2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：數(shù)列（含解析）

專題跟蹤檢測(cè)（八）數(shù)列

一、全練保分考法一一保大分

1.已知等差數(shù)列的前3項(xiàng)依次為a,a+2,3a,前〃項(xiàng)和為S,且&=110,則左的值

為（）

A.9B.11

C.10D.12

解析：選C由a,a+2,3a成等差數(shù)列，得公差為2,且2（a+2）=a+3a,解得a=2,

所以卜21—X2=A2+A=110,解得次=10或4=一11（舍去）.

2.（2024?云南模擬）已知數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，若國(guó)一1,as—3,as—5依次構(gòu)成公比

為（7的等比數(shù)列，則[=（）

A.—2B.-1

C.1D.2

解析：選C依題意，留意到2H3=&+的2&-6=4+為一6,即有2（&-3）=（劭-1）

+（為一5）,

即8-1,3,8一5成等差數(shù)列；

又為一1,53-3,與一5依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，

因此有助-1=&—3=戊-5（若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列是一個(gè)

非零的常數(shù)列），g=1=L

3.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步

不犯難.次日腳痛減一半，六朝方得至其關(guān).要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公細(xì)致算相還.”其意思

是“有一個(gè)人走378里，第一天健步行走，從其次天起腳痛，每天走的路程是前一天的一半,

走了6天后到達(dá)目的地.”則第三天走了（）

A.60里B.48里

C.36里D.24里

解析：選B由題意得每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列｛aj,其中&=378,則氏=

a"_手）1

———=378,解得a=192,所以a3=192X]=48.

一5

4.已知遞減的等差數(shù)列｛aj中，a3=-l,團(tuán)，&,一a成等比數(shù)列.若S為數(shù)列｛aj

的前〃項(xiàng)和，則S的值為（）

A.-14B.-9

C.-5D.-1

解析：選A設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為"由題可知水0,因?yàn)閲?guó),一a成等比數(shù)列，所

以（—56）,即（ai+3#2=&X（一a一5中,又&=&+2d=-1,聯(lián)立可解得d=-l

9

或（舍去）.因?yàn)閐=-1,所以劭=1,所以岳=一14.

5

5.若數(shù)列｛a｝是正項(xiàng)數(shù)列，且傘+板H---\-y[an=ii+nf則ai+yH----^等于（）

A.2n+2nB.n+2n

C.2n+nD.2(n+2n)

，當(dāng)?shù)?1時(shí)，y[ai=2,解得a=4.

當(dāng)?shù)?2時(shí)，

①一②，得^L=2/7,.\an=4n.

當(dāng)77=1時(shí)上式也成立.

工曳=4n,則&+牛-I---1--=4（1+2H---\-n）=4X---^――=2n+2〃.

n2n2

6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛a｝的前77項(xiàng)和為Sn,且&-254—5,貝！J乃9+a1（）+勵(lì)1+囪2的最小

值為（）

A.10B.15

C.20D.25

解析：選C由題意可得女9+aio+au+ai2=S2—&,由&-22=5可得關(guān)-2=2+5,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得W,S12-友成等比數(shù)列，則S（Si2-&）=（&-￡）\綜上可得

當(dāng)且僅當(dāng)&=5時(shí)等號(hào)成立，綜上可得@9+句0+Z11+42的最小值為20.

7.設(shè)｛a｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S為其前〃項(xiàng)和.已知/&=1,5=7,則其公比

0等于.

解析：:｛a｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，，數(shù)列｛a｝的公比q>0.由&a=1,得萌=1,

.*.53=1.*.*&=7,/.+az=A+-+1=7,即6"一°-1=0,解得。=：或<7=一<（舍

QQLiu

去）?故<7=2,

8.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a｝中，8―i&+i=28（勿22）,數(shù)列｛a｝的前刀項(xiàng)積為北.

若0i=512,則勿的值為.

解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得aiai=a《=2a”.又?jǐn)?shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以為=

2.又7Li=(a)*|=2*|=512,所以2〃-1=9,所以0=5.

答案：5

9.設(shè)數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為S,且4=1,a^+aB+i=^;(/7EN*),則甌-i=.

解析：因?yàn)閍=1,所以&?-i=ai+(a+a)4----卜(々題-Z+&1)

1+77+市+

10.(2024?成都模擬)已知等差數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為S,短=3,a=16,」GN*.

⑴求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)4=-L,求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和■.

1

解：(1)設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為4

?2=3,2=16,

4+d=3,44+64=16,

解得H=1,d=2.

??Q，n:=2/71.

(2)由題意，b—

n2\2z?—12n~\~1

北=bi+坊+…+4

+-+2T?—12〃+1

2刀+1

2刀+「

11.(2025屆高三?南寧二中、柳州中學(xué)聯(lián)考)已知a=2,&=4,數(shù)列｛4｝滿意：ba

=26〃+2且4+1—5^—bn.

⑴求證:數(shù)列伉+2｝是等比數(shù)列;

⑵求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式.

切/八、〒□口上日古卜4+1+224+2+2

角牛：(1)證明：由寇知，,I—/?=2,

仇十292十29

*.*4=/—2=4-2=2,61+2=4,

???數(shù)列的+2｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹！J.

(2)由(1)可得,4+2=4?2"T,故4=2"+i—2.

?ZA+13，nbn,

??&-4=A,

&-&='

34-3,3=bi9

3，n3，n~lbn—\.

累加得，%—a=61+慶+&+~+4—1(〃22),

23

an=2+(2-2)+(2-2)+(2,-2)+…+(2”—2)

21一2”

~1-22(〃一1)

n+l

=2~2nf

故品=2"+1—27?(7?22).

???4=2符合上式，

?,?數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式為4=2"+】一2〃5WN*).

12.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，&=6,前〃項(xiàng)和為S,｛4｝是等比數(shù)列，&=2,出晟=

12,&+4=19.

⑴求｛a｝，仇｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛Acos3兀)｝的前n項(xiàng)和Tn.

解：(1)??,數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，&=6,

旦+61=3勿+61=18+61=19,61=1,

,:慶=2,數(shù)列伍｝是等比數(shù)列，???4=2".

&=4,Vai&=12,?\HI=3,

,?2=6,數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，

??8?=3/7.

(2)由(1)得，令Q=bncos⑸兀)=(―

?,?2+1=(-

&+1_

~=~2,又C\=—1,

???數(shù)歹(HAcos(為五)｝是以一1為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列,

-IX[1--2"]

Tn=1+2

o

二、強(qiáng)化壓軸考法一一拉開(kāi)分

1.已知數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,且&=2,S+i=44+2,則@2=（）

A.20480B.49152

C.60152D.89150

解析：選B由S=4a+2,得&+a=4&+2,聯(lián)立功=2,解得a=8.又2+2=S+2

—S+i=4&rR—4為，???劣+2—2a+i=2（Z+L2a；）,???數(shù)歹（J｛a+1—2&J是以色―2謝=4為首項(xiàng)，

以2為公比的等比數(shù)列，"+「2&=4X2"T=2〃+I,.產(chǎn)+""=1,...券一京=1,.?.數(shù)

列］是以胃=1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，，￡=1+（〃-1）=〃，?2",江

=12X212=49152.

2.已知2=1,a=〃（A+L劣）（〃￡N*）,則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式是（）

A.2/7-1B.

C.nD.n

解析：選D因?yàn)榱?〃（a+1—Q-n）—DQn+\—nan，所以Z7a+1=（〃+1）為，所以=，

ann

生nn-12

所以為=..婦—,&=----?---7~,1=77.

Hn―13，n—2din-177—2

3.（2024.鄭州模擬）已知數(shù)列｛&｝滿意國(guó)=1,1“「a」=〃，?若――

功〃+2<H2〃O?￡N*）,則數(shù)列｛（―1）3｝的前40項(xiàng)的和為（）

19325

A——

20B-菽

4120

C，84D?五

解析：選D由題意可得82〃+l—曲-1>0,如+2-82<0,則謝+1—a〃-1>謝+2—&n，

所以82〃+1-&〃+2>82〃-1-&n.①

]

而|&什1一己2〃+2

2n~\~12刀+3

]

3-2n-\—&n

2n—12T?+1

即|82/?+1-&〃+2|<|&n-l-|?②

綜合①②，得azi—azO,

1

即&n—L改n

2/7-12T?+1*

裂項(xiàng)，得加一azinTxt*一擊)

綜上可得，數(shù)列｛(-1)"2｝的前40項(xiàng)的和為(4一81)+(2-&)H-----\~(-940—539)=2

x[(討+(H)+…+蓋斕卜冬

4.(2025屆高三?河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”聯(lián)考)在正整數(shù)數(shù)列中，由1起先依次按如

下規(guī)則，將某些數(shù)染成紅色.先染1;再染兩個(gè)偶數(shù)2,4；再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇

數(shù)5,7,9；再染9后面的最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16；再染此后最鄰近的5個(gè)連續(xù)

奇數(shù)17,19,21,23,25.按此規(guī)則始終染下去，得到一紅色子數(shù)列

1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…，則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1起先的第2018個(gè)數(shù)是

()

A.3971B.3972

C.3973D.3974

解析：選B由題意可知，第1組有1個(gè)數(shù)，第2組有2個(gè)數(shù)，…，依據(jù)等差數(shù)列的前

工三八一-12A+1._,_63X63+1

〃項(xiàng)和公式，可知前〃組共有——----個(gè)數(shù).由于2016=--------------------<2

018\64X；4+1—Ogo,因此，第?個(gè)數(shù)是第64組的第2個(gè)數(shù).由于第1組最終

一個(gè)數(shù)是1,第2組最終一個(gè)數(shù)是4,第3組最終一個(gè)數(shù)是9,…，第〃組最終一個(gè)數(shù)是丁,

因此，第63組最終一個(gè)數(shù)為632632=3969,第64組為偶數(shù)組，其第1個(gè)數(shù)為3970,第2

個(gè)數(shù)為3972,故選B.

5.(2025屆高三?南昌調(diào)研)設(shè)數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S,若a=3且當(dāng)時(shí)，2a〃

=Sn?S-I(T?￡N*),則數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式an=.

解析：當(dāng)?shù)?2時(shí)，由2an=Sn?S-1可得2(S—S—J=Sn?Sn-i,即三一一一

0/74JnOn—1

1

.??數(shù)歹心是首項(xiàng)為《公差為一加等差數(shù)列，(f=T,

-2-

6」11665-J8”又

??S=5_3,當(dāng)?2時(shí)，an=2SnSn-l=2X5-3/7X5-3n-1

為=3,

3,77=1,

??3，n18________>

5—3〃8-3/7J

3,n=lf

答案：1________18________

力22

5—3T?8-3T?

6.(2024?開(kāi)封模擬)已知數(shù)列｛a｝滿意[2—(―1)口為+[2+(—1)”]2+1=1+(—

1)"X3/7(〃￡N*),則825一4=.

解析：:[2—(-1)"]2+[2+(-1)"]a+1=1+(―1)"X3/?,???當(dāng)〃=2A(A@N*)時(shí)，a2k

+3加+i=l+6A,當(dāng)n=2k—1(A￡N*)時(shí)，3/衣-1+劭=1—6A+3,;?骸+1—&-i=4A—1,

〃25=(己25—523)+(己23—己21)+…+(&—a)+&=(4X12-1)+(4X11—1)+…+(4X1-1)

]2X12+1

+ai=4X--------------------12+ai=300+a,/.azs-ai=300.

答案：300

三、加練大題考法一一少失分

1.已知等差數(shù)列｛a0｝的前〃項(xiàng)和為S,S=0,a3-2a2=12(/7eN*).

(1)求數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)公式a“；

⑵求數(shù)列產(chǎn)井［的前n項(xiàng)和S.

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,

7囪+d=0,Hi=—12,

由已知得，2解得

(7=4,

、Hi+2d_2a+d=12,

所以^=4/7—16.

為+164/7-16+16n

⑵由⑴知2=4刀一16,所以，2五2尹

所以S=g+/+梟----琛,

兩邊同乘以提

得5$=爐+彳+,+■■■+―2n+2〃+小

1n

兩式相減，得----

乙乙乙乙乙F2n~2n+i

n〃+2n+2

2〃+i12"+i所以Sn=2一_F

2"—1

2.設(shè)數(shù)列｛4｝的前刀項(xiàng)和為北=丁(〃￡N*).

⑴求｛a｝的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)歹!)｛4｝滿意仇=log2外,數(shù)列｛，｝的前〃項(xiàng)和為Sn,定義［x］為不小于X的最小

整數(shù)，求數(shù)列卜勺前n項(xiàng)和旦.

2"—1

解：(1)因?yàn)閿?shù)列｛劣｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n=-

21—11

所以a=71-=1?

2f2小一1『

當(dāng)時(shí)，a=T—T-\

nnn44

當(dāng)〃=1時(shí)，囪=；符合上式.

故為=2"T.

(2)由(1)可知，6〃=log2a=刀一3,

則數(shù)歹()｛4｝是首項(xiàng)為-2,公差為1的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和S=^■一，〃，則3=:一怖.

乙乙n乙乙n

c15

因?yàn)楫?dāng)心1時(shí)，涓而一元單調(diào)遞增,

C9C

所以聲-2,當(dāng)2W后5時(shí)，一產(chǎn)產(chǎn)。,

1s1

當(dāng)后6時(shí)，訪W涓〈5,

所以7?1=-2,

當(dāng)2W〃W5時(shí)，%=—2+0+0H---H0=-2,

當(dāng)時(shí)，Rn——2+（77—5）,1=77—7,

所以此=!:1

［〃一7,“26.

3.已知等差數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S(〃￡N*),且a=3,W=25.

⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛4｝滿意4=-;」=,記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為北，證明：7X1.

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d.

@+d=3,

因?yàn)?=3,￡=25,所以152a+4d

=25,

2