cè)某個鄰域中有定義的函數(shù)y=?(x),如果當x從x0的右側(cè)無限趨近于x0（記作x→x0+0）時，函數(shù)?(x)無限地趨近于某一個確定的常數(shù)A，則稱A是?(x)在x=x0處的右極限，記為，函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。而定義4.3所定義的極限又可稱為雙側(cè)極限。根據(jù)上面的定義，有下面的重要定理。

定理4.1

如果函數(shù)?(x)在x0的某個去心鄰域中有定義，則函數(shù)?(x)在x→x0時的極限存在的充分必要條件是，函數(shù)?(x)在x→x0時的左極限和右極限都存在而且相等。4.1.2函數(shù)的極限

4.1極限的概念

3.當x→∞時函數(shù)?(x)的極限

定義4.6

設函數(shù)?(x)在∞(或-∞，或+∞)的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當∣x∣(或-x,或+x)無限增大時，函數(shù)?(x)無限接近于一個確定的常數(shù)A，則稱A為是當x→∞(或x→-∞，或x→+∞)時函數(shù)?(x)的極限，記為

有時也記為

?(x)→A(x→∞)（或?(x)→A(x→-∞)，或?(x)→A(x→+∞)）

定理4.2

的充分必要條件是

4.1.2函數(shù)的極限

4.1極限的概念

4.1.2函數(shù)的極限

4.1極限的概念歸納上面關于函數(shù)極限的討論，自變量x的變化有兩類六種不同情況：在以后的討論中，如果極限號下未寫明自變量的變化過程，則泛指自變量的某一變化過程，用通用記號lim?(x)表示。當?(x)已給出具體函數(shù)時，就必須指明自變量的變化過程是六種情況中的哪一種，而不能使用通用記號。

4.1.2函數(shù)的極限

性質(zhì)4.4

如果函數(shù)?(x)的極限lim?(x)存在，則它必是唯一的。

性質(zhì)4.5

假設存在（這里x0代表六種情況中的任一種），則?(x)在x0點的某個去心(即x≠x0)鄰域中有界。

性質(zhì)4.6

若，則

1）若A>0(<0)，則對x0的某一去心鄰域中的所有x，都有?(x)>0(<0)；

2)若對x0的某一去心鄰域中的所有x，?(x)≥0（≤

0），則A≥0(≤0)。

4.1極限的概念函數(shù)極限也有一些與數(shù)列極限類似的性質(zhì)。

4.1.3函數(shù)極限的性質(zhì)4.1極限的概念

對函數(shù)極限的四則運算有如下定理。

定理4.3

設函數(shù)?(x)和g(x)在x的同一變化過程中有極限存在，且分別等于A和B，即有l(wèi)im?(x)=A，limg(x)=B,則如下的運算法則成立：

(1)lim[?(x)±g(x)]=lim?(x)±limg(x)=A±B(2)limc?(x)=clim?(x)=cA(c為常數(shù))(3)lim[?(x)·g(x)]=lim?(x)·limg(x)=AB

⑷

其中法則(1)、(3)可推廣到有限多個有極限的函數(shù)的代數(shù)和與積的情況。4.1.4函數(shù)極限的運算法則

4.1極限的概念

由定理4.3可得到下面兩個推論：

推論4.1

設n為自然數(shù)，則有

limun=(limu)n.因為un=uu…u，根據(jù)運算法則(3)即可得此推論。

推論4.2

設n為自然數(shù)，則有。根據(jù)推論4.1，有，兩邊開n次方，得，令，并代入上式，即得。例4.8求極限。解：由極限運算法則，得

。4.1.4函數(shù)極限的運算法則4.1極限的概念例4.9求極限解：由例4.8可知，分母函數(shù)的極限為0，因此不能直接應用法則(4)。但由極限的定義可知，當x→1求極限時，與函數(shù)在x=1這一點的性態(tài)無關，因而可將函數(shù)作如下化簡：所以有，

4.1.4函數(shù)極限的運算法則4.1極限的概念例4.13求極限解：。例4.14求極限，(其中a0≠0，b0≠0，m，n為正整數(shù)).解：在分子、分母中分別提出xn、xm，將分式變形為：

從上面的例子可以看出，有些數(shù)列或函數(shù)不能直接應用極限運算法則求其極限；但是可通過作適當變形，使之變成能用極限運算法則的形式，然后再求出極限。4.1.4函數(shù)極限的運算法則極限的運算法則是在極限存在的前提下，通過運算求得極限的法則。如何來確定一個數(shù)列或函數(shù)的極限是否存在呢？下面介紹兩個判別極限存在的重要準則。

準則4.1

設函數(shù)?(x)、g(x)、h(x)在點x0的某個去心鄰域內(nèi)滿足條件

?(x)≤g(x)≤h(x)，且有極限，則有。該準則對x→∞時也成立，且對數(shù)列亦有相應的結(jié)論。準則4.1有時也稱為極限存在的兩邊夾準則。4.1極限的概念

4.1.5判別極限存在的兩個準則4.1極限的概念

4.1.5判別極限存在的兩個準則

例4.15求極限

解：將分子、分母同時除以n，得分子為，分母為

，對于分母，當n→∞時的極限存在且等于1；對分子，因為有|sinn!|≤1，故有，又，，根據(jù)準則4.1，，從而有

準則4.2

單調(diào)有界的數(shù)列必有極限。（單調(diào)上升有上界；單調(diào)下降有下界）根據(jù)4.1.1節(jié)對數(shù)列單調(diào)性和有界性的論述，因為數(shù)列單調(diào)變化且有界，數(shù)列的項隨n增大而趨向一個固定值，所以數(shù)列的極限存在，且極限就為這個固定值。

例4.17求數(shù)列{}的極限：解：展開這個數(shù)列為；顯然，數(shù)列項的值隨n增大不斷減小，但總大于0并趨向于0；即數(shù)列以0為下界。故而該數(shù)列極限存在，且。

4.1極限的概念

4.1.5判別極限存在的兩個準則4.1極限的概念

4.1.6兩個重要極限

利用極限存在的兩個準則，可以證明兩個極重要的極限，并利用這兩個極限可求得類似函數(shù)的極限。1.極限

.這個極限可以看成是一個公式。利用此極限求其他極限時，應當注意兩點：①在求極限之前，先看一下sin的自變量部分和分母部分的式子是否一樣，如果不一樣，要設法化成一樣?；臅r候一般是把分母部分化成與sin的自變量部分一樣，這比較容易。②在求極限過程中，要保證sin的自變量和分母都趨于0。

4.1極限的概念

下面先看一個簡單的例子，如求極限

顯然，上式sin的自變量π/n與分母1/n不一樣。為使其一樣，且又不改變原式的值，分子分母同乘以π，而且當n→∞時，也保證了(π/n)→0，所以有4.1.6兩個重要極限4.1極限的概念

4.1.6兩個重要極限

4.1極限的概念

4.1.6兩個重要極限

2.極限

.對于連續(xù)變化的自變量x，上式可變形為如下形式：

或

無理數(shù)e=2.71828182845……，是自然對數(shù)的底。根據(jù)上面極限的三種不同形式，求這類極限也要注意兩點：先把上式形式化為。①在求極限之前，先看一下p和m是否互為倒數(shù)，即m=1/p，且式子是否一樣；如果不一樣，要設法化成一樣。化的時候一般是把m化成1/p，這比較容易。②在A→B的過程中，要保證p→0（與此同時有m→∞）。具體求極限時，也可通過變量代換來實現(xiàn)。這些將通過以下的例子來說明。

4.1極限的概念

4.1.6兩個重要極限

4.1極限的概念

4.1.6兩個重要極限

4.2無窮大量與無窮小量

4.2.1無窮大量與無窮小量的概念

1.無窮大量

定義4.7當x→x0(或x→∞)時，如果函數(shù)?(x)的絕對值可以大于事先指定的任意大的正數(shù)M，則稱?(x)為x→x0(或x→∞)時的無窮大量，簡稱為無窮大，記為特別地，在?(x)變化過程中，若能保持?(x)為正（負）值，且為無窮大，則稱?(x)為正（負）無窮大。例如

4.2無窮大量與無窮小量

4.2.1無窮大量與無窮小量的概念

注意，無窮大量指的是一種變量，它的絕對值可以任意的大；它不同于任意一個很大的定數(shù)。換句話說，任何一個定數(shù)，不管它的絕對值有多大，都不能說它是無窮大量。

4.2無窮大量與無窮小量

4.2.1無窮大量與無窮小量的概念

2.無窮小量

定義4.8當x→x0(或x→∞)時，如果函數(shù)?(x)的極限為0，則稱?(x)為x→x0(或x→∞)時的無窮小量，簡稱為無窮小。無窮小量常用α、β、γ等來表示。例如，因為，所以當x→1時，(x-1)是無窮小。因為，所以當x→∞時，是無窮小量。

注意：無窮小量是一個其值趨于0的變量的概念，而并非是一個其值接近于0的定數(shù)。但是，數(shù)0是可以看作無窮小的唯一的數(shù)，因為對任何變化過程，都有l(wèi)im0=0。

4.2無窮大量與無窮小量4.2.1無窮大量與無窮小量的概念3.無窮小量與無窮大量之間的關系

定理4.4在自變量的同一變化過程中，如果?(x)為無窮大，則為無窮小；反之，如果?(x)為無窮小且?(x)≠0，則為無窮大。例4.20求極限。解：因為當x→∞時，x2,10x都趨向于∞；所以不能直接運用極限的運算法則求其極限?，F(xiàn)考察函數(shù)（x2-10x–100）的倒函數(shù)的極限，

4.2無窮大量與無窮小量4.2.1無窮大量與無窮小量的概念即函數(shù)是當x→∞時的無窮小量，故