專題2.11 有理數(shù)的運(yùn)算（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（人教版）（原卷版）

專題2.11有理數(shù)的運(yùn)算（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】有理數(shù)的加法1、加法法則：(1)同號(hào)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；(2)異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)何為0，絕對(duì)值不等時(shí)，取絕對(duì)值大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；(3)一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。2、運(yùn)算律：交換律：a+b=b+a結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）【知識(shí)點(diǎn)二】有理數(shù)的減法減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。特別注意：將減法轉(zhuǎn)化成加法時(shí)，注意兩變：一是減號(hào)變加號(hào)，二是減數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù)?！局R(shí)點(diǎn)三】有理數(shù)的乘法1、有理數(shù)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，絕對(duì)值相乘。②任何數(shù)與0相乘，積仍為0。特別注意：（1）如果兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積為1；（2）※乘法的交換律、結(jié)合律、分配律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣適用。2、有理數(shù)乘法運(yùn)算步驟：①先確定積的符號(hào)；②求出各因數(shù)的絕對(duì)值的積；乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。特別注意：①零沒有倒數(shù)；②求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是把分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒位置。帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)；③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)四】有理數(shù)的除法有理數(shù)除法法則：①兩個(gè)有理數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。②0除以任何非0的數(shù)都得0。0不可作為除數(shù)，否則無意義。指數(shù)底數(shù)指數(shù)底數(shù)冪特別注意：①一個(gè)數(shù)可以看作是本身的一次方，如5=；②當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號(hào)將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)。乘方的運(yùn)算性質(zhì)：①正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；②負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；③任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負(fù)數(shù)；④1的任何次冪都得1，0的任何次冪都得0；⑤-1的偶次冪得1；-1的奇次冪得-1；⑥在運(yùn)算過程中，首先要確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值?！局R(shí)點(diǎn)六】有理數(shù)混合運(yùn)算法則：法則：①先算乘方,再算乘除,最后算加減。②如果有括號(hào),先算括號(hào)里面的。第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】有理數(shù)的加減運(yùn)算【例1】（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)【變式1】（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·期末）已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖，請(qǐng)化簡(jiǎn)，下列結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）計(jì)算：．【題型2】有理數(shù)的乘除運(yùn)算【例2】（23-24七年級(jí)上·湖南株洲·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)【變式1】計(jì)算：（

）A．1 B．36 C． D．6【變式2】（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知a是有理數(shù)，表示不超過a的最大整數(shù)，如等，那么．【題型3】有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算【例3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)(2)【變式1】（23-24七年級(jí)上·貴州貴陽·期中）下列四個(gè)選項(xiàng)中，計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)，，在數(shù)軸上的位置如圖，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是3，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)是．【題型4】有理數(shù)的乘方及應(yīng)用【例4】（22-23七年級(jí)上·寧夏吳忠·期中）如圖是某種細(xì)胞分裂示意圖，這種細(xì)胞每過30分鐘便由1個(gè)分裂成2個(gè)．根據(jù)此規(guī)律可得：

(1)這樣的一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過2小時(shí)后可分裂成_______個(gè)細(xì)胞；(2)這樣的一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過n（n為正整數(shù)）小時(shí)后可分裂成_______個(gè)細(xì)胞．【變式1】（23-24七年級(jí)上·福建漳州·期中）觀察下列算式：，，，，，，，，…，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認(rèn)為的末位數(shù)字是（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如果，那么．【題型5】含乘方的加減乘除混合運(yùn)算【例5】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；【變式1】（23-24七年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，某公園有一長(zhǎng)方形廣場(chǎng)，長(zhǎng)為米，寬為米，在其兩角修建半徑均為米的扇形花壇，在廣場(chǎng)中心修建一個(gè)直徑為米的圓形噴泉水池，則該廣場(chǎng)的空地面積為（取3）（

）．A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）計(jì)算：．【題型6】用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算【例6】（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)；(2)．【變式1】（23-24七年級(jí)上·廣東深圳·期中）再加上（

）后，結(jié)果就是．A． B． C． D．【變式2】（2022七年級(jí)上·上海·專題練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算；【題型7】有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用【例7】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)1400輛自行車，平均每天生產(chǎn)200輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)）：星期一二三四五六日增減(1)根據(jù)記錄可知前三天共生產(chǎn)_______輛；(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)______輛；(3)該廠實(shí)行每周計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一輛車可得60元，若超額完成任務(wù)，則超過部分每輛另獎(jiǎng)15元；少生產(chǎn)一輛扣15元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少？【變式1】如圖，方格中的任一行、任一列以及對(duì)角線上的數(shù)字之和相等，那么m的值為（

）A．13 B．10 C．9 D．無法確定【變式2】（23-24七年級(jí)上·浙江·期末）某市一天早晨的氣溫是中午比早晨上升了傍晚又比中午下降，則這天傍晚的氣溫是．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真題）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【例2】（2024·陜西·中考真題）小華探究“幻方”時(shí)，提出了一個(gè)問題：如圖，將0，，，1，2這五個(gè)數(shù)分別填在五個(gè)小正方形內(nèi)，使橫向三個(gè)數(shù)之和與縱向三個(gè)數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是．（寫出一個(gè)符合題意的數(shù)即可）2、拓展延伸【例1】（2024七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）某人從地去地，以每分鐘米的速度行進(jìn)，他先前進(jìn)米，再后退米，又前進(jìn)米，再后退米……(1)小時(shí)后他離地多遠(yuǎn)？(2)若、兩地相距米，他可能到達(dá)地嗎？如果能，需要多長(zhǎng)時(shí)間？如不能，請(qǐng)說明理由．【例2】（23-24七年級(jí)上·廣東汕頭·期末）【概念探究】在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘方運(yùn)算后．小芳對(duì)類似于這樣幾個(gè)相同有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算產(chǎn)生了興趣，決定探究學(xué)習(xí)．經(jīng)過查閱資料，類比有理數(shù)的乘方運(yùn)算，小芳知道這種除法運(yùn)算叫做除方，并把記作，讀作“的4次商”．【概念歸納】一般地，我們把個(gè)（）相除記作，讀作“的次商”(1)【概念理解】直接寫出結(jié)果：_______________．(2)關(guān)于除方，下列說法正確的是：________（填序號(hào)）①任何