2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 向量法求空間角 專項訓(xùn)練

7.6.1-向量法求空間角-專項訓(xùn)練

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

1.如圖，在三棱錐尸-Z8C中，K4,平面48C,PA=AB=BC=1,PC=43.

(1)求證：平面P45；

(2)求二面角A-PC-B的大小.

2.如圖，在直三棱柱4BC-Z1囪C中，4B=ZC=44i=3,點。是5c的中點,

點￡在441上，40〃平面8C1E.

(1)求證：平面5C1E,平面581clC；

(2)當(dāng)三棱錐B「BCiE的體積最大時，求直線AC與平面BCiE所成角的正弦值.

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

3.如圖所示，在直四棱柱ZBCQ-ZiBCbDi中，底面48CQ為菱形，ZABC=6Q°,

AB=2,^i=2V3,￡為線段?！?gt;i上一點.

⑴求證：ACLBiD；

(2)若平面ABxE與平面ABCD的夾角的余弦值為|,求直線BE與平面ABiE所成

角的正弦值.

4.如圖，。是以48為直徑的圓。上異于2,8的點，平面E4C,平面48C,

△Q4C中，PA=PC=AC=2,BC=4,E,尸分別是尸C,網(wǎng)的中點.

(1)求證：5C,平面B4C；

(2)記平面4EF與平面48C的交線為直線/,點0為直線/上的動點，求直線尸0

與平面AEF所成的角的取值范圍.

參考答案

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

1.解：⑴證明：因為E4,平面Z8C,5Cu平面N5C,

所以E4L5C,同理E4L4B,

所以△245為直角三角形，

義因為PB=7P或+AB2=無,BC=1,PC=43,

所以產(chǎn)序+^仃二尸。2,則△尸5c為直角三角形，故BCLPB.

又因為5CLE4,R4CPB=P,

所以5C,平面PAB.

(2)由⑴知5C,平面E45,又ABu平面R4B,貝I5CL48,

以幺為原點，45為x軸，過Z且與8c平行的直線為y軸，4P為z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，如圖，則2(0,0,0),尸(0,0,1),C(l,1,0),8(1,0,0),

所以9=(0,0,1),就=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1).

設(shè)平面R1C的法向量為〃，=(xi,yi,zi),

?AP=0,Zi=0,

即

?AC=0,xi+yi=o,

令xi=l,則yi=-1,所以“2=(1,—1,0)為平面E4C的一個法向量,

設(shè)平面P5C的法向量為〃=(X2,yi,Z2),

rfBC=0,(y=0,

則2

n?PC=0,U2+y2-z2=0,

令X2=l,則Z2=l,所以〃=(1,0,1)為平面P5C的一個法向量,

匕￡/\m?n11

所以cosn)=——=-^—==-

|m||n|72x722

又因為二面角Z-PC-8為銳二面角，

所以二面角A-PC-B的大小為今

2.解：（1）證明：取8cl中點連接EAf,MD,如圖所示.

:AB=AC,點。是8c的中點，：.AD±BC,

又是8cl的中點，：.DM//CC\,

又?在直三棱柱Z5C-Z向Ci中，有44i〃CG,44」平面Z8C,

：.DM//AE,。河，平面Z5C,

：40〃平面8C1E,且4Du平面4DME,平面4D〃En平面=瓦〃,

：.AD//ME,

VCCi±^-^]ABC,且ADu平面Z8C,

ACCilAD,

又,.?CCin5C=C,JLCCi,8Cu平面851clC,

.?.40,平面A8C1C

丈：AD〃ME,平面A81C1C,

,.?"Eu平面BCiE,

平面BCE，平面BBiCC

(2)由(1)知"EL平面BBiCiC,

1_

2

設(shè)8c=2a,則5Z)=a,AD=y/9-a,SAB1BC1=|x2aX3=3a,

??，B1-BC1E=W?3a.V9-a2^---=-,

由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)。二用7滔時等號成立，

即三棱錐B\-BCxE的體積最大，此時a=竺.

以。為坐標(biāo)原點，D4所在直線為x軸，所在直線為y軸，DW所在直線為z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則有Z（亭，0,0）,C（0,0）,8（0,

浮。），E律,。，1），?。,-耍3）,.?.前=（一吸一斗,0）,印

=（0,3V2,-3）,靛=件，—不，|）,設(shè)平面5C1E的法向量為〃=（修，加

21）,

（n?CyB-3y[iy、—3z1——0,

則有,無？3&3V23八

（n?BE=—-—7i+-Zi=0,

取刈=/，解得〃=（0,V2,2）為平面8C1E的一個法向量，

設(shè)直線ZC與平面BC\E所成的角為。，

貝Isin（9=|cos（n,AC）|=3=^-,

5XVZ十4O

故直線ZC與平面BCxE所成角的正弦值為終.

6

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

3.解：（1）證明：連接AD,

?底面ABCD為菱形，：.AC±BD.

又851，平面/BCD,NCu平面A5C。，：.BBi_LAC.

入BDCBBi=B,BD,BBC平面BDBi,

.?./C，平面AD81.又BiDu平面BDBi,：.AC±BiD.

(2)設(shè)CD的中點為E,連接4F,如圖.

?.?△/CD為等邊三角形，：.AF±CD,

又CD"AB,貝UAFLAB.

又441，平面48c貝I441,48,AAi±AF.

以N為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則2(0,0,0),5(2,0,0),C(l,V3,0),E(~l,V3,h)(09W25BiQ,

0,2V3),

福=(2,0,2V3),族=(—1,V3,〃)，

設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),

t(n?AB[-0,.(2x+2gz=0,

(n,AE-0,I—%+V3y+hz=0,

令x=3,則〃=(3,h+W,—8)為平面的一個法向量.

又平面48CQ的一個法向量為股=(0,0,1),

n?m——\/3

則cos〈〃，m)

M\m\7/I*2+2V3/I+15

又平面ABiE與平面ABCD的夾角的余弦值為右

???〃=個(九=_?舍去)，?'必君=(-3,V3,?),

/\BE?n-6—8VT7

cos〈BE,?>=質(zhì)祠=/.迤=飛〕，

22

...直線與平面ABiE所成角的正弦值為察.

85

4.解：(1)證明：因為C是以Z8為直徑的圓。上異于Z,5的點，...5CLZC,

又平面E4C,平面48C,且平面E4CA平面45C=/C,8Cu平面48C,：.BC1.

平面E4c.

(2)V￡,R分別是尸分尸3的中點,J.BC//EF.

又EFu平面AEF,8CC平面4E戶，：.BC〃平面AEF,

又8Cu平面48C,平面4EFA平面48C=/,

：.BC//l.

以C為坐標(biāo)原點，CA,C5所在直線分別為x軸，y軸，過C且垂直于平面N8C

的直線為2軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，

則幺(2,0,0),8(0,4,0),0(1,0,V3),

?'EG，。，鳥,嗚2,身,

???瓦=(一|,0,亨),EF=(0,2,0),

'：BC//l,I.