高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊(cè)同步單元測(cè)試AB卷(新高考)專題8不等式與基本不等式單元測(cè)試(B)(原卷版+解析)

第二章專題8不等式與基本不等式(B）命題范圍：第一章，等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)，基本不等式高考真題：1．（2018·北京·高考真題（理））設(shè)集合則()A．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，B．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2,1）C．當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),（2,1）D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),（2,1）2．（北京·高考真題（理））如果正數(shù)滿足，那么（）A．，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一B．，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一C．，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一D．，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一3．（2020·天津·高考真題）已知，且，則的最小值為_________．牛刀小試第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2021·北京市第十二中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是的三邊長(zhǎng)，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則這個(gè)三角形是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．不確定3．（2022·四川·遂寧中學(xué)高一期末（理））若，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．4．（2022·四川自貢·高一期末（文））對(duì)任意實(shí)數(shù)，命題：①若，則；②若，則；③若，則.④若，則，其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，且，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A．11 B．9 C．8 D．67．（2022·四川內(nèi)江·高一期末（文））已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．8．（2022·四川內(nèi)江·高一期末（理））已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，若的最小值為4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2021·山東·陵城一中高一期中）已知，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．10．（2022·湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)高一期末）下列說法不正確的有（

）A．命題“，”的否定為“，”B．若，，則一定有C．若，則D．若，，則11．（2021·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．12．（2022·安徽省利辛縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知正數(shù)m，n滿足2m+3n＝2，則的值可能為（

）A．3 B．4 C．5 D．6第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2019·北京·北理工附中高一期中）《九章算術(shù)》第八章“方程”問題：今有牛五，羊二，直金十兩：牛二，羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？牛直__________金，羊直__________金．14．（2022·貴州·六盤水市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，則的最小值為___________.15．（2022·四川自貢·高一期末（文））已知，若且，則的最大值為___________.16．（2022·四川資陽·高一期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則最小值為______．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高一期末）（1）已知，求的最小值；（2）已知是正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．18．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）比較與)的大小.19．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）比較與的大??；（2）已知，求證：．20．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的最小值；(2)求證：．21．（2021·江西省銅鼓中學(xué)高一階段練習(xí)（文））（1）已知，均為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值.（2）已知，，均為正實(shí)數(shù)，且，求證：.22．（2022·四川樂山·高一期末）某水庫堤壩因年久失修，發(fā)生了滲水現(xiàn)象，當(dāng)發(fā)現(xiàn)時(shí)已有的壩面滲水，經(jīng)測(cè)算知滲水現(xiàn)象正在以每天的速度擴(kuò)散，當(dāng)?shù)卣e極組織工人進(jìn)行搶修，已知每個(gè)工人平均每天可搶修滲水面積，每人每天所消耗的維修材料費(fèi)25元，勞務(wù)費(fèi)75元，另外給每人發(fā)放100元的服裝補(bǔ)貼，每滲水的損失為75元．現(xiàn)在共派去x名工人，搶修完成共用n天．(1)寫出n關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使總損失最小，應(yīng)派多少名工人去搶修（總損失=滲水損失+政府支出）．第二章專題8不等式與基本不等式(B）命題范圍：第一章，等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)，基本不等式高考真題：1．（2018·北京·高考真題（理））設(shè)集合則()A．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，B．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2,1）C．當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),（2,1）D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),（2,1）【答案】D【解析】【詳解】分析：求出及所對(duì)應(yīng)的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：若，則且，即若，則，此命題的逆否命題為：若，則有，故選D.2．（北京·高考真題（理））如果正數(shù)滿足，那么（）A．，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一B．，且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一C．，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一D．，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一【答案】A【解析】【詳解】正數(shù)滿足，∴4=，即，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，“=”成立；又4=，∴c+d≥4，當(dāng)且僅當(dāng)c=d=2時(shí)，“=”成立；綜上得，且等號(hào)成立時(shí)的取值都為2，選A．3．（2020·天津·高考真題）已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號(hào)，結(jié)合,解得，或時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：牛刀小試第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2021·北京市第十二中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由不等式的運(yùn)算性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由題意，.故選：B.2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知是的三邊長(zhǎng)，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則這個(gè)三角形是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．不確定【答案】A【解析】【分析】方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即，解方程可得或，又，故判斷三角形的形狀.【詳解】方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，又有，或，又，故是等腰三角形.故選：A3．（2022·四川·遂寧中學(xué)高一期末（理））若，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：令，，滿足，但不滿足，故A錯(cuò)誤；，，故B錯(cuò)誤；，，，，，故C正確；，，故D錯(cuò)誤．故選：C．4．（2022·四川自貢·高一期末（文））對(duì)任意實(shí)數(shù)，命題：①若，則；②若，則；③若，則.④若，則，其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】取可判斷①的正誤；取可判斷②的正誤；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷③的正誤；判斷的正負(fù)判斷即可【詳解】對(duì)于①，若，，則，①錯(cuò)；對(duì)于②，若，則，②錯(cuò)；對(duì)于③，若，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，③對(duì)；對(duì)于④，若，則，則，④對(duì)故選：C5．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，且，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A，利用基本不等式判斷，對(duì)于B，由已知結(jié)合完全平方式判斷，對(duì)于C，舉例判斷，對(duì)于D，利用基本不等式判斷【詳解】對(duì)于A，由基本不等式可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以B正確，對(duì)于C，若，則，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，且，所以，，所以且，所以D正確，故選：C6．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A．11 B．9 C．8 D．6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可由積為定值求和的最小值.【詳解】，因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A7．（2022·四川內(nèi)江·高一期末（文））已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．【答案】B【解析】【分析】由題可知，再利用基本不等式即得.【詳解】∵正實(shí)數(shù)a、b滿足，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故選：B.8．（2022·四川內(nèi)江·高一期末（理））已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，若的最小值為4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意可得=，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以有，將化為，再利用基本不等式可求得的范圍.【詳解】解：因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，=，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有，又因?yàn)?，所以，由基本不等式可知（時(shí)等號(hào)成立），所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2021·山東·陵城一中高一期中）已知，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】【分析】直接推導(dǎo)否定選項(xiàng)AC，直接推導(dǎo)證明選項(xiàng)BD正確.【詳解】選項(xiàng)A：由，可得.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由，可得，則，則.判斷正確；選項(xiàng)C：由，可得，則，則.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由，可得，則.判斷正確.故選：BD10．（2022·湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)高一期末）下列說法不正確的有（

）A．命題“，”的否定為“，”B．若，，則一定有C．若，則D．若，，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可判斷A，根據(jù)同號(hào)可乘性可判斷B，根據(jù)基本不等式可判斷C，根據(jù)作差法可判斷D.【詳解】命題“，”的否定為“，”,故A錯(cuò)誤；，，不一定有，如則，故B錯(cuò)誤，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故C正確；，當(dāng)，時(shí)，，但的正負(fù)不能確定，故無法確定正負(fù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABD11．（2021·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式，分別判斷ACD，再利用做差比較法，判斷B.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，故A一定成立由做差比較法,，可知成立故B一定成立．因?yàn)樗裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以不一定成立，故C不成立．因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D一定成立.故選：ABD12．（2022·安徽省利辛縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知正數(shù)m，n滿足2m+3n＝2，則的值可能為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】CD【解析】【分析】利用“1”的代換法求出的最小值，和各選項(xiàng)進(jìn)行比較即可.【詳解】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，故，則，則，觀察可知，CD符合．故選：CD.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2019·北京·北理工附中高一期中）《九章算術(shù)》第八章“方程”問題：今有牛五，羊二，直金十兩：牛二，羊五，直金八兩．問牛、羊各直金幾何？牛直__________金，羊直__________金．【答案】

【解析】【分析】設(shè)每頭牛值金兩，每只羊值金兩，由題意，列出方程組求解即可．【詳解】設(shè)每頭牛值金兩，每只羊值金兩，由題意可得，解得，所以每頭牛值金兩，每只羊值金兩．故答案為：；．14．（2022·貴州·六盤水市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式所需的“積為定值”即可求解.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為.故答案為：.15．（2022·四川自貢·高一期末（文））已知，若且，則的最大值為___________.【答案】##0.25【解析】【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】因?yàn)榍?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以的最大值為.故答案為：.16．（2022·四川資陽·高一期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則最小值為______．【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】正數(shù)，滿足：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)“”成立，故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高一期末）（1）已知，求的最小值；（2）已知是正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．【答案】（1）7；（2）．【解析】【分析】（1）由題可知，，利用基本不等式即可求解；（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.【詳解】（1）∵，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為7．，，．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．∴的最小值為．18．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）比較與)的大小.【答案】【解析】【分析】做差化簡(jiǎn)，分情況討論比較大小.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，即；當(dāng)時(shí)，，，即；綜上所得.19．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）比較與的大?。唬?）已知，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求差法進(jìn)行大小比較即可；（2）求差法去證明即可解決.【詳解】（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．20．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的最小值；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)所給的條件，得到a，b，c之間的關(guān)系，利用基本不等式即可；（2）所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為可以利用基本不等式的形式，再用基本不等式即可證明.(1)因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為；(2)因?yàn)?

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即.21．（2021·江西省銅鼓中學(xué)高一階段練習(xí)（文））（1）已知，均為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值.（2）已知，，均為正實(shí)