數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)第二十八章測(cè)試卷4份含答案

數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)第二十八章測(cè)試卷4份

單元測(cè)試卷（一）

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.計(jì)算：cos245°+sin245°=（）

A.1B.1C.2D.返

242

2.在RtAABC中，各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值（）

A.都擴(kuò)大兩倍B.都縮小兩倍C.不變D.都擴(kuò)大四倍

3.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=RtZ,a、b、c分別是NA,ZB,NC的對(duì)邊，下

列結(jié)論正確的是（）

A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.tanB=—

b

4.如圖，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，DEJ_BC于點(diǎn)

E,連接BD,則tan/DBC的值為（）

A.1B.V2-1C.2-J3D.1

34

5.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則NABC

的正切值是（）

6.已知在RtaABC中，ZC=90°,sinA=3,則tanB的值為（）

5

7.如圖，一個(gè)小球由地面沿著坡度i=l：2的坡面向上前進(jìn)了10m,此時(shí)小球距

離地面的高度為（）

A.5mB.2泥m

如圖，在菱形中，則的值(

8.ABCDDE_LAB,cosA-l,BE=2,tanNDBE)

5

A.1B.2C.在D.近

225

9.直角三角形兩直角邊和為7,面積為6,則斜邊長(zhǎng)為（）

A.5B.V37c-7D.738

10.如圖，某飛機(jī)在空中A處探測(cè)到它的正下方地平面上目標(biāo)C,此時(shí)飛行高度

AC=1200m,從飛機(jī)上看地平面指揮臺(tái)B的俯角a=30。，則飛機(jī)A與指揮臺(tái)B的

距離為（）

A.1200mB.120072mC.120073mD.2400m

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從

一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行米.

12.如圖，有一滑梯AB,其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度BC為2.8米，則/

A的度數(shù)約為（用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算，結(jié)果精確到0.1。）.

B

13.小蘭想測(cè)量南塔的高度.她在A處仰望塔頂，測(cè)得仰角為30。，再往塔的方

向前進(jìn)50m至B處，測(cè)得仰角為60。，那么塔高約為m.（小蘭身高忽略

不計(jì)，取我=1.732）

14.等腰三角形的腰長(zhǎng)為2,腰上的高為1,則它的底角等于.

15.如圖，已知RtAABC中，斜邊BC上的高AD=4,cosB=&,則AC=

5----------

16.如圖，AABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA=

17.如圖1是小志同學(xué)書桌上的一個(gè)電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾

何圖形，已知BC=BD=15cm,ZCBD=40°,貝I點(diǎn)B至I」CD的距離為cm（參

考數(shù)據(jù)sin20。比0.342,cos20°?0.940,sin40°=0.643,cos40°=0.766,結(jié)果精確

到0.1cm,可用科學(xué)計(jì)算器）.

18.（3分）如圖，在四邊形ABCD中,ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=6,CD=9,則

AB=

K)e

，D

BC

三、解答題(共46分)

19.(6分)計(jì)算下列各題：

(1)72(2cos45°-sin60°)+J^-；

_4

(2)(-2)0-3tan30°+|V3-2.

20.（6分）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，九年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們測(cè)量校園內(nèi)

一棵大樹（如圖）的高度，設(shè)計(jì)的方案及測(cè)量數(shù)據(jù)如下：

⑴在大樹前的平地上選擇一點(diǎn)A,測(cè)得由點(diǎn)A看大樹頂端C的仰角為35°；

⑵在點(diǎn)A和大樹之間選擇一點(diǎn)B（A,B,D在同一直線上），測(cè)得由點(diǎn)B看大樹

頂端C的仰角恰好為45°；

⑶量出A,B兩點(diǎn)間的距離為4.5米.

請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出大樹CD的高度.（精確到0.1米）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：

sin35°心0.57,cos35°^0.82,tan35°^0.70）

DR

21.（5分）每年的5月15日是"世界助殘日"，我區(qū)時(shí)代超市門前的臺(tái)階共高出

地面1.2米，為幫助殘疾人，便于輪椅行走，準(zhǔn)備拆除臺(tái)階換成斜坡，又考慮安

全，輪椅行走斜坡的坡角不得超過9。，已知此商場(chǎng)門前的人行道距門前垂直距離

為8米（斜坡不能修在人行道上），問此商場(chǎng)能否把臺(tái)階換成斜坡？（參考數(shù)據(jù)：

sin9°=0.1564,cos90=0.9877,tan9°=0.1584）

一^--------'11，2米

8米

22.（5分）如圖，為了測(cè)量某建筑物CD的高度，先在地面上用測(cè)角儀自A處測(cè)

得建筑物頂部的仰角是30。，然后在水平地面上向建筑物前進(jìn)了100m,此時(shí)自B

處測(cè)得建筑物頂部的仰角是45。.已知測(cè)角儀的高度是1.5m,請(qǐng)你計(jì)算出該建筑

物的高度.（取?=1.732,結(jié)果精確到1m）

23.（5分）已知：如圖，在山腳的A處測(cè)得山頂D的仰角為45。，沿著坡度為

30。的斜角前進(jìn)400米處到B處（即NBAC=30。，AB=400米），測(cè)得D的仰角為

60°,求山的高度CD.

D

24.（5分）一段路基的橫斷面是直角梯形，如圖1,已知原來坡面的坡角a的正

弦值為0.6,現(xiàn)不改變土石方量，全部利用原有土石方進(jìn)行坡面改造，使坡度變

小，達(dá)到如右下圖2的技術(shù)要求.試求出改造后坡面的坡度是多少？

圖1圖2

25.（6分）如圖，已知RtAABC中，ZACB=90",CD是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)

A作AELCD,AE分別與CD、CB相交于點(diǎn)H、E,AH=2CH.

⑴求sinB的值；

⑵如果CD=旄，求BE的值.

26.（8分）如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到

故障船c的求救信號(hào).已知A、B兩船相距100（?+3）海里，船C在船A的北

偏東60。方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測(cè)點(diǎn)D,測(cè)得船C正

好在觀測(cè)點(diǎn)D的南偏東75。方向上.

⑴分別求出A與C,A與D之間的距離AC和AD（如果運(yùn)算結(jié)果有根號(hào)，請(qǐng)保留

根號(hào)）.

⑵已知距觀測(cè)點(diǎn)D處200海里范圍內(nèi)有暗礁.若巡邏船A沿直線AC去營(yíng)救船

C,在去營(yíng)救的途中有無觸暗礁危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：血心1.41,73^1.73）

答案解析

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.計(jì)算：cos245°+sin245°=（）

A.1B.1C.2D.返

242

【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】選擇題_

【分析】首先根據(jù)345=m45。=返，分別求出cos245。、siM45。的值是多少；然

2

后把它們求和，求出8$245。+011245。的值是多少即可.

【解答】解：?.?cos45°=sin45°=返，

2

.,.cos245°+sin245°

用嗎

44

=i.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，要熟練掌握，解答此類問題的關(guān)

鍵是要明確：（1）30。、45。、60。角的各種三角函數(shù)值；（2）一個(gè)角正弦的平方加

余弦的平方等于L

2.在Rt^ABC中，各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值（）

A.都擴(kuò)大兩倍B.都縮小兩倍C.不變D.都擴(kuò)大四倍

【考點(diǎn)】T1：銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】選擇題

【分析】根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似，可知擴(kuò)大后的三角形與原三角形

相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等解答.

【解答】解：???各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大兩倍，

，擴(kuò)大后的三角形與RSABC相似，

???銳角A的各三角函數(shù)值都不變.

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角形函數(shù)的定義，理清銳角的三角函數(shù)值與角度有關(guān),

與三角形中所對(duì)應(yīng)的邊的長(zhǎng)度無關(guān)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=RtZ,a、b、c分別是NA,ZB,NC的對(duì)邊，下

列結(jié)論正確的是（）

A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.tanB=—

b

【考點(diǎn)】Tl：銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】選擇題

【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可.

【解答】解:A、在RtZkABC中,ZC=90",

sinA=—,csinA=a,正確；

c

B、在RtaABC中，ZC=90°,

cosB=—,本項(xiàng)錯(cuò)誤；

c

C、在RtZiABC中，ZC=90°,

tanA=—,btanA=a,本項(xiàng)錯(cuò)誤；

b

D、在RtaABC中，ZC=90°,

tanB—,本項(xiàng)錯(cuò)誤，

a

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義.解答此題關(guān)鍵是正確理解和運(yùn)用銳角

三角函數(shù)的定義.

4.如圖，在^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，DE_LBC于點(diǎn)

E,連接BD,則tanNDBC的值為（）

D

A.1B.J2-1C.2-J3D.工

34

【考點(diǎn)】T7：解直角三角形；KW：等腰直角三角形.

【專題】選擇題_

【分析】利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)推知BC=J，AC,DE=EC=^DC,然后

通過解直角aDBE來求tanZDBC的值.

【解答】解：?.?在^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

，NABC=NC=45°,BC=?AC.

又.??點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，

，AD=DCJAC.

2

'.,DELBC于點(diǎn)E,

/.ZCDE=ZC=45°,

.?.DE=EC=^DC=^AC.

24

亞AC

/.tanZDBC=--.4」

BEV2AC-^-AC飛

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì).通過解直角

三角形，可求出相關(guān)的邊長(zhǎng)或角的度數(shù)或三角函數(shù)值.

5.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則NABC

的正切值是（）

A.2B.空&C.逅D.工

552

【考點(diǎn)】Tl：銳角三角函數(shù)的定義；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理.

【專題】選擇題

【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC、AB的長(zhǎng)，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案.

【解答】解：如圖:

由勾股定理，得_

AC=A/2?AB=2&,BC=y/lQ,

.二△ABC為直角三角形，

tanZB=—=—,

AB2

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出AC、AB的長(zhǎng)，再求正切函數(shù).

6.已知在RtaABC中，ZC=90°,sinA=3,則tanB的值為()

5

【考點(diǎn)】T1：銳角三角函數(shù)的定義；T4：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系.

【專題】選擇題

【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解，也可以利用互為余角的三角函

數(shù)關(guān)系式求解.

【解答】解：解法1：利用三角函數(shù)的定義及勾股定理求解.

?.?在RtaABC中，ZC=90°,

/.sinA=—,tanB=>^|]a2+b2=c2.

VsinA=—,設(shè)a=3x,則c=5x,結(jié)合a?+b2=c2得b=4x.

5

/.tanB=~^~=4x.

a3x3

解法2：利用同角、互為余角的三角函數(shù)關(guān)系式求解.

,:A、B互為余角，

/.cosB=sin(90°-B)=sinA=—.

5

XVsin2B+cos2B=l,

?'-sinB=Vl-cos2B=f,

4_

/.tanB=必記="|-=—.

cosBA3

5

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的

方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值.

7.如圖，一個(gè)小球由地面沿著坡度i=l：2的坡面向上前進(jìn)了10m,此時(shí)小球距

離地面的高度為（）

A.5mB.2娓mC.4泥mD.m

【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】選擇題

【分析】可利用勾股定理及所給的比值得到所求的線段長(zhǎng).

【解答】解：*.?AB=10米，tanA=弛」.

AC2

??.設(shè)BC=x,AC=2x,

由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,BP100=X2+4X2,解得x=2遙,

，AC=4旄，BC=2娓米.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，能從實(shí)際問題中

整理出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

8.如圖，在菱形ABCD中，DE±AB,BE=2,則tan/DBE的值（）

5

【考點(diǎn)】T7：解直角三角形；L8：菱形的性質(zhì).

【專題】選擇題

【分析】在直角三角形ADE中，cosA=W空望迦，求得AD,AE.再求得DE,

5ADAD

即可得到tanNDBE=些.

BE

【解答】解：設(shè)菱形ABCD邊長(zhǎng)為t.

VBE=2,

AAE=t-2.

VcosA=—,

5

???A一E-3匚?

AD5

?t-2-3

"~T5"

/.t=5.

/.AE=5-2=3.

*#,DE=VAD2-AE2=752-32=4'

tanNDBE=.55.=A=2.

BE2

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的

關(guān)系.

9.直角三角形兩直角邊和為7,面積為6,則斜邊長(zhǎng)為（）

A.5B.技C.7D.738

【考點(diǎn)】AD：一元二次方程的應(yīng)用；KQ：勾股定理.

【專題】選擇題

【分析】可設(shè)直角三角形一直角邊為X,則另一直角邊為7-X,由面積為6作為

相等關(guān)系列方程求得x的值，進(jìn)而求得斜邊的長(zhǎng).

【解答】解：設(shè)直角三角形一直角邊為x,則另一直角邊為7-X,

根據(jù)題意得Lx（7-x）=6,

2

解得x=3或x=4,

所以斜邊長(zhǎng)為底彳=5.

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】可根據(jù)直角三角形的面積公式列出關(guān)于直角邊的方程，解得直角邊的長(zhǎng)

再根據(jù)勾股定理求斜邊的長(zhǎng).熟練運(yùn)用勾股定理和一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，某飛機(jī)在空中A處探測(cè)到它的正下方地平面上目標(biāo)C,此時(shí)飛行高度

AC=1200m,從飛機(jī)上看地平面指揮臺(tái)B的俯角a=30。，則飛機(jī)A與指揮臺(tái)B的

距離為（）

a

1200加

--------------------UC

A.1200mB.1200V2mC.120073mD.2400m

【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】選擇題

【分析】首先根據(jù)圖示，可得NABC=Na=30。，然后在RtAABC中，用AC的長(zhǎng)度

除以sin30。，求出飛機(jī)A與指揮臺(tái)B的距離為多少即可.

【解答】解：VZABC=Za=30°,

.?.AB=—AC^=1^0CL=2400(m),

sin30

2

即飛機(jī)A與指揮臺(tái)B的距離為2400m.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，要熟練掌握，解

答此題的關(guān)鍵是要善于讀懂題意，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題

加以解決.

11.如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從

一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，間小鳥至少飛行10米.

【考點(diǎn)】KU：勾股定理的應(yīng)用.

【專題】填空題

【分析】根據(jù)"兩點(diǎn)之間線段最短"可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行,

所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出.

【解挈解:如圖，設(shè)大樹高為AB=12m,

小樹高為CD=6m,

過C點(diǎn)作CELAB于E,則四邊形EBDC是矩形，

連接AC,

，EB=6m,EC=8m,AE=AB-EB=12-6=6(m),

在RtAAEC中,

AC=5y62+g2=10(m).

故小鳥至少飛行10m.

故答案為：10.

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際得出直角三角形，培養(yǎng)學(xué)生解決

實(shí)際問題的能力.

12.如圖，有一滑梯AB,其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度BC為2.8米，則/

A的度數(shù)約為278。（用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算，結(jié)果精確到0.1。）.

【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】填空題

【分析】直接利用坡度的定義求得坡角的度數(shù)即可.

【解答】解：VtanZA=^-=-^^0.5283,

AC5.3

，ZA=27.8°,

故答案為：27.8。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坡度坡角的知識(shí)，解題時(shí)注意坡角的正切值等于鉛直高度與

水平寬度的比值，難度不大.

13.小蘭想測(cè)量南塔的高度.她在A處仰望塔頂，測(cè)得仰角為30。，再往塔的方

向前進(jìn)50m至B處，測(cè)得仰角為60。，那么塔高約為43.3m.（小蘭身高忽略

不計(jì)，取我=1.732）

【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】填空題

【分析】從題意可知AB=BD=50m,至B處，測(cè)得仰角為60。，sin6（T=匹?.可求

BD

出塔高.

【解答】解：VZDAB=30°,ZDBC=60°,

，BD=AB=50m.

.,.DC=BD?sin60°=50X返=43.3.

2

故答案為:43.3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角找到直角三角形各邊之間的

聯(lián)系，從而求解.

14.等腰三角形的腰長(zhǎng)為2,腰上的高為1,則它的底角等于15。或75。..

【考點(diǎn)】KH：等腰三角形的性質(zhì)；KQ：勾股定理.

【專題】填空題

【分析】此題分兩種情況，當(dāng)頂角為銳角時(shí)，利用勾股定理，AD的長(zhǎng)，然后即

可得出NABD=60。，可得頂角度數(shù).同理即可求出頂角為鈍角時(shí)，底角的度數(shù).

【解答】解；如圖1,AABC中，AB=AC=2,BD為腰上的高，且BD=1,

頂角為銳角，

VAD2=AB2-BD2,

/.AD2=4-1=3,

.,.AD=b，

/.ZABD=60o,

.??頂角為30。,底角為75。；

如圖2,AABC中，AB=AC=2,BD為腰上的高，且BD=1,

頂角為鈍角

同理可得，底角為15。.

故答案為：15?；?5。.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是

利用分類討論的思想進(jìn)行分析，對(duì)頂角為銳角和頂角為鈍角時(shí)分別進(jìn)行分析.

15.如圖，已知Rt^ABC中，斜邊BC上的高AD=4,cosB=&,貝UAC=5.

5-------

【考點(diǎn)】T7：解直角三角形.

【專題】填空題

【分析】根據(jù)題中所給的條件，在直角三角形中解題.根據(jù)角的正弦值與三角形

邊的關(guān)系，可求出AC.

【解答】解：,在Rt^ABC中，cosB=&,

5

/.sinB=—,tanB=s^-n^=—.

5cosB4

???在RtAABD中AD=4,

AD420

/.AB=-

sinB33

5

在RtAABC中，

tanB=—,

AB

.".AC=2.X22.=5.

43

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的

關(guān)系.

16.如圖，AABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA=在

-5

【考點(diǎn)】T1：銳角三角函數(shù)的定義.

【專題】填空題

【分析】在直角4ABD中利用勾股定理求得AD的長(zhǎng),然后利用正弦的定義求解.

【解答】解:在直角4ABD中，BD=1,AB=2,

則入。寸AB2+BD2=/22+產(chǎn)娓,

貝|JsinA&=3=?

ADV55

故答案是：S.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為

對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊.

17.如圖1是小志同學(xué)書桌上的一個(gè)電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾

何圖形，已知BC=BD=15cm,NCBD=40。，則點(diǎn)B到CD的距離為14.1cm（參

考數(shù)據(jù)sin20°—0.342,cos20°20.940,sin40°=0.643,cos40°^0.766,結(jié)果精確

到0.1cm,可用科學(xué)計(jì)算器）.

圖1圖2

【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】填空題

【分析】作BE1.CD于E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和NCBD=40。，求出NCBE的度

數(shù)，根據(jù)余弦的定義求出BE的長(zhǎng).

【解答】解：如圖2,作BE_LCD于E,

VBC=BD,ZCBD=40°,

/.ZCBE=20°,

在RtZ\CBE中，cosZCBE=^,

BC

.*.BE=BC?cosZCBE

=15X0.940

=14.1cm.

故答案為：14.1.

CED

圖1圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的

關(guān)鍵，作出合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的重要環(huán)節(jié).

18.（3分）如圖,在四邊形ABCD中，ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=6,CD=9,則

AB=_8V3_-

月

60°\

D

B

【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；K0：含30度角的直角三角形.

【專題】填空題

【分析】過點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E,CFLDE于F,可得四邊形BCFE為矩形，根

據(jù)NA=60°,可得出NADE=30°,根據(jù)/D=90°,可求得NCDE=60°,ZDCF=30°,在

△CDF中，根據(jù)CD=9,分別求出CF,DF的長(zhǎng)度，然后在4ADE中，求出AE的

長(zhǎng)度，繼而可求出AB的長(zhǎng)度.

【解答】解：過點(diǎn)D作DE_LAB于點(diǎn)E,CUDE于F,

則有四邊形BCFE為矩形，BC=EF,BE=CF,

VZA=60°,

，ZADE=30°,

VZD=90°,

AZCDE=60°,ZDCF=30°,

在4CDF中，

VCD=9,

.?.CF=LCD=2,CF=2/1CD=-^I,

2222

VEF=BC=6,

；.DE=EF+DF=6+2=9，

22

則AE，r=鬼I,

a2

/.AB=AE+BE=I^+^S=8?.

22

故答案為：8?.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的知識(shí)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，注意

掌握在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，難度一般.

19.(8分)計(jì)算下列各題：

①泥(2cos45°-sin60°)+返1；

_4

(2)(-2)0-3tan30°+|V3-2.

【考點(diǎn)】2C：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；6E：零指數(shù)累；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】解答題

【分析】(1)原式利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，合并同類二次根式化簡(jiǎn)得到結(jié)果;

⑵原式第一項(xiàng)利用零指數(shù)幕法則計(jì)算，第二項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，最

后一項(xiàng)利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果._

【解答】解：⑴原式=&X(2*返-返)+馬尼=2-返+返=2；

22422

（2）原式=1-3X返+2-V3=3-2對(duì).

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，涉及的知識(shí)有：零指數(shù)、負(fù)指數(shù)毒，特殊角的

三角函數(shù)值，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

20.（7分）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，九年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們測(cè)量校園內(nèi)

一棵大樹（如圖）的高度，設(shè)計(jì)的方案及測(cè)量數(shù)據(jù)如下：

⑴在大樹前的平地上選擇一點(diǎn)A,測(cè)得由點(diǎn)A看大樹頂端C的仰角為35°；

⑵在點(diǎn)A和大樹之間選擇一點(diǎn)B（A,B,D在同一直線上），測(cè)得由點(diǎn)B看大樹

頂端C的仰角恰好為45°；

⑶量出A,B兩點(diǎn)間的距離為4.5米.

請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出大樹CD的高度.（精確到0.1米）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：

sin35°^0.57,cos35°^0.82,tan35°^0.70）

DBA

【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解答題

【分析】首先分析圖形：本題涉及到兩個(gè)直角三角形aDBC、AADC,應(yīng)利用其

公共邊CD構(gòu)造等量關(guān)系，借助AB=AD-DB=4.5構(gòu)造方程關(guān)系式，進(jìn)而可求出答

案.

【解答】解：設(shè)CD=x米；

VZDBC=45°,

DB=CD=x,AD=x+4.5；

在Rt^ACD中，tanNA=空，

AD

/.tan35°=——--；

x+4.5

解得：x=10.5；

所以大樹的高為10.5米.

解法2：在Rt/XACD中，tan/A=里，/.AD=―^―；

ADtan35

在Rt-CD中，tanNCBD=%，，BD=―；

BDtan45

而AD-BD=4.5,

即_?—--CD.-..=4.5,

tan350tan450

解得：CD=10.5；

所以大樹的高為10.5米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角

形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

21.（7分）每年的5月15日是"世界助殘日"，我區(qū)時(shí)代超市門前的臺(tái)階共高出

地面1.2米，為幫助殘疾人，便于輪椅行走，準(zhǔn)備拆除臺(tái)階換成斜坡，又考慮安

全，輪椅行走斜坡的坡角不得超過9。，已知此商場(chǎng)門前的人行道距門前垂直距離

為8米（斜坡不能修在人行道上），問此商場(chǎng)能否把臺(tái)階換成斜坡？（參考數(shù)據(jù)：

sin9°=0.1564,cos9°=0.9877,tan9°=0.1584）

8米

【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解答題

【分析】先求得拆除臺(tái)階換成斜坡后的坡角，與9。比較，再判斷是否能把樓梯換

成斜坡.

【解答】解：由于臺(tái)階共高出地面1.2米，商場(chǎng)門前的人行道距門前垂直距離為

8米，

則拆除臺(tái)階換成斜坡后的坡角的正切值為tana=L2=0.15Vtan9。，

因此，此商場(chǎng)能把臺(tái)階換成斜坡.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力.

22.（8分）如圖，為了測(cè)量某建筑物CD的高度，先在地面上用測(cè)角儀自A處測(cè)

得建筑物頂部的仰角是30。，然后在水平地面上向建筑物前進(jìn)了100m,此時(shí)自B

處測(cè)得建筑物頂部的仰角是45。.已知測(cè)角儀的高度是1.5m,請(qǐng)你計(jì)算出該建筑

物的高度.（取后1.732,結(jié)果精確到1m）

4K10°B,

#?一100T

------1---------"D

【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解答題

【分析】根據(jù)CE=xm,則由題意可知BE=xm,AE=（x+100）m,再利用解直角得

出x的值，即可得出CD的長(zhǎng).

【解答】解：設(shè)CE=xm,則由題意可知BE=xm,AE=（x+100）m.

在Rt/XAEC中，tanNCAE=%,

即tan30°=—上—

x+100

~---，

x+100

3X=V3(X+100),

解得x=50+50?=136.6,

CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1^138（m）.

答：該建筑物的高度約為138m.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)tanNCAE=%得出x的值是

AE

解決問題的關(guān)鍵.

23.（8分）已知：如圖，在山腳的A處測(cè)得山頂D的仰角為45。，沿著坡度為

30。的斜角前進(jìn)400米處到B處（即NBAC=30。，AB=400米），測(cè)得D的仰角為

60°,求山的高度CD.

【考點(diǎn)】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解答題

【分析】在RtaAFB中，根據(jù)AB=400米，NBAF=30。，求出BF、AF的長(zhǎng)度，然

后證明四邊形BFCE是矩形，設(shè)BE=x米，在RtZ\BDE中，用x表示出DE的長(zhǎng)度，

然后根據(jù)AC=DC,代入求出x的值，繼而可求得山高.

【解答】解：過B作BFLAC于F,

在RtAAFB中，

?.,AB=400米，ZBAF=30°,

.?.BF」AB=Lx400=200（米），

22_

AF=AB*COS30°=200V3（米），

VBF1AC,BE1DC,

四邊形BFCE是矩形,

EC=BF=200米，

設(shè)BE=x米，則FC=x米，

在RtADBE中，

VZDBE=60°,

.,.DE=tan60°*BE=V3<（米），

VZDAC=45°,ZC=90°,

,ZADC=45°,

，AC=DC,

VAC=AF+FC=（2OOV5+X）米，

DC=DE+EC=（后+200）米，

解得:x=200,

ADC=DE+EC=2OOV3+2OO（米）.

答：山的高度BC約為（200A/3+200）米.

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角

三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)解直角三角形，難度一般.

24.(8分)一段路基的橫斷面是直角梯形，如圖1,已知原來坡面的坡角a的正

弦值為06現(xiàn)不改變土石方量，全部利用原有土石方進(jìn)行坡面改造，使坡度變

小，達(dá)到如右下圖2的技術(shù)要求.試求出改造后坡面的坡度是多少？

圖1圖2

【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.

【專題】解答題

【分析】由已知可求EC=40m.在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的

前提下進(jìn)行坡面改造，使坡度變小，則梯形ABCD面積=梯形AiBiJD面積，可再

求出EG=80(m),即可求出改建后的坡度i=BiE：ECi=20：80=1：4.

【解答】解:由圖可知:BE1DC,BE=30m,sina=0.6,

在RtABEC中,

BC=--BE-^0-=5O(m),

sin。0.6

在RTABEC中EC2=BC2-BE2,BE=30m,

由勾股定理得，EC=40m.

在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下進(jìn)行坡面改造，使坡度變

小，

則梯形ABCD面積=梯形AiBiCiD面積，

.?.Lx(20+60)X30=1X20(20+20+ECi)

22

解得ECi=80(m),

改建后的坡度i=BiE：ECi=20：80=1：4.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要是運(yùn)用所學(xué)的解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際生活中的問題.分

析梯形ABCD面積=梯形AiBiCiD面積，是解題的關(guān)鍵；還要熟悉坡度公式.

25.(10分)如圖，已知RtZ\ABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，過

點(diǎn)A作AE_LCD,AE分別與CD、CB相交于點(diǎn)H、E,AH=2CH.

⑴求sinB的值；

(2)如果CD=娓，求BE的值.

【考點(diǎn)】T7：解直角三角形；KP：直角三角形斜邊上的中線.

【專題】解答題

【分析】⑴根據(jù)NACB=90。，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD,則NB=N

BCD,再由AELCD,可證明/B=NCAH,由AH=2CH,可得出CH：AC=1：疾,即

可得出sinB的值；__

⑵根據(jù)sinB的值，可得出AC：AB=1：后再由AB=2加，得AC=2,則CE=1,從

而得出BE.

【解答】解：⑴?.,NACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，

/.CD=BD,

，NB=NBCD,

VAE±CD,

/.ZCAH+ZACH=90°,

又NACB=90°

/.ZBCD+ZACH=90°

.*.ZB=ZBCD=ZCAH,即NB=NCAH,

VAH=2CH,

，由勾股定理得AC=J^CH,

ACH：AC=1：娓,

.".sinB=^^；

5

(2)VsinB=^,

5_

AAC：AB=1：娓,

/.AC=2.

VZCAH=ZB,

/.sinZCAH=sinB=^^=^=,

5遍_

設(shè)CE=x(x>0),則AE=J^x,則X?+22=(泥X)2,

ACE=x=l,AC=2,

在RSABC中，AC2+BC2=AB2,

?.?AB=2CD=2遙，

/.BC=4,

BE=BC-CE=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，以及直角三角形斜邊上的中線，注意性質(zhì)的

應(yīng)用，難度不大.

26.（10分）如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收

到故障船c的求救信號(hào).已知A、B兩船相距100（遮+3）海里，船C在船A的

北偏東60。方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測(cè)點(diǎn)D,測(cè)得船C

正好在觀測(cè)點(diǎn)D的南偏東75。方向上.

⑴分別求出A與C,A與D之間的距離AC和AD（如果運(yùn)算結(jié)果有根號(hào)，請(qǐng)保留

根號(hào)）.

⑵已知距觀測(cè)點(diǎn)D處200海里范圍內(nèi)有暗礁.若巡邏船A沿直線AC去營(yíng)救船

C,在去營(yíng)救的途中有無觸暗礁危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：血心1.41,73^1.73）

【考點(diǎn)】TB：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.

【專題】解答題

【分析】⑴作CE_LAB于點(diǎn)E,則NABC=45°,ZBAC=60°,設(shè)AE=x海里，在立△

AEC中，CE=AE*tan60",在RtABCE中，BE=CE=&x,由AE+BE=x+g=100（3+

遮）求出x的值，再根據(jù)AC=2x得出AC的值，在4ACD中，由NDAC=60。，Z

ADC=75。得出NACD=45。.過點(diǎn)D作DF_LAC于點(diǎn)F,設(shè)AF=y,則DF=CF=by,根

據(jù)AC=y+by=200?求出y的值，故可得出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論；

⑵根據(jù)⑴中的結(jié)論得出DF的長(zhǎng)，再與200相比較即可.

【解答】解:（1）作CE_LAB于點(diǎn)E,則NABC=45。，NBAC=60。，設(shè)AE=x海里，

?.?在RgAEC中，CE=AE?tan60°=?x,

在RtABCE中，BE=CE=@,

.?.AE+BE=x+V3x=100（3+遂），解得x=100?,

.,.AC=2x=200V3.

在4ACD中，

VZDAC=60°,ZADC=75°,

，ZACD=45°.

過點(diǎn)D作DF±AC于點(diǎn)F,設(shè)AF=y,則DF=CF=J^y,

.,.AC=y+V3Y=200V3，解得y=100（3-?）,

/.AD=2y=200（3-遂）.

答：A與C之間的距離AC為200?海里，A與D之間的距離AD為200（3-加）

海里；

（2：?由⑴可知，DF=?AF=bxi00（3-遮）Q219.

V219>200,

二巡邏船A沿直線AC去營(yíng)救船C,在去營(yíng)救的途中無觸暗礁危險(xiǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題意作出輔助線,

構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

單元測(cè)試卷（二）

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1.斜坡的傾斜角為a,一輛汽車沿這個(gè)斜坡前進(jìn)了500米，則它上升的高度是（）

A.500?sina米B.了嗎_米C.500?cosa米D.—_米

sinCIcosCL

2.如圖，^ABC的項(xiàng)點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cosC的值為（）

3.如圖，RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AD±BC-fD,設(shè)NABJa,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（)

A

A.BC=-----------B.CD=AD*tanaC.BD=ABcosaD.AC=ADcosa

sina

4.如圖，若AABC和ADEF的面積分別為Si、S2,則（）

A.Si=—s2B.

2

5.如圖，為了測(cè)量河岸A,B兩點(diǎn)的距離,在與AB垂直的方向上取點(diǎn)C,測(cè)得

AC=a,NABC=a,那么AB等于（）

A.a>sinaB.a>cosaC.a*tanaD.—5—

tanCl

6.如圖，小麗用一個(gè)兩銳角分別為30。和60。的三角尺測(cè)量一棵樹的高度，已知

她與樹之間的距離為9.0m,眼睛與地面的距離為1.6m,那么這棵樹的高度大約

是（）

A.5.2mB.6.8mC.9.4mD.17.2m

7.如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點(diǎn)經(jīng)過旗桿頂點(diǎn)恰好看到矮

建筑物的墻角C點(diǎn)，且俯角a為60。，又從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角。為30。，若旗

桿底點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，則矮建筑物的高CD為（）

R

A.20米B.10正米C.米D.而米

8.如圖，小敏同學(xué)想測(cè)量一棵大樹的高度.她站在B處仰望樹頂，測(cè)得仰角為

30°,再往大樹的方向前進(jìn)4m,測(cè)得仰角為60°,已知小敏同學(xué)身高（AB）為1.6m,

則這棵樹的高度為（）（結(jié)果精確至I0.1m,73%1.73）.

A.3.5mB.3.6mC.4.3mD.5.1m

二、填空題（每小題5分，共20分）

9.如圖，兩建筑物的水平距離BC為18m,從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角a為30。，測(cè)

得C點(diǎn)的俯角P為60°.則建筑物CD的高度為m（結(jié)果不作近似計(jì)算）.

10.如圖，AC是操場(chǎng)上直立的一個(gè)旗桿，從旗桿上的B點(diǎn)到地面C涂著紅色的

油漆，用測(cè)角儀測(cè)得地面上的D點(diǎn)到B點(diǎn)的仰角是/BDC=45。，到A點(diǎn)的仰角是

NADC=60。（測(cè)角儀的高度忽略不計(jì)）如果BC=3米，那么旗桿的高度AC=米.

11.如圖，小明在測(cè)量旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)地面上有一灘積水，他剛好

能從積水中看到旗桿的頂端，測(cè)得積水與旗桿底部距離CD=6米，他與積水的距

離BC=1米，他的眼睛距離地面AB=1.5米，則旗桿的高度DE=米.

BC.D

12.如圖，某山頂上建有手機(jī)信號(hào)中轉(zhuǎn)塔AB,在地面D處測(cè)得塔尖的仰角N

ADC=60°,塔底的仰角NBDC=45。，點(diǎn)D距塔AB的距離DC為100米，手機(jī)信號(hào)

中轉(zhuǎn)塔AB的高度為米（結(jié)果保留根號(hào)）.

三、解答題（共56分）

13.（6分）在一個(gè)陽(yáng)光明媚，微風(fēng)習(xí)習(xí)的周末，小明和小強(qiáng)一起到聶耳文化廣場(chǎng)

放風(fēng)箏，放了一會(huì)兒，兩個(gè)人爭(zhēng)吵起來：

小明說："我的風(fēng)箏飛得比你的高

小強(qiáng)說："我的風(fēng)箏引線比你的長(zhǎng)，我的風(fēng)箏飛得更高

誰的風(fēng)箏飛得更高呢？于是他們將兩個(gè)風(fēng)箏引線的一段都固定在地面上的C處

（如圖），現(xiàn)已知小明的風(fēng)箏引線（線段AC）長(zhǎng)30米，小強(qiáng)的風(fēng)箏引線（線段

BC）長(zhǎng)36米，在C處測(cè)得風(fēng)箏A的仰角為60。，風(fēng)箏B的仰角為45。，請(qǐng)通過計(jì)

算說明誰的風(fēng)箏飛得更高？__

（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：正心1.41,73^1.73）

14.（8分）如圖，一熱氣球在距地面90米高的P處，觀測(cè)地面上點(diǎn)A的俯角為

60。，氣球以每秒9米的速度沿AB方向移動(dòng)，5秒到達(dá)Q處，此時(shí)觀測(cè)地面上點(diǎn)

B的俯角為45。.（點(diǎn)P,Q,A,B在同一鉛直面上）.

（1）若氣球從Q處繼續(xù)向前移動(dòng)，方向不變，再過幾秒位于B點(diǎn)正上方？

⑵求AB的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）.

15.（6分）在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，要測(cè)量教學(xué)樓的高度AM.下面是兩位同學(xué)

的對(duì)話：

請(qǐng)你根據(jù)兩位同學(xué)的對(duì)話，結(jié)合圖形計(jì)算教學(xué)樓的高度AM.（參考數(shù)據(jù)：sin200

,cos20o：:?—,tan20°^—）

505025

16.（6分）國(guó)家海洋局將中國(guó)釣魚島最高峰命名為"高華峰"，并對(duì)釣魚島進(jìn)行常

態(tài)化立體巡航.如圖1,在一次巡航過程中，巡航飛機(jī)飛行高度為2001米，在

點(diǎn)A測(cè)得高華峰頂F點(diǎn)的俯角為30。，保持方向不變前進(jìn)1200米到達(dá)B點(diǎn)后測(cè)

得F點(diǎn)俯角為45。，如圖2.請(qǐng)據(jù)此計(jì)算釣魚島的最高海拔高度多少米.（結(jié)果保

留整數(shù)，參考數(shù)值：蟲=1.732,圾=1.414）

17.（6分）如圖，小方在五月一日假期中到郊外放風(fēng)箏，風(fēng)箏飛到C處時(shí)的線

長(zhǎng)為20米，此時(shí)小方正好站在A處，并測(cè)得NCBD=60。，牽引底端B離地面1.5

米，求此時(shí)風(fēng)箏離地面的高度（結(jié)果精確到個(gè)位）

18.（6分）如圖，小山頂上有一信號(hào)塔AB,山坡BC的傾角為30。，現(xiàn)為了測(cè)量

塔高AB,測(cè)量人員選擇山腳C處為一測(cè)量點(diǎn)，測(cè)得塔頂仰角為45。，然后順山坡

向上行走100米到達(dá)E處，再測(cè)得塔頂仰角為60。，求塔高AB（結(jié)果保留整數(shù),

正心1.73,&七1.41）

19.（8分）天塔是天津市的標(biāo)志性建筑之一，某校數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量天塔的高

度，如圖，他們?cè)邳c(diǎn)A處測(cè)得天塔最高點(diǎn)C的仰角為45。，再往天塔方向前進(jìn)至

點(diǎn)B處測(cè)得最高點(diǎn)C的仰角為54°,AB=112m,根據(jù)這個(gè)興趣小組測(cè)得的數(shù)據(jù),

計(jì)算天塔的高度CD（tan36°^0.73,結(jié)果保留整數(shù)）.

45°,

BD

20.（10分）如圖，一只貓頭鷹蹲在一棵樹AC的B（點(diǎn)B在AC上）處，發(fā)現(xiàn)一

只老鼠躲進(jìn)短墻DF的另一側(cè)，貓頭鷹的視線被短墻遮住，為了尋找這只老鼠，

它又飛至樹頂C處，已知短墻高DF=4米，短墻底部D與樹的底部A的距離為2.7

米，貓頭鷹從C點(diǎn)觀測(cè)F點(diǎn)的俯角為53。，老鼠躲藏處M（點(diǎn)M在DE上）距D

點(diǎn)3米.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°^0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75）

⑴貓頭鷹飛至C處后，能否看到這只老鼠？為什么？

⑵要捕捉到這只老鼠，貓頭鷹至少要飛多少米（精確到0.1米）？

5、''、

DGF.

答案解析

1.斜坡的傾斜角為a,一1輛汽車沿這個(gè)斜坡前進(jìn)了500米，則它上升的高度是（）

A.500?sina米B.―5。。-米c.500?cosa米D.—