燕尾模型（學(xué)生版）-2025年初中數(shù)學(xué)幾何模型

“燕尾”型

模型展現(xiàn)

A

圖示

BAC

特點凹四邊形AB。。

1.ABDC=ZA+ZB+ZC;

結(jié)論

2.AB+AOBD+CD

。怎么用

1、找模型

遇到凹四邊形的角度問題,考慮用“燕尾”型基礎(chǔ)模型1

2、用模型

“燕尾”型通常是把凹四邊形的角轉(zhuǎn)換在兩個三角形內(nèi)，根據(jù)三角形內(nèi)外角關(guān)系解決角度問題

結(jié)論乙4+ZB+NC

證法1：如圖①，連接AD并延長，

則N1=/8+N3,N2=/C+/4,

A

/.ABDC=Z1+Z2=ZB+Z3+ZC+Z4,

/.ABDC=ZA+ZB+ZC.

圖①

證法2：如圖②,延長交/。于點區(qū)

?/ABEC是4ABE的外角，

/.NBEC=ZA+Z.B.

又?：4BDC是ACDE的外角，

ZBDC=ZBEC+/C=//+ZB+ZC.

結(jié)論2MB+40ED+CD

證明：如圖②，延長8。交AC于點E,則在△ABE中,AB+即AB+4E

>BD+DE,在ACDE中,DE+CEACD.

AC=AE+CE,

：.AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD.

思考延伸：同學(xué)們可嘗試連接進(jìn)行結(jié)論的證明.提示：使用三角形內(nèi)角和定理來證明!

。怎么用

1、找模型

遇到類似“共邊”的兩個三角形的面積或線段比值相關(guān)問題,考慮用“燕尾”型基礎(chǔ)模型2

2、用模型

一般依據(jù)三角形面積公式,建立面積與線段之間的關(guān)系

結(jié)論V.S/\AOB-.S^AOC=BD-.CD

證明：如圖，分別過點作8區(qū)CG垂直于AD交于點",G,在中，：SAOB=^AO-BH,

SAOC=-CGfSAOB：SAOC=(yAO-BJf):^AO-CG)=BH:CG,在叢BHD和叢CGD中,

/BHD=ACGD=9U°,NBDH=4CDG,

:ABHD?/\CGD,

.BH=BD

'CG-GD,

^AOB'-^AOC=BD'.CD.

滿分技法:燕尾相鄰的兩個三角形同底不等高，常根據(jù)三角形的面積公式“2x底X高”可推導(dǎo)“同底不

_____________眇

等高”的三角形的面積比即為對應(yīng)高的比

模型典例

I.將一副直角三角板按如圖所示放置，使兩直角頂點重合，則直角為公共角Z1的度數(shù)為

)

A.75°B.105°D.165°

思路點撥:兩個三角板斜邊相交構(gòu)成凹四邊形,且已知對應(yīng)角度數(shù)，結(jié)合三角

形內(nèi)外角關(guān)系即可求解。

2.模型構(gòu)造如圖是一塊不規(guī)則的紙片，已知AABC=/DEF=80°,則ZA+ZC+/斤的度數(shù)為

第1題圖

A.80°B.160°C.240°D.360°

3.如圖，已知點D,E分別在△ABC的邊ABAC上,將乙4沿DE折疊，使點A落在點F的位置，已

知乙4=50°,4=130°,則N2的度數(shù)為（）

第2題圖

A.120°B.130°C.140°D.150°

4.如圖，乙4=45°,/BDC=135°,/ABE=^-AABD,AACE=^-AACD,則ABEC的度數(shù)是

oo

第3題圖

A.30°B.45°C.75°D.90°

5.如圖，在矩形ABCD中，點E,F分別是邊的中點，連接ARCE交于點G,若矩形48co的面

積為3,則四邊形AGCD的面積為.

第4題圖

6.如圖，在△4BC中，點分別在邊上,AD與BE交于點F,若CD=3BD,EC=4AE,四

邊形CDFE的面積是10,則△ABC的面積為.

第5題圖

6.（分創(chuàng)新題型-閱讀理解試題）模型規(guī)律定義:在四邊形中，僅有一個角大

于180°,但小于360°,這樣的四邊形叫做凹四邊形（如圖①）.因為凹四邊形ABOC形似燕尾，其四角具

有乙4+/B+NC”這個規(guī)律,所以我們把這個模型叫做“燕尾”模型.

模型應(yīng)用

（1）如圖②，求乙4+的度數(shù)；（用含a的代數(shù)式表示）

第6題圖

拓展應(yīng)用

（2）如圖③，在四邊形ABCD中,BC=CD,ZBCD=2ZBAD.（O是四邊形ABCD內(nèi)一點，且。4=

OB=OD.求證:四邊形OBCD是菱形.

7.如圖，將含30°角的直角三角板ABC的直角放入△DEF的內(nèi)部，點瓦斤恰好為的中點,

若/。=45°,4DFE=56°,則ADEA的度數(shù)為)

A.11°B.15°C.19°D.26°

8.如圖,N4BD,乙4co的10等分線分別相交于點G、,G?……，G"若125°,乙4=60°,則ZBG

6c的度數(shù)為,

9.如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C,且NANB/E保持不變.為了舒適，需調(diào)

整2D的大小，使ZEFD=110°,則乙D應(yīng)（填“調(diào)大”或“調(diào)小”）度.

10.模型介紹定義:在四邊形中，僅有一個角大于180°,但小于360°,這樣的四邊形叫做凹四邊形（如圖①）.

因為凹四邊形ABOC形似燕尾，其四角具有“4BOC=乙4+NB+NC”這個規(guī)律，所以我們把這個模

型叫做“燕尾”模型.

模型應(yīng)用

（1）如圖②，求乙4+乙B+NC+NO+/E+/F的度數(shù)；（用含a的代數(shù)式表示）

（2）如圖③,若ABAC的平分線與的平分線交于點。,求證:2NO=NC—Z.B.

力

圖②

A

圖③

_______________________民后練習(xí)__________________________

11.凹四邊形因形似“燕尾”，被稱為燕尾四邊形，請結(jié)合所學(xué)知識解決下列問題：

酗豳

(1)用圖①證明：乙4++乙4cD；

⑵在圖①中，若BE平分/ABO,CE平分/43。，跳;與無交于七點,運用⑴的結(jié)論寫出NBDC、

2BEC和ABAC之間的關(guān)系，并說明理由；

⑶如圖②，若==試探索ABDC,/BEC和NR4c三個角之間的關(guān)系為

OO

(直接寫出結(jié)果即可).

___________F

12.（2023?重慶?八年級專題練習(xí)）請閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù)：

有趣的“飛鏢圖”

如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”.當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實際上就是凹

四邊形.那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識與探究：凹四邊形通俗地說，就

是一個角，，凹，，進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有:凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個內(nèi)角之和.

（即如圖1,NADB=NA+NB+NC）理由如下：

方法一:如圖2,連接AB,則在△ABC中，NC+NCAB+NCBA=180°,即Zl+Z2+Z3+Z4+ZC

=180°，又?.?在△ABD中，Nl+N2+ZADB=180°,/.ZADB=Z3+Z4+ZC,即AADB=ACAD

+NCBD+NC.

方法二:如圖3,連接CD并延長至F,?：Z1和N3分別是△AC?和ABCD的一個外角，........

大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論,你有自己的方法嗎？

任務(wù)：

（1）填空:“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是;

（2）探索:根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；

⑶應(yīng)用：如圖4,AE是ACAD的平分線，8斤是ACBD的平分線，AE與BF交于G,若AADB=

150°,乙4GB=110°,請你直接寫出/C的大小.

口__________

13.（2023?湖北?八年級專題練習(xí)）在社會實踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計了一個形狀如圖所示的零件，如果

ZA=52°,ZB=25°,/C=30°,/。=35°,/E=72°,那么/斤的度數(shù)是（）.

A.72°B.70°C.65°D.60°

14.（2023?江蘇南京?七年級校聯(lián)考期末）互動學(xué)習(xí)課堂上某小組同學(xué)對一個課題展開了探究.

小亮：已知，如圖三角形ABC,點。是三角形ABC內(nèi)一點，連接AD,CD,試探究與乙4,/I,

N2之間的關(guān)系.

小明：可以用三角形內(nèi)角和定理去解決.小麗:用外角的相關(guān)結(jié)論也能解決.

⑴請你在橫線上補全小明的探究過程：

ABDC+ADBC+4BCD=180°,（）

/.ZBDC=180°-ADBC-ABCD,（等式性質(zhì)）

ZA+Z1+Z2+ZDBC+ZBCD=180°,

/.ZA+Z1+Z2=180°-ADBC-/BCD,

：.ZBDC=ZA+Z1+Z2.（）

（2）請你按照小麗的思路完成探究過程；（3）利用探究的結(jié)果，解決下列問題：

①如圖①，在凹四邊形ABCD中，NBDC=135°,4B=NC=25°,求NA=；

②如圖②，在凹四邊形4BCD中，4LBD與/ACD的角平分線交于點及ZA=60°,/8。。=140°,則

NE=；③如圖③，NAB。，NACD的十等分線相交于點、E、月、…、網(wǎng)，若/口。。=120°,

4BRC=6