浙江省杭州市余杭區(qū)2017屆九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷(含解析)

第cm，且△ABC內(nèi)接于半徑為2cm的⊙O，則∠A=60或120度．【考點(diǎn)】圓周角定理．【分析】連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODB=90°，由垂徑定理得出BD=CD=BC=cm，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BOD=∠COD=∠BOC，由三角函數(shù)求出∠BOD=60°，得出∠BOC=120°，由圓周角定理即可得出結(jié)果．【解答】解：分兩種情況：①當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)；連接OB、OC，作OD⊥BC于D，如圖1所示：則∠ODB=90°，BD=CD=BC=cm，∠BOD=∠COD=∠BOC，∵sin∠BOD=，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=120°，∴∠A=∠BOC=60°②當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖2所示：∠A=180°﹣60°=120°；綜上所述：∠A的度數(shù)為60°或120°，故答案為：60或120．14．如圖，△COD是△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點(diǎn)C恰好落在AB上，且∠AOD的度數(shù)為90°，則∠B的度數(shù)是60°．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，再求出∠BOC，∠ACO，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵△COD是△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，∴∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，∵∠AOD=90°，∴∠BOC=90°﹣40°×2=10°，∠ACO=∠A===70°，由三角形的外角性質(zhì)得，∠B=∠ACO﹣∠BOC=70°﹣10°=60°．故答案為：60°．15．已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，弦PQ∥AB交弦CD于點(diǎn)M，BE=18，CD=PQ=24，則OM的長為5．【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．【分析】作OF⊥PQ于F，連接OP，根據(jù)已知和圖形證明四邊形MEOF為正方形，設(shè)半徑為x，用x表示出OF，在直角△OPF中，根據(jù)勾股定理列出方程求出x的值，得到答案．【解答】解：作OF⊥PQ于F，連接OP，∴PF=PQ=12，∵CD⊥AB，PQ∥AB，∴CD⊥PQ，∴四邊形MEOF為矩形，∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，∴OE=OF，∴四邊形MEOF為正方形，設(shè)半徑為x，則OF=OE=18﹣x，在直角△OPF中，x2=122+（18﹣x）2，解得x=13，則MF=OF=OE=5，∴OM=5．故答案為：5．16．在第一象限內(nèi)作射線OC，與x軸的夾角為60°，在射線OC上取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，在拋物線y=x2（x＞0）上取一點(diǎn)P，在y軸上取一點(diǎn)Q，使得以P、O、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，則符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)是（，3）或（，）或（，）或（2，2）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】由于兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不能確定，故應(yīng)分四種情況進(jìn)行討論：①∠POQ=∠OAH=30°，此時(shí)A、P重合，可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；②∠POQ=∠AOH=60°，此時(shí)∠POH=30°，即直線OP：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式可得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時(shí)，此時(shí)△QOP≌△AOH，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時(shí)△OQP≌△AOH，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：①如圖1，當(dāng)∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；∵∠AOH=60°，∴直線OA：y=x，聯(lián)立拋物線的解析式得：，解得：或，故A（，3）；②當(dāng)∠POQ=∠AOH=60°，此時(shí)△POQ≌△AOH，易知∠POH=30°，則直線y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：，解得：或，故P（，），那么A（，）；③當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時(shí)，此時(shí)△QOP≌△AOH；易知∠POH=30°，則直線y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：，解得：或，故P（，），∴OP==，QP=，∴OH=OP=，AH=QP=，故A（，）；④當(dāng)∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時(shí)△OQP≌△AOH；此時(shí)直線y=x，聯(lián)立拋物線的解析式，得：，解得：或，∴P（，3），∴QP=2，OP=2，∴OH=QP=2，AH=OP=2，故A（2，2）．綜上可知：符合條件的點(diǎn)A有四個(gè)，分別為：（，3）或（，）或（，）或（2，2）．故答案為：（，3）或（，）或（，）或（2，2）．三、解答題（6+8+8+10+10+12+12=66分）17．如圖，（1）作△ABC的外接⊙O（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙【考點(diǎn)】作圖—復(fù)雜作圖．【分析】（1）作線段AB于BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為圓心，OA為半徑，作△ABC的外接圓即可；（2）先根據(jù)勾股定理求出CD的長，設(shè)OC=OA=r，則OD=CD﹣r，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出r的值即可．【解答】解：（1）如圖，⊙O即為所求；（2）∵AB=6cm，AC=BC=5∴AD=AB=3cm，∴CD===4cm．設(shè)OC=OA=r，則OD=4﹣r，在Rt△AOD中，∵AD2+OD2=OA2，即32+（4﹣r）2=r2，解得r=．18．甲、乙兩人同在如圖所示的地下車庫等電梯，兩人到1至4層的任意一層出電梯，（1）請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率；（2）小亮和小芳打賭說：“若甲、乙在同一層或相鄰樓層出電梯，則小亮勝，否則小芳勝”．該游戲是否公平？說明理由．【考點(diǎn)】游戲公平性；列表法與樹狀圖法．【分析】（1）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出甲乙在同一個(gè)樓層的情況數(shù)，即可求出所求的概率；（2）分別求出兩人獲勝的概率比較得到公平與否．【解答】解：（1）列表如下：甲乙12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）一共出現(xiàn)16種等可能結(jié)果，其中出現(xiàn)在同一層樓梯的有四種結(jié)果，∴P（甲、乙在同一層樓梯）==；（2）不公平，理由為：由（1）列知：甲、乙住在同層或相鄰樓層的有10種結(jié)果故P（小亮勝）=P（同層或相鄰樓層）==，P（小芳勝）=1﹣=，∵＞，∴游戲不公平．19．如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求證：AD=CE．【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】欲證明AD=CE，只需證明=即可．如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義易證得∠C=∠CAD，所以=，則+=+，故=．【解答】證明：如圖，∵AB∥CE，∴∠ACE=∠BAC．又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴∠C=∠CAD，∴=，∴+=+，∴=，∴AD=CE．20．某商店購進(jìn)一種商品，每件商品進(jìn)價(jià)30元．試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量y（件）與每件銷售價(jià)x（元）的關(guān)系數(shù)據(jù)如下：x30323436y40363228（1）已知y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)上表，求出y與x之間的關(guān)系式（不寫出自變量x的取值范圍）；（2）如果商店銷售這種商品，每天要獲得150元利潤，那么每件商品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？（3）設(shè)該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w（元），求出w與x之間的關(guān)系式，并求出每件商品銷售價(jià)定為多少元時(shí)利潤最大？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法解出解析式即可；（2）根據(jù)題意列出方程解答即可；（3）根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，利用函數(shù)解析式的最值解答即可．【解答】解：（1）設(shè)該函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b，根據(jù)題意，得，解得：．故該函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣2x+100；（2）根據(jù)題意得，（﹣2x+100）（x﹣30）=150，解這個(gè)方程得，x1=35，x2=45，故每件商品的銷售價(jià)定為35元或45元時(shí)日利潤為150元；（3）根據(jù)題意，得w=（﹣2x+100）（x﹣30）=﹣2x2+160x﹣3000=﹣2（x﹣40）2+200，∵a=﹣2＜0則拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，即當(dāng)x=40時(shí)，w的值最大，∴當(dāng)銷售單價(jià)為40元時(shí)獲得利潤最大．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．（1）求△ABC的外接圓的圓心點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）求△ABC的外接圓在x軸上所截弦DE的長．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)解答；（2）連接OM，作MN⊥DE于N，根據(jù)勾股定理求出DN，根據(jù)垂徑定理求出DE．【解答】解：（1）∵B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4），∴線段BC的垂直平分線是x=﹣2，∵A（2，2），C（2，﹣4），∴線段AC的垂直平分線是y=﹣1，∴△ABC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)為：（﹣2，﹣1）；（2）連接OM，作MN⊥DE于N，由題意得，AC=6，BC=8，由勾股定理得，AB=10，則DN==2，由垂徑定理得，DE=2DN=4．22．一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米．要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米．（1）如圖1，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標(biāo)系．①求拋物線的解析式；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？（2）如圖2，若把橋看做是圓的一部分．①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；垂徑定理的應(yīng)用．【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；②根據(jù)題意得出y=3時(shí)，求出x的值即可；（2）①構(gòu)造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可；②在RT△WGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，求出即可．【解答】解：（1）①設(shè)拋物線解析式為：y=ax2+c，∵橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米，∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：∴拋物線解析式為：y=，②∵要使高為3米的船通過，∴y=3，則3=，解得：x=±5，∴EF=10米；（2）①設(shè)圓半徑r米，圓心為W，∵BW2=BC2+CW2，∴r2=（r﹣4）2+102，解得：r=14.5；②在RT△WGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2﹣WG2，即GF2=14.52﹣13.52=28，所以GF=2，此時(shí)寬度EF=4米23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長為的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B在拋物線y=ax2+ax﹣2上．（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，1）；（2）拋物線的解析式為y=x2+x﹣2；（3）設(shè)（2）中拋物線的頂點(diǎn)為D，求△DBC的面積；（4）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出OA的長，即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出OE、BE的長即可求出B的坐標(biāo)；（2）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求出a的值，即可求出拋物線的解析式；（3）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，然后求出CF的長，再根據(jù)S△DBC=S△CEB+S△CED進(jìn)行計(jì)算即可；（4）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出點(diǎn)②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，由全等三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P2的坐標(biāo)；點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)代入拋物線的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)即可．③以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再判斷點(diǎn)P不在拋物線上．【解答】解：（1）∵C（﹣1，0），AC=，∴OA===2，∴A（0，2）；過點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為F，∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，在△AOC與△CFB中，∵，∴△AOC≌△CFB，∴CF=OA=2，BF=OC=1，∴OF=3，∴B的坐標(biāo)為（﹣3，1），故答案為：（0，2），（﹣3，1）；（2）∵把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得：1=9a﹣3解得a=，∴拋物線解析式為：y=x2+x﹣2．故答案為：y=x2+x﹣2；（3）由（2）中拋物線的解析式可知，拋物線的頂點(diǎn)D（﹣，﹣），設(shè)直線BD的關(guān)系式為y=kx+b，將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)代入得：，解得．∴BD的關(guān)系式為y=﹣x﹣．設(shè)直線BD和x軸交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E（﹣，0），CE=．∴S△DBC=××（1+）=；（4）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1過點(diǎn)P1作P1M⊥x∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90°，∴△