湖南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

湖南·2025屆高三入學(xué)考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，且，則的取值范圍為（）A.B.C.D.2.已知集合，則（）A.B.C.D.3.已知母線長為10的圓臺的側(cè)面積為，且其上底面的半徑與下底面的半徑滿足，則（）A.2B.4C.8D.124.已知，則（）A.1B.C.2D.5.記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（）A.B.C.D.16.記拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則的最小值為（）A.2B.3C.4D.57.記為隨機(jī)事件，已知，則（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).若是直角三角形，且，則（）A.B.C.D.1二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.北京時(shí)間2024年7月27日，我國射擊健將黃雨婷?李豪戰(zhàn)勝韓國選手，摘奪了射擊混合團(tuán)體10米氣步槍金牌，通過賽后數(shù)據(jù)記錄得到其中一名選手的得分分別為，則（）A.該組數(shù)據(jù)的極差為25B.該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等10.已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則（）A.可能為等差數(shù)列B.C.若，則D.若，則11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且，記的邊上的高為，則（）A.B.函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減C.點(diǎn)可能在以為直徑的圓上D.的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.13.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)的函數(shù)的解析式：__________.①不是常函數(shù)②的最小正周期為2③不存在對稱中心14.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過的直線交的右支于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方），.過點(diǎn)作直線，在第二象限交于點(diǎn)，若直線與直線的交點(diǎn)在直線上，則的離心率為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知橢圓過點(diǎn)和.（1）求的離心率；（2）若直線與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的一般式方程.16.（15分）中國能源生產(chǎn)量和消費(fèi)量持續(xù)攀升，目前已經(jīng)成為全球第一大能源生產(chǎn)國和消費(fèi)國，能源安全是關(guān)乎國家經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展的全局性?戰(zhàn)略性問題，為了助力新形勢下中國能源高質(zhì)量發(fā)展和能源安全水平提升，發(fā)展和開發(fā)新能源是當(dāng)務(wù)之急.近年來我國新能源汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，新能源汽車不僅對環(huán)境保護(hù)具有重大的意義，而且還能夠減少對不可再生資源的開發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向.“保護(hù)環(huán)境，人人有責(zé)”，在政府和有關(guān)企業(yè)的努力下，某地區(qū)近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：年份20192020202120222023新能源汽車購買數(shù)量（萬輛）0.400.701.101.501.80（1）計(jì)算與的相關(guān)系數(shù)（保留三位小數(shù)）；（2）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)2025年新能源汽車購買數(shù)量.參考公式.參考數(shù)值：.17.（15分）如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的正方形，，.（1）證明：；（2）若二面角的余弦值為，求.18.（17分）已知函數(shù).（1）求的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，討論和的大小關(guān)系.19.（17分）對于一個(gè)非零整數(shù)和質(zhì)數(shù)，我們稱中含的冪次為定義為最大的非負(fù)整數(shù)，使得存在非零整數(shù)，有，例如等.定義一個(gè)非零有理數(shù)的，如，且規(guī)定.現(xiàn)在對于任意一個(gè)有理數(shù)，我們定義其“示數(shù)”為，其中，規(guī)定.記兩個(gè)有理數(shù)的“示數(shù)距離”為.（1）直接寫出的值；（2）證明對于一個(gè)正整數(shù)，存在一列非整數(shù)的正有理數(shù)使（3）給定質(zhì)數(shù)，若一個(gè)無窮集合中任意一數(shù)列，對于任意，則我們稱集合是“-緊致的”，是否存在質(zhì)數(shù)，使得整數(shù)集是“-緊致的”？若存在，求出所有；若不存在，請說明理由.湖南·2025屆高三入學(xué)考試·數(shù)學(xué)參考答案?提示及評分細(xì)則1.【答案】A【解析】由解得，故答案選A.2.【答案】D【解析】.解得.故答案選D.3.【答案】C【解析】因?yàn)樵搱A臺的側(cè)面積為，母線長，所以，解得，故選C.4.【答案】A【解析】由有..故答案選A.5.【答案】D【解析】由正弦定理得，即或.若，結(jié)合有，故舍去，，故答案選D.6.【答案】B【解析】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則，故答案選B.7.【答案】D【解析】記，由全概率公式有，代入數(shù)據(jù)有，解得.故答案選D.8.【答案】C【解析】由正弦函數(shù)性質(zhì)有，由是直角三角形可得，結(jié)合有，解得，，故答案選C.9.【答案】ACD【解析】對于A項(xiàng)，極差等于，故A正確；對于B項(xiàng)，，故分位數(shù)為20，故B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，平均數(shù)等于，故C正確，對于D項(xiàng)，去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確，故答案選ACD.10.【答案】ACD【解析】由題意可得或.注意到若存在使得，則，則對于C項(xiàng)，只能滿足，累乘得，當(dāng)時(shí)也符合，此時(shí)，故數(shù)列此時(shí)為等差數(shù)列，故A正確；，故C正確；若，則，故，故B錯(cuò)誤；此時(shí)，奇偶分類討論有，此時(shí)，故D正確，故選ACD.11.【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)，由是偶函數(shù)有，則，得，故A正確；對于B選項(xiàng)，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷有為減函數(shù).故B正確；對于C選項(xiàng)，由B知，即.由對稱性，可設(shè)，則.若點(diǎn)在以為直徑的圓上，則有，代入即，即.若，則，不滿足題意；若.而，，故不可能在以為直徑的圓上.故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），而，記，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)候取等，即時(shí)取等，所以兩個(gè)不等號能同時(shí)取等，故的最大值為，故D正確.故答案選ABD.12.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，故答案為?3.【答案】（滿足題意即可）14.【答案】【解析】記直線與直線的交點(diǎn)為，則，由對稱性有過坐標(biāo)原點(diǎn)且.由有.又，即.在中，.在中，，解得，故答案為.15.解：（1）由題意得，從而可得故的離心率.（2）聯(lián)立，得，由，得，直線的一般式方程為：.16.解：（1），，，.（2）由（1）知，所以關(guān)于的線性回歸方程是，當(dāng)時(shí)，（萬輛），該地區(qū)2025年新能源汽車購買數(shù)量約為2.54萬輛.17.解：（1）側(cè)面是邊長為2的正方形，.側(cè)面是平行四邊形，.在中，由余弦定理有.解得是直角三角形，，平面平面，又平面.（2）取的中點(diǎn)，記為，連接.，平面平面為二面角的平面角.又平面平面，記二面角為，則平面.18.解：（1）時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到極小值，沒有極大值.（2）.若，則時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增；若，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，單調(diào)遞增；若，則時(shí)，單調(diào)遞減；和時(shí)，單調(diào)遞增.