人教版初中數(shù)學同步講義練習-9下第03講 位似（解析版）

第03講位似課程標準學習目標①位似的定義與性質②平面直角坐標系中的位似掌握位似圖形的概念與位似圖形的性質，并且能夠熟練的應用其性質解決相關題目。掌握平面直角坐標系中的位似，能夠利用位似的性質進行求解坐標與作圖等。知識點01位似圖形的概念位似圖形的概念：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行或在同一直線上，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。題型考點：①位似圖形的概念理解。②位似關系的判斷；③確定位似中心【即學即練1】1．下列命題不正確的是（）A．兩個位似圖形一定相似 B．位似圖形的對應邊若不在同一條直線上，那么一定平行 C．兩個位似圖形的位似比就是相似比 D．兩個相似圖形一定是位似圖形【解答】解：根據(jù)位似圖形變換性質知：位似是相似的特殊形式；A、兩個位似圖形一定相似，故正確；B、兩個位似圖形一定相似位似圖形的對應邊若不在同一條直線上，那么一定平行，故正確；C、兩個位似圖形的位似比就是相似比，故正確；D、兩個相似圖形不一定是位似圖形，故錯誤．故選：D．【即學即練2】2．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列圖形中，△ABC與△A′B′C′不存在位似關系的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、△ABC與△A′B′C′是位似關系，故此選項不合題意；B、△ABC與△A′B′C′是位似關系，故此選項不合題意；C、△ABC與△A′B′C′是位似關系，故此選項不合題意；D、△ABC與△A′B′C′對應邊BC和B′C′不平行，故不存在位似關系，故此選項符合題意；故選：D．【即學即練3】3．圖中兩個四邊形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點M B．點N C．點O D．點P【解答】解：點P在對應點M和點N所在直線上，再利用連接另兩個對應點，得出相交于P點，即可得出P為兩圖形位似中心，故選：D．【即學即練4】4．用直尺畫出下面位似圖形的位似中心．【解答】解：如圖，點O、P、Q分別為位似圖形的位似中心.知識點02位似圖形的性質位似圖形的性質：①位似圖形的特殊的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質。②位似圖形的對應點連線交于一點，即位似中心。對應邊相互平行或在同一直線上。③位似圖形任意一組對應點到位似中心的距離的比值等于相似比。題型考點：①利用位似圖形的性質求值?！炯磳W即練1】5．如圖，△ABC與△DEF位似，點O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，則S△DEF＝（）A．9 B．12 C．16 D．36【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，∴BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝4，∴S△DEF＝36，故選：D．【即學即練2】6．如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，若OA：AD＝1：2，△ABC的周長為3，則△DEF的周長為（）A．6 B．9 C．12 D．27【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，點O為位似中心．OA：AD＝1：2，∴△ABC∽△DEF，AC：DF＝OA：OD＝1：3，∴△ABC的周長：△DEF的周長＝1：3，∴△DEF的周長為3×3＝9．故選：B．【即學即練3】7．如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，且OC：OF＝3：2，則△ABC的周長與△DEF周長之比為（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，∴△ABC∽△DEF，∴△ABC的周長與△DEF周長之比＝3：2．故選：A．【即學即練4】8．如圖，△A′B′C和△ABC是位似三角形，位似中心為點O，OA'＝2AA'，則△A′B′C和△ABC的相似比為（）A．1：4 B．1：3 C．4：9 D．2：3【解答】解：∵OA'＝2AA'，∴OA：OA'＝2：3，∵△A′B′C和△ABC是位似三角形，∴AC∥A′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴＝＝，故選：D．知識點03用坐標表示位似用坐標表示位似：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k。即若A（x，y），以原點為位似中心，相似比為k的對應點的坐標為。題型考點：①求對應點的坐標。②求位似中心的坐標。【即學即練1】9．如圖，在平面直角坐標系中的第一象限內，△ABC的頂點坐標分別是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原點O為位似中心，作出△ABC的位似圖形△DEF．若△DEF與△ABC的相似比為2：1．則點F的坐標為（）A．（2，4） B．（2，2） C．（6，2） D．（7，2）【解答】解：∵△ABC與△DEF位似．△DEF與△ABC的相似比為2：1，∴△ABC與△DEF位似比為1：2，∵點C的坐標為（3，1），∴點F的坐標為（3×2，1×2），即（6，2），故選：C．【即學即練2】10．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（3，4），B（6，2），以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點A的對應點A'的坐標是（）A．（6，8） B．（4，4）或（﹣4，﹣4） C．（﹣6，﹣8） D．（6，8）或（﹣6，﹣8）【解答】解：∵以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點A的坐標為（3，4），∴點A的對應點A'的坐標為（3×2，4×2）或（3×（﹣2），4×（﹣2）），即（6，8）或（﹣6，﹣8），故選：D．【即學即練3】11．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點O（0，0），A（8，0），B（0，6），以某點為位似中心，作出△AOB的位似圖形△CED，則位似中心的坐標為（）A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．（0，6）【解答】解：延長OE、AC交于點P，∵△AOB和△CED是位似圖形，∴點P為位似中心，由圖可知，點P的坐標為（2，2），故選：C．【即學即練4】12．如圖，在平面直角坐標系中，△AOB與△COD是以點O為位似中心的位似圖形，若A（3，0），B（2，﹣1），C（6，0），則點B的對應點D的坐標為（）A．（4，﹣2） B．（6，﹣3） C．（4，2） D．（6，3）【解答】解：∵△AOB與△COD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，∴點B的坐標為（2×2，﹣1×2），即（4，﹣2），故選：A．知識點04位似作圖位似作圖：利用位似，可以將一個圖形放大或縮小，畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心和圖形關鍵點。分別作他們所在的直線。②根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點。③順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形。題型考點：①進行位似作圖?！炯磳W即練1】13．如圖所示，在平面直角坐標系中，有兩點A（4，2），B（3，0），以原點為位似中心，A′B′與AB的相似比為，得到線段A′B′．正確的畫法是（）A． B． C． D．【解答】解：畫出圖形，如圖所示：故選：D．【即學即練2】14．如圖，△ABC三個頂點坐標分別為A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．在平面直角坐標系中，以原點O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍得到的圖形畫出來．【解答】解：如圖，△A'B'C'與△A''B''C''均滿足題意．【即學即練3】15．在平面直角坐標系內，△ABC的位置如圖所示．（1）畫出與△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1．（2）以原點O為位似中心，在第四象限內作出△ABC的位似圖形△A2B2C2，且△A2B2C2與△ABC的相似比為2：1．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所作．（2）如圖，△A2B2C2即為所作．【即學即練4】16．在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．（1）以原點O為位似中心，在網格中y軸右側作出△ABC的位似圖形△A1B1C1，使△ABC與△A1B1C1的相似比為1：2；（2）作出△ABC繞點C順時針旋轉90°后的圖形△A2B2C．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）如圖，△A2B2C即為所求．題型01利用位似的性質求值【典例1】如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形．若OA：AD＝2：3，則△ABC與△DEF的周長比是（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25【解答】解：∵△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形．∴△ABC和△DEF的位似比為OA：OD，∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC與△DEF的周長比是2：5．故選：C．【典例2】如圖，△ABC與△DEF關于點O位似，且相似比為3：4，則AB與DE的比為（）A．3：4 B．2：7 C．9：16 D．4：3【解答】解：∵△ABC與△DEF關于點O位似，∴△ABC∽△DEF，∵△ABC與△DEF的相似比為3：4，∴AB與DE的比為3：4，故選：A．【典例3】如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為O，且△ABC與△DEF的周長之比是4：3，則AO：DO的值為（）A．4：7 B．4：3 C．3：4 D．16：9【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∵△ABC與△DEF的周長之比是4：3，∴AB：DE＝4：3，∵AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴AO：DO＝AB：DE＝4：3，故選：B．【典例4】如圖，四邊形ABCD和A'B'C'D'是以點O為位似中心的位似圖形，若OB：OB'＝1：2，則四邊形ABCD與A'B'C'D'的周長比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：3【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'是以點O為位似中心的位似圖形，OB：OB'＝1：2，∴四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'的相似比為1：2，∴四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'的周長比為1：2．故選：A．【典例5】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△DEF是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若A（﹣2，0），D（3，0），且AC＝，則線段DF的長度為（）A． B． C． D．【解答】解：∵△ABC與△DEF是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，A（﹣2，0），D（3，0），∴△ABC∽△DEF，且相似比為2：3，∴＝，∵AC＝2，∴DF＝3，故選：B．題型02坐標表示位似【典例1】如圖，在直角坐標系中，△ABC與△ODE是位似圖形，已知點A（2，1），則位似中心的坐標是（）A．（1，5） B．（4，2） C．（1，4） D．（5，2）【解答】解：連接DB，OA并延長，交于點M，點M即為位似中心，如圖，∴M點坐標為（4，2），故答案為：B．【典例2】如圖，將視力表中的兩個“E”放在平面直角坐標系中，兩個“E”字是位似圖形，位似中心點O，①號“E”與②號“E”的相似比為2：1．點P與Q為一組對應點，若點Q坐標為（﹣2，3），則點P的坐標為（）A． B．（﹣6，4） C． D．（﹣4，6）【解答】解：∵①號“E”與②號“E”的相似比為2：1，點Q坐標為（﹣2，3）∴點P的坐標為（﹣2×2，3×2），即（﹣4，6），故選：D．【典例3】如圖，若△ABC與△A1B1C1是位似圖形，則位似中心的坐標為（）A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）【解答】解：如圖所示：位似中心的坐標為（0，﹣1）．故選：D．【典例4】在平面直角坐標系中，已知點A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原點O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，則點B的對應點B'的坐標是（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）或（3，2） C．（﹣12，﹣8） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）【解答】解：∵以原點O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，B（﹣6，﹣4），點B'的對應點A'的坐標為（﹣6×2，﹣4×2）或（﹣6×（﹣2），﹣4×（﹣2）），即點B'的坐標為（﹣12，﹣8）或（12，8），故選：D．【典例5】如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點A的坐標為（﹣2，4）．若以原點O為位似中心，相似比為，把△AOB縮小，則點A的對應點A′的坐標是（）A． B．或 C．（﹣8，16） D．（﹣8，16）或（8，﹣16）【解答】解：∵以原點O為位似中心，相似比為，把△AOB縮小，點A的坐標為（﹣2，4），∴點A的對應點A′的坐標為（﹣2×，4×）或（﹣2×（﹣），4×（﹣）），即（﹣，1）或（，﹣1），故選：B．題型03位似規(guī)律題【典例1】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，1），點B的坐標為（1，2），以點O為位似中心，在點O的異側作△OAB的位似圖形△OA1B1，使△OAB與△OA1B1的相似比為1：2；再以點O為位似中心，在點O的異側作△OA1B1的位似圖形△OA2B2，使△OA1B1與△OA2B2的相似比為1：2??以此類推，則點B2023的坐標為（﹣22023，﹣22024）．【解答】解：根據(jù)題意，點B的坐標為（1，2），在點O的異側作△OAB的位似圖形△OA1B1，使△OAB與△OA1B1的相似比為1：2，則B1（﹣2，﹣4），再以點O為位似中心，在點O的異側作△OA1B1的位似圖形△OA2B2，使△OA1B1與△OA2B2的相似比為1：2，則B2（4，8），……所以，點，故點B2023的坐標為（﹣22023，﹣22024）．故答案為：（﹣22023，﹣22024）．【典例2】如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOCB的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且OA＝2．OC＝1，則矩形AOCB的對稱中心的坐標是（﹣1，）；在第二象限內，將矩形AOCB以原點O為位似中心放大為原來的倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，按此規(guī)律，則矩形A4OC4B4的對稱中心的坐標是（﹣，）．【解答】解：∵OA＝2．OC＝1，∴B（﹣2，1），∴矩形AOCB的對稱中心的坐標為（﹣1，），∵將矩形AOCB以原點O為位似中心放大為原來的倍，得到矩形A1OC1B1，∴B1（﹣3，），同理可得B2（﹣，），B3（﹣，），B4（﹣，），∴矩形A4OC4B4的對稱中心的坐標是（﹣，）．故答案為（﹣1，），（﹣，）．題型04位似作圖【典例1】如圖，點P（﹣6，6）和△ABC在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4，4）．（1）畫出△ABC關于y軸對稱的圖形△A'B'C'；（2）以點P為位似中心作△DEF，使△DEF與△A'B'C'位似，且這兩個三角形在點P的同側，相似比為2，并寫出點A'的對應點D的坐標．【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求．（2）如圖，△DEF即為所求．點D的坐標為（﹣2，2）．【典例2】如圖，△ABC在平面直角坐標系內三頂點的坐標分別為A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；（2）以B為位似中心，在B的下方畫出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似且相似比為2：1；（3）直接寫出點A2和點C2的坐標．【解答】解：（1）如圖1所示，△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示，△A2BC2即為所求；（3）依據(jù)圖2可知，A2（1，1），C2（﹣3，﹣1）．【典例3】如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點坐標分別為O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．（1）以原點O為位似中心，在y軸的右側畫出△OAB的一個位似△OA1B1，使它與△OAB的位似比為2：1；（2）畫出將△OAB向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的△O2A2B2；（3）判斷△OA1B1和△O2A2B2是位似圖形嗎？若是，請在圖中標出位似中心點M，并寫出點M的坐標．【解答】解：（1）如圖，△OA1B1即為所作圖形；（2）如圖，△O2A2B2即為所作圖形；（3）△OA1B1和△OA2B2是位似圖形，點M為所求位似中心，點M的坐標為（﹣4，2）．【典例4】如圖，已知O是坐標原點，A、B的坐標分別為（3，1）、（2，﹣1）．（1）畫出△OAB繞點O順時針旋轉180°后得到的圖形．（2）在y軸的左側以O為位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新圖與原圖的相似比為2：1，并分別寫出A、B的對應點C、D的坐標．【解答】解：（1）如圖所示，△OA′B′即為所求；（2）如圖所示△OCD即為所求，D（﹣4，2），C（﹣6，﹣2）．1．若兩個直角三角形都有一個30°的內角，則這兩個直角三角形一定（）A．全等 B．相似 C．位似 D．無法確定【解答】解：如果兩個直角三角形都有一個30°的內角，那么這兩個三角形有兩角對應相等，所以這兩個三角形相似，因為沒有給出對應邊的關系，所以兩個三角形不一定全等，故選：B．2．如圖，在正方形網格中，以點O為位似中心，△ABC的位似圖形可以是（）A．△DEF B．△DHF C．△GEH D．△GDH【解答】解：∵△ABC與△GEH是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，∴△ABC與△GEH是位似圖形，故選：C．3．如圖所示△DEF是△ABC位似圖形的幾種畫法，其中正確的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：第一個圖形中的位似中心為A點，第二個圖形中的位似中心為AD與BC的交點，第三個圖形中的位似中心為O點，第四個圖形中的位似中心為O點．故選：A．4．如圖，以點O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，OA＝3，AC＝5，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵以點O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，∴△OAB∽△OCD，∴．故選：A．5．如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△DEF和△ABC的面積比是（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【解答】解：∵△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，∴△ABC∽△DEF，∵△ABC和△DEF的相似比為2：3，∴△DEF與△ABC和的相似比為3：2，∴△DEF和△ABC的面積比為9：4，故選：B．6．如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，位似比為1：2，BC＝2，則EF的長度為（）A．3 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，位似比為1：2，∴△ABC∽△DEF，相似比為1：2，∴BC：EF＝1：2，即2：EF＝1：2，解得EF＝4，即EF的長度為4．故選：B．7．如圖，點O是五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝3：4，則五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1的面積比是（）A．2：3 B．3：4 C．3：7 D．9：16【解答】解：∵五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1是位似圖形，∴AB∥A1B1，∴△OAB∽△OA1B1，∴＝＝，∴五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1的面積比為：（）2＝，故選：D．8．如圖，矩形EFGO的兩邊在坐標軸上，點O為平面直角坐標系的原點，以y軸上的某一點為位似中心，作位似圖形ABCD，且點B，F(xiàn)的坐標分別為（﹣4，4），（2，1），則位似中心的坐標為（）A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）【解答】解：如圖，連接BF交y軸于P，∵四邊形ABCD和四邊形EFGO是矩形，點B，F(xiàn)的坐標分別為（﹣4，4），（2，1），∴點C的坐標為（0，4），點G的坐標為（0，1），∴CG＝3，∵BC∥GF，∴＝＝，∴GP＝1，PC＝2，∴點P的坐標為（0，2），故選：C．9．如圖，△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長之比為1：3．【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC與△A′B′C′的周長比為1：3，故答案為：1：3．10．在平面直角坐標系中，已知點A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點B對應點B'的坐標是（﹣3，﹣1）或（3，1）．【解答】解：∵點A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，∴點B的對應點B′的坐標是：（﹣9×，﹣3×）或[﹣9×（﹣），﹣3×（﹣）]，即（﹣3，﹣1）或（3，1）．故答案為：（﹣3，﹣1）或（3，1）．11．在平面直角坐標系中，已知點A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原點O為位似中心，畫△A′B′O，使它與△ABO位似，且相似比為1：2，則點B的對應點B′的坐標是（﹣3，﹣2）或（3，2）．【解答】解：∵△A′B′O與△ABO位似，以原點O為位似中心，且相似比為1：2，B（﹣6，﹣4），∴點B的對應點B′的坐標是（﹣6×，﹣4×）或（﹣6×（﹣），﹣4×（﹣）），即（﹣3，﹣2）或（3，2），故答案為：（﹣3，﹣2）或（3，2）．12．如圖，在直角坐標系中，每個網格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂