2025年高考數學一輪復習：球的切、接問題【原卷版】

第2課時球的切、接問題【原卷版】

幾何體的外接球

【例1】(1)已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3百和4百，其頂點都在同一球面上，則該球的表

面積為()

A.100兀B.128兀

C.144兀D.192兀

(2)已知點S,A,B,。均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA_L平面ABC,則SA

0訓練

1.已知三棱錐尸-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，且尸4=1,PB=2,PC=3,則三棱錐PABC的外接球的表面積

為（）

A7m

A.-------71B.14兀

3

C.56兀D.V14n

2.已知A,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個點，S.AC1BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為

()

V3

V2一

一B.12

AC.12

V-2V-3

44

幾何體的內切球

【例2】(1)在正方體ABCDAiBCiA中，E,尸分別為AB,GA的中點.以EE為直徑的球的球面與該正方體

的棱共有個公共點；

(2)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最大的球的體積為.

0訓練

1.如圖，已知球。是棱長為1的正方體ABCDAiBiCYDi的內切球，則平面AC/九截球。的截面面積為()

A.也B.-

3

D.—

3

2.已知三棱錐P-ABC中，E4,底面ABC,AC=4,BC=3,AB=5,PA=3,則該三棱錐的內切球的體積

為.

與球切、接有關的最值問題

【例3】（1）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點均在球。的球面上，則當該四棱錐的

體積最大時，其高為（）

A.iB.-

32

C.如D0

32

（2）在正方體ABCZKA/iCbDi中，AB=4,。為AG的中點，若該正方體的棱與球。的球面有公共點，則球。的

半徑的取值范圍是.

0訓練

1.設A,B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，△A8C為等邊三角形且其面積為98，則三棱錐。-A8C

體積的最大值為（）

A.12V3B.18V3

C.24V3D.54V3

2.在封閉的直三棱柱ABC-AiBiCi內有一個體積為V的球.若AB=6,8C=8,AAi=3,則V的最大值

是.

A級?基礎達標

1.正方體的外接球與內切球的表面積之比為（）

A.V3B.3V3

1

C.3D二

3

2.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）

A.兀B.—

4

C.-D：

24

3.已知各頂點都在一個球面上的正四棱錐的高為3,體積為6,則這個球的表面積為（）

A.16兀B.20兀

C.24兀D.3271

4.魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的樽卯結構，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其

上下、左右、前后完全對稱，6根等長的正四棱柱體分成3組，經90。樟卯起來.若正四棱柱的高為8,底面正方形

的邊長為2,現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積至少為（容器壁的厚度忽略不計，結果保

留無）（）

A.96兀

C.42兀

5.（多選）已知球。的半徑為手，則下列結論正確的是（）

A.球O的表面積為6兀

B.球。的內接正方體的棱長為1

C.球。的外切正方體的棱長為:

D.球。的內接正四面體的棱長為2

6.（多選）我國古代數學名著《九章算術》中將正四棱錐稱為方錐.已知半球內有一個方錐，方錐的底面內接于半

球的底面，方錐的頂點在半球的球面上，若方錐的體積為18,則半球的說法正確的是（）

A.半徑是3B.體積為18兀

C.表面積為27兀D.表面積為18兀

7.已知三棱錐S-A8C的三條側棱兩兩垂直，且SA=1,SB=SC=2,則三棱錐S-ABC的外接球的半徑是.

8.已知正三棱臺A8C-A1B1G的上、下底面面積分別為竽，9V3,若AAi=聞，求該正三棱臺的外接球的表面積.

B級?綜合應用

9.如圖所示是古希臘數學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與

圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現.我們來重溫這個偉大發(fā)現，關于圓柱的體積與球

的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比說法正確的是（）

A.體積之比|B.體積之比|

C.表面積之比:D.表面積之比2

10.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為等，兩個圓錐的高之比為1：3,則這兩

個圓錐的體積之和為（）

A.3兀B.4兀

C.9兀D.12兀

11.已知A,B,。為球O的球面上的三個點，OOi為△A3C的外接圓.若OOi的面積為4兀，AB=BC=AC=OOi,

則球O的表面積為（）

A.64兀B.48兀

C.36兀D.32兀

12.（多選）已知正方體的外接球與內切球上各有一個動點N,若線段的最小值為8一1,則下列說法中正

確的是（）

A.正方體的外接球的表面積為12兀

B.正方體的內切球的體積為詈

C.正方體的棱長為2

D.線段MN的最大值為2次

13.一個正六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的

體積為底面周長為3,則這個球的體積為.

14.若圓錐的內切球（球面與圓錐的側面以及底面都相切）的體積為手，當該圓錐體積取最小值時，求該圓錐的表

面積.

C級?能力提升

15.如圖，在底面邊長為4,高為6的正四棱柱中有兩個球，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方

且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為_______.

16.如圖，圓形紙片的圓心為。，半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形A8C的中心為0.0,E,尸為圓。上的點，

4DBC,AECA,AHAB分別是以8C,CA,A2為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC,CA,AB為折痕

折起△DBGAECA,AFAB,使得。，E,尸重合，得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時，求所得三棱錐體積（單

位：cn?）的最大值.

第2課時球的切、接問題【解析版】

幾何體的外接球

【例1】（1）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3百和4百，其頂點都在同一球面上，則該球的表

面積為（）

A.lOOnB.128兀

C.144nD.192?1

（2）已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上，AABC是邊長為3的等邊三角形，SAL平面ABC,貝USA

答案：（1）A（2）2

解析：（1）由題意，得正三棱臺上、下底面的外接圓的半徑分別為|><f*3百=3,|XfX4b=4.設該棱臺上、

下底面的外接圓的圓心分別為。1,。2,連接則。1。2=1,其外接球的球心O在直線0102上.設球。的半徑

為R,當球心O在線段上時，7?2=32+OOf=42+（l-OOi）2,解得。。尸4（舍去）；當球心。不在線段

。。2上時，7?2=42+OOj=32+（I+OO2）2,解得。。2=3,所以滅2=25,所以該球的表面積為4成2=100兀.故選

A.

（2）法一如圖，設△ABC的外接圓圓心為彷，連接。1A,因為△ABC是邊長為3的等邊三角形，所以其外接

圓半徑r=Oi4=|x?X3=g.將三棱錐S-ABC補形為正三棱柱S81G-A8C,由題意知SA為側棱，設球心為O,

連接。Oi,0A,貝!|平面ABC,且0。1=為4又球的半徑R=0A=2,OA2=O0^+O1A2,所以4=二&42+3,

得SA=2.

C,

法二如圖，設AABC的外接圓圓心為Q,連接0自，因為△ABC是邊長為3的等邊三角形，所以其外接圓半徑

廠=03="當X3=V5.設三棱錐S-ABC的外接球球心為。，連接。5,則00」平面ABC.又SA_L平面A2C,所

以。0i〃S4,連接OS,OA,由題意知0S=0A=2.過。作S4的垂線，設垂足為H,則四邊形A。?！睘榫匦?，所

以。。尸AH,由0s=。4可知〃為SA的中點，則OOi=A〃=裁A.所以在R3OOiA中，由勾股定理可得。屋二

OOf+OiA2,即4=*屋+3,得&4=2.

6訓練

1.己知三棱錐A4BC中，PA,PB,PC兩兩垂直，且PA=1,PB=2,PC=3,則三棱錐P4BC的外接球的表面積

為()

A.嗎t(yī)B.14兀

3

C.56nD.V1471

解析：B以線段PA,PB,PC為相鄰三條棱的長方體PAB3-C4PC被平面ABC所截的三棱錐P-A2C符合要

求，如圖，長方體PAB3-C4PC與三棱錐尸-42C有相同的外接球，其外接球直徑為長方體體對角線PP,設外接

球的半徑為R,則(2R)2=PPa=PAi+PB2+PC2=12+22+32=14,則所求表面積5=4成2=兀.(2R)2=14TI.

2.已知A,B,C是半徑為1的球0的球面上的三個點，S.AC1BC,AC=BC=1,則三棱錐。-ABC的體積為

()

ARV3

V-2一

12

c12

V-2

4DVT3

解析：A如圖所示，因為AC_LBC,所以AB為截面圓,且連接0。1,貝！10?！姑鍭BC,001

==

=J]-(3)=J1-0^-=今所以三棱錠O-ABC的體積V=|SAABC^00I|X|X1X1^~~-

?

幾何體的內切球

【例2】（1）在正方體ABCZX4181cld中，E,尸分別為AB,GA的中點.以EE為直徑的球的球面與該正方體

的棱共有個公共點；

（2）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最大的球的體積為.

答案：（1）12（2）今

解析：（1）不妨設正方體棱長為2,所中點為0,取CD,2S中點G,M,側面BB1GC的中心N,連接FG,

EG,0M,ON,MN,如圖，由題意可知，。為球心，在正方體中，EF=JFG2+EG2=JZ2+22=2V2,即R=

V2,則球心。到的距離為。M=JON?+MN2=/2+12=e,所以球。與棱881相切，球面與棱8田只有1

個交點，同理，根據正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，所以以為直徑的球與每一條棱都相

切，所以共有12個公共點.

EB

（2）易知半徑最大的球即為該圓錐的內切球.圓錐PE及其內切球。如圖所示，設內切球的半徑為R,則sin

所以0P=3R,所以PE=4R=JPB2~BE2=J32-12=2V2,所以R=乎，所以內切球的體

積丫即該圓錐內半徑最大的球的體積為多.

E訓練

1.如圖，已知球。是棱長為1的正方體48co-A向GA的內切球，則平面ACA截球。的截面面積為（）

解析：C平面AC。截球。的截面為AACDi的內切圓，：正方體棱長為1,.?.AC=Cr>i=A5=VI..,.內切圓半

徑r=tan30°-AE—^-X—S—nr2—nX---,故選C.

32666

A么C

2.已知三棱錐P-ABC中，E4,底面ABC,AC=4,BC=3,AB=5,PA=3,則該三棱錐的內切球的體積

為.

茲塞-—

口木.81

解析：因為AC=4,BC=3,AB=5,所以AC2+8C2=AB2,所以△ABC為直角三角形.因為PA_L底面ABC,所以

PALAC,PALAB,PA±BC,所以PC=[242+402=5.因為BC_LPA,BCLAC,PADAC^A,所以BC_L平面

PAC,所以BC_LPC.所以三棱錐尸-ABC的表面積S=ix4X3+|x4X3+1x5X3+|x5X3=27,且三棱錐P-ABC

的體積"ABC=[W><4X3X3=6.設三棱錐尸-ABC的內切球的半徑為R,則由心.=翔?=9尺=6,解得R=g,

所以三棱錐P-ABC的內切球的體積丫=駕?3=如義（^）332JT

333=81

與球切、接有關的最值問題

【例3】（1）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球。的球面上，則當該四棱錐的

體積最大時，其高為（）

A.iB.i

32

C.-

32

（2）在正方體ABCD-AiBiG。中，AB=4,。為AG的中點，若該正方體的棱與球。的球面有公共點，則球。的

半徑的取值范圍是.

答案：(1)C(2)[2A/2,2V3]

解析：（1）法一（特殊法）不妨設四棱錐的底面是正方形，邊長為。，底面正方形外接圓的半徑為r,則r=

爭，四棱錐的高1,所以四棱錐的體積1—三=壽.?0—9）甘丁十二‘一青

N」

=絆，當且僅當￡=i—即層W時等號成立，此時四棱錐的高人1一：=白巖,故選C.

27423\2N33

法二（導數法）設四棱錐的底面是正方形，底面正方形外接圓的半徑為廣，四棱錐的高為〃，則，+〃2=1,r=

Jl-h2,正方形的邊長為企廠=/Jl-h2,所以四棱錐的體積V=：S〃=|（1一*）//=|（—/z3+/z）.令于（h）=

一層+/7（0</z<l）,則了⑺=-3/I2+1,令f（h）=-3/I2+1=0,得//=?,所以/（%）在（0,空）上單調遞

增，在（4，1）上單調遞減，所以當〃=當時，/（〃）取得最大值，所以當四棱錐的體積最大時，其高為日，故選

C.

法三（轉化法）該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點。組成的圓錐體積最大，設圓錐的高為〃（0<

h<l）,底面半徑為r,則圓錐的體積丫=//%=171（1—力2）%則V，=]（1—3/z2）,令—=）（1—3/z2）=0,

得〃=苧，所以丫=》（If）川在（0,當上單調遞增，在g,1）上單調遞減，所以當仁爭出，四棱錐的體積

最大，故選C.

（2）當球是正方體的外接球時，恰好經過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含

正方體，導致球面和棱沒有交點，設正方體的外接球直徑為2R,則2R=AG=j42+42+42=4g,即R=2遍.分

別取側棱A4i,BBi,CCi,的中點M,H,G,N,顯然四邊形仞VG"是邊長為4的正方形，且。為正方形

MNGH的對角線交點，連接MG,則MG=4&,當球的一個大圓恰好是四邊形MNG8的外接圓時，球的半徑最

小，即夕=2近.綜上，球。半徑的取值范圍為［2/，2V3J.

.、

G訓練

1.設A,B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9次，則三棱錐。-ABC

體積的最大值為（）

A.12V3B.18V3

C.24V3D.54V3

解析：B由等邊△ABC的面積為9次，可得當序=9百，所以AB=6,所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r=

爭48=271設球的半徑為R,球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d,則d=Jn2~r2=J16—12=2.所以三

棱錐。-ABC高的最大值為2+4=6,所以三棱錐D-A8C體積的最大值為:X9gX6=18W.

2.在封閉的直三棱柱A8C-4B1C1內有一個體積為V的球.若A8LBC,AB=6,8c=8,AAi=3,則丫的最大值

是.

冬案.史

I—I?2

解析：易知AC=10.設△ABC的內切圓的半徑為r,則（X6X8=：X（6+8+10）-r,所以r=2.因為2r=4>3,所

以球的最大直徑2R=3,即氏=三，此時球的體積V=MR3=空.

232

A級?基礎達標

L正方體的外接球與內切球的表面積之比為（）

A.V3B.3V3

1

C.3D.-

3

解析：C設正方體的外接球的半徑為幾內切球的半徑為廣，棱長為1,則正方體的外接球的直徑為正方體的體

對角線長，即2R=百，所以R=*正方體內切球的直徑為正方體的棱長，即2r=1,即所以￡=遮，正方

體的外接球與內切球的表面積之比為誓=與=3.

4nrzrz

2.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）

A.TtB.—

4

C.-D.-

24

解析：B如圖，畫出圓柱的軸截面A8CO,。為球心.球半徑/?=。4=1,球心到底面圓的距離為OM=1.，底面

圓半徑r=l0A2—0M2=—,故圓柱體積丫=兀戶〃=兀?（立）2X1=—.

\224

3.已知各頂點都在一個球面上的正)四棱錐的高為3,體積為6,則這個球的表面積為（

A.1671B.20兀

C.24KD.32兀

=

解析：A如圖所示，在正四棱錐尸-ABCD中，01為底面對角線的交點，。為外接球的球心.VS正方衫

ABCDX3=6,所以S正方形ABCD=6,即.因為0C=?而不后=舊.設正四棱錐外接球的半徑為R,貝［0C=R,

001=3-7?,所以（3-R）2+（V3）2=爐，解得R=2,所以外接球的表面積為4兀X22=16兀.

4.魯班鎖是中國傳統的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的樨卯結構，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其

上下、左右、前后完全對稱，6根等長的正四棱柱體分成3組，經90。榨卯起來.若正四棱柱的高為8,底面正方形

的邊長為2,現將該魯班鎖放進一個球形容器內，則該球形容器的表面積至少為（容器壁的厚度忽略不計，結果保

留兀）（）

A.96TIB.84n

C.42兀D.16兀

解析：B若球形容器表面積最小，則正四棱柱與球內接，此時球體的直徑等于一組正四棱柱的體對角線長，即

2Z?=J82+（2+2）2+22=2>/21,所以尺=低，球形容器的表面積5=4兀肥=84兀.故選B.

5.（多選）已知球。的半徑為當，則下列結論正確的是（）

A.球O的表面積為6兀

B.球0的內接正方體的棱長為1

C.球0的外切正方體的棱長為:

D.球。的內接正四面體的棱長為2

解析：AD球的表面積為47tx（―）2=4KX-=67T,A正確.正方體的體對角線長為2><漁=棱長為坐=夜，

242V3

B錯誤.球的外切正方體的棱長為24=瓜C錯誤.將正四面體A-SCQ1補形為正方體如圖所示，正方體的體對

角線長為2%手=限棱長為霧=企，所以正四面體的棱長為/義魚=2,D正確.故選A、D.

2V3

6.（多選）我國古代數學名著《九章算術》中將正四棱錐稱為方錐.已知半球內有一個方錐，方錐的底面內接于半

球的底面，方錐的頂點在半球的球面上，若方錐的體積為18,則半球的說法正確的是（）

A.半徑是3B.體積為18兀

C.表面積為27兀D.表面積為18兀

解析：ABC如圖，APAC是正四棱錐的對角面，設球半徑為r,AC是半圓的直徑，則正四棱錐底面邊長為

V2r,棱錐體積為V=|x（V2r）2Xr=|r3=18,r=3,半球體積為V=|7tr3=|7tX33=187t,表面積為5=2兀X3?+

7tX32=277i,故選A、B、C.

p

7.已知三棱錐S-ABC的三條側棱兩兩垂直，且SA=1,SB=SC=2,則三棱錐S-ABC的外接球的半徑是.

解析：如圖所示，將三棱錐補為長方體，則該三棱錐的外接球直徑為長方體的體對角線，設外接球半徑為R則

(2A)2=12+22+2』9,，4R2=9,R=*即三棱錐S-ABC的外接球的半徑是|.

8.已知正三棱臺ABC-AiSG的上、下底面面積分別為紗，9V3,若AAi=同，求該正三棱臺的外接球的表面積.

4

解：若正三角形的邊長為0,則其面積為：XaXaX在=￡2,

224

結合題意，可得A3=3,A[B\=6.

如圖，取△A3C,△481G外接圓的圓心0,。2,正三棱臺ABGA1B1G外接球的球心01,

B

連接04,002,OiA,014,O2AI,設點A在底面上的射影為連接AM,

易知M在02Al上，OA=(hM=W,O2AI=2V3,貝！]MAI=遮，

由可得002=MA=^AA^MAl=36.

設正三棱臺外接球的半徑為R,則。3=。14=凡

(R2=0A2+00?=3+00?,(R=V15,

可得2解得L

2

R^02Al+020l=12+(38一。。1),(。。1=2百，

所以該正三棱臺的外接球的表面積S=4兀叱=60兀.

B級?綜合應用

9.如圖所示是古希臘數學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與

圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現.我們來重溫這個偉大發(fā)現，關于圓柱的體積與球

的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比說法正確的是()

A.體積之比|B.體積之比|

C.表面積之比gD.表面積之比2

解析：A設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R高為2R,.?“四槎=成2*2/?=2比3,y球=i31H..?.①

3v球JR3

=-；S?欄=2兀RX2R+2X7tR2=6兀居，$球=4兀叱....迦=塔=三，故選A.

2S球4nRN2

10.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為詈，兩個圓錐的高之比為1：3,則這兩

個圓錐的體積之和為（）

A.3兀B.4兀

C.9TID.1271

解析：B如圖所示，由球的體積為等，可得該球的半徑R=2,由題意得，兩個圓錐的高OS,0P分別為1和

3,為球。的直徑，.?.△PAS為直角三角形，又...可得截面圓半徑04=百，.?.這兩個圓錐的體

積之和為V=\-（V3）2.（3+1）=4兀，故選B.

11.已知A,B,C為球。的球面上的三個點，OOi為△ABC的外接圓.若OOi的面積為4兀，AB=BC=AC=OOi，

則球。的表面積為（）

A.64KB.48K

C.36兀D.32兀

解析：A如圖所示，設球。的半徑為七。01的半徑為「，因為。。的面積為4兀，所以4兀=兀己解得廠=2,又

1

AB=BC=AC=OO\,所以-三=2r,解得45=2次，故0。1=2e，所以尺2=。。工+戶=（2V3）2+22=16,所

sm60°x

以球0的表面積S=4做2=64兀.故選A.

12.（多選）已知正方體的外接球與內切球上各有一個動點M,N,若線段MN的最小值為8一1,則下列說法中正

確的是（）

A.正方體的外接球的表面積為12兀

B.正方體的內切球的體積為日

C.正方體的棱長為2

D.線段MN的最大值為2百

解析：ABC設正方體的棱長為a,則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半，即內切球的半徑為棱長的

一半，即N分別為外接球和內切球上的動點，.?.知咐產不一,與匕=百T,解得。=2,即正方體的

棱長為2,...正方體外接球的表面積為47tx（迎）2=12兀，內切球體積為詈，則A、B、C正確；線段MN的最大

值為百+1,則D錯誤.

13.一個正六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的

體積為［底面周長為3,則這個球的體積為.

O

茲空.空

1—4,3

解析：設正六棱柱底面邊長為“，正六棱柱的高為九球的半徑為七則a=；,底面積為S=6xfx（i）2=孚，

2428

V柱=S7z=迪解得力=w，.*.7?2=（―）2+（-）2=1,R=l,球的體積為丫=如.

88223

14.若圓錐的內切球（球面與圓錐的側面以及底面都相切）的體積為與，當該圓錐體積取最小值時，求該圓錐的表