人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第八章 立體幾何初步》單元導(dǎo)學(xué)案及答案

人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第八章立體幾何初步》單元導(dǎo)學(xué)案

(8.1基本立體圖形》導(dǎo)學(xué)案

第1課時(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.記住棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征

2.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系

3.能用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征解答一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題

【自主學(xué)習(xí)】

知識(shí)點(diǎn)1空間幾何體

1.空間幾何體的定義

空間中的物體都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小,

而不考慮其他因素，

那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間幾何體.

2.空間幾何體的分類

(1)多面體：由若干個(gè)壬面的M圍成的幾何體叫做多面體.

圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；

兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；

棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).

(2)旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定置線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面

叫做旋轉(zhuǎn)面,

封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做雌體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.

知識(shí)點(diǎn)2棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1.有兩個(gè)面互相壬立，其余各面都是四邊蜃，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相壬

紅，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

在棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是金笠的多邊形；

其余各面叫做棱柱的側(cè)面,它們都是平行四邊形；

相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；

側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的項(xiàng)點(diǎn).

2.一般地，我們把側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做更棱柱,

側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱拄，

底面是正多邊形的直楂柱叫做正楂柱,

底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.

知識(shí)點(diǎn)3棱錐的結(jié)構(gòu)特征

有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角喪，

由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.這個(gè)多邊形面叫做楂錐的底面;

有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的蛔；

相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)接；

各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做楂錐的頂點(diǎn).底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直

于底面的棱錐叫做正校筵.

知識(shí)點(diǎn)4棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱

臺(tái)?

在棱臺(tái)中，原棱錐的底面和截面分別叫做樓臺(tái)的1面和上底面.

【合作探究】

探究一棱柱的結(jié)構(gòu)特征

【例1】下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法：

(1)所有的面都是平行四邊形；

(2)每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；

(3)兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；

(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱.

其中正確說(shuō)法的序號(hào)是.

【答案】⑶⑷

［分析］根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.

［解析］(1)錯(cuò)誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；

(2)錯(cuò)誤，棱柱的底面可以是三角形；

(3)正確，由棱柱的定義易知；

(4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱.

所以說(shuō)法正確的序號(hào)是(3)(4).

歸納總結(jié)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征：(1)有兩個(gè)面互相平行；(2)其余各面是四邊形；(3)相鄰兩

個(gè)四邊形的公共邊都互相平行.求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)平行的面作為底面，再看是否滿

足其他特征

【練習(xí)1】如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-ABCD.

、、

(1)這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？

(2)用平面BCFE把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是,

是幾棱柱？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)是棱柱，并且是四棱柱.因?yàn)橐蚤L(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面作為底面，則底面都是四

邊形，其余各面都是矩形，矩形當(dāng)然是平行四邊形，并且?guī)缀误w的四條側(cè)棱互相平行.

(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEBLCFG,其中△BEB】和△CFG是底面.

械面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA「DCFDi,其中四邊形ABEA1和四邊形

DCF?是底面.

探究二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

【例2】(1)下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法：

①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；

②棱錐的側(cè)面只能是三角形；

③由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

④棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.

其中正確說(shuō)法的序號(hào)是—_____.

⑵如圖，在三棱臺(tái)6V%中,截去三棱錐H?力比；則剩余部分是()

\\

/mi-----

A.三棱錐B.四棱錐

C.三棱柱D.三棱臺(tái)

【答案】(D①②③(2)B

［分析］根據(jù)棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.

［解析］

(1)①正確，棱臺(tái)的側(cè)面都是梯形.

②正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形.

③正確，由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐.

④錯(cuò)誤，如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.

(2)由題圖知，在三棱臺(tái)A，B，C'-ABC中，截去三棱錐A'-ABC,剩下的部分如圖所

示，故剩余部分是四棱錐A'?BB'C'C.故選笈

歸納總結(jié)：判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法

(1)舉反例法：

結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確.

(2)直接法:

棱錐棱臺(tái)

定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面

看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)

【練習(xí)2］下列特征不是棱臺(tái)必須具有的是()

A.兩底面平行

B.側(cè)面都是梯形

C.側(cè)棱長(zhǎng)都相等

D.側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)

【答案】C

解析：用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺(tái)，A,B,D正

確，選c.

<8.1基本立體圖形》導(dǎo)學(xué)案

第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球、簡(jiǎn)單組合體

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

L記住圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義及它們的結(jié)構(gòu)特征

2,能用圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征解答一些相關(guān)問(wèn)題

3.了解組合體的概念

【自主學(xué)習(xí)】

知識(shí)點(diǎn)1圓柱

1.以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做

圓柱.

2.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的

邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的

母線.

3.棱柱和圓柱統(tǒng)稱為柱體.

知識(shí)點(diǎn)2圓錐

1.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成

的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.

2.按筵與圓維統(tǒng)稱為錐體.

知識(shí)點(diǎn)3圓臺(tái)

1.用燈于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).

2.棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.

知識(shí)點(diǎn)4球

生圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)

體叫做球體,簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心叫做球的典；

連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑;連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段

叫做球的直徑.

知識(shí)點(diǎn)5簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

1.定義：由簡(jiǎn)里岫住組合而成的幾何體稱為簡(jiǎn)單組合體.

2.簡(jiǎn)單組合體構(gòu)成的兩種基本形式

簡(jiǎn)單卅J由簡(jiǎn)單幾何體血而成；

I由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成.

【合作探究】

探究一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

［例1］下列命題正確的是.

①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；

②圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點(diǎn)和下底面上一點(diǎn)的直線：

③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；

④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成

的幾何體是圓錐；

⑤球面上四個(gè)不同的點(diǎn)一定不在同一平面內(nèi)；

⑥球的半徑是球面上任意一點(diǎn)和球心的連線段；

⑦球面上任意三點(diǎn)可能在一條直線上；

⑧用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面.

【答案】???

［分析］準(zhǔn)確理解旋轉(zhuǎn)體的定義，在此基礎(chǔ)上掌握各旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)，才能更好地把握它

們的結(jié)構(gòu)特征，以作出準(zhǔn)確的判斷.

［解析］①以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐，故①錯(cuò)誤；②圓

柱的母線是連接圓柱上底面上一點(diǎn)和下底面上一點(diǎn)的線段,且這條線段與軸平行,故②錯(cuò)誤;

③它們的底面為圓面，故③錯(cuò)誤；④正確：作球的一個(gè)截面，在截面的圓周上任意取四點(diǎn),

則這四點(diǎn)就在球面上，故⑤錯(cuò)誤；根據(jù)球的半徑定義可知⑥正確；球面上任意三點(diǎn)一定不共

線，故⑦錯(cuò)誤；用一個(gè)平面去截球，一定截得一個(gè)圓面，故⑧正確.

歸納總結(jié)：簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體判斷問(wèn)題的解題策略,（1）準(zhǔn)確掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成

過(guò)程及其特征性質(zhì)是解決此類概念問(wèn)題的關(guān)鍵.，（2）解題時(shí)要注意兩個(gè)明確：，①明確由哪個(gè)

平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；，②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線

【練習(xí)1］下列命題：

①任意平面截圓柱，截面都是圓面；

②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；

③在圓臺(tái)上、下兩底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線，

其中正確的是（）

A.①0B.②?C.①③D.②

【答案】D

解析：過(guò)圓柱兩母線的截面為矩形，有時(shí)斜的截面為橢圓，故①錯(cuò)誤；圓臺(tái)的母線不是

上底面和下底面上任意兩點(diǎn)的連線，③錯(cuò)誤；由圓錐母線的定義知②正確，故選D.

探究二圓柱、圓錐、圓臺(tái)的計(jì)算問(wèn)題

【例2】已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12。制兩底面的面積分別為4"和25開c/,

求：

(1)圓臺(tái)的高；

(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng).

［分析］在解答有關(guān)臺(tái)體的問(wèn)題時(shí)，一般要把臺(tái)體還原成錐體，這就是常應(yīng)用的“還臺(tái)

為錐”的思想，不僅在作圖時(shí)應(yīng)用，而且在計(jì)算時(shí)也常應(yīng)用此思想尋求元素間的關(guān)系，以便

解決問(wèn)題.

［解］(1)設(shè)圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形ABCD(如圖所示).

由題意可得上底的一半U(xiǎn)A=2cm,下底的一半0B=5cm,腰長(zhǎng)AB=12cm,所以圓臺(tái)

的高AM=^/122-(5-2)2=3^15(cm).

(2)如圖，延長(zhǎng)BA,00.,CD,交于點(diǎn)S,設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為1cm,

1—122

則由△SAOIS^SBO,得一：—=-,

15

解得1=20.

故截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20cm.

歸納總結(jié)：旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)底面半徑、母線、高的計(jì)算，可利用軸截面求解，即將立體問(wèn)

題平面化.對(duì)于圓臺(tái)的軸截面，可將兩腰延長(zhǎng)相交后在三角形中求解.這是解答圓臺(tái)問(wèn)題常用

的方法

【練習(xí)2】如圖所示，用一個(gè)平行于圓錐SO底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下

底面的面積之比為116,截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3cm,求圓臺(tái)0'。的母線長(zhǎng).

解：設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為1cm,由截得圓臺(tái)上、下底面面積之比為116,可設(shè)截得圓臺(tái)

的上、下底面的半徑分別為r、4r.過(guò)軸SO作截面,

如圖所示.則△5()'A'^ASOA,SA'=3cm.

.SA'_0'A，.3_r_1

,*"sF=OA*?，m=4r=4，

解得1=9.

即圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9cm.

探究三球的截面問(wèn)題

【例3］已知半徑為10的球的兩個(gè)平行截面的周長(zhǎng)分別是12不和16八求這兩個(gè)截面

間的距離.

［分析］畫出球的截面圖，球心與截面圓心連線垂直于截面所在的平面，構(gòu)造直角三角

形解決.對(duì)于球的兩個(gè)平行截面要注意討論它們?cè)谇蛐耐瑐?cè)還是異側(cè)，否則容易漏解.

［解］設(shè)球的大圓為圓0,C,D兩點(diǎn)為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過(guò)C,0,D三點(diǎn)的直

徑且兩截面圓的半徑分別是6和8.

當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時(shí)，如圖（D,此時(shí)CD=0C-0D=46距菽一軻匚而=8-6=

2.

當(dāng)兩截面在球心兩側(cè)時(shí)，如圖（2）,此時(shí)CD=OC+OD=dOE2—EC?+d（）F—DF'=8+6=

14.

故兩截面間的距離為2或14.

歸納總結(jié)：利用球的截面，將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題是解決球的有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵

【練習(xí)3］一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為樂(lè)則球的直徑為2啦.

解析：設(shè)球心到平面的距離為d,截面圓的半徑為r,則不r=才，.?.r=i,

設(shè)球的半徑為R,則口=后彳=/，故球的直徑為2班.

探究四簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

【例4】（1）如圖①所示的物體為燕尾槽工件，請(qǐng)說(shuō)明該物體是由哪些幾何體構(gòu)成的.

(2)指出圖②中三個(gè)幾何體的主要結(jié)構(gòu)特征.

［分析］由多面體和旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.

［解］(1)題圖①中的幾何體可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體割去一個(gè)四棱柱所得的幾何體，也

可以看成是一個(gè)長(zhǎng)方體與兩個(gè)四棱柱組合而成的幾何體(如圖所示).

割去―一1/V補(bǔ)上兩個(gè)

四棱柱四棱柱

(2)(4)中的幾何體由一個(gè)三棱柱挖去一個(gè)圓柱后剩余部分組合而成，其中圓柱內(nèi)切于三

棱柱.

(而中的幾何體由一個(gè)圓錐挖去一個(gè)四棱柱后剩余部分組合而成，其中四棱柱內(nèi)接于圓

錐.

(6)中的幾何體由一個(gè)球挖去一個(gè)三棱錐后剩余部分組合而成.其中三棱錐內(nèi)接于球.

歸納總結(jié):會(huì)識(shí)別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，我們應(yīng)注意觀察周圍的物體,

然后將它們“分拆”成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識(shí)圖能力

【練習(xí)4】如圖，繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的旋轉(zhuǎn)體是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的？

解：如圖所示，由一個(gè)圓錐0G,一個(gè)圓柱02」及一個(gè)圓臺(tái)0舊3中挖去圓錐0。2組成的.

探究五與球有關(guān)的“切”與“接”問(wèn)題

【例5】已知正方體的校長(zhǎng)為a,分別求出它的內(nèi)切球及與各棱都相切的球的半徑.

［分析］解決此題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)軸截面，建立半徑與棱氏的關(guān)系.

［解］(1)正方體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)為正方體各面的中心，故作出經(jīng)過(guò)正方體相對(duì)

兩面的中心且與棱平行的截面，則球的?個(gè)大圓是其正方形截面的內(nèi)切圓，如圖⑴所示，

設(shè)球的半徑為Ri,易得

(2)與正方體的各棱均相切的球與正方體相連接的點(diǎn)是正方體各枝的中點(diǎn)，故應(yīng)作出經(jīng)

過(guò)正方體一組平行棱中點(diǎn)的截面，則球的軸截面是其正方形截面的外接圓，如圖(2)所示，

設(shè)球的半徑為易求得球的半徑R尸蟲a.

歸納總結(jié)：組合體問(wèn)題應(yīng)分清各部分之間是如何組合起米的，以便轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行

計(jì)算.正方體的內(nèi)切球直徑等于正方體的楂長(zhǎng)；外接球直徑等于其體對(duì)角線的長(zhǎng)；球與正方

體各棱都相切，則球的直徑等于正方體面對(duì)角線的長(zhǎng)

【練習(xí)5】正三棱錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，經(jīng)過(guò)棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的圖形是

()

【答案】C

解析：正三棱錐的內(nèi)切球與各個(gè)面的切點(diǎn)為正三棱錐各面的中心，所以過(guò)??條側(cè)棱和高

的截面必過(guò)該校所對(duì)面的高線，故C正確.

《8.2立體圖形的直觀圖》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握斜二測(cè)畫法的步驟

2.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出一些簡(jiǎn)單平面圖形和立體圖形的直觀圖

【自主學(xué)習(xí)】

知識(shí)點(diǎn)1斜二測(cè)畫法的步驟

1.畫軸：在已知圖形中取互相垂直的A?軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)0.畫直觀圖時(shí)，把它

們畫成對(duì)應(yīng)的/軸與/軸，兩軸相交于點(diǎn)療，且使N/°/=45°（或135°）,它

們確定的平面表示水平面.

2.畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于?軸或.

軸的線段.

3.取長(zhǎng)度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于p軸

的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.

知識(shí)點(diǎn)2空間幾何體直觀圖的畫法

1.畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個(gè)二軸.

2.畫平面：平面xOy表示水平平面,平面yOz和xOz表示豎直平面.

3.取長(zhǎng)度：已知圖形中平行于z軸（或在z軸上）的線段，在其直觀圖中平行性和長(zhǎng)度

都不變.

4.成圖處理：成圖后，去掉鋪助線，將被遮擋的部分改為虛線.

【合作探究】

探究一水平放置的平面圖形直觀圖的畫法

【例1】如圖所示，梯形ABCD中，AB//CD,AB=4cm,CD=2err.ZDAB=30°,AD=

3cm,試畫出它的直觀圖.

DC

AB

［分析］以AB所在直線為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.只需確定四個(gè)頂點(diǎn)

A,B,C,D在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)即可.

［解］畫法步驟：

（1）如圖甲所示，在梯形彼O?中，以邊力8所在的直線為x軸，點(diǎn)力為原點(diǎn)，建立平面

直角坐標(biāo)系彳勿如圖乙所示，畫出對(duì)應(yīng)的/軸，y'軸，使Nx'O'y'=45°.

⑵在圖甲中，過(guò)〃點(diǎn)作廢'J_x軸，垂足為￡在犬軸上取/B'=AB=4cm,A'F

3、/5I13

=AE=^-^2.598(cm)；過(guò)點(diǎn)少作爐Df〃/軸，使fD'=-ED=-X-=Q.75(cm),

再過(guò)點(diǎn)〃'作〃C〃/軸，且使〃C=DC=2cm.

(3)連接4D,BY,并擦去V軸與/軸及其他一些輔助線，如圖丙所示，則

四邊形HB'CD'就是所求作的直觀圖.

歸納總結(jié)：在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，

一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，便于畫點(diǎn)；原圖中的共線點(diǎn)在直觀圖中

仍是共線點(diǎn)；原圖中的共點(diǎn)線，在直觀圖中仍是共點(diǎn)線；原圖中的平行線，在直觀圖中仍是

平行線.本題中，關(guān)鍵在于點(diǎn)〃的位置的確定，這里我們采用作垂線的方法，先找到垂足￡

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)少,再去確定〃的位置

【練習(xí)1］畫邊長(zhǎng)為1cm的正三角形的水平放置的直觀圖.

解：⑴如圖①所示，以砥邊所在直線為x軸，以比邊上的高線力。所在直線為y軸，

再畫對(duì)應(yīng)的/軸與/軸，兩軸相交于點(diǎn)?！筃x'0/=45°,如圖②所示.

A,

B'/O'C

②

(2)在/軸上截取。B'=0'C=0.5cm,在/軸上截取f=2A0=Acm,

連接4、片C1,則B'C即為正三角形力阿的直觀圖.

(3)擦去/、y'軸得直觀圖8'C,如圖③所示.

探究二畫空間幾何體的直觀圖

【例2】用斜二測(cè)畫法畫長(zhǎng)、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長(zhǎng)方體力收辦"B'CI)'

的直觀圖.

［分析］利用畫軸、畫底面、畫側(cè)棱、成圖進(jìn)行作圖.

［解］(1)畫軸.如圖①所示，畫*軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)0,使//0=45°,

Nx0z=9O°.

(2)畫底面.以點(diǎn)。為中心，在x軸上取線段極：使加V=4cm；在y軸上取線段PQ,

使PQ=5cm,分別過(guò)點(diǎn)M和點(diǎn)N作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P和Q作/軸的平行線，設(shè)它們的

交點(diǎn)分別為力、B、C、1),四邊形仍少就是長(zhǎng)方體的底面總比。

(3)畫側(cè)棱.過(guò)力、B、C、〃各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些立行線上分別截取2cm

長(zhǎng)的線段加'、劭'、s、如「

(4)成圖.順次連接H、夕、6"、〃'，并加以整理(擦掉輔助線，將被遮擋的線改

為虛線)，就得到長(zhǎng)方體的直觀圖(如圖②).

歸納總結(jié)：

(1)畫空間幾何體的直觀圖，可先畫出底面的平面圖形，然后畫出豎軸.此外，坐標(biāo)系

的建立要充分利用圖形的對(duì)稱性，以便方便、準(zhǔn)確的確定頂點(diǎn)；

(2)對(duì)于一些常見(jiàn)幾何體(如柱、錐、臺(tái)、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以

便可以又快又準(zhǔn)的畫出

【練習(xí)2]?個(gè)幾何體，它的下面是一個(gè)圓柱，上面是?個(gè)圓錐，并且圓錐的底面與圓

柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3cm,高為4cm,圓錐的高為3cm,畫出此幾何體的

直觀圖.

圖2

解：(1)畫軸，如圖1所示，畫＞軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)0,使/也0=45°,

Nx0z=9O°.

(2)畫圓柱