專題2.9 有理數(shù)的混合運(yùn)算（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）（蘇科版）（解析版）

專題2.9有理數(shù)的混合運(yùn)算（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】有理數(shù)的混合運(yùn)算一、理解運(yùn)算順序有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：①?gòu)母呒?jí)到低級(jí)：先算乘方，再算乘除，最后算加減；②從內(nèi)向外：如果有括號(hào)，就先算小括號(hào)里的，再算中括號(hào)里的，最后算大括號(hào)里的.③從左向右：同級(jí)運(yùn)算，按照從左至右的順序進(jìn)行（或應(yīng)用分配律、結(jié)合律）；二、應(yīng)用四個(gè)原則：1、整體性原則：乘除混合運(yùn)算統(tǒng)一化乘，統(tǒng)一進(jìn)行約分；加減混合運(yùn)算按正負(fù)數(shù)分類，分別統(tǒng)一計(jì)算，或把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)部分拆開，分別統(tǒng)一計(jì)算。2、簡(jiǎn)明性原則：計(jì)算時(shí)盡量使步驟簡(jiǎn)明，能夠一步計(jì)算出來的就同時(shí)算出來；運(yùn)算中盡量運(yùn)用簡(jiǎn)便方法，如五個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用。3、口算原則：在每一步的計(jì)算中，都盡量運(yùn)用口算，口算是提高運(yùn)算率的重要方法之一，習(xí)慣于口算，有助于培養(yǎng)反應(yīng)能力和自信心。分段同時(shí)性原則：對(duì)一個(gè)算式，一般可以將它分成若干小段，同時(shí)分別進(jìn)行運(yùn)算。如何分段呢?主要有：(1)運(yùn)算符號(hào)分段法。有理數(shù)的基本運(yùn)算有五種：加、減、乘、除和乘方，其中加減為第一級(jí)運(yùn)算，乘除為第二級(jí)運(yùn)算，乘方為第三級(jí)運(yùn)算。在運(yùn)算中，低級(jí)運(yùn)算把高級(jí)運(yùn)算分成若干段。一般以加號(hào)、減號(hào)把整個(gè)算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的結(jié)果先計(jì)算出來，最后再算出這幾個(gè)加數(shù)的和．(2)括號(hào)分段法，有括號(hào)的應(yīng)先算括號(hào)里面的。在實(shí)施時(shí)可同時(shí)分別對(duì)括號(hào)內(nèi)外的算式進(jìn)行運(yùn)算。(3)絕對(duì)值符號(hào)分段法。絕對(duì)值符號(hào)除了本身的作用外，還具有括號(hào)的作用，從運(yùn)算順序的角度來說，先計(jì)算絕對(duì)值符號(hào)里面的，因此絕對(duì)值符號(hào)也可以把算式分成幾段，同時(shí)進(jìn)行計(jì)算．(4)分?jǐn)?shù)線分段法，分?jǐn)?shù)線可以把算式分成分子和分母兩部分并同時(shí)分別運(yùn)算。說明：本題以加號(hào)、減號(hào)為界把整個(gè)算式分成三段，這三段分別計(jì)算出來的結(jié)果再相加。三、掌握運(yùn)算技巧（1）歸類組合：將不同類數(shù)(如分母相同或易于通分的數(shù))分別組合；將同類數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類計(jì)算。（2）湊整：將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消。（3）分解：將一個(gè)數(shù)分解成幾個(gè)數(shù)和的形式,或分解為它的因數(shù)相乘的形式。（4）約簡(jiǎn)：將互為倒數(shù)的數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)約簡(jiǎn)。（5）倒序相加：利用運(yùn)算律，改變運(yùn)算順序,簡(jiǎn)化計(jì)算。（6）正逆用運(yùn)算律：正難則反,逆用運(yùn)算定律以簡(jiǎn)化計(jì)算。（7）絕對(duì)值和偶次冪的非負(fù)性。四、理解轉(zhuǎn)化的思想方法有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是確定符號(hào)和絕對(duì)值的問題。因此在運(yùn)算時(shí)應(yīng)把握“遇減化加．遇除變乘，乘方化乘”，這樣可避免因記憶量太大帶來的一些混亂，同時(shí)也有助于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)內(nèi)在的本質(zhì)問題。把所學(xué)的有理數(shù)運(yùn)算概括起來?？蓺w納為三個(gè)轉(zhuǎn)化：一是通過絕對(duì)值將加法、乘法在先確定符號(hào)的前提下，轉(zhuǎn)化為小學(xué)里學(xué)的算術(shù)數(shù)的加法、乘法；二是通過相反數(shù)和倒數(shù)分別將減法、除法轉(zhuǎn)化為加法、乘法；三是將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為積的形式．若掌握了有理數(shù)的符號(hào)法則和轉(zhuǎn)化手段，有理數(shù)的運(yùn)算就能準(zhǔn)確、快速地解決了．五、會(huì)用三個(gè)概念的性質(zhì)如果a．b互為相反數(shù)，那么a+b=O，a=-b；如果c，d互為倒數(shù)，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】有理數(shù)的四則混合運(yùn)算【例1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算下列各題：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)17(2)(3)(4)【分析】本題考查有理數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握有理混合運(yùn)算法則與順序是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算乘除，再計(jì)算減法即可；（2）先計(jì)算小括號(hào)里的，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算減法即可；（3）先計(jì)算小括號(hào)，再計(jì)算中括號(hào)，即可求解；（4）先計(jì)算除法，并運(yùn)用乘法分配律將括號(hào)展開，再進(jìn)行計(jì)算即可；（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式；【變式1】（23-24七年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．解：A、，故A不正確，不符合題意；B、，故B不正確，不符合題意；C、，故C正確，符合題意；D、，故D不正確，不符合題意．故選：C．【變式2】（23-24九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）定義一種新運(yùn)算，規(guī)定，則．【答案】【分析】此題考查了新定義下的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．原式利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．解：，，故答案為：．【題型2】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【例2】（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）計(jì)算題：(1)；(2)．【答案】(1)17(2)【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵：（1）先去括號(hào)，計(jì)算乘方，再算乘法，最后進(jìn)行加減運(yùn)算；（2）先算乘方，再算乘除，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．（1）解：原式；（2）解：原式．【變式1】（23-24七年級(jí)下·湖南永州·期末）計(jì)算：（

）A．1 B．2 C．0 D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．先算乘方，然后計(jì)算加減即可．解：，故選：C．【變式2】（23-24七年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，按照先乘方，再乘除，最后算加減的順序計(jì)算即可．解：故答案為：．【題型3】用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算【例3】（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，以及乘法分配律在有理數(shù)范圍依舊適用．（1）根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)乘法分配律的逆用進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：．（2）解：．【變式1】（22-23七年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）在簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)，把變形成最合適的形式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)簡(jiǎn)便計(jì)算的要求變形即可．解：=，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算，正確進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．【變式2】式子“1＋2＋…＋100”表示從1開始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，為了簡(jiǎn)便將其表示為，這里“∑”是求和符號(hào)，如，通過以上材料，計(jì)算=．【答案】【分析】根據(jù)題目?jī)?nèi)的計(jì)算，分析運(yùn)算方式，可知：中，n=1表示第一個(gè)數(shù)字為1，4表示4個(gè)數(shù)字，n2表示每一個(gè)數(shù)字都要進(jìn)行的運(yùn)算，再結(jié)合，列出算式，逐步計(jì)算即可解答.解：根據(jù)題目可知：中，n=1表示第一個(gè)數(shù)字為1，4表示4個(gè)數(shù)字，n2表示每一個(gè)數(shù)字都要進(jìn)行的運(yùn)算，則故答案為【題型4】有理數(shù)混合運(yùn)算與程序流程圖和算24點(diǎn)【例4】（23-24七年級(jí)上·吉林松原·期中）請(qǐng)你參加計(jì)算游戲：(1)“算24點(diǎn)”游戲：有四個(gè)數(shù)，可以按下面方式計(jì)算：，．利用加、減、乘、除、乘方運(yùn)算（可用括號(hào)），每個(gè)數(shù)必須用一次且只能用一次，最終計(jì)算結(jié)果為24．下面有四個(gè)數(shù)：，請(qǐng)列出一個(gè)符合要求的算式，并寫出計(jì)算全過程；(2)請(qǐng)?jiān)趦?nèi)填上中的一個(gè)，使計(jì)算更加簡(jiǎn)便，然后計(jì)算．計(jì)算：．【分析】（1）通過四個(gè)數(shù)的組合運(yùn)算，列出結(jié)果為24的算式即可．（2）根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可．解：（1）解：答案不唯一，例如方法一：；方法二：；（2）內(nèi)的符號(hào)應(yīng)是；．【點(diǎn)撥】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用了“24”點(diǎn)游戲?yàn)楸尘?，蘊(yùn)含了對(duì)混合運(yùn)算的法則和順序的考查，是一道開放性試題．【變式1】小新玩“24點(diǎn)”游戲，游戲規(guī)則是對(duì)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除混合運(yùn)算（每張卡片只能用一次，可以加括號(hào)）使得運(yùn)算結(jié)果是24或－24．小新已經(jīng)抽到前3張卡片上的數(shù)字分別是，若再?gòu)南铝?張中抽出1張，則其中不能與前3張算出“24點(diǎn)”的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用運(yùn)算符號(hào)將四個(gè)數(shù)字連接，使其結(jié)果為24或-24，即可得出答案.解：A：(5-2)×8×(-1)=-24，故A錯(cuò)誤；B：(8-3)×5+(-1)=24，故B錯(cuò)誤；C：(8-4)×[5-(-1)]=24，故C錯(cuò)誤；D：無法組成24點(diǎn)，故D正確；故答案選擇：D.【點(diǎn)撥】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，需要熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則.【變式2】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）按照以下程序圖輸入的值為，則輸出的值為．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵就是弄清楚題中圖形給出的計(jì)算程序．由于將開始代入計(jì)算是6，不是負(fù)數(shù)，返回繼續(xù)計(jì)算，要平方后再代入，這是本題易出錯(cuò)的地方．解：，，故答案為：．【題型5】有理數(shù)混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【例5】（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）初夏逢盛會(huì)，冰城萬象新．2024年第三十三屆哈爾濱國(guó)際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易洽談會(huì)，吸引了眾多采購(gòu)商和消費(fèi)者的目光，讓海內(nèi)外賓朋收獲頗豐，也給哈爾濱市的旅游行業(yè)帶來了新的生機(jī)，某出租車駕駛員在一條東西向的道路上連續(xù)接送5批客人，行駛路程記錄如下（規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，單位：）．第一批第二批第三批第四批第五批(1)接送完第5批客人后，該駕駛員在公司什么方向，距離公司多少千米？(2)若出租車每千米耗油升，那么在連續(xù)接送5批客人的過程中共耗油多少升？(3)若該出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為：行駛路程不超過收費(fèi)9元，超過的部分每千米加元收費(fèi)，在連續(xù)接送5批客人的過程中，該駕駛員一共收到車費(fèi)多少元？【答案】(1)在公司東面，距離公司6千米(2)共耗油6升(3)一共收到車費(fèi)56.4元【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義以及有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用正負(fù)數(shù)的意義．（1）根據(jù)有理數(shù)加法即可求出答案．（2）（3）根據(jù)題意列出算式即可求出答案．（1）解：由行駛路程記錄得：，答：接送完第5批客人后，該駕駛員在公司東面，距離公司6千米；（2）解：由行駛路程記錄得：（升），答：在連續(xù)接送5批客人的過程中共耗油6升；（3）解：由行駛路程記錄得：（元），答：在連續(xù)接送5批客人的過程中，該駕駛員一共收到車費(fèi)元．【變式1】（2024·四川達(dá)州·三模）在我國(guó)古書《易經(jīng)》中有“上古結(jié)繩而治”的記載，它指“結(jié)繩記事”或“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一遠(yuǎn)古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿6進(jìn)1，用來記錄他所放牧的羊的只數(shù)，由圖可知，他所放牧的羊的只數(shù)是（

）A．1234 B．310 C．60 D．10【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)計(jì)數(shù)規(guī)則可知，從右邊第1位的計(jì)數(shù)單位為，右邊第2位的計(jì)數(shù)單位為，右邊第3位的計(jì)數(shù)單位為，右邊第4位的計(jì)數(shù)單位為，……，依此類推，可求出結(jié)果．解：根據(jù)題意得：（只），答：他所放牧的羊的只數(shù)是310只．故選：B．【變式2】（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）在2024年“五·一”黃金周期間，哈市鳳凰山旅游景區(qū)在三天假期中，每天旅游的人數(shù)變化如下表：（正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù)）：日期4月29日4月30日5月1日人數(shù)變化單位：萬人－0.1＋0.3－0.2若4月30日的游客人數(shù)為1.5萬人，且每張入山門票為100元，那么三天內(nèi)游客管理中心一共收取門票費(fèi)萬元【答案】400【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)及有理數(shù)的混合遠(yuǎn)算，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵．解：4月29日游客為（萬人），5月1日游客為（萬人），則（萬元），即三天內(nèi)游客管理中心一共收取門票費(fèi)400萬元，故答案為：400．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運(yùn)算*，規(guī)定運(yùn)算法則為：（m，n均為整數(shù)，且）．例：，則．【答案】8【分析】根據(jù)定義，得，解得即可．本題考查了新定義計(jì)算，正確理解定義的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．解：根據(jù)定義，得，故答案為：8．【例2】（2021·山東日照·中考真題）數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，“奇偶?xì)w一猜想”就是其中之一，它至今未被證明，但研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意一個(gè)小于的正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1；如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1．對(duì)任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則，恰好實(shí)施5次運(yùn)算結(jié)果為1的所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】利用第5次運(yùn)算結(jié)果為1出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐項(xiàng)計(jì)算即可求出的所有可能的取值．解：如果實(shí)施5次運(yùn)算結(jié)果為1，則變換中的第6項(xiàng)一定是1，則變換中的第5項(xiàng)一定是2，則變換中的第4項(xiàng)一定是4，則變換中的第3項(xiàng)可能是1，也可能是8．則變換中的第3項(xiàng)可能是1，計(jì)算結(jié)束，1不符合條件，第三項(xiàng)只能是8.則變換中第2項(xiàng)是16．則的所有可能取值為32或5，一共2個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法，有理數(shù)的混合運(yùn)算，進(jìn)行逆向驗(yàn)證是解決本題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的計(jì)算．逆用乘法分配律解題我們知道，乘法分配律是，反過來．這就是說，當(dāng)中有相同的a時(shí)，我們可以逆用乘法分配律得到，進(jìn)而可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．例如：計(jì)算，若利用先乘后減顯然很繁瑣，注意到兩項(xiàng)都有，因此逆用乘法分配律可得，這樣計(jì)算就簡(jiǎn)便得多計(jì)算：(1)；