蘇教版選擇性必修第二冊(cè)6.1.3共面向量定理-2作業(yè)練習(xí)

【優(yōu)質(zhì)】6.1.3共面向量定理-2作業(yè)練習(xí)

一.單項(xiàng)選擇

1.在正四面體O—A3C中，OA=a,OB=b,OC=c。為8C的中點(diǎn)，E為AD

的中點(diǎn)，則用久40表示°后為（）

?12

OE——a+—b+—cOE——a-\—b+c

A.333B.23

OE=-a+—b+—cOE——a+—b+—c

C.222D.244

2.已知向量,Jb,c是空間的一個(gè)單位正交基底，向量"+“，。一”，°是空間的

另一個(gè)基底，若向量?在基底a,b,0下的坐標(biāo)為（3,2，D,則它在"+"，。一‘

下的坐標(biāo)為（）

3.以下四個(gè)命題中正確的是（）

A.空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示

B.若他，仇儲(chǔ)為空間向量的一組基底，則｛a+'/+ac+a｝構(gòu)成空間向量的另一組

基底

C.A"。為直角三角形的充要條件是四,ACn。

D.任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底

4.下列命題中正確的是（）

A.A5MN是空間中的四點(diǎn)，若3AM3N不能構(gòu)成空間基底，則A,5M,N

共面

B.已知I為空間的一個(gè)基底，若m=a+c,貝！jl''/也是空間的基底

八4、TI-（—2,0,—）

C.若直線/的方向向量為e=（L°，3）,平面a的法向量為3,則直線

Illa

D.若直線/的方向向量為.naoj）,平面a的法向量為"=（-2,0,2）,則直線/

與平面a所成角的正弦值為5

5.已知向量a=（3T2）/=（-6,2,f）,且。b,則/=（）

A.10B.-10C.4D.-4

6.有以下命題：①如果向量"力與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么

。力的關(guān)系是不共線；②OA5C為空間四點(diǎn)，且向量04,°民°C不構(gòu)成空間的

一個(gè)基底，那么點(diǎn)°，A3,0一定共面；③已知向量是空間的一個(gè)基底，則

向量-乩c,也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

7.在三棱錐P-ABC中，M為PA的中點(diǎn)，N在BC上，旦BN=2NC,貝（］（）

11711一4

MN=~PA+-PB+-PCMN=——PA——PB+-PC

A.233B.233

____i-i-.2—■I1--?

MN=-PA--PB+-PCMN=——PA+-PB一一PC

C.233D.233

8.長(zhǎng)方體44AA4-耳與不見的底面為邊長(zhǎng)為1的正方形，高為2,則集合

{x|x=432，4烏，iw{l,2,3,4},je{l,2,3,4}}中元素的個(gè)數(shù)為（）

9.若向量"=（42）/=0㈤，則a//b的充要條件是（）

A,左=—12B.左=12c.k=-3D.k—3

10已知a=（2，—L3）6—（—4,2,%）c=（1,—x,2）若（a+Z?）J_c則x等于（

A.4B.TC.2D.-6

11.已知A,B,C三點(diǎn)不共線，0是平面ABC外一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A,

B,C一定共面的是（）

A.OM=OA+OB+OCBOM=OA+2OB+3OC

OM=-OA+-OB+-OCOM=-OA+-OB+-OC

C.222D.333

CE=-ED

12.如圖，在棱長(zhǎng)均相等的四面體O—中，點(diǎn)。為鉆的中點(diǎn)，2,設(shè)

OA=a,OB=b,OC=c,則OE=（）

A.663B.333c.663p663

受

13.若向量"（1,41），“2,T-2）,且0與人的夾角余弦為6,則一等于（）

A.-3B.近C.-3或0D.2

14.已知向量”（°」/），"=（1<2，1）.若向量。+匕與向量。=（%2，"）平行，則實(shí)數(shù)

n的值是（）

A.6B.-6C.4D.-4

15.如圖，已知空間四邊形Q鉆C,其對(duì)角線為05AC,分別是對(duì)邊的

中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段上，MG=2GN,現(xiàn)用基向量°4°瓦℃表示向量0G,設(shè)

OG=x01+yO3+zOC,則x,y,z的值分別是（）

Q

111111

x=—,y=—,z=—x=—9y=—,z=—

A.333B.336

111111

x=-y=—9z=—x=—，y=-，z=-

39

C.63D>633

16.已知△*(：的三個(gè)頂點(diǎn)為A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),則BC邊上

的中線長(zhǎng)為()

A.2B.3C.4D.5

17.如圖，空間四邊形OABC中，°A=a,OB=b,OC=c,點(diǎn)M是0A的中點(diǎn)，點(diǎn)N在

BC±,且設(shè)MN=xa+yb+zc,貝上

CN=2NB,Gy,z的值為（）

O

112121

A.萬‘三‘三B.萬'W'M

121112

-9---,---------,---,---

C.233D.233

18.向量。=(—2,—3,l),b=(2,0,4),C=(—4,—6,2),

下列結(jié)論正確的是（）

AtzllCL

b,a\\cB/!b,aLca!!c.aLbD.以上都不對(duì)

參考答案與試題解析

1.【答案】D

【解析】利用向量加法和減法的運(yùn)算，用心A，表示出

【詳解】

OE=OA+AE=OA+-AD=OA+-(AB+AC)

=OA+-(OB-OA+OC-OA)

―?11-1-

OE=—a+—b+—c

???244

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)基底表示向量，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】可設(shè)向量二（°』，。）,c=（°，O，l）；由此求出向量一,再

設(shè)p=x（a+6）+y（a-6）+zc,列方程組求出x.》和z即可.

【詳解】

解：設(shè)向量〃=（10°）,,c=（o,o,i）；

則向量"+0=（1/，°）,。-力=（l,T0）,

又向量P=（321）,

貝ij(3,2,l)=(x+y,x_y,z)

x+y=3

x-y=2

z=l

5

z=I

解得-

所以向量P在"”入。下的坐標(biāo)為（2'2,人

故選，

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】根據(jù)空間向量基底的定義：任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基

底，逐一分析A,B,0可判斷這三個(gè)結(jié)論的正誤；根據(jù)向量垂直的充要條件，及直角

三角形的幾何特征，可判斷°的真假.

【詳解】

對(duì)A,空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)不共面的向量表示，A中忽略三個(gè)基底不共

面的限制，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,若他也①為空間向量的一組基底，則/4°三個(gè)向量互不共面；則

a+b,b+c,c+a,也互不共面，故｛a+6/+c，c+a｝可又構(gòu)成空間向量的一組基底，故

3正確；

對(duì)C,.,ACnOoAABC的NA為直角nAABC為直角三角形，但AABC為直角三

角形時(shí)，可能為銳角，此時(shí)AB-AC〉0,故c錯(cuò)誤；

對(duì)D,任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底，三個(gè)向量不共線時(shí)可能共

面，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題以命題的真假判斷為載體考查空間向量的基底概念.向量垂直的充要條件，考查對(duì)

概念的理解與應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】ABD

【解析】不共面的三個(gè)非零向量可以構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，由此可判斷A.B,若直

線的方向向量與平面a的法向量垂直，則線面平行，可判斷C,直線的方向向量與平面

的法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值與該直線與此平面所成角的正弦值相等，由此可判斷D.

【詳解】

對(duì)于A,A,是空間中的四點(diǎn)，若BAB",BN不能構(gòu)成空間基底，則

8AM3N共面，則A5MN共面，故人對(duì)；

對(duì)于B,已知為空間的一個(gè)基底，則久仇。不共面，若帆=。+。,則根也

不共面，貝/“力'"｝也是空間的基底，故B對(duì)；

e-n=1x(-2)+0x0+3x—=0

對(duì)于C,因?yàn)?，則e_L"，若/.a,則〃/a,但選項(xiàng)中沒

有條件a,有可能會(huì)出現(xiàn)/ua,故c錯(cuò)；

cos(e,H)=7^|-=-2+6=好

對(duì)于D,國(guó)網(wǎng)A/10X2A/25,則則直線/與平面a所成角的正弦值

為5,故D對(duì)；

故選:ABD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查命題的真假，考查空間基底的定義，考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，

屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】根據(jù)兩個(gè)向量平行的條件列方程，解方程求得才的值.

【詳解】

-6_2__￡

由于a"",所以3—15,解得"T

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間向量共線的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】根據(jù)空間向量的基底判斷②③的正誤，找出反例判斷①命題的正誤，即可得到

正確選項(xiàng).

【詳解】

解：①如果向量處匕與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么小b的關(guān)系是不

共線；所以不正確.反例：如果有一個(gè)向量小°為零向量，共線但不能構(gòu)成空間向量

的一組基底，所以不正確.

②0,A,B,C為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)°,A,

B,C一定共面；這是正確的.

③已知向量,b,c是空間的一個(gè)基底，則向量a+。，d-b,c,也是空間的一個(gè)基底;

因?yàn)槿齻€(gè)向量非零不共線，正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)示意圖以及空間向量的加.減法運(yùn)算，計(jì)算出MN

的PAPSPC的表示形式.

【詳解】

如圖所示，連接MB,因?yàn)锽N=2NC,所以BN=2NC,

122/\

MB=MP+PB=一一PA+PBBN=-BC=-\PC-PB\

又因?yàn)?+,2,33、乙

MN=--PA+PB+-(PC-PB]=--PA+-PB+-PC

所以23、7233.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間向量的加法.減法運(yùn)算，難度較易.處理空間向量的加減法表示時(shí)，可以

類比平面的加減法運(yùn)算，利用三角形或者平行四邊形法則完成轉(zhuǎn)化求解.

8.【答案】C

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義，進(jìn)行計(jì)算，即可求解.

【詳解】

由題意，因?yàn)檎襟w444344-4525384的底面為班車為1的正方形，高為2,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(1,1,0),4(0,1,0),A3(0,0,0),A(1,0,0),耳(1,1,2),B2(0,l,2),B3(0,0,2),B4(l,0,2)(

則A瓦=(TO,2),

與A4=?！?，2)相等的向量為y此時(shí)4月=2x2=4,

與484=(。，-1,2)相等的向量為4區(qū)，此時(shí)4匕4旦=2x2=4,

與44=。1,2)相等的向量為例，此時(shí)4月44=2義2=4,

與44=(1,0,2)相等的向量為例,此時(shí)4月44=-1+4=3,

與4月=(-1,0,2)相等的向量為AM,此時(shí)AJAB=1+4=5,

體對(duì)角線向量為4四=(T—L2),此時(shí)4不?4與=1+4=5,

4片=(1,—1,2),此時(shí)444旦=—1+4=3,

A4=(1,1,2),此時(shí)4瓦4瓦=-1+4=3,

AA=(—1,1,2),此時(shí)462462=1+4=5,

綜上集合{x|x=44e{1,2,3,4},jG{1,2,3,4}}={3,4,5)

，集合中元素的個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的元素的計(jì)算，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中建立恰當(dāng)?shù)?/p>

空間直角坐標(biāo)系，熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了

推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】D

【解析】直接根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可得到.

【詳解】

日。=(4,2)b=(6,k)

因?yàn)橄蛄縄/，I乙

所以a//Z?<=>4fc—2x6=0ok=3

故選:D,

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量共線的坐標(biāo)表示,充要條件,屬于基礎(chǔ)題.向量共線的坐標(biāo)表示應(yīng)該熟練

掌握.

10.【答案】B

【解析】由9+,可得(a+'Acn。，解出x即可.

【詳解】

〃

a+b=(-2,1,3+x)，(+b)_Lc，

?(a+/?),<?=(—2,1,3+x),(1,—x,2)=—2—x+2(3+x)—0

*，

解得x=T

故選：B..

【點(diǎn)睛】

本題考查空間向量相互垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

n.【答案】D

【解析】首先利用坐標(biāo)法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后對(duì)符合的選項(xiàng)驗(yàn)證存在尢〃使得

AM=2AB+MC由此得出正確選項(xiàng).

【詳解】

不妨設(shè)C(O,O,O),A(LO,1),5(O,O,1),C(O,1,1)

對(duì)于A選項(xiàng)，°“=°A+°3+℃=(l，l，3),由于M的豎坐標(biāo)3>1,故河不在平面

ABC上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)，。河=04+203+300=(1,3,6),由于"的豎坐標(biāo)6>1,故“不在平

面ABC上，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

OM^-OA+-OB+-OC^\2>i

對(duì)于C選項(xiàng)，2221222人由于"的豎坐標(biāo)2,故“

不在平面上，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

OM^-OA+-OB+-OC^\-.-,\\

對(duì)于D選項(xiàng)，333133人由于時(shí)的豎坐標(biāo)為1,故“在

平面ABC上，也即A5cM四點(diǎn)共面.下面證明結(jié)論一定成立：

OM=-OA+-OB+-OCOM-OA=-(OB-OA\+-(OC-OA\

由333,得>3^),

AM——ABH—ACX-U——4“nAnA

即33,故存在3,使得4/=九48+〃40成立，也即

A,民C,M四點(diǎn)共面.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間四點(diǎn)共面的證明方法，考查空間向量的線性運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的

數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

12.【答案】D

【解析】利用空間向量的加法和減法法則可將°石用a.b.0表示.

【詳解】

CE=-EDACE=-CD=-（CA+AD）=-|CA+-AB\=-CA+-AB

233312J36

:.OE=OC+CE=OC+-CA+-AB=OC+-(OA-OC\+-(OB-OA

363、'6V

112112

=-OA+-OB+-OC=-a+-b+-c

663663.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間向量的基底分解，解題時(shí)要靈活利用空間向量加法和減法法則，考查計(jì)算

能力，屬于中等題.

13.【答案】A

,a?b

cos<a,b>=----

【解析】根據(jù)空間向量夾角余弦公式“，求解即可.

【詳解】

,a.blx2+2x(-l)+lx(-2)應(yīng)

cos<a,b>=----=-,=-1=——

』口百如IaMMVl2+22+12XJ22+(-1)2+(-2)26

由題意可知，N\\/

—A,\/2

即3d2+匯6解得%=

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查空間向量夾角余弦，屬于較易題.

14.【答案】D

【解析】求出向量a+方的坐標(biāo)，利用向量共線定理即可得出.

【詳解】

解：a=(O,l,l)/=(l,-2,1)

.,.〃+/?=(1,—1,2)

又因?yàn)橄蛄縜+b與向量°=(%2，〃)平行

。A\a+b

所以存在實(shí)數(shù)力,使得I

m=A\m=-2

<2=—AA=—2

"=2,鏘?=—4

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】D

【解析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算原則可表示出°G,進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】

1212/\1212

OG=OM+MG=-OA+-MN=-OA+-MA+AN)=-OA+-x-OA+-AN

2323、72323

=-OA+-(AB+BN}=-OA+-AB+-X-BC

63、76332

=-OA+-(OB-OA)+-(OC-OB]=-OA+-OB+-OC

6