專題二如何整體把握高中數(shù)學(xué)課程-高中數(shù)學(xué)課程主線分析

專題二如何整體把握高中數(shù)學(xué)課程

——高中數(shù)學(xué)課程主線分析

第一講

張老師（張思明北大附中數(shù)學(xué)特級教師）：各位老師大家好，歡迎各位老師繼續(xù)參加

高中數(shù)學(xué)新課程國家級遠(yuǎn)程研修。上一個(gè)專題里，我們講了高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制的背景和

內(nèi)容統(tǒng)概，在這一講里，我們的專題是如何整體把握高中數(shù)學(xué)新課程，這個(gè)專題是我們做教

學(xué)設(shè)計(jì)、做教學(xué)思考的一個(gè)核心，也是我們這次高中新課程的一個(gè)高頻率的主題詞。那么，

我想先問一問王老師，為什么要把這個(gè)整體把握高中數(shù)學(xué)新課程的“整體把握”提到了這樣一

個(gè)位置。

王老師（王尚志首都師范大學(xué)博士生導(dǎo)師、教授）：做任何?件事情，都需要對這件

事情有一個(gè)完整的了解，這樣我們才可以更好地、有效地完成這樣一件事情，我們覺得和整

體的把握課程，相關(guān)的這些重要的核心詞就是有效的，我想整體的把握就能使得我們更有效

地實(shí)施高中新課程，那么，怎么樣體現(xiàn)整體把握新課程呢？我們研討一下來感覺有這么幾個(gè)

方面：第一個(gè)方面，就是內(nèi)容上的整體把握，我想高中課程標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)對內(nèi)容一定不是按照

知識(shí)點(diǎn)來走，他有一個(gè)基本的脈絡(luò)，就是我們所說的主線。那么，我們在設(shè)計(jì)高中新課程的

時(shí)候，有這樣幾條基本的脈絡(luò)或者我們說主線是我們構(gòu)架起整個(gè)高中課程的基礎(chǔ)。

高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線

函數(shù)

幾何

運(yùn)算

算法

統(tǒng)計(jì)概率

'用

那么，其中一個(gè)是函數(shù)主線；一個(gè)是圖形的主線，我們幾何就是研究圖形的，或者我們

叫兒何；另外就是運(yùn)算；在有一個(gè)是算法；還有一個(gè)是應(yīng)用；再一個(gè)是統(tǒng)計(jì)概率，我們這每

一條主線都形成一個(gè)知識(shí)脈絡(luò),不同的主線之間有又著密切聯(lián)系,所以我想從這個(gè)層面來說,

如果能夠理解高中課程的這些基本脈絡(luò),對于整體把握高中新高程，應(yīng)該是非常積極有效的。

第二個(gè)層面：就是我們通常所說的能力層面，我們數(shù)學(xué)有一些最基本的能力，那么這些

能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要培養(yǎng)的目標(biāo)。比如說：我們有計(jì)算能力、有邏輯推理能力、空間想象能力

和抽象概括能力，數(shù)據(jù)處理能力。這些能力是貫穿在整個(gè)高中新課程的使用過程中的。這些

能力的認(rèn)識(shí)和理解，對于把握高中新課程會(huì)有很大的好處，那么，能力更上位一點(diǎn)的，我們

還需要有一些思考，比如我們數(shù)學(xué)，有兩種基本的推理方式，一種演繹的，一種是歸納，他

又體現(xiàn)在不同的能力上，有一個(gè)數(shù)學(xué)里很重要的希望老師給予關(guān)注的地方，就是數(shù)學(xué)語言的

使用，數(shù)學(xué)不同于其他的學(xué)科，很重要的方面是他的本身有他一套獨(dú)特的語言體系。通常我

們說，符號(hào)的語言體系和圖形語言的體系，我想這些語言體系，也不是體現(xiàn)在每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，

而是貫穿在整個(gè)課程的過程中，所以我想需要我們老師有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，當(dāng)然如果我們有

一個(gè)整體的設(shè)計(jì)，那就更好了。所以我想我們將在單元教學(xué)設(shè)計(jì)里，提到這些內(nèi)容，就是有

時(shí)候我們也可以把能力當(dāng)做一個(gè)單元來設(shè)計(jì)，我們也可以把掌握語言的能力，當(dāng)做一個(gè)單元

來設(shè)計(jì)，這樣就使我們老師不是局部的看待我們高中課程，而是把高中數(shù)學(xué)課程看作一個(gè)整

體。

張老師（張飴慈首都師范大學(xué)教授）：比如說，我們有些數(shù)學(xué)知識(shí)或者概念比如弧

度，如果你就弧度講弧度，很難讓學(xué)生真正理解為什么要引入弧度，如果你不能從整體來認(rèn)

識(shí)這個(gè)概念的話，就很難真正的把握數(shù)學(xué)，又比如通性、通法，如果你沒有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，

那么就很難提煉出通性、通法這個(gè)理論，所以我想要真正理解這個(gè)理論，我想要整體，認(rèn)識(shí)

這個(gè)定義才能知道我們的定位，才知道我們要掌握什么是一些細(xì)微末節(jié)，什么是一些技術(shù)性

問題，什么是重要的思想，才能有一個(gè)更好的認(rèn)識(shí)。

王：那么張老師剛才說的，我覺得也是我們要考慮第三個(gè)層面，就是一些知識(shí)的理解、

概念的理解，技能的把握，也希望他放在??個(gè)大的范圍里來考慮，剛才張老師講的弧度，

就是我們在初中階段,究竟為弧度奠定了一些什么？我們在高中階段如何引入？我們?nèi)绾蜗?/p>

學(xué)生說清楚，弧度是必不可少的?個(gè)概念，他給我們帶來什么好處？我想所有這些都不能在

一節(jié)課去完成的，如果我們老師有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)，就會(huì)把它設(shè)計(jì)成為一個(gè)完整的理解，那

么，對于一些技能我想也是這樣的。比如說：剛才張老師說的通性通法，我們在高中階段，

希望學(xué)生形成的?個(gè)很重要的通性、通法就是如何來對待模型？也就是通常我們所說待定系

數(shù)法，當(dāng)我們判定?個(gè)模型就是指數(shù)函數(shù)的模型的時(shí)候，那么這個(gè)時(shí)候我們關(guān)鍵的問題就要

去在這個(gè)情景中確定Y等于a的x次方的參數(shù)a是誰？它才能有效地幫助我們，運(yùn)用這

個(gè)具體的模型來解決模型具體的問題，所以我想整體把握課程的本身，也需要有一個(gè)整體的

認(rèn)識(shí)，那么這樣才能使我們更好的駕馭我們整個(gè)課程的全體，這樣我們才能提高我們課程教

學(xué)的效率，否則的話可能就會(huì)欲速則不達(dá)，當(dāng)然也包括對考試、對高考的把握，我們也需要

有一個(gè)整體的看法來思考高考與日常教學(xué)的關(guān)系。比如說我們在高三復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)，總有一個(gè)疏

理知識(shí)階段，那么我們很多老師總結(jié)出來的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，疏理知識(shí)不要等到高三再開始，

我們在高一就開始做，學(xué)完每一章，每??節(jié)的內(nèi)容我們逐漸從幫助學(xué)生疏理知識(shí)到讓學(xué)生能

夠獨(dú)立疏理知識(shí)、形成他的一個(gè)學(xué)習(xí)習(xí)慣，在他的腦子里，始終出現(xiàn)了就是一個(gè)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò),

那么我想到了高三階段，再進(jìn)行知識(shí)的疏理，再應(yīng)對高考我們就效率好的多了，所以我覺得

我們提出來整體把握課程這個(gè)詞兒，具有豐富的內(nèi)涵！我們也提給老師，希望我們參加培訓(xùn)

的每一位老師，能夠認(rèn)真的思考這個(gè)問題。課是要一節(jié)一節(jié)的上，但是我們對高中數(shù)學(xué)理解

是要站在整個(gè)高中數(shù)學(xué)上面，對高中數(shù)學(xué)有一個(gè)完整的理解。

張：我個(gè)人也是體會(huì)跟著兩位老師學(xué)習(xí)，整體把握其實(shí)也是一個(gè)很重要的學(xué)習(xí)方法，特

別對于抽象度很高的內(nèi)容，我們很多的是包括我自己在大學(xué)里，包括學(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)候，如果一

下進(jìn)入了細(xì)微末節(jié)每一個(gè)定理好象都念過，但是不知道他們的關(guān)系、聯(lián)系，也沒有整體的把

握住，最后，還是腦子空空的！所以我想兩位老師提出整體把握，其實(shí)對于老師來說，要把

這種理念變成一種教法，甚至是對學(xué)生一種學(xué)法的一種影響，告訴學(xué)生要學(xué)這些東西，要有

微觀、中觀、大觀、宏觀的這些東西。我們過去可能做的都是微觀上的，老師應(yīng)該是對的，

強(qiáng)調(diào)的比較多，但是由于學(xué)生最后的教學(xué)效率卡在這兒，沒有宏觀的認(rèn)識(shí)，知識(shí)沒有形網(wǎng)絡(luò)，

所以也降低了學(xué)習(xí)效率。最后我想兩位老師談?wù)勥@樣的認(rèn)識(shí)，我們知道我們高中把整體把握

作為一個(gè)關(guān)鍵字，意義在這里。為了使各位老師對這個(gè)事情也一個(gè)比較具體的形象認(rèn)識(shí)，我

們特別請了我們北京市海淀區(qū)的19中的老師為我們提供一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的案例，來具體的分

析一下，下面我們請（檀晉軒）老師和王老師一起為我們介紹這個(gè)教學(xué)案例。

【主持人】：各位老師大家好，我先來向大家介紹一下我身邊的這兩位老師，這位是北

京市海淀區(qū)第十九中學(xué)的檀晉軒老師，（檀晉軒：北京十九中高級教師）這位是同一個(gè)學(xué)

校的王肖華老師，（王肖華：北京十九中區(qū)骨干教師）兩位老師都是我們海淀區(qū)很有名

的青年骨干教師，參加我們的課程討論，我們希望兩位老師給我們帶來一些具體的案例，我

們這一講主要談如何把握整體高中數(shù)學(xué)新課程，我想很多一線的老師在教學(xué)實(shí)踐中有這樣那

樣的想法，我想你們二位老師給我們老師帶來什么樣的案例。

檀老師：我們今天想就著集合這一節(jié)，這個(gè)段落的內(nèi)容教學(xué)，一起跟老師們探討一下關(guān)

于在新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施過程中，我們?nèi)绾蔚娜ニ伎迹瑥恼w來認(rèn)識(shí)和把握這樣?個(gè)關(guān)鍵的內(nèi)容,

因?yàn)榧线@個(gè)內(nèi)容跟以往I日的大綱相比，有一定的改變，所以我們在學(xué)生剛剛?cè)雽W(xué)的時(shí)候，

有一個(gè)階段，我們做了一些很深入的討論，在上課之初，也就是學(xué)生在入校之前，我們老師

在這方面做了大量的工作，我們下面簡單地介紹一下，在整個(gè)準(zhǔn)備的過程中，我們都做了哪

些的思考和我們相應(yīng)的一些討論結(jié)果，提供給老師們作為參考。

首先我們在思考這個(gè)內(nèi)容之前,請所有老師分頭去收集了有關(guān)集合段落教學(xué)的各種不同

的版本，有一些不,樣的教學(xué)的設(shè)計(jì)。比方說，我們看到有的設(shè)計(jì)集合這一個(gè)單元，一共設(shè)

計(jì)了八個(gè)學(xué)時(shí)，還有的設(shè)計(jì)了六個(gè)學(xué)時(shí)，當(dāng)然還五個(gè)學(xué)時(shí)，還有其他一些情況。下面我舉典

型的三個(gè)例子，我們起也看一下，在我們教學(xué)之初，我們學(xué)校的數(shù)學(xué)高一年級的老師，一

起坐下來分析了這幾個(gè)典型的例子。比方說過去在舊的教材過程中，我們有一部分老師對集

合這部分教學(xué)設(shè)計(jì)了八個(gè)學(xué)時(shí)，我們一起就來分析了一下，這八個(gè)學(xué)時(shí)主要設(shè)計(jì)是這樣的一

個(gè)安排，其中關(guān)于集合的概念以及它的表示方法，大約是設(shè)計(jì)的三個(gè)學(xué)時(shí)。在第一個(gè)學(xué)時(shí)中，

它的重點(diǎn)是把集合的基本概念做了一個(gè)介紹，然后重點(diǎn)去介紹了集合的列舉法，描述法和圖

形表示方法。同時(shí)給出了空集以及集合的各種分類的方式。在第二個(gè)課時(shí)過程中，我們就看

到它事實(shí)上主要是對前面基本知識(shí)的復(fù)習(xí)過程。同時(shí)，在這個(gè)領(lǐng)域，由于舊的教材中比較

強(qiáng)調(diào)集合的三個(gè)重要的性質(zhì)，也就是老師們都非常熟悉的，關(guān)于集合中元素的確定性、無序

性和互異性，他就這幾個(gè)性質(zhì)做了幾個(gè)比較復(fù)雜的一些練習(xí)問題，這是第二個(gè)課時(shí)。

第三個(gè)課時(shí)，他介紹子集，全集和補(bǔ)集的概念，同時(shí)也簡單地做了一些補(bǔ)集和判斷集合

間關(guān)系的一些問題。第四個(gè)學(xué)時(shí)就是子集、全集和補(bǔ)集進(jìn)?步練習(xí)的課時(shí)，我們看到它增加

了一個(gè)第五的課時(shí)，仍然是在子集，全集和補(bǔ)集。我們看到有一些例子，比如在這里說到例

一和例二。

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二.討論

三、AM

黃一，說雜口tKm.-P1，求實(shí)款”的證

例二，說集行，3

宛之的碑iffi.

實(shí)際上，這里我們在討論分析的過程中，發(fā)現(xiàn)這個(gè)難點(diǎn)，主要這里涉及到方程本身的知

識(shí)，對于方程根一些討論問題，因此他并不是集合本身知識(shí)相關(guān)問題的難點(diǎn)，所以他在這里

占有比較大的一個(gè)時(shí)間段。第六個(gè)學(xué)時(shí)的時(shí)候介紹了交集和并集的概念，以及一些相關(guān)的符

號(hào)表示，也運(yùn)用這些知識(shí)解決了簡單的求交、并集的一些簡單問題。最后在第八個(gè)學(xué)時(shí)過程

中，同樣是做了一個(gè)交并、集練習(xí)的課時(shí)，其實(shí)我們也看到這里涉及到了含有絕對值的不等

式，以及分式不等式，因?yàn)槭桥f的教材，所以在這些內(nèi)容中滲透了這些內(nèi)容。

同樣的，我們也分析了，在新課標(biāo)下，網(wǎng)上出現(xiàn)關(guān)于集合這部分出現(xiàn)的六個(gè)學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)的

過程，其中我們也發(fā)現(xiàn)它主要增加的部分的內(nèi)容，我們在探討過程中，感覺難度主要并不都

在集合知識(shí)本身，而有一些例題難度主要放在對于方程根情況的討論，以及涉及到某些含有

二元的方程，這里實(shí)際有一些解析幾何的味道，就是坐標(biāo)系中點(diǎn)和相關(guān)的一些知識(shí)。同時(shí)，

在這里也發(fā)現(xiàn)，他把過去舊教材中要求的，關(guān)于幾何中元素那三個(gè)重要性質(zhì)，他所有一些相

應(yīng)的練習(xí)，強(qiáng)化來進(jìn)行訓(xùn)練。因此我們整體分析之后，我們也是課時(shí)非常緊張，我們仔細(xì)做

了討論，我們感覺反復(fù)閱讀課程標(biāo)準(zhǔn)以后，對課程標(biāo)準(zhǔn)中對幾何這部分，和以前大綱這樣幾

點(diǎn)不同，這是我們的思考。

首先一點(diǎn)，他與大綱相比較，課程標(biāo)準(zhǔn)更加注重集合的語言性和基礎(chǔ)性，淡化了一些相

應(yīng)的技巧，也淡化它與其他數(shù)學(xué)知識(shí)過程的結(jié)合，我想這個(gè)改變是很好的。原因我們也分析

了我們自己的學(xué)生，因?yàn)槲覀兊膶W(xué)校是海淀區(qū)一所中等偏上的學(xué)校，我們學(xué)生的層次，以及

他們自己原有在初中的基礎(chǔ)知識(shí)并不是十分扎實(shí)。那么集合作為學(xué)生高中入學(xué)后的第一個(gè)學(xué)

習(xí)的內(nèi)容，過多的綜合性的問題會(huì)使得學(xué)生喪失很多的信心，所以我們在這里也希望突出在

第一個(gè)模塊過程中、第一個(gè)知識(shí)內(nèi)容，把它突出作為一個(gè)最基本的語言，最基本的將來學(xué)生

在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常要使用到的一些符號(hào)，來進(jìn)行教學(xué)。第二個(gè)重要的不同點(diǎn)，在課標(biāo)中提出

要能夠用三種語言來描述學(xué)生的問題，我想這個(gè)是比較突出語言之間的一種轉(zhuǎn)化。我們也就

覺得在這個(gè)階段中，作為語言的學(xué)習(xí)，我們也學(xué)習(xí)和借鑒了，語文教學(xué)和英語教學(xué)他們中的

一些特點(diǎn)。因此我們就嘗試著讓學(xué)生在學(xué)生集合語言的過程中，不斷轉(zhuǎn)換符合語言，自然語

言和圖形語言。第三個(gè)我們比較的不同，學(xué)生在初中中雖然沒有學(xué)過集合的概念，但是事

實(shí)上，初中為我們學(xué)習(xí)集合概念準(zhǔn)備了一些大量的素材。所以我們認(rèn)為借助這些素材可以在

素材本身上不增加學(xué)生的難度，只是在新的一種符號(hào)表達(dá)，和一種新的認(rèn)識(shí)方式和我們在未

來的表達(dá)過程中，我們可以不斷加深這種認(rèn)識(shí)，在這種定位下，我們的教學(xué)實(shí)際最終設(shè)計(jì)四

個(gè)學(xué)時(shí).，在第一個(gè)學(xué)時(shí)就是作為語言來學(xué)習(xí)，主要是梳理了學(xué)生在小學(xué)和初中階段，他們所

遇到過一些集合的概念，比如在小學(xué)過程中學(xué)習(xí)過的一些奇數(shù)、偶數(shù)。比方說12的所有正

整數(shù)因子等等這些概念。初中也有大量的一些例子，比方說不等式的解集，方程的一些解集,

當(dāng)然在幾何中他們還學(xué)習(xí)過四邊形的各種分類，三角形的一些分類，以及直線上的一些點(diǎn)作

為直線的一些元素等，他們也從這個(gè)角度認(rèn)識(shí)了圓的概念，就是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)

的集合。這樣一系列的知識(shí)都是學(xué)生舊有的，我們把它羅列出來之后，提供給學(xué)生一種新的

表示方式，也就是我們在一節(jié)課把描述法和列舉法都教給學(xué)生，作為一種語言，是對比著進(jìn)

行學(xué)習(xí)。進(jìn)而，在這個(gè)具體的這些例子當(dāng)中，幫助他認(rèn)識(shí)元素和集合之間的關(guān)系，以及每個(gè)

集合各自在表示方法過程中，選擇不同的表示形式的必要性，特別是在描述法中學(xué)生感覺還

是比較困難的，在這實(shí)質(zhì)上對…些特別無限集，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它的表示方法用列舉法就非常不方

便，這個(gè)就需要在學(xué)生分類清晰的情況下，把一類事物要能夠找到它個(gè)共同屬性來進(jìn)行描

述。因此我們的第一課時(shí)基本上介紹了以語言為基本的轉(zhuǎn)換單位，重點(diǎn)是符號(hào)語言和自然語

言之間的一種轉(zhuǎn)化，把過去學(xué)過的?些東西用新的一種符號(hào)展現(xiàn)出來。

第二個(gè)學(xué)時(shí)，我們就介紹了集合之間的關(guān)系，子集關(guān)系，包含關(guān)系。同時(shí)我們在這里進(jìn)

一步突出了圖形語言。在上一節(jié)課重點(diǎn)是自然語言和符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)化，到了第二個(gè)學(xué)時(shí)

的時(shí)候，我們就增加了一些圖形語言，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解這些符號(hào)。第三個(gè)學(xué)時(shí)，我們實(shí)

際到集合的運(yùn)算，我們做了兩個(gè)學(xué)時(shí)的設(shè)計(jì)。在這兩個(gè)學(xué)時(shí)中，同樣我們是把交、并、補(bǔ)的

概念再次讓他們運(yùn)用符號(hào)的語言進(jìn)行闡述，又強(qiáng)化了他們這種符號(hào)語言的使用，同時(shí)也準(zhǔn)確

地理解交、并、補(bǔ)的含義。同時(shí)把自然語言、符號(hào)語言和圖形語言之間做了相互的傳遞，強(qiáng)

調(diào)了他們之間轉(zhuǎn)化的功能，大概我們是這樣一個(gè)設(shè)想。

【主持人】王老師，對這個(gè)設(shè)計(jì)有什么樣的感受？

王：因?yàn)槭俏覀兗w備課的一個(gè)成果，所以我也非常贊同，而且參與過程也考慮到學(xué)生

實(shí)際的學(xué)習(xí)情況，它的知識(shí)水平、知識(shí)結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合它的實(shí)際狀況來設(shè)計(jì)的。

【主持人】老師在參與這個(gè)討論過程中，有沒有不同意見？

王：雖然我們針對整體學(xué)生大部分的水平來制訂的，但是有一些班的情況具有特殊性，

所以針對特殊性，具體的老師根據(jù)自己班的實(shí)際情況，具體做一些微調(diào)。

檀老師：是這樣的。確實(shí)有一些不同的意見，比方過去老師們在教學(xué)過程中，在集合

教學(xué)中就希望能夠滲透關(guān)于方程根討論的一些問題，當(dāng)然剛才我們也看到，包括像集合互異

性的一些問題，實(shí)際上因?yàn)槲覀儗W(xué)校的學(xué)生雖然整體水平屬于中上等的，但是程度也參差不

齊。因此我們在具體的教學(xué)過程中，我們的定位是要把住一條底線，即語言和符號(hào)的初步認(rèn)

識(shí)。對于剛才談到這幾點(diǎn)，個(gè)別學(xué)生可以給他提出一些思考問題，嘗試讓他們課下去完成。

我們在這個(gè)年的過程中，因?yàn)槭窍Ｍ诟咧械?個(gè)學(xué)段中解決學(xué)生最重要的一個(gè)是學(xué)習(xí)習(xí)慣

和學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)問題，因此我們在這一階段的教學(xué)過程，都嘗試著每節(jié)課拿出五到卜分鐘

的時(shí)間讓學(xué)生閱讀書籍，然后指導(dǎo)他們?nèi)ラ喿x和自己梳理知識(shí)，同時(shí)在這個(gè)階段結(jié)束之后，

對于集合，我們是給了學(xué)生復(fù)習(xí)框架，讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)小組，每個(gè)班大概是組成五到六個(gè)學(xué)

生形成學(xué)習(xí)小組，給他們相關(guān)的數(shù)學(xué)課題，提供給他們可供思考的問題，像剛才的問題，我

們都提供給他們作為課外思考。學(xué)生在隨后的探討過程中，實(shí)際上我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生最后的所

得到的東西，比我們原本想希望教給他們的東西獲得的多得多。比如他們非常有興趣查找了

一些與集合有關(guān)系的數(shù)學(xué)史知識(shí)，像康托，他們都通過自己去查找資料去了解，并且用各種

各樣的形式，有的班最后用的是板報(bào)的形式，以后專門有數(shù)學(xué)板報(bào)。還有的班是用的班校會(huì)

的時(shí)間，做了一節(jié)數(shù)學(xué)史和集合這部分的宣講，學(xué)生非常踴躍、非常積極。像集合中有一些

悖論的問題，集合中元素個(gè)數(shù)的問題，他們都非常有興趣自己去查找資料然后相互交換，我

想這樣他們獲得的東西會(huì)更多。

【主持人】非常感謝兩位老師給我們帶來非常生動(dòng)的案例。我們一會(huì)也要請專家對這

個(gè)案例發(fā)表一下他們的點(diǎn)評。

張：通過剛才老師們的介紹，我們對檀老師提出來的問題和分析有了?個(gè)初步的了解，

那么，我們下面聽一聽專家對這個(gè)過程的一個(gè)分析和點(diǎn)評。

王：（王尚志：首都師范大學(xué)博士生導(dǎo)師、教授）集合是我們新課程中高中教學(xué)的

第一個(gè)單元，他們對這些做了一些案例的分析也做了對比。張老師，您看對他們這些分析

和對比有什么點(diǎn)評？

張：（張飴慈：首都師范大學(xué)教授）首先我覺得很高興看到他們把別人的一些案例

拿過來跟做對比、做分析，然后設(shè)立自己的案例，這樣一種教研的方法非常好。其次我就覺

得他們這些思維能夠抓住我們這些結(jié)合點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)對集合的定位抓的比較準(zhǔn)。比如第一個(gè)關(guān)于

集合的三性問題，我覺得集合的三性只是一些規(guī)定，這些規(guī)定要求我們的學(xué)生要知道，并且

要遵循這就夠了。我們數(shù)學(xué)當(dāng)中有很多這樣的規(guī)定，比如說平面直角坐標(biāo)系哪個(gè)是第?象限,

哪個(gè)是第二象限，哪個(gè)是第三象限線，這個(gè)學(xué)生要知道，這就夠了。

王：沒有必要討論那些說不清楚的集合，那根本不是我們數(shù)學(xué)要求的東西。

張：比如要求集合的元素是確定的，我們凡是討論的集合元素都是確定的，這么規(guī)定就

可以了，用不著去設(shè)計(jì)很多奇奇怪怪的來說是不是集合，包括它的互異性、無序性，做這種

討論都是沒有用的。它本身沒有對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想有所提高。其次我們這里要講的按標(biāo)準(zhǔn)來

講，就是集合的概念、包含的關(guān)系、屬于關(guān)系，包括子集這個(gè)內(nèi)容。也就是說我們不涉及到

集合的領(lǐng)域，我們定位是把它作為一種語言，而且這個(gè)語言是要貫穿高中三年的始終的，在

后面講到解析幾何的時(shí)候，講到線性規(guī)劃的時(shí)候，講到不等式解集的時(shí)候，講到函數(shù)一系列

內(nèi)容的時(shí)候要把它拿來用，所以我們把它放在一開始，希望在高中三年要貫徹、去要學(xué)會(huì)應(yīng)

用。所以在現(xiàn)我們一定是要用初中熟知的知識(shí)來作為載體，來講并、交、補(bǔ)，來講屬于、包

含、相等，這樣講，對學(xué)生來說困難應(yīng)該不是特別大。如果我們把一些后面要講的?些不等

式、一些平面的圓的方程等都放到這里，就無形中增加了難度。特別在初高中過渡的問題，

我們要給學(xué)生一個(gè)感覺，讓學(xué)生感到比較容易的事，我們是要把難的東西要講容易了，而不

是把后面的東西放在這講，我們要把握好，一步到位是不好的。

檀：有一些學(xué)校把不等式的解法提前放到這里，一開始的時(shí)候我們聽到這樣一些說法，

我們內(nèi)部也做過討論，實(shí)際我們做這樣的取舍，一開始還是有一些心中不是特別有把握的地

方，我們仔細(xì)也做過一些分析，比如您剛才提到的，集合是在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中都要運(yùn)

用的一個(gè)語言，一個(gè)工具。因此事實(shí)上，集合在初期階段只是一個(gè)新的符號(hào)，新的語言，還

有一些簡單的交、并、補(bǔ)的知識(shí)，分析之后覺得在函數(shù)研究定義域、值域的問題，研究單調(diào)

區(qū)間的問題，包括后面我們在研究立體幾何的時(shí)候，我們始終在使用這些符號(hào)語言，等到不

等式的時(shí)候，我們還可以加深對集合符號(hào)使用的一些認(rèn)識(shí)，我們到今天為止，我們已經(jīng)講了

四個(gè)必修的模塊了，感覺學(xué)生的使用上還是沒有問題的。

王：比如像線性規(guī)劃的問題，難點(diǎn)就在平面上點(diǎn)集的表示，在那都是難點(diǎn)，把它弄到集

合里來大家都覺得暈了，所以我想沒有必要，他有一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。我在大學(xué)教書，平

面點(diǎn)集的表示仍然是學(xué)生容易出問題的地方。所以你們的這種設(shè)計(jì)考慮，我是非常贊成的。

張：我們剛才也談到方程的問題，我們不是在講解方程，而是在講集合的符號(hào)表示，講

集合的交、并、補(bǔ)的關(guān)系，用我們初中講到的有限整數(shù)集，或者自然數(shù)或者用我們學(xué)的不等

式組都是很好的很充分的載體，讓學(xué)生感到不難就能學(xué)會(huì)它。所以在這種情況下，因?yàn)槲覀?/p>

要掌握的東西跟我們以后要學(xué)的東西是兩回事，一步到位的問題是一個(gè)非常應(yīng)該把握住的問

題，還不會(huì)走的孩子非要讓他會(huì)走，這樣反而把他害了。所以我想在初高中的地方，我也知

道，有一些地方，剛一上高一的學(xué)生11點(diǎn)才能睡覺，晚上做很難很難的題，就把學(xué)生給嚇

住了，我覺得這不是我們數(shù)學(xué)中的教育水準(zhǔn)。

王：關(guān)鍵怎么樹立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，而且對數(shù)學(xué)感興趣，一上高中就讓他感覺到數(shù)

學(xué)沒有自己想像的那么難，開頭要開好，這樣學(xué)生后期就會(huì)很有信心，而且也會(huì)加倍努力把

以前落下的、把自己不足的地方趁著高中入學(xué)這一段時(shí)間趕上。

張：有的時(shí)老師一開始就給你一個(gè)下馬威，我讓你不好好學(xué)習(xí)，我告訴你高中數(shù)學(xué)有

多難。

王：本來有一點(diǎn)想法的，有一點(diǎn)計(jì)劃的，這一上來就被嚇回去了。

王：剛才說張老師說的我非常贊成，比如我們數(shù)學(xué)在高中階段，在初中階段，在大學(xué)

階段都要做的事情是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)語言，數(shù)學(xué)有兩種非常特殊的語言，一個(gè)是符號(hào)語言，一

個(gè)是圖形語言。我覺得他們在教學(xué)中對這樣一個(gè)語言的轉(zhuǎn)化強(qiáng)調(diào)的比較好。就是不著急，先

用學(xué)生熟悉的載體去做這種語言的轉(zhuǎn)化，為語言的繼續(xù)轉(zhuǎn)化做一個(gè)鋪墊，并且把這樣一種思

想貫穿到我們整個(gè)高中的教學(xué)中，就是符號(hào)語言不是說一步就能理解的，我們教學(xué)一定不是

要把在高中所要用到所有的集合表示都在集合這部分講到位，這是不可能的，也完全沒有必

要。這么做結(jié)果是，集合的東西也沒有很好地掌握，新加進(jìn)來的東西也是圓冏吞棗，所以我

想，他們這樣一個(gè)設(shè)計(jì)的思考，我覺得是非常好的，而且是真心實(shí)意地認(rèn)識(shí)到這個(gè)問題，就

應(yīng)該這樣做，我覺得這樣的探索對我們所有進(jìn)入新課程的老師是很有借鑒作用的。我們要

根據(jù)我們學(xué)校學(xué)生的特點(diǎn)，老師的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)自己的教學(xué)方案，我們的目的是為了我們的學(xué)

生能夠在高中期間獲得一較好的發(fā)展，我覺得這樣的思考，是給我們提供的一個(gè)非常重要的

借鑒。

另外他們在思考的過程還有一點(diǎn)，就是數(shù)學(xué)在做分類，學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)到哪，都是在進(jìn)行不同

的分類。他們利用集合這樣一個(gè)載體，把學(xué)過的東西，在做一下梳理，我覺得集合在某種意

義上是對學(xué)過東西的一個(gè)很好的梳理的平臺(tái)。我們學(xué)過自然數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)，和一些實(shí)數(shù)。

我們學(xué)過方程，方程的解，學(xué)過有解的方程，學(xué)過沒解的方程，我們總得對他進(jìn)行一下分類。

我們學(xué)過不等式，我們總要討論這些不等式的解集，如?元i次不等式組的解集，它反應(yīng)的

是什么，是或的關(guān)系還是且的關(guān)系，把它梳理一下。我們還學(xué)了函數(shù)，函數(shù)在什么范圍里有

意義，我想也是一個(gè)很好的梳理，這樣把我們學(xué)習(xí)過的知識(shí)做了一個(gè)比較好的梳理，為進(jìn)一

步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。這種梳理又幫助學(xué)生能夠用一種新的語言來表述這些東西，這樣我想收獲

下來的東西，就遠(yuǎn)比你用一些他不懂的東西來講新的東西，對學(xué)生的發(fā)展要好的多。所以我

想，這兩個(gè)功能他們都考慮了。

另外我印象還非常深的一件事情，就是他們讓學(xué)生做了一些大作業(yè)，這些作業(yè)我覺得對

于一個(gè)學(xué)生來說是非常受益的。我們要告訴學(xué)生，從高一的學(xué)習(xí)開始，你們就要學(xué)會(huì)梳理你

學(xué)過的知識(shí)，你學(xué)過了集合梳理一些，哪些是新的，哪些是舊的，新的對舊的有什么影響，

我們形成一個(gè)認(rèn)知的網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生還查閱了一些資料，查了一些數(shù)學(xué)史的情況，這樣學(xué)生的主

動(dòng)性就有了，我相信有一些學(xué)生或許也查到了一些用參變量表示的一些拓展的東西。那是他

興趣所在，不是硬逼他去弄的，這樣他的感覺就完全不一樣了。所以我建議把這一段還要做

一個(gè)好好的總結(jié)，比如我們學(xué)生是怎么梳理這部分知識(shí)的，他們板報(bào)的形式是什么樣子，你

們都保留下來，將來把這些資料在什么時(shí)間展示給我們更多的老師，看看我們怎么樣把學(xué)生

的主動(dòng)性調(diào)動(dòng)起來，我覺得這件事做的非常好。就讓我們的學(xué)生變得有信心，有興趣，感覺

自己能夠把握自己的命運(yùn)，能夠?qū)W好一些東西，我覺得這件事情是值得我們認(rèn)真總結(jié)的。

另外，我還希望你們接著總結(jié)一件事情，就是我們的老師雖然在教集合的過程中，對于

這部分的定位已經(jīng)搞清楚了，我們還希望我們19中的老師再繼續(xù)梳理一下，在整個(gè)高中學(xué)

習(xí)中，用符號(hào)語言，因?yàn)閹缀问翘厥獾姆?hào)語言，去描述分類的時(shí)候，在哪-?個(gè)階段，還需

要發(fā)揮他的作用，我想做一個(gè)完整的梳理，就讓老師感覺，這樣做就更仔細(xì)了。比如說剛才

檀老師也總結(jié)了，在我們后面函數(shù)的學(xué)習(xí)中，哪些地方還要用到集合的語言，在函數(shù)的應(yīng)用

中哪些地方還用到集合的語言。在必修二，我們在講立體幾何的時(shí)候，討論點(diǎn)、線、面的屬

于關(guān)系的時(shí)候，包含關(guān)系的時(shí)候，哪些地方要用到集合的語言。講到解析幾何里，我們一個(gè)

突出的點(diǎn)，就是平面點(diǎn)集的表示，后來到必修三，統(tǒng)計(jì)還是要對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，我們還要用

到集合的語言。到必修四，我們要學(xué)到數(shù)列，要學(xué)到三角函數(shù)，有三角函數(shù)的特殊點(diǎn)，有三

角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還有三角函數(shù)的周期等等，都要持續(xù)地用到集合的語言。我們學(xué)到數(shù)列

里，又有很多集合語言的載體，到必修五，比如說我們學(xué)簡單的線性規(guī)劃問題，不等式問題

等等，這些我們都會(huì)不斷地使用集合語言，我們把這些都寫清楚，我想這也是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)，等

到你們高二的老師，再教這部分內(nèi)容的時(shí)候，大家心里都有數(shù)了，我們就知道，集合語言

是需要通過?個(gè)過程幫助學(xué)生來提升符號(hào)語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題的能力的。逐漸把它積淀成為我

們學(xué)校教學(xué)的一個(gè)特色，然后我們跟其他學(xué)校進(jìn)行交流，提供別人做一個(gè)借鑒。

張：我看兩個(gè)理解，現(xiàn)在的考生，我覺得這些高考定義在什么位置，就定義在我們現(xiàn)在

所講的位置。

王：后面一些用集合語言表達(dá)的一些問題，我想是非常重要的。有時(shí)候我們編造了很多

集合的題目，覺得實(shí)在意義不是很大，我說一個(gè)極端的例子，就是哥德巴赫猜想，哥德巴赫

猜想是什么呢------即沒有這樣的偶數(shù)，它大于等于四，并且不能表示成兩個(gè)素?cái)?shù)的和，

用集合的語言來描述是什么問題呢？就是這樣一個(gè)集合，偶數(shù)的集合，是大于等于四的偶數(shù)

集合，而且不能表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和的集合，這樣的集合是不是空集，那有什么意義？對于

解決哥德巴赫猜想沒有任何意義，所以并不是說我們生拉硬套，造出一些帶有參變量的集合

的題目解決理解數(shù)學(xué)的一種好辦法。數(shù)學(xué)是要把難的東西變得容易，而不是要把容易的東西

弄的別人不懂，所以我覺得19中提供了一個(gè)很好的案例，希望你們繼續(xù)做下去。把這個(gè)寫

清楚，將來我們提供給更多的老師作為參考，我們也希望就這些問題和老師們有一個(gè)更好

的交流，一起來探索怎么樣教好集合這一部分的內(nèi)容。

張：好！在這個(gè)案例里面整體的把握課程，對于一個(gè)基層老師來說，是做好教學(xué)設(shè)計(jì)的

前提，為了使大家對于我們高中新課程中具體的主線、能力有一個(gè)比較清楚的層次，我們下

面請兩位老師來具體的對六條主線，逐進(jìn)行一個(gè)分析，我們先請張老師對于函數(shù)主線做一

個(gè)介紹和分析。

高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線——函數(shù)

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張：函數(shù)這個(gè)概念，現(xiàn)在變成是數(shù)學(xué)一個(gè)中心概念，它現(xiàn)在越來越成為數(shù)學(xué)里不可缺的

一部分，過去我們在中學(xué)里面，在我們的念書的時(shí)候，那個(gè)時(shí)候是50年代或者是60年代,

那個(gè)時(shí)候中學(xué)是以方程為主線，是以計(jì)算求解方程為主線的，但是，隨著時(shí)代的變化，克萊

因提出來函數(shù)概念以后，就把函數(shù)這樣變量之間的依賴關(guān)系成了我們整個(gè)的數(shù)學(xué)教育的一條

主線，這個(gè)概念，在小學(xué)的時(shí)候的就開始有所滲透，然后是到了初中以后，我們給出了變量

和變量依賴關(guān)系這種概念，然后到了我們高中，是必修第一冊的一開始就要學(xué)、要掌握的概

念，我們是要求通過大量的具體事例讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)這個(gè)概念。從概念上來說我們首先對

這個(gè)概念的認(rèn)識(shí)是一步一步深化過來的，我們特別強(qiáng)調(diào)這樣變量依賴的關(guān)系，特別對我們的

高中階段是一個(gè)核心的內(nèi)容，然后到最后我們把它抽象設(shè)置為映射這種概念，這樣一種概念

發(fā)展，實(shí)際上我們知道這個(gè)概念一直到大學(xué)來發(fā)展，都始終是一個(gè)核心概念。

王：到中學(xué)階段，還需要強(qiáng)化對函數(shù)圖形的認(rèn)識(shí)，函數(shù)圖形是一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，給定一個(gè)

函數(shù)圖形就是等于給了一個(gè)函數(shù)，什么叫相同的函數(shù)呢？就是意味函數(shù)圖形應(yīng)該是重合的，

所以我想剛才張老師給我們敘述了三個(gè)基本概念，理解的角度，一個(gè)是變量的依賴關(guān)系，一

個(gè)是用映射來刻劃這個(gè)我們所謂抽象的函數(shù)定義，再有一個(gè)就是函數(shù)圖形。

張：這樣一種概念實(shí)際上到了后來的大學(xué)里面，除了咱們學(xué)的分析外，實(shí)變、復(fù)變、包

括泛函、算子就是這個(gè)概念一系列來講，始終是數(shù)學(xué)里一個(gè)核心概念，而且在中學(xué)里面，我

們學(xué)了很多很多都是和這個(gè)概念密切聯(lián)系的，比如說我們在考慮不等式的時(shí)候，在我們討論

方程的時(shí)候，在我們討論計(jì)算的時(shí)候，算法里的賦值變量，在概率隨機(jī)變量，包括我們像線

性規(guī)劃這個(gè)多元函數(shù)，就是說我們在中學(xué)里涉及到的幾乎都離不開函數(shù)，都和我們的函數(shù)緊

密相關(guān)的，包括我們對函數(shù)的認(rèn)識(shí)，圖形的認(rèn)識(shí)，作為函數(shù)始終貫穿始終，而且所有的概念

幾乎都跟它有緊密聯(lián)系，有些東西雖然我們不一定很明確，但是它都暗含著思想。給了兩點(diǎn)

求距離，就是這些東西幾何里面都滲著函數(shù)這個(gè)概念。給了一個(gè)幾何體求體積等等都有這種

概念。所以函數(shù)始終是我們一條非常重要的概念，所以我們在這里面要特別強(qiáng)調(diào)對函數(shù)性質(zhì)

的研究，對函數(shù)應(yīng)用的研究，我們對函數(shù)性質(zhì)研究也始終是我們在這里面，我們大概是從我

們在高中來說，一個(gè)是代數(shù)法開始，我們討論函數(shù)單調(diào)性，討論函數(shù)的周期性。然后到了微

枳分時(shí)候，我們開始用導(dǎo)數(shù)方法再來研究，研究函數(shù)本身的變化和性質(zhì)，然后是函數(shù)的應(yīng)用，

函數(shù)應(yīng)用的問題也是非常非常廣的，它既有在數(shù)學(xué)本身的內(nèi)部的應(yīng)用，比如說它處理一些函

數(shù)極值問題，二分法的解方程問題，解不等式的問題等。在數(shù)學(xué)有大量的應(yīng)用，另外有凸顯

它的實(shí)力。我們過去在中學(xué)里，對函數(shù)的應(yīng)用是比較欠缺的，現(xiàn)在隨著數(shù)學(xué)建模等對應(yīng)用的

強(qiáng)調(diào)，函數(shù)的應(yīng)用被放在一個(gè)非常突出的地位。也就是說把函數(shù)作為一個(gè)模型來討論，這樣

的一種思想，就使得我覺得我們這次高中里頭，把函數(shù)這樣一個(gè)東西整體的思想，函數(shù)的模

型的思想都凸顯出來，和以前就事兒論事兒講一個(gè)東西相比有很大的不一樣。

王：其實(shí)剛才張老師說的很清楚，那么在高中階段對函數(shù)的認(rèn)識(shí)，有四個(gè)重要的緯度,

第一個(gè)就是概念的緯度，從對函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，剛才張老師幫我們總結(jié)了三個(gè)角度來認(rèn)識(shí)

函數(shù)，從依賴關(guān)系、從圖形、從?個(gè)嚴(yán)格映射定義，我們不是只滿足對一個(gè)角度的認(rèn)識(shí)，而

是全方位的認(rèn)識(shí)，我覺得剛才張老師提到我們在高中階段要強(qiáng)調(diào)模型，我們要千方百計(jì)把

一批模型放在學(xué)生的腦子里，這一批模型包括什么呢？包括我們通常所說的簡單的塞函數(shù)，

騫函數(shù)又包括我們通常所說的y=x以及y=x拓展，就是y=kx+b這樣的線性函數(shù)的認(rèn)

識(shí)和二次函數(shù)，我們是從y=x2出發(fā)來研究二次函數(shù)的，而y=x2是最簡單的幕函數(shù)，

拓展到y(tǒng)=ax2+bx+c這樣的一個(gè)模型的認(rèn)識(shí)，這樣我們就比較完整的把初中對一元二次

函數(shù)的認(rèn)識(shí)提升到個(gè)一般的認(rèn)識(shí)，然后還有一個(gè)y=x3還有我們所謂反比例函數(shù)的一個(gè)

拓展，因?yàn)橛蓎=x-1我們拓展到y(tǒng)=a/x這樣的?個(gè)模式。當(dāng)然我們還需要討論?個(gè)特殊

1

的「=一，就是通常我們說的岳,這些都是簡單痔函數(shù)的一個(gè)拓展，我想對于幕函數(shù)我

們沒有必要在這個(gè)基礎(chǔ)上再做拓展。

張：不要把一般的塞函數(shù)的內(nèi)容再做拓展了。王：對，這是一類函數(shù)，第二類函數(shù)就是

我們通常所說的，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之所以重要，我想不僅僅是它

本身，更重要的是它告訴我們兩種非常重要的變化趨勢。大家想象對數(shù)函數(shù)增長非常慢，非

常緩慢。但是它在增長，他比多項(xiàng)函數(shù)要慢，而指數(shù)函數(shù)是增長非?？斓?，我說當(dāng)a>1的

時(shí)候，那么它的變化非常迅速，這樣一種變化趨勢，在我們將來的學(xué)習(xí)中，是刻畫自然界變

化規(guī)律的最基本的模型，因此，通常我們也把指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)稱之為基本初等函數(shù)。另

外我們還有一類是周期函數(shù)，特別是三角函數(shù)，作為特殊的周期函數(shù)，它在我們整個(gè)的高中

課程中占有一個(gè)明顯的位置，我希望我們老師應(yīng)該看到這樣一個(gè)變化，在我念書的時(shí)候，主

要講的不是三角函數(shù)，而是三角，主要是講的是三角形中的邊角關(guān)系，但是現(xiàn)在發(fā)生了變化,

重心做了轉(zhuǎn)移，我們是以研究三角函數(shù)為主的一個(gè)課程設(shè)計(jì)，當(dāng)然也包括對于三角恒等變換

或者叫三角運(yùn)算的認(rèn)識(shí)。所以我覺得這樣一種變化我們老師應(yīng)該清楚！

張：那您提到這幾類非常具體的函數(shù)跟原來基本是一樣的。但初中還涉及到一些具體的

比如說我們這次提的比較多的例子-一分段函數(shù)，還有像數(shù)列，我們也把它歸納為種離散

函數(shù)。

王：當(dāng)然具體的說有等差數(shù)列，等比數(shù)列等，這些實(shí)際上是我們要在學(xué)生腦子里擱住的,

它是作為我們思考任何函數(shù)問題的基礎(chǔ)的函數(shù)模型，所以我覺得這是張老師總結(jié)的第二個(gè)

方面，第三個(gè)方面張老師特別給我們總結(jié)了就是研究函數(shù)的基本方法，在高中階段有兩種,

一種是代數(shù)法，通過運(yùn)算來探索函數(shù)的性質(zhì)，來探索函數(shù)的應(yīng)用，包括我們說的數(shù)的運(yùn)算、

多樣式的運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算，它在我們研究函數(shù)中都會(huì)發(fā)揮作用，這是

一種基本的方法，也是學(xué)生必須認(rèn)真掌握的方法。另外一種方法就是我們通常所說微枳分的

方法，利用變化率來認(rèn)識(shí)函數(shù)的變化，這是一個(gè)新的角度，這也是牛頓微積分一個(gè)核心的內(nèi)

容。那么，第四個(gè)方面張老師剛才不斷強(qiáng)化的就是函數(shù)的應(yīng)用。

張：這一點(diǎn)好象是我們這次課程特別突出的?部分，函數(shù)是一個(gè)工具來解決問題。

王：包括函數(shù)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，怎么樣用函數(shù)來看待方程，我們提出了二分法。怎么

樣用函數(shù)來研究不等式，研究一元二次不等式，我們又提出了一元二次不等式的問題。那么

又有線性規(guī)劃問題，本質(zhì)上說它是一個(gè)二次函數(shù)極值問題，我們又用函數(shù)去研究數(shù)列，我們

又用函數(shù)去研究隨機(jī)現(xiàn)象，所以我們就建立了隨機(jī)變量。我們又用函數(shù)去研究算法，在算法

中非常重要的是所謂循環(huán)變量，那么這種變量應(yīng)該怎么刻畫？所以用函數(shù)來研究數(shù)學(xué)內(nèi)部的

問題，應(yīng)該是老師非常關(guān)注的個(gè)脈絡(luò)，再有就是函數(shù)在解決其他學(xué)科和日常生活中問題的

作用，那么我想這一點(diǎn)我們分了三個(gè)層次。

張：第個(gè)是特別希望能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)函數(shù)模型，這是第?個(gè)層次。

王：就是能用函數(shù)的語言去描述實(shí)際問題，這個(gè)我覺得是某種意義上說明我們符號(hào)語言

的重要性。

張：這個(gè)也是我們以前比較欠缺的東西，我們過去是給定了一個(gè)函數(shù)的模型，然后利用

它來研究、解決，就有點(diǎn)像過去的應(yīng)用題，就是前面說的，把實(shí)際問題用函數(shù)來描述這個(gè)過

程是需要強(qiáng)調(diào)的！還有一個(gè)就是說真正套用。這也是很重要的環(huán)節(jié)！

張：它有一個(gè)識(shí)別的功能，知道這個(gè)模型是這個(gè)函數(shù)。

王：我記得思明做過一個(gè)研究，就是在我們老百姓的經(jīng)濟(jì)生活中，用到的數(shù)學(xué)模型基本

上是等差數(shù)列和等比數(shù)列，個(gè)別有一點(diǎn)混合用了，那么這就說明我們需要用我們學(xué)到的等比

數(shù)列，去刻畫復(fù)利問題，等差數(shù)列去刻畫沒有復(fù)利的存款問題，貸款問題等等！這是第二個(gè)

階段，第三個(gè)階段就是張老師說的，函數(shù)是解決實(shí)際問題的一個(gè)重要模型，所以我們也希望

讓學(xué)生經(jīng)歷一下數(shù)學(xué)建模這個(gè)基本過程，我們在這次培訓(xùn)中有專門一個(gè)專題要討論數(shù)學(xué)建模

和數(shù)學(xué)探究，在那個(gè)專題里要詳細(xì)說明數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究的意義和作用，以及如何操作。

張：兩位老師的分析比如說兩位都提到了研究函數(shù)的工具，過去我們認(rèn)識(shí)比較窄，比較

強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的工具，總是把這個(gè)工具限定在求函數(shù)值，研究的單調(diào)性就作差等，不斷的練習(xí)，

這些東西在學(xué)習(xí)的過程中開始是非常重要的，但是如果我們忘記了還有其他研究函數(shù)的工具

的時(shí)候，比如微積分工具的時(shí)候，我們就會(huì)把前面的作用夸大，把它難度就提高了。如果我

們整體看到函數(shù)、看到工具的發(fā)展，包括微積分也是一種函數(shù)的表現(xiàn)，同時(shí)為研究函數(shù)提供

的工具的話，就可能減少前面的難度和訓(xùn)練不必要，就能提高效率。

王：這就是一個(gè)整體的把握。

張：包括值域的求法，你要能夠知道后面我們學(xué)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，給出一種通性通法，只要

把函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)把極值求出來的話，因?yàn)槲覀兒瘮?shù)一般都是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，把連

續(xù)函數(shù)的極值求出來，最大值、最小值求出來，它的值域就出來了，分段一求并就出來了，

那么就不會(huì)在前面用八種方法、十種方法來討論各種各樣的值域的求法，到整體來把握這個(gè)

問題，來認(rèn)識(shí)我們的工具，就知道什么地方是重點(diǎn)，什么是通性通法，什么是我們不應(yīng)該過

分強(qiáng)調(diào)的。

王：我想從函數(shù)本身來說，一個(gè)整體的把握就能使我們更好的提高我們教學(xué)的有效性，

強(qiáng)調(diào)教學(xué)的效率，有的時(shí)候后面還要講的東西，那你在前面就要適度，你有一個(gè)呼應(yīng)和一個(gè)

整體把握，你就知道什么時(shí)候我教到什么程度，對學(xué)生來說既是容易理解的，也得有效。那

么，我們后續(xù)怎么跟匕我想這些東西呢，包括對函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，我想?步到位都不是一

件科學(xué)的事情，也不能是一步到位！隨著后面我們對函數(shù)的認(rèn)識(shí)，我們還會(huì)不斷的去認(rèn)識(shí),

另外即或到大學(xué)我們還需要繼續(xù)去研究函數(shù)，去認(rèn)識(shí)函數(shù)。

張：你比如像函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)，比如單調(diào)性，其實(shí)單調(diào)性沒什么，就是這個(gè)一減的

問題，那奇偶性你看花樣很多，實(shí)際上單調(diào)性才是真正重要的，是函數(shù)變化的，正是有了單

調(diào)性后面我們才討論極值的問題，才有了單調(diào)。我們的極值就是依賴單調(diào)性，所以它的廣泛

應(yīng)用非常非常重要，相反奇偶性問題雖然有一定的意義，他有一定圖形的對稱性，但是它依

賴于坐標(biāo)的選擇，相比之下，像這樣的東西要整體來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、整體把握數(shù)學(xué)就能清楚這個(gè)

概念為什么重要。

張：重要的是度，就知道它彼此之間看上去都不一樣，其實(shí)在發(fā)揮作用上范圍是一樣的。

王：這里面有一個(gè)對中學(xué)研究函數(shù)的定位，實(shí)際上在中學(xué)階段，我們有幾個(gè)前提，首先

我們研究的都是好函數(shù)，也就是說除了個(gè)別分段函數(shù)以外，我們研究的都是所謂連續(xù)的，可

導(dǎo)的，光滑的好函數(shù)，即或是在大學(xué)數(shù)學(xué)分析里，我們也是以研究好函數(shù)為主。所以我們沒

有必要去設(shè)計(jì)一些曲形的函數(shù)，完全沒有必要。第二個(gè)定位，就是我們的函數(shù)在中學(xué)階段，

只考慮它的形狀，而單調(diào)性基本揭示它的形狀，單調(diào)上升，單調(diào)下降，把這個(gè)函數(shù)變化基本

的形狀就勾勒出來了。那么，第三個(gè)我覺得很重要的在中學(xué)需要弄清的就是周期，因?yàn)槲覀?/p>

在認(rèn)識(shí)世界中無論是從宏觀還是從微觀，周期概念都是非常重要的概念。因此，我想這些中

學(xué)的大定位我們要把握住，那么我們就知道什么是主要的，什么是知微末節(jié)的，當(dāng)然我知道

我們能體會(huì)老師對考試擔(dān)心，我想隨著課程的不斷發(fā)展，命題者也在思考這個(gè)問題，怎么考

察學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),怎么去考察學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)能力，所以我覺得所有大家思考的方向是一致的,

即或在個(gè)別問題上有點(diǎn)出入，一定不會(huì)干擾主流。所以我們考試大綱里，連篇累牘地強(qiáng)調(diào)通

性通法，我想這些都是我們需要的，大家一起來關(guān)注，才能使得我們中國的數(shù)學(xué)教育沿著健

康的軌道去發(fā)展，所以這件事兒，是我們認(rèn)真的思考。

張：兩位老師以函數(shù)主線的分析給我們做了?個(gè)例子，上我們看到了分析函數(shù)主線這個(gè)

過程，是由概念、具體的函數(shù)模型、函數(shù)的應(yīng)用、研究函數(shù)的工具，這四個(gè)角度進(jìn)行了分析,

而且也給我們看到了整體把握函數(shù)概念，對于認(rèn)識(shí)課程內(nèi)容、認(rèn)識(shí)課程內(nèi)容深化的過程是很

有幫助的。那么，在下一節(jié)課里，我們還將請兩位老師繼續(xù)就其他的五條主線進(jìn)行分析，謝

謝大家的參與，我們希望大家在下節(jié)課見面。

第二講

張（張思明北大附中數(shù)學(xué)特級教師）：各位老師大家好，歡迎各位老師繼續(xù)參加高中

數(shù)學(xué)新課程國家級遠(yuǎn)程培訓(xùn)，在上節(jié)課里，我們對高中數(shù)學(xué)課程的主線之一一函數(shù)進(jìn)行了

?個(gè)比較細(xì)致的分析，在這講里，我們將繼續(xù)對其他的幾條主線進(jìn)行分析，那好我們首先先

請王老師，對于運(yùn)算這條主線進(jìn)行一下分析。

王老師（王尚志首都師范大學(xué)博士生導(dǎo)師、教授）：上一講張老師對于函數(shù)在高中

數(shù)學(xué)課程中的位置進(jìn)行了分析，那么我先對于運(yùn)算在高中數(shù)學(xué)課程中的位置做一個(gè)簡單的分

析，提供給各位老師做一個(gè)參考。

大家知道運(yùn)算始終是數(shù)學(xué)課程最基本的內(nèi)容，也是最基本的能力，我們在小學(xué)階段學(xué)

習(xí)了數(shù)的運(yùn)算，初中階段，我們完整的理解了有理數(shù)的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，或者初步的理解

了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，我們又引入了代數(shù)式的運(yùn)算，并且利用這種運(yùn)算去研究方程、函數(shù)、不等式

等等，那么我們可以看出運(yùn)算的作用，我想在小學(xué)初中運(yùn)算的這些作用，沒有結(jié)束，在高中

課程的學(xué)習(xí)過程中，仍然在發(fā)揮作用，因此我想提醒老師注意的第一個(gè)問題是，無論學(xué)生在

初中和小學(xué)階段運(yùn)算學(xué)到什么程度,我們高中的老師都有責(zé)任幫助他們繼續(xù)提升和培養(yǎng)他們

的運(yùn)算能力，因此在高中階段我們應(yīng)該有意識(shí)的幫助學(xué)生培養(yǎng)他們的運(yùn)算能力，提升他們的

運(yùn)算能力。

下面我來分析一下高中運(yùn)算的主要內(nèi)容，在高中階段，除了會(huì)不斷的使用多項(xiàng)式運(yùn)算和

數(shù)的運(yùn)算之外，我們又引入了一些新的運(yùn)算對象，

高中數(shù)學(xué)課程.內(nèi)容主線一運(yùn)算

其中特別突出的就是指數(shù)運(yùn)算，就是還有相應(yīng)的一些指數(shù)運(yùn)算的法則,

比如說3y=丁-丁，等等。老師都應(yīng)該知道，我說的第一個(gè)性質(zhì)，是指

數(shù)運(yùn)算最根本的性質(zhì)，當(dāng)然我們不要去推導(dǎo)，后面是怎么從前面推導(dǎo)出來的，我想這是一個(gè)

重要的運(yùn)算的載體，這個(gè)運(yùn)算的載體會(huì)滲透在我們對于很多問題的思考過程中。同時(shí)我們還

會(huì)利用這種運(yùn)算，去研究指數(shù)函數(shù)，另外一個(gè)運(yùn)算的載體就是對數(shù)函數(shù)，它和指數(shù)函數(shù)是相

對應(yīng)的，我就不重復(fù)了。

指數(shù)函數(shù)運(yùn)算、對數(shù)函數(shù)運(yùn)算，在我們高中的學(xué)習(xí)中碰到的新的運(yùn)算載體，那么到了必

修4的課程里面，我們還會(huì)學(xué)習(xí)另外一些運(yùn)算規(guī)則，就是我們傳統(tǒng)說的三角函數(shù)的很多背

景，實(shí)際上我們也何以把它看作一種運(yùn)算，比如說明

coKa±￡>=-aa?/FF*a^一等等，我們既可以把它看作公式，也是一種運(yùn)算的

法則，在三角函數(shù)研究過程中，這種法則常常會(huì)起作用，當(dāng)然我們可以告訴老師在高中階段,

三角函數(shù)運(yùn)算法則的作用，發(fā)揮的不是特別的重要，到了大學(xué)的學(xué)習(xí)，特別研究三角級數(shù)的

時(shí)候，這些運(yùn)算法則才會(huì)真正的發(fā)揮作用，我想我們學(xué)到的指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)運(yùn)算和三角運(yùn)算,

如果從運(yùn)算的角度來說，我希望我們的老師應(yīng)該清楚，這些運(yùn)算和我們所學(xué)過數(shù)的運(yùn)算和多

項(xiàng)式的運(yùn)算有一些不同，通常我們在數(shù)學(xué)里叫它做非線性運(yùn)算，這些運(yùn)算的掌握是提升我們

學(xué)生運(yùn)算能力的重要載體。除了這個(gè)載體，在高中階段還有個(gè)非常非常重要的運(yùn)算我體，

就是向量，二維向量和三維向量，它提供了我們非常豐富的運(yùn)算的內(nèi)涵，它不僅有向量的加

法，向量的數(shù)乘，還有向量的點(diǎn)乘，將來還會(huì)學(xué)習(xí)向量的其他運(yùn)算形式。所以向量的運(yùn)算給

我們整個(gè)的對運(yùn)算的理解帶來了?個(gè)新的面孔，這一點(diǎn)在大學(xué)一年級的課程中，給予足夠的

呼應(yīng)，也就是說我們在大學(xué)一年級所學(xué)的線性代數(shù)中所要學(xué)到的線性空間的概念，實(shí)際上就

是向量運(yùn)算概念的一個(gè)直接的拓展，我們不僅要重視向量的運(yùn)算,還要重視向量運(yùn)算的意義,

特別是它的幾何意義和它的物理背景，向量每一個(gè)運(yùn)算，都有著它明確的兒何意義。

比如說我們在幾何中要研究的主要問題是直線型的平行與垂直，判定垂直的主要應(yīng)用了

向量的點(diǎn)乘是不是等于零，判斷平行的主要使用共線問題。所以我想向量作為一種新的運(yùn)算

載體，對我們整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用是非常重要的。這是我們所說的運(yùn)算的載體。

張老師（張飴慈首都師范大學(xué)教授）：我想對我們中學(xué)來說向量是非常重要的，它

的運(yùn)算是用幾何的平行四邊形來做，但是它運(yùn)算的規(guī)律卻同我們過去的很相像，這個(gè)非常困

難。除了這個(gè)以外，在我們中學(xué)里面還有幾個(gè)重要的運(yùn)算，一個(gè)就是復(fù)數(shù)的運(yùn)算，還有就是

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，兩個(gè)相乘的導(dǎo)數(shù)、兩個(gè)相除的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。所以，運(yùn)算始終是我們高中的一

個(gè)主線，?個(gè)人的運(yùn)算能力反映了他思維清楚不清楚，我們常說培養(yǎng)一個(gè)人的邏輯思維能力，

實(shí)際上這個(gè)運(yùn)算的本身也很反映這個(gè)問題，所以運(yùn)算的能力的培養(yǎng)始終是我們關(guān)注的問題，

數(shù)學(xué)的運(yùn)算能力，所謂簡化的思維對他的做問題的正確能夠有意義，另外要關(guān)注運(yùn)算的背景,

向量的幾何背景，向量的物理背景，兩個(gè)向量的和一力，向量的內(nèi)積就是做功等。只有關(guān)

注運(yùn)算的背景，才能知道這個(gè)運(yùn)算法則為什么會(huì)這樣。

王老師：從運(yùn)算的角度里我們要去理解數(shù)形結(jié)合，將來我們再從圖形的角度，又要從

另外?個(gè)角度來理解數(shù)形結(jié)合，這是運(yùn)算的載體，另外我們必須認(rèn)識(shí)，運(yùn)算的作用不僅僅限

于這些載體，更重要的是運(yùn)用我們所學(xué)過的運(yùn)算，綜合的使用去解決某些問題。比如說研究

函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，研究線性規(guī)劃問題，研究很多的問題，計(jì)數(shù)問題，二項(xiàng)式定理，

可能都需要用。所有這些都是運(yùn)算的?個(gè)直接應(yīng)用。所以，我想學(xué)生運(yùn)算能力的提升，我們

應(yīng)該采取一種整體的管理，這是我們高中三年的基本任務(wù)，不是一次課、兩次課能解決的問

題，而是持續(xù)下來的問題，很多技能都是通過對某種運(yùn)算總結(jié)，比如說配方法、消元法，都

是特定的一系列運(yùn)算步驟形成的一種固定的方法。

張老師：算法里的二分法求方程的解。

王老師：所以對于運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，我覺得可能是最重要的。我個(gè)人的觀點(diǎn)，覺得在高中所

有的這些能力中，我們第一位要重視的是計(jì)算能力，當(dāng)然我不是說忽視其他的能力。我們要

幫助學(xué)生，要會(huì)算，要算的比較正確，要算的正確，這種能力的培養(yǎng)，我們老師要把它始終

作為教學(xué)的?個(gè)基點(diǎn)。所以，我這兒提出一個(gè)問題供老師參考，你的學(xué)生在計(jì)算上還有哪些

問題，反映在哪些地方，你有什么好的經(jīng)驗(yàn)去克服這些問題？我想這個(gè)是我們這次研修活動(dòng)

希望和老師起研究的一個(gè)問題。

下面是北京市海淀區(qū)十九中的老師帶來的案例：

張：各位老師大家好，這里我先向大家介紹兩位一線的老師，我身邊這位，是北京市海

淀區(qū)第十九中譚晉軒老師，（檀晉軒：北京十九中高級教師）這邊是同一學(xué)校的王肖

華老師（王肖華：北京十九中區(qū)骨干教師）。兩位老師都是海淀區(qū)優(yōu)秀的青年骨干教師,

這次請他們來，想就整體把握高中數(shù)學(xué)課程的一個(gè)很有必要討論的問題--就是怎么樣從整

體上看待學(xué)生能力的發(fā)展，我們想就這個(gè)問題聽聽來自一線老師給我們提供的一些案例。

檀老師：從高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中來看，應(yīng)該說運(yùn)算是一個(gè)很重要的很核心的一個(gè)能力

問題0在這一點(diǎn)上，我們在集體備課過程中，做過從五個(gè)模塊的整體的梳理，下面請王肖

華老師給我們簡單介紹一下我們梳理的結(jié)果。

王：剛才譚老師已經(jīng)介紹了，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，計(jì)算能力是學(xué)生必須具備的

一個(gè)非常重要的能力之一。針對前一學(xué)段，我們在必修模塊學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在計(jì)算能

力方面，存在很多問題，具體在以下幾大方面，首先是函數(shù)部分，

高中數(shù)學(xué)必修階段體瞬學(xué)計(jì)算能力

函數(shù)

不等式

向量

立體幾何

解析幾何

第二是數(shù)列部分，第三是不等式，還有向量，立體幾何和解析幾何部分，下面針對在必

修模塊當(dāng)中，每一部分學(xué)生在計(jì)算能力方面存在一些問題，具體簡單做一下說明。

首先在必修一模塊當(dāng)中，函數(shù)部分，討論函數(shù)的單調(diào)性。利用函數(shù)單調(diào)性的定義來證明

函數(shù)單調(diào)性，在等價(jià)變形過程當(dāng)中學(xué)生存在不知道如何去等價(jià)變形，去因式分解，再就是待

定系數(shù)法求一元二次函數(shù)的解析式，怎么利用初中所學(xué)到消元的思想，把三元一次方程組轉(zhuǎn)

化成二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化成一元一次方程求解，這個(gè)消元的思想，以及解方程的能力，

有的同學(xué)參差不齊。

第三點(diǎn)是關(guān)于求指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義域、值域，及相關(guān)計(jì)算問題。學(xué)生在給定相

關(guān)的一元二次方程，如何來利用配方來求最值，如何利用整體代換的思想來求方程，以及

如何針對方程當(dāng)中所隱含的，根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)，它的定義隱藏的條件如何

一、必修1

?《一）函數(shù)部分

1.材合布氟的單i54t證劈述在?竽管甕赤j

2.特文崇或興求一元二次圣泰*春式.，方

程r或方程ad；

3.家美于看或與牙或立羲的文義或、依成

及加委針?biāo)?/p>

必修二模塊當(dāng)中，利用空間幾何部分，空間幾何部分主要涉及到計(jì)算空間幾何體的面積

和體積的問題，這部分主要培養(yǎng)學(xué)生也是訓(xùn)練計(jì)算能力，在這里涉及到柱、錐、臺(tái)、球它的

面積和體積問題，在這里如何來借助一些特殊的截面把立體幾何圖形轉(zhuǎn)化成平面幾何圖形,

盡而借助于直角三角形的勾股定理來構(gòu)造方程，進(jìn)而來求解，這個(gè)過程很多同學(xué)存在一些問

題，以及如何利用公式中的變量，把變量看作一些未知數(shù)，這是一個(gè)等式來列方程，然后

求解，學(xué)生存在不同的問題。

二、必修2

?（一）空間幾何善分：：

1.老及■!針蓍安司JL何禰的藥東乖缽秋的

?￡明魂」

?（1）銀正三極杳的上廟面和下底面的邊長分刈

若2cnf和5urar,錮枝長勢5e?f,求這令?根

杳的擊。

?12）有一小JL目枝杳彩枚的油帶，錄多裝詁7

90Lf圖*云的西點(diǎn)面邊長分洌卷于6Gc啦

錄完蛤述及a

在必修四模塊當(dāng)中，基本初等函數(shù)三角函數(shù)相關(guān)問題當(dāng)中同角三角函數(shù)兩個(gè)基本關(guān)系

式,

三、必修4

?（一）基本初等的函教~三角函教相

關(guān)問題sin2a.+cos2a=1

1.國危三,圣或的基本美泰文自“一sin。

_loll.LX,---------

的應(yīng)用COS0

2.三危⑥最德哥4比.國金的與柱后的靈薄成

用

31三危⑥或寸不等去求阡4戶無質(zhì)用----<

主義麟.砥成.車鑰匡司.或JUK與

三危圣?為美的本著式I的塞圖等

?a+ama-l^a---這兩個(gè)關(guān)系式的應(yīng)用問題存在很多問題。因?yàn)檫@

兩個(gè)最基本的關(guān)系式組合在一起，會(huì)形成一個(gè)把.ama作為一個(gè)整體，整體代換的思

想在這個(gè)前提條件下，會(huì)形成二元二次方程組，這一塊如何在利用消元的思想，把二元二次

方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程求解的問題，化簡這一塊就存在很多問題。

第二點(diǎn)，是三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及它圖象的性質(zhì)，靈活應(yīng)用這?塊其實(shí)存在很多問題，

y=—■?ax+^mx+—

比如，給定一個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的一個(gè)函數(shù)，4,求這個(gè)函數(shù)的最

大值和最小值，以及在取得最值的時(shí)候自變量x值的集合，首先是整體代換的思想，把sinx

作為一個(gè)整體未知數(shù)，在如何來進(jìn)行配方這一塊學(xué)生存在一定的問題，以及配方完了以后，

根據(jù)正弦函數(shù)本身的特性一周期性，如何來求自變量X的集合，這?塊也存在一系列的問

題。

第三個(gè)問題是三角函數(shù)當(dāng)中，不等式求解的廣泛應(yīng)用，比如求函數(shù)的定域，值域，單調(diào)

區(qū)間，比較大小，以及與三角函數(shù)有關(guān)的不等式的求解等等很多方面。比如求函數(shù)

事=41一*=的定義域問題,還有求函數(shù)Z-2B彳的最值，以及對應(yīng)的自變量X

7=■<--2^

的集合，還有求函數(shù)3的單調(diào)遞增區(qū)間等等一系列問題都需要學(xué)生都具備不

等式求解的能力，以及如何來利用三角函數(shù)的性質(zhì)一周期性，來進(jìn)行相關(guān)的求解問題。

在必修五模塊當(dāng)中，解三角形涉及到正余弦定理，這兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用及鄉(xiāng)相互轉(zhuǎn)

化邊角之間的相互轉(zhuǎn)換，以及它的實(shí)際應(yīng)用。這里主要是方程，如何把公式當(dāng)中的變量已知

其中兒個(gè)，未知兒個(gè)，是一個(gè)方程的問題。

四、必修5

（一）解三箱形

1.工r余j於定翼中角.迦，在r余/波■之河的事五聯(lián)樂

與聯(lián)也在點(diǎn)際區(qū)用

｛二）趣到部分

1.等差累對求和刊題

2-干》重與生.全美△式叁箸比?封中的「更成閨

3.等差累對中的求最魚河題

｛三，不等為部分

，-傳差法比漳t大小

2.一無二次不尋人的汞爵---余摹41.求左義盛等.

張：知三求二，就是哪些能解，哪些不能解，這里包括很多過去的知識(shí)，有一些過去沒

有接觸過。

王：比如已知兩邊，及其一邊所對的角，利用余弦定理也可以求相應(yīng)的問題，這個(gè)最終

都可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程的求解問題，這是在初中的時(shí)候?qū)W生必須要具備的。

在必修五模塊當(dāng)中第二部分--數(shù)列部分。在這部分中方程的思想貫穿著整個(gè)數(shù)列這?

章。因?yàn)閿?shù)列這一部分的公式特別多，公式這里有一個(gè)變量，這個(gè)變量也是一個(gè)方程。比

如在等差數(shù)列求和當(dāng)中，知道了首項(xiàng)，知道了公差，知道了和，求項(xiàng)數(shù)的問題，就會(huì)轉(zhuǎn)化為

■■個(gè)關(guān)于n的一元二次方程求解的問題。第二方面就是平方差與立方差公式在等比數(shù)列

當(dāng)中的廣泛應(yīng)用。在等比數(shù)列當(dāng)中，很多涉及到高次方程。在高次方程中如何把高次的利用

整體的思想轉(zhuǎn)化成低次的，這里很多需要利用平方差公式和立方差公式進(jìn)行分解，最后直接

或者間接轉(zhuǎn)化成一元一次方程，或者一元二次方程來求解，因式分解這一塊學(xué)生存在很多的

問題0再就是等差數(shù)列中求最值，依然用到了配方法，也可以利用不等式求最值。在不等式

部分，作差比較，在等價(jià)變形的過程中涉及到因式分解，還有配方來確定符號(hào)，因式分解和

配方這部分學(xué)生也存在一些問題。在遇見二次不等式的求解，尤其是含參數(shù)的求定義域等等,

那么對于給定的一個(gè)關(guān)于x的方程，比如說mx2-(1-m)x+m=O,涉及到二次

項(xiàng)的系數(shù)為一個(gè)參數(shù)的時(shí)候，首先要對這個(gè)參數(shù)要進(jìn)行討論，即分類討論的思想，但是他

說這個(gè)方程有兩個(gè)正實(shí)根，有的學(xué)生對于判別式A與兩個(gè)正實(shí)根之間的關(guān)系不太清楚，還

有針對根系關(guān)系也不清楚，這個(gè)也是初中教學(xué)過程當(dāng)中，教師比較淡化的一點(diǎn)，有的學(xué)生不

太清楚，所以存在一些問題。

綜合上面的必修一到必修五我們前一學(xué)段所學(xué)的知識(shí)，有聯(lián)系的一些主要問題有以下三

個(gè)方面。首先是配方法，在初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程當(dāng)中的地位和作用。第二點(diǎn)是學(xué)生具備方程

的思想和解方程的能力在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中的重要性。第三點(diǎn)是不等式在高中數(shù)學(xué)各個(gè)模塊

當(dāng)中的地位和作用。針對這三點(diǎn)，我們著重來談一下我們學(xué)校在處理學(xué)生具備方程的思想和

解方程能力這一部分，在不同的模塊當(dāng)中所處理的一些具體的情況以及我們的定位。

首先，必修一模塊當(dāng)中，待定系數(shù)法求?元二次函數(shù)解析式，列方程、解方程組。這個(gè)

因?yàn)樵诔踔袑W(xué)生具備了消元的思想，但是他們只具備一元二次方程，或者是二元一次方程組

的求解，在解二元一次方程組的時(shí)候，學(xué)生只知道一個(gè)消元的思想。在這個(gè)基礎(chǔ)上，在給

定求一元二次函數(shù)解析式是一個(gè)列完方程組以后是一個(gè)三元一次方