備考2025年高考數(shù)學一輪復習第二章考點測試9

考點測試9冪函數(shù)與二次函數(shù)高考概覽高考在本考點的?？碱}型為選擇題、填空題，分值為5分，中等難度考點研讀1.了解冪函數(shù)的概念2．結合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq\s\up7(\f(1,2))的圖象，了解它們的變化情況3．理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)4．能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關系解決簡單問題一、基礎小題1．已知冪函數(shù)y＝(m2－3)xm2＋m－3在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)m＝()A．－2 B．2C．－eq\r(3) D.eq\r(3)答案B解析由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－3＝1，,m2＋m－3＞0，))解得m＝2.故選B.2．若(m＋1)－1＜(3－2m)－1，則實數(shù)m的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(3,2)))B．(－∞，－1)C．(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))D．?答案C解析因為冪函數(shù)y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以由(m＋1)－1＜(3－2m)－1可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＞0，,3－2m＞0，,m＋1＞3－2m))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＜0，,3－2m＜0，,m＋1>3－2m))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＜0，,3－2m＞0，))解得eq\f(2,3)＜m＜eq\f(3,2)或m＜－1，即實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2))).3．設a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up7(\f(1,2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up7(\f(1,5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(3,4))，則a，b，c的大小關系是()A．c<a<b B．c<b<aC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a答案A解析因為a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,25)))eq\s\up7(\f(1,4))<1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up7(\f(1,5))>1，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(3,4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,64)))eq\s\up7(\f(1,4))<1，又0<eq\f(27,64)<eq\f(1,2)<eq\f(16,25)<1，y＝xeq\s\up7(\f(1,4))在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,64)))eq\s\up7(\f(1,4))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,25)))eq\s\up7(\f(1,4))＝a.綜上可得，c<a<b.故選A.4.已知冪函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(p,q))(p，p∈Z且p，q互質(zhì))的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則()A．p，q均為奇數(shù)，且eq\f(p,q)＞0B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且eq\f(p,q)＜0C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且eq\f(p,q)＞0D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且eq\f(p,q)＜0答案D解析因為函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(p,q))的圖象關于y軸對稱，于是得函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(p,q))為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(p,q))的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則有eq\f(p,q)＜0，又p，q互質(zhì)，則q為奇數(shù)．故選D.5．函數(shù)y＝lneq\r(x2＋ax＋1)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．[－1，0)∪(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．[－1，1)答案A解析由函數(shù)y＝lneq\r(x2＋ax＋1)的值域為R，可得真數(shù)部分y＝eq\r(x2＋ax＋1)取到所有的正數(shù)，即函數(shù)y＝x2＋ax＋1取到所有的正數(shù)，所以(0，＋∞)是函數(shù)y＝x2＋ax＋1的值域的子集，所以Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2，所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．6．若二次函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍為()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，2)答案A解析二次函數(shù)y＝kx2－4x＋2的圖象的對稱軸為直線x＝eq\f(2,k)，當k>0時，要使y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，只需eq\f(2,k)≤1，解得k≥2.當k<0時，eq\f(2,k)<0，此時二次函數(shù)圖象的對稱軸在區(qū)間[1，2]的左側，該函數(shù)y＝kx2－4x＋2在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，不符合要求．綜上可得，實數(shù)k的取值范圍是[2，＋∞)．7．(多選)已知冪函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(9,5)))xm，則下列結論正確的是()A．f(－32)＝eq\f(1,16)B．f(x)的定義域是RC．f(x)是偶函數(shù)D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3]答案ACD解析由冪函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(9,5)))xm，知m＋eq\f(9,5)＝1，∴m＝－eq\f(4,5)，∴f(x)＝x－eq\s\up7(\f(4,5))，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，故B錯誤；f(－32)＝(－32)－eq\s\up7(\f(4,5))＝eq\f(1,16)，故A正確；f(x)＝x－eq\s\up7(\f(4,5))＝eq\f(1,\r(5,x4))，定義域(－∞，0)∪(0，＋∞)關于原點對稱，又f(－x)＝eq\f(1,\r(5,(－x)4))＝eq\f(1,\r(5,x4))＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，故C正確；∵f(x)＝x－eq\s\up7(\f(4,5))，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)上單調(diào)遞增，不等式f(x－1)≥f(2)等價于f(|x－1|)≥f(2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,|x－1|≤2，))解得－1≤x＜1或1＜x≤3，故D正確．故選ACD.8．(多選)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，則下列結論正確的是()A．函數(shù)f(x)的最小值為－4B．函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增C．函數(shù)f(|x|)為偶函數(shù)D．若方程f(|x－1|)＝a在R上有4個不等實根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝4答案ACD解析二次函數(shù)f(x)在對稱軸x＝1處取得最小值，且最小值f(1)＝－4，故A正確；二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x＝1，其在(0，＋∞)上不單調(diào)，故B錯誤；f(|x|)＝|x|2－2|x|－3，顯然f(|x|)為偶函數(shù)，故C正確；令h(x)＝f(|x－1|)＝|x－1|2－2|x－1|－3，方程f(|x－1|)＝a的根轉化為y＝h(x)的圖象與直線y＝a的交點，作出h(x)的圖象如圖所示，圖象關于直線x＝1對稱，當y＝h(x)的圖象與直線y＝a有四個交點時，兩兩分別關于直線x＝1對稱，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故D正確．故選ACD.9．(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域為A，若對任意x∈A，存在正數(shù)M，使得|f(x)|≤M成立，則稱函數(shù)f(x)是定義在A上的“有界函數(shù)”．則下列函數(shù)是“有界函數(shù)”的是()A．f(x)＝eq\f(3＋x,4－x)B．f(x)＝eq\r(1－x2)C．f(x)＝eq\f(5,x2－2x＋2)D．f(x)＝|x|＋eq\r(4－|x|)答案BCD解析對于A，因為f(x)＝eq\f(3＋x,4－x)＝eq\f(－（4－x）＋7,4－x)＝－1＋eq\f(7,4－x)，且eq\f(7,4－x)≠0，所以f(x)≠－1，所以|f(x)|∈[0，＋∞)，故不存在正數(shù)M，使得|f(x)|≤M成立；對于B，令u＝1－x2，則u∈[0，1]，f(x)＝eq\r(u)，所以f(x)∈[0，1]，故存在正數(shù)1，使得|f(x)|≤1成立；對于C，令u＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，易得u≥1，則f(x)＝eq\f(5,u)，所以0<f(x)≤eq\f(5,1)＝5，即f(x)∈(0，5]，故存在正數(shù)5，使得|f(x)|≤5成立；對于D，令t＝eq\r(4－|x|)，則t∈[0，2]，|x|＝4－t2，則f(x)＝－t2＋t＋4＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(17,4)(t∈[0，2])，易得2≤f(x)≤eq\f(17,4)，所以|f(x)|∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(17,4)))，故存在正數(shù)eq\f(17,4)，使得|f(x)|≤eq\f(17,4)成立．故選BCD.10．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x在定義域[－1，n]上的值域為[－1，3]，則實數(shù)n的取值范圍為________．答案[1，3]解析函數(shù)f(x)＝x2－2x圖象的對稱軸方程為x＝1，在[－1，1]上為減函數(shù)，且值域為[－1，3]，當x≥1時，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，且f(3)＝3，∴要使函數(shù)f(x)＝x2－2x在定義域[－1，n]上的值域為[－1，3]，則實數(shù)n的取值范圍是[1，3]．二、高考小題11．(2019·北京高考)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝xeq\s\up7(\f(1,2)) B．y＝2－xC．y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))x D．y＝eq\f(1,x)答案A解析y＝xeq\s\up7(\f(1,2))＝eq\r(x)，y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))x，y＝eq\f(1,x)的圖象如圖所示．由圖象知，只有y＝xeq\s\up7(\f(1,2))在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．故選A.12．(2019·全國Ⅱ卷)設函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x＋1)＝2f(x)，且當x∈(0，1]時，f(x)＝x(x－1)．若對任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq\f(8,9)，則m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(8,3)))答案B解析∵當x∈(0，1]時，f(x)＝x(x－1)，∴當x∈(0，1]時，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))；∵f(x＋1)＝2f(x)，∴當x∈(－1，0]時，x＋1∈(0，1]，f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝eq\f(1,2)(x＋1)x，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，0))；當x∈(－2，－1]時，x＋1∈(－1，0]，f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝eq\f(1,4)(x＋2)(x＋1)，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)，0))；…；當x∈(1，2]時，x－1∈(0，1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))；當x∈(2，3]時，x－1∈(1，2]，f(x)＝2f(x－1)＝4(x－2)(x－3)，f(x)∈[－1，0]；….f(x)的圖象如圖所示．若對任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq\f(8,9)，設f(m)＝－eq\f(8,9)，則4(m－2)(m－3)＝－eq\f(8,9)，∴m＝eq\f(7,3)或m＝eq\f(8,3).結合圖象可知，當m≤eq\f(7,3)時，符合題意．故選B.三、模擬小題13．(2023·湖北武漢高三模擬)若a＞b，則()A.eq\f(1,a)＞eq\f(1,b) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)C.eq\r(a)＞eq\r(b) D．a(chǎn)3＞b3答案D解析取a＝2，b＝1，顯然eq\f(1,2)＜eq\f(1,1)，A錯誤；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＜eq\f(1,2)，B錯誤；若a<0，b＜0，eq\r(a)，eq\r(b)無意義，C錯誤；若a＞b，則a3＞b3，D正確．14．(2024·重慶市七校高三上學期開學考試)已知函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為()A．[－4，＋∞) B．(－∞，－4]C．[－8，＋∞) D．(－∞，－8]答案C解析設t＝2x，則函數(shù)t＝2x在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，且t≥4，因為f(x)＝4x＋a·2x在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝t2＋at在[4，＋∞)上單調(diào)遞增，又因為函數(shù)y＝t2＋at的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為t＝－eq\f(a,2)，可得函數(shù)y＝t2＋at的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))，由[4，＋∞)?eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))，得－eq\f(a,2)≤4，解得a≥－8.故選C.15．(2023·河北石家莊二中模擬)設a∈R，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2ax＋9，x≤1，,x＋\f(36,x)－3a，x＞1，))若f(x)的最小值為f(1)，則實數(shù)a的取值范圍為()A．[1，2] B．[1，3]C．[0，2] D．[2，3]答案A解析當x＞1時，x＋eq\f(36,x)－3a≥2eq\r(x·\f(36,x))－3a＝12－3a，當且僅當x＝eq\f(36,x)，即x＝6時，等號成立，即當x＞1時，函數(shù)f(x)的最小值為12－3a，當x≤1時，f(x)＝x2－2ax＋9＝(x－a)2＋9－a2，要使得函數(shù)f(x)的最小值為f(1)，則滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥1，,f（1）＝10－2a≤12－3a，))解得1≤a≤2，即實數(shù)a的取值范圍是[1，2]．16．(2023·江蘇南通高三質(zhì)量監(jiān)測)已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5，若f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，且對任意x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[2，3] B．[1，2]C．[－1，3] D．[2，＋∞)答案A解析函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5的對稱軸方程是x＝a，則其單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，a]，因為f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，所以a≥2.則|a－1|≥|(a＋1)－a|＝1，因此對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，只需|f(a)－f(1)|≤4即可，即|(a2－2a2＋5)－(1－2a＋5)|＝|a2－2a＋1|＝(a－1)2≤4，即－2≤a－1≤2，解得－1≤a≤3，又a≥2，因此實數(shù)a的取值范圍是[2，3]．17．(多選)(2023·山東煙臺高三模擬)對于函數(shù)f(x)＝x|x|＋x＋1，下列結論中錯誤的是()A．f(x)為奇函數(shù)B．f(x)在定義域上是減函數(shù)C．f(x)的圖象關于點(0，1)對稱D．f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上存在零點答案ABD解析f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋x＋1，x＜0，,x2＋x＋1，x≥0，))由圖象可知，圖象關于點(0，1)對稱，因此不是奇函數(shù)，在定義域上函數(shù)為增函數(shù)，在(0，＋∞)上沒有零點．18．(多選)(2024·安徽高三摸底聯(lián)考)一般地，若函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，值域為[ka，kb]，則稱[a，b]為f(x)的“k倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，值域也為[a，b]，則稱[a，b]為f(x)的“跟隨區(qū)間”．下列結論正確的是()A．若[1，a]為f(x)＝x2－2x＋2的“跟隨區(qū)間”，則a＝3B．函數(shù)f(x)＝eq\f(9,2)－eq\f(2,x)不存在“跟隨區(qū)間”C．若函數(shù)f(x)＝m－eq\r(x＋1)存在“跟隨區(qū)間”，則m∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))D．二次函數(shù)f(x)＝－x2＋2x存在“3倍跟隨區(qū)間”答案CD解析對于A，若[1，a]為f(x)＝x2－2x＋2的“跟隨區(qū)間”，因為f(x)＝x2－2x＋2在區(qū)間[1，a]上為增函數(shù)，故其值域為[1，a2－2a＋2]，根據(jù)題意有a2－2a＋2＝a，解得a＝1或a＝2，因為a>1，故a＝2，故A錯誤；對于B，因為函數(shù)f(x)＝eq\f(9,2)－eq\f(2,x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上均為增函數(shù)，若f(x)＝eq\f(9,2)－eq\f(2,x)存在“跟隨區(qū)間[a，b]”，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,2)－\f(2,a)，,b＝\f(9,2)－\f(2,b)，))即a，b為方程x＝eq\f(9,2)－eq\f(2,x)的兩根，即方程2x2－9x＋4＝0的兩根，故a＝eq\f(1,2)，b＝4，故B錯誤；對于C，若函數(shù)f(x)＝m－eq\r(x＋1)存在“跟隨區(qū)間[a，b]”，因為f(x)＝m－eq\r(x＋1)為減函數(shù)，故由“跟隨區(qū)間”的定義可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝m－\r(a＋1)，,a＝m－\r(b＋1)，))所以a－b＝e