2024年湖南省長沙市中考數(shù)學試題含解析

2024年湖南省長沙市中考數(shù)學試卷一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的。請在答題卡中填涂符合題意的選項。本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）我國近年來大力推進國家教育數(shù)字化戰(zhàn)略行動，截至2024年6月上旬，上線慕課數(shù)量超過7.8萬門，學習人次達1290000000，建設(shè)和應(yīng)用規(guī)模居世界第一．用科學記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為（）A．1.29×108 B．12.9×108 C．1.29×109 D．129×1073．（3分）“玉兔號”是我國首輛月球車，它和著陸器共同組成“嫦娥三號”探測器．“玉兔號”月球車能夠耐受月球表面的最低溫度是﹣180℃、最高溫度是150℃，則它能夠耐受的溫差是（）A．﹣180℃ B．150℃ C．30℃ D．330℃4．（3分）下列計算正確的是（）A．x6÷x4＝x2 B．+＝ C．（x3）2＝x5 D．（x+y）2＝x2+y25．（3分）為慶祝五四青年節(jié)，某學校舉辦班級合唱比賽，甲班演唱后七位評委給出的分數(shù)為：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．9.2 B．9.4 C．9.5 D．9.66．（3分）在平面直角坐標系中，將點P（3，5）向上平移2個單位長度后得到點P′的坐標為（）A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7）7．（3分）對于一次函數(shù)y＝2x﹣1，下列結(jié)論正確的是（）A．它的圖象與y軸交于點（0，﹣1） B．y隨x的增大而減小 C．當時，y＜0 D．它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限8．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°9．（3分）如圖，在⊙O中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離OE＝4，則⊙O的半徑長為（）A．4 B． C．5 D．10．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，點E是BC邊上的動點，連接AE，DE，過點A作AF⊥DE于點F．設(shè)DE＝x，AF＝y(tǒng)，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）為了比較甲、乙、丙三種水稻秧苗的長勢，每種秧苗各隨機抽取40株，分別量出每株高度，計算發(fā)現(xiàn)三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8，由此可知種秧苗長勢更整齊（填“甲”、“乙”或“丙”）．12．（3分）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)組織“新農(nóng)村，新氣象”春節(jié)聯(lián)歡晚會，進入抽獎環(huán)節(jié)．抽獎方案如下：不透明的箱子里裝有紅、黃、藍三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有2個，黃球有3個，藍球有5個，每次搖勻后從中隨機摸一個球，摸到紅球獲一等獎，摸到黃球獲二等獎，摸到藍球獲三等獎，每個家庭有且只有一次抽獎機會．小明家參與抽獎，獲得一等獎的概率為．13．（3分）要使分式有意義，則x需滿足的條件是．14．（3分）半徑為4，圓心角為90°的扇形的面積為（結(jié)果保留π）．15．（3分）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AC，BC的中點，連接DE．若DE＝12，則AB的長為．16．（3分）為慶祝中國改革開放46周年，某中學舉辦了一場精彩紛呈的慶?；顒樱F(xiàn)場參與者均為在校中學生，其中有一個活動項目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動項目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任取一個數(shù)字，先乘以10，再加上4.6，將此時的運算結(jié)果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個四位數(shù)，比如2010年對應(yīng)的四位數(shù)是2010），得到最終的運算結(jié)果．只要參與者報出最終的運算結(jié)果，主持人立馬就知道參與者的出生年份．若某位參與者報出的最終的運算結(jié)果是915，則這位參與者的出生年份是．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）計算：（）﹣1+|﹣|﹣2cos30°﹣（π﹣6.8）0．18．（6分）先化簡，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m＝．19．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝2，分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和N，作直線MN分別交AB，BC于點D，E，連接CD，AE．（1）求CD的長；（2）求△ACE的周長．20．（8分）中國新能源產(chǎn)業(yè)異軍突起．中國車企在政策引導和支持下，瞄準純電、混動和氫燃料等多元技術(shù)路線，加大研發(fā)投入形成了領(lǐng)先的技術(shù)優(yōu)勢.2023年，中國新能源汽車產(chǎn)銷量均突破900萬輛，連續(xù)9年位居全球第一．在某次汽車展覽會上，工作人員隨機抽取了部分參展人員進行了“我最喜歡的汽車類型”的調(diào)查活動（每人限選其中一種類型），并將數(shù)據(jù)整理后，繪制成下面有待完成的統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．類型人數(shù)百分比純電m54%混動na%%氫燃料3b%油車5c%請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查活動隨機抽取了人；表中a＝，b＝；（2）請補全條形統(tǒng)計圖：（3）請計算扇形統(tǒng)計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數(shù)；（4）若此次汽車展覽會的參展人員共有4000人，請你估計喜歡新能源（純電、混動、氫燃料）汽車的有多少人？21．（8分）如圖，點C在線段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度數(shù)．22．（9分）刺繡是我國民間傳統(tǒng)手工藝，湘繡作為中國四大刺繡之一，聞名中外，在巴黎奧運會倒計時50天之際，某國際旅游公司計劃購買A、B兩種奧運主題的湘繡作品作為紀念品．已知購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元．（1）求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價分別為多少元？（2）該國際旅游公司計劃購買A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件，總費用不超過50000元，那么最多能購買A種湘繡作品多少件？23．（9分）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ABC＝90°．（1）求證：AC＝BD；（2）點E在BC邊上，滿足∠CEO＝∠COE．若AB＝6，BC＝8，求CE的長及tan∠CEO的值．24．（10分）對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形：只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)切圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形：既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據(jù)該約定，解答下列問題：（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”）．①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；②內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有R＝r．（2）如圖1，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，四條邊長滿足：AB+CD≠BC+AD．①該四邊形ABCD是“”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若∠BAD的平分線AE交⊙O于點E，∠BCD的平分線CF交⊙O于點F，連接EF．求證：EF是⊙O的直徑．（3）已知四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CD，AD分別相切于點E，F(xiàn)，G，H．①如圖2，連接EG，F(xiàn)H交于點P．求證：EG⊥FH；②如圖3，連接OA，OB，OC，OD，若OA＝2，OB＝6，OC＝3，求內(nèi)切圓⊙O的半徑r及OD的長．25．（10分）已知四個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在關(guān)于x的函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當A，B兩點的坐標分別為（﹣1，﹣4），（3，4）時，求代數(shù)式2024a+1012b+的值；（2）當A，B兩點的坐標滿足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0時，請你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點的個數(shù)，并說明理由；（3）當a＞0時，該函數(shù)圖象與x軸交于E，F(xiàn)兩點，且A，B，C，D四點的坐標滿足：2a2+2（y1+y2）a++＝0，2a2﹣2（y3+y4）a++＝0．請問是否存在實數(shù)（m＞1），使得AB，CD，m?EF這三條線段組成一個三角形，且該三角形的三個內(nèi)角的大小之比為1：2：3？若存在，求出m的值和此時函數(shù)的最小值；若不存在，請說明理由（注：m?EF表示一條長度等于EF的m倍的線段）．2024年湖南省長沙市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的。請在答題卡中填涂符合題意的選項。本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．【解答】解：A．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B．該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；C．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；D．該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；．故選：B．【點評】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義．2．（3分）我國近年來大力推進國家教育數(shù)字化戰(zhàn)略行動，截至2024年6月上旬，上線慕課數(shù)量超過7.8萬門，學習人次達1290000000，建設(shè)和應(yīng)用規(guī)模居世界第一．用科學記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為（）A．1.29×108 B．12.9×108 C．1.29×109 D．129×107【分析】將一個數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：1290000000＝1.29×109，故選：C．【點評】本題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．3．（3分）“玉兔號”是我國首輛月球車，它和著陸器共同組成“嫦娥三號”探測器．“玉兔號”月球車能夠耐受月球表面的最低溫度是﹣180℃、最高溫度是150℃，則它能夠耐受的溫差是（）A．﹣180℃ B．150℃ C．30℃ D．330℃【分析】溫差即為最高溫度與最低溫度的差，由此計算即可．【解答】解：由題意得，150﹣（﹣180）＝150+180＝330（°C），故選：D．【點評】本題考查了有理數(shù)的減法，正數(shù)和負數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的減法法則是解題的關(guān)鍵．4．（3分）下列計算正確的是（）A．x6÷x4＝x2 B．+＝ C．（x3）2＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，二次根式的加減法，冪的乘方，完全平方公式分別計算判斷即可．【解答】解：A、x6÷x4＝x2，故此選項符合題意；B、與不能合并，故此選項不符合題意；C、（x3）2＝x6，故此選項不符合題意；D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法，二次根式的加減法，冪的乘方與積的乘方，完全平方公式，熟練掌握運算法則及公式是解題的關(guān)鍵．5．（3分）為慶祝五四青年節(jié)，某學校舉辦班級合唱比賽，甲班演唱后七位評委給出的分數(shù)為：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．9.2 B．9.4 C．9.5 D．9.6【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念即可解答．【解答】解：一共7個數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)從小到大排列為8.8、9.2、9.4、9.4、9.5、9.5、9.6，中位數(shù)為9.4，故答案為：B．【點評】本題考查了中位數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的概念即可解答．6．（3分）在平面直角坐標系中，將點P（3，5）向上平移2個單位長度后得到點P′的坐標為（）A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7）【分析】根據(jù)點平移時坐標的變化規(guī)律即可解決問題．【解答】解：將點P向上平移2個單位長度，則其橫坐標不變，縱坐標增加2，所以點P′的坐標為（3，7）．故選：D．【點評】本題主要考查了坐標與圖形變化﹣平移，熟知圖形平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（3分）對于一次函數(shù)y＝2x﹣1，下列結(jié)論正確的是（）A．它的圖象與y軸交于點（0，﹣1） B．y隨x的增大而減小 C．當時，y＜0 D．它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可作答．【解答】解：A．當x＝0時，y＝﹣1，則它的圖象與y軸交于點（0，﹣1），故本選項符合題意；B．y隨x的增大而增大，故本選項不符合題意；C．當時，y＞0，故本選項不符合題意；D．它的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故本選項不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】由三角形內(nèi)角和定理求出∠C，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠B＝50°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°，∵AD∥BC，∴∠1＝∠C＝70°，故選：C．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在⊙O中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離OE＝4，則⊙O的半徑長為（）A．4 B． C．5 D．【分析】利用垂徑定理，勾股定理求解即可．【解答】解：∵OE⊥AB，∴AE＝EB＝4，∴OA＝＝＝4．故選：B．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．10．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，點E是BC邊上的動點，連接AE，DE，過點A作AF⊥DE于點F．設(shè)DE＝x，AF＝y(tǒng)，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【分析】過D作DH⊥BC交BC的延長線于H，在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH，根據(jù)直角三角形到現(xiàn)在得到DH＝，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：過D作DH⊥BC交BC的延長線于H，在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∴∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH，∴DH＝，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠EHD＝90°，∴△ADF∽△DEH，∴，∴＝，∴y＝，故選：C．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）為了比較甲、乙、丙三種水稻秧苗的長勢，每種秧苗各隨機抽取40株，分別量出每株高度，計算發(fā)現(xiàn)三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8，由此可知甲種秧苗長勢更整齊（填“甲”、“乙”或“丙”）．【分析】根據(jù)方差的意義求解即可．【解答】解：∵甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8，∴甲組秧苗高度的方差最小，∴甲種秧苗長勢更整齊，故答案為：甲．【點評】本題主要考查方差，方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越差；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．12．（3分）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)組織“新農(nóng)村，新氣象”春節(jié)聯(lián)歡晚會，進入抽獎環(huán)節(jié)．抽獎方案如下：不透明的箱子里裝有紅、黃、藍三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有2個，黃球有3個，藍球有5個，每次搖勻后從中隨機摸一個球，摸到紅球獲一等獎，摸到黃球獲二等獎，摸到藍球獲三等獎，每個家庭有且只有一次抽獎機會．小明家參與抽獎，獲得一等獎的概率為．【分析】根據(jù)概率公式計算即可．【解答】解：∵球的個數(shù)有2+3+5＝10（個），而紅球有2個，∴小明家抽到一等獎的概率是＝．故答案為：．【點評】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13．（3分）要使分式有意義，則x需滿足的條件是x≠19．【分析】根據(jù)分母不為零的條件進行解題即可．【解答】解：由題可知，x﹣19≠0時，分式有意義，解得x≠19．故答案為：x≠19．【點評】本題考查分式有意義的條件，掌握分母不為零的條件是解題的關(guān)鍵．14．（3分）半徑為4，圓心角為90°的扇形的面積為4π（結(jié)果保留π）．【分析】利用扇形面積公式求解．【解答】解：扇形的面積＝＝4π．故答案為：4π．【點評】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積＝．15．（3分）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AC，BC的中點，連接DE．若DE＝12，則AB的長為24．【分析】根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵點D，E分別是AC，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴AB＝2DE＝24，故答案為：24．【點評】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．16．（3分）為慶祝中國改革開放46周年，某中學舉辦了一場精彩紛呈的慶?；顒?，現(xiàn)場參與者均為在校中學生，其中有一個活動項目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動項目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任取一個數(shù)字，先乘以10，再加上4.6，將此時的運算結(jié)果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個四位數(shù)，比如2010年對應(yīng)的四位數(shù)是2010），得到最終的運算結(jié)果．只要參與者報出最終的運算結(jié)果，主持人立馬就知道參與者的出生年份．若某位參與者報出的最終的運算結(jié)果是915，則這位參與者的出生年份是2009．【分析】根據(jù)題意列出方程，再根據(jù)實際情況推理即可得解．【解答】解：設(shè)這位參與者的出生年份x，選取的數(shù)字為m，（10m+4.6）×10+1978﹣x＝915∴100m+46+1978﹣x＝915，∴x＝1109+100m，∵此時中學生的出生時間應(yīng)該在2000年后，∴m＝9，∴x＝2009．故答案為：2009．【點評】本題主要考查一元一次方程實際應(yīng)用以及邏輯推理等知識，理解題意列出關(guān)系式進行推理是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）計算：（）﹣1+|﹣|﹣2cos30°﹣（π﹣6.8）0．【分析】先計算零次冪、負整數(shù)指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值，再計算乘法，最后計算加減．【解答】解：（）﹣1+|﹣|﹣2cos30°﹣（π﹣6.8）0＝4+﹣2×﹣1＝4+﹣﹣1＝3．【點評】此題考查了實數(shù)的混合運算能力，關(guān)鍵是能準確確定運算順序和方法，并能進行正確地計算．18．（6分）先化簡，再求值：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3），其中m＝．【分析】先利用平方差公式，單項式乘多項式的法則進行計算，然后把m的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答．【解答】解：2m﹣m（m﹣2）+（m+3）（m﹣3）＝2m﹣m2+2m+m2﹣9＝4m﹣9，當m＝時，原式＝4×﹣9＝10﹣9＝1．【點評】本題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，平方差公式，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．19．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，AC＝2，分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和N，作直線MN分別交AB，BC于點D，E，連接CD，AE．（1）求CD的長；（2）求△ACE的周長．【分析】（1）由作圖過程可知，直線MN為線段AB的垂直平分線，點D為AB的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可得，CD＝＝．（2）由勾股定理得，BC＝＝4．由線段垂直平分線的性質(zhì)得EA＝EB，則△ACE的周長可轉(zhuǎn)化為AC+CE+EB＝AC+BC，進而可得答案．【解答】解：（1）由作圖過程可知，直線MN為線段AB的垂直平分線，∴點D為AB的中點，∴CD＝＝．（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝＝4．∵直線MN為線段AB的垂直平分線，∴EA＝EB．∴△ACE的周長為AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+BC＝2+4＝6．【點評】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．20．（8分）中國新能源產(chǎn)業(yè)異軍突起．中國車企在政策引導和支持下，瞄準純電、混動和氫燃料等多元技術(shù)路線，加大研發(fā)投入形成了領(lǐng)先的技術(shù)優(yōu)勢.2023年，中國新能源汽車產(chǎn)銷量均突破900萬輛，連續(xù)9年位居全球第一．在某次汽車展覽會上，工作人員隨機抽取了部分參展人員進行了“我最喜歡的汽車類型”的調(diào)查活動（每人限選其中一種類型），并將數(shù)據(jù)整理后，繪制成下面有待完成的統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．類型人數(shù)百分比純電m54%混動na%%氫燃料3b%油車5c%請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次調(diào)查活動隨機抽取了50人；表中a＝30，b＝6；（2）請補全條形統(tǒng)計圖：（3）請計算扇形統(tǒng)計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數(shù)；（4）若此次汽車展覽會的參展人員共有4000人，請你估計喜歡新能源（純電、混動、氫燃料）汽車的有多少人？【分析】（1）根據(jù)喜歡純電的人數(shù)和所占的百分比即可求出調(diào)查人數(shù)，根據(jù)頻數(shù)、總數(shù)和頻率的關(guān)系求出a和b即可；（2）根據(jù)n的值即可補全條形統(tǒng)計圖；（3）用360°乘以喜歡混動的人數(shù)所占的百分比即可；（4）用4000乘以喜歡新能源（純電、混動、氫燃料）汽車的人數(shù)所占的百分比即可．【解答】解：（1）本次調(diào)查活動隨機抽取了27÷54%＝50（人），∴n＝50﹣27﹣3﹣5＝15，∴a%＝×100%＝30%，b%＝×100%＝6%，∴a＝30，b＝6；故答案為：50，30，6；（2）補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：（3）360°×30%＝108°，答：扇形統(tǒng)計圖中“混動”類所在扇形的圓心角的度數(shù)為108°；（4）4000×（54%+30%+6%）＝3600（人），答：估計喜歡新能源（純電、混動、氫燃料）汽車的有3600人．【點評】本題考查統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，理解統(tǒng)計圖中各個數(shù)量之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，樣本估計總體是統(tǒng)計中常用的方法．21．（8分）如圖，點C在線段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度數(shù)．【分析】（1）由BC＝DE，∠B＝∠D，AB＝AD，根據(jù)“SAS”證明△ABC≌△ADE；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，則∠AEC＝∠ACE，由∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝120°，求得∠ACE＝60°．【解答】（1）證明：在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）．（2）解：由（1）得△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠AEC＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝2∠ACE＝180°﹣∠DAE＝120°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACE的度數(shù)是60°．【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)，適當選擇全等三角形的判定定理證明△ABC≌△ADE是解題的關(guān)鍵．22．（9分）刺繡是我國民間傳統(tǒng)手工藝，湘繡作為中國四大刺繡之一，聞名中外，在巴黎奧運會倒計時50天之際，某國際旅游公司計劃購買A、B兩種奧運主題的湘繡作品作為紀念品．已知購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元．（1）求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價分別為多少元？（2）該國際旅游公司計劃購買A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件，總費用不超過50000元，那么最多能購買A種湘繡作品多少件？【分析】（1）設(shè)A種湘繡作品的單價為x元，B種湘繡作品的單價為y元，根據(jù)“購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買A種湘繡作品m件，則購買B種湘繡作品（200﹣m）件，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合總價不超過50000元，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)A種湘繡作品的單價為x元，B種湘繡作品的單價為y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：A種湘繡作品的單價為300元，B種湘繡作品的單價為200元；（2）設(shè)購買A種湘繡作品m件，則購買B種湘繡作品（200﹣m）件，根據(jù)題意得：300m+200（200﹣m）≤50000，解得：m≤100，∴m的最大值為100．答：最多能購買100件A種湘繡作品．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．23．（9分）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ABC＝90°．（1）求證：AC＝BD；（2）點E在BC邊上，滿足∠CEO＝∠COE．若AB＝6，BC＝8，求CE的長及tan∠CEO的值．【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，證明四邊形ABCD是矩形，則AC＝BD；（2）作OH⊥BC于點H，由AB＝6，BC＝8，求得AC＝10，則CE＝OC＝OA＝5，再證明OC＝OB，則HC＝HB＝4，求得EH＝1，由＝＝tan∠ACB，求得OH＝?HC＝3，tan∠CEO＝＝3．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD．（2）作OH⊥BC于點H，則∠OHE＝∠OHC＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∴OC＝OA＝AC＝5，∵∠CEO＝∠COE，∴CE＝OC＝5，∵OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，且AC＝BD，∴OC＝OB，∴HC＝HB＝BC＝4，∴EH＝CE﹣HC＝5﹣4＝1，∵＝＝tan∠ACB，∴OH＝?HC＝×4＝3，∴tan∠CEO＝＝＝3，∴CE的長為5，tan∠CEO的值為3．【點評】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（10分）對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形：只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)切圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形：既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據(jù)該約定，解答下列問題：（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”）．①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；×②內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；√③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有R＝r．√（2）如圖1，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，四條邊長滿足：AB+CD≠BC+AD．①該四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若∠BAD的平分線AE交⊙O于點E，∠BCD的平分線CF交⊙O于點F，連接EF．求證：EF是⊙O的直徑．（3）已知四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CD，AD分別相切于點E，F(xiàn)，G，H．①如圖2，連接EG，F(xiàn)H交于點P．求證：EG⊥FH；②如圖3，連接OA，OB，OC，OD，若OA＝2，OB＝6，OC＝3，求內(nèi)切圓⊙O的半徑r及OD的長．【分析】（1）由題干條件可得：有外接圓的四邊形?對角互補，根據(jù)切線長定理得有內(nèi)切圓的四邊形?有一個點到四邊距離相等?兩組對邊的和相等．①根據(jù)前置分析可得平行四邊形既無外接圓也無內(nèi)切圓，所以很容易判斷出；②因為菱形對邊之和相等，所以菱形是“內(nèi)切型單圓”四邊形；③外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形，從而判斷出結(jié)論是正確；（2）①判斷方法同上；②證即可得證；（3）①四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形可得，∠A+∠EOH＝180°，∠FOG+∠C＝180°，從而得到∠EOH＝∠C，∠FOG+∠EOH＝180°，再根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半證出∠HPG＝90°，即可得證；②先證△AOH∽△OCG得出，再利用勾股定理建立方程即可求解．【解答】解：（1）①∵平行四邊形對角不互補，∴平行四邊形無外接圓，∵平行四邊形對邊之和也不相等，∴平行四邊形無內(nèi)切圓．∴平行四邊形是“平凡型無圓”四邊形，故①錯誤；②∵內(nèi)角不等于90°的菱形對角不互補，但是對邊之和相等，∴菱形是“內(nèi)切型單圓”四邊形，故②正確；③由題可知外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形，如圖，此時OM＝r，ON＝R，∵△OMN是等腰直角三角形，∴ON＝OM，∴R＝r，故③正確．故答案為：①（×）；②（√），③（√）．（2）①該四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形；理由：∵AB+CD≠BC+AD，∴四邊形ABCD無內(nèi)切圓．∴四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形；②證法1：如圖1，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴，，∴，即，∴與均為半圓，∴EF是⊙O的直徑．證法2：如圖1，連接AF．∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴，，∴∠1+∠2＝90°，由同弧所對的圓周角相等可得∠2＝∠3，∴∠1+∠3＝90°，即∠EAF＝90°．∴EF是⊙O的直徑證法3：如圖2，連接FD，ED．∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，由題意，得，，∵由同弧所對的圓周角相等可得：∠EFD＝∠1，∠FED＝∠2，∴，∴∠FDE＝90°．∴EF是⊙O的直徑．（3）①證明：如圖3，連接OE，OF，OG，OH，HG．∵⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD．∴∠OEA＝∠OHA＝90°．∴在四邊形EAHO中，∠A+∠EOH＝360°﹣90°﹣90°＝180°．同理可證∠FOG+∠C＝180°，∵四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，∴四邊形ABCD有外接圓，∴∠A+∠C＝180°，∴∠EOH＝∠C．∴∠FOG+∠EOH＝180°又∵∠FHG＝∠FOG，，∴∠FHG+∠EGH＝90°．∴∠HPG＝90°，即EG⊥FH．②方法1：如圖4，連接OE，OF，OG，OH．∵四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，∴∠OAH+∠OAE+∠OCG+∠OCF＝180°．∵⊙O與AB，BC，CD，AD分別相切于點E，F(xiàn)，G，H，∴∠OAH＝∠OAE，∠OCG＝∠OCF．∴∠OAH+∠OCG＝90°．∵∠COG+∠OCG＝90°，∴∠OAH＝∠COG．∵∠AHO＝∠OGC＝90°，∴△AOH∽△OCG．∴，即，解得，在Rt△OGC中，有OG2+CG2＝OC2，即，解得，在Rt△OBE中，同理可證△BEO∽△OHD，所以，即，解得．方法2：如圖4，由△AOH∽△OCG，得，即，解得，由△BEO∽△OHD，得，即，解得．【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)和判定、圓周角定理、內(nèi)切圓的定義與性質(zhì)、外接圓的定義與性質(zhì)等知識，熟練掌握這些知識和靈活運用性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．另外題目涉及面積、周長、角度的計算，要求學生具備扎實的數(shù)學基礎(chǔ)和邏輯思維能力，備考時，重視四邊形知識的學習，提高解題技巧和速度，以應(yīng)對中考挑戰(zhàn)．25．（10分）已知四個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在關(guān)于x的函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當A，B兩點的坐標分別為（﹣1，﹣4），（3，4）時，求代數(shù)式2024a+1012b+的值；（2）當A，B兩點的坐標滿足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0時，請你判斷此函數(shù)圖象與