解析幾何第四版習題答案第四章

第四章柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面§4、1柱面1、已知柱面得準線為:且(1)母線平行于軸;(2)母線平行于直線,試求這些柱面得方程。解:(1)從方程中消去,得到:即:此即為要求得柱面方程。(2)取準線上一點,過且平行于直線得直線方程為:而在準線上,所以上式中消去后得到:此即為要求得柱面方程。2而在準線上,所以:消去,得到:此即為所求得方程。3、求過三條平行直線得圓柱面方程。解:過又過準線上一點,且方向為得直線方程為:將此式代入準線方程,并消去得到:此即為所求得圓柱面得方程。4、已知柱面得準線為,母線得方向平行于矢量,試證明柱面得矢量式參數方程與坐標式參數方程分別為:與式中得為參數。證明:對柱面上任一點,過得母線與準線交于點,則,即1、求頂點在原點,準線為得錐面方程。解:設為錐面上任一點,過與得直線為:設其與準線交于,即存在,使,將它們代入準線方程,并消去參數,得:即:此為所要求得錐面方程。2、已知錐面得頂點為,準線為,試求它得方程。解:設為要求得錐面上任一點,它與頂點得連線為:令它與準線交于,即存在,使將它們代入準線方程,并消去得:此為要求得錐面方程。4、求對錐面上任一點,過與頂點得母線為:令它與準線得交點為,即存在,使,將它們代入準線方程,并消去得:此即為要求得圓錐面得方程。5、求頂點為,軸與平面垂直,且經過點得圓錐面得方程。解:軸線得方程為:過點且垂直于軸得平面為:即:該平面與軸得交點為,它與得距離為:要求圓錐面得準線為:得徑矢為,試證明錐面得矢量式參數方程與坐標式參數方程分別為:與式中,為參數。證明:對錐面上任一點,令,它與頂點得連線交準線于,即。,且(頂點不在準線上)即亦即此為錐面得矢量式參數方程。若將矢量式參數方程用分量表示,即:此為錐面得坐標式參數方程,為參數?！?、3旋轉曲面1、求下列旋轉曲面得方程:(1);繞旋轉(2);繞旋轉(3)繞軸旋轉;(4)空間曲線繞軸旋轉。解:(1)設就是母線上任一點,過得緯圓為:因在母線上,(3)從(1)——(3)消去,得到:此為所求得旋轉面得方程。(3)對母線上任一點,過該點得緯圓為:又在母線上,所以:(3)從(1)——(3)消去,得到:此為所求得旋轉面方程。(4)對母線上任一點,過得緯圓為:又在母線上,所以從(1)——(3)消去,得到:即旋轉面得方程為:2、將直線繞軸旋轉,求這旋轉面得方程,并就可能得值討論這就是什么曲面？解:先求旋轉面得方程式:任取母線上一點,過得緯圓為:又(3)從(1)——(3)消去,得到:此即為所求旋轉面得方程。當時,旋轉面為圓柱面(以軸為軸);當時,旋轉面為圓錐面(以軸為軸,頂點在原點);當時,旋轉面變?yōu)檩S;當時,旋轉面為單葉旋轉雙曲面。3、已知曲線得參數方程為,將曲線繞軸旋轉,求旋轉曲面得參數方程。解:如圖,設為上任一點,則對經過得緯圓上任一點,§4、4橢球面1、做出平面與橢球面得交線得圖形。解:平面與橢球面得交線為:,即——橢圖形為2、設動點與點得距離等于從這點到平面得距離得一半,試求此動點得軌跡。解:設動點,要求得軌跡為,則條兩兩相互垂直得射線,分別交曲面,設,試證:證明:利用上題結果,有其中就是得方向余弦。若將所在得直線瞧成新得坐標系得三個坐標軸,則就是坐標矢量關于新坐標系得方向余弦,從而,同理,,所以,即:5、一直線分別交坐標面于三點,當直線變動時,直線上得三定點也分別在三個坐標面上變動,另外,直線上有第四點,它與三點得距離分別為,當直線按照這樣得規(guī)定(即保持分別在三坐標面上)變動,試求點得軌跡。解:設,則知:又設,又在得連線上,(4)從(1)——(4)消去,得到即:滿足要求得平2、給定方程試問當取異于得各種數值時,它表示怎樣得曲面？解:對方程(*)1o、當時,(*)不表示任何實圖形;2o、當時,(*)表示雙葉雙曲面;3o、當時,(*)表示單葉雙曲面;4o、當時,(*)表示橢球面。3、已知單葉雙曲面,試求平面得方程,使這平面平行于面(或面)且與曲面得交線就是一對相交直線。解:設所求得平面為,則該平面與單葉雙曲面得交線為:(*)亦即為使交線(*)為二相交直線,則須:,即所以,要求得平面方程為:同理,平行于得平面要滿足它與單葉雙曲面得交線為二相交直線,則該平面為:4、設動點與得距離等于這點到平面得距離得兩倍,試求這動點得軌跡。解:此即為要求得射影柱面方程。6、設直線與為互不垂直得兩條異面直線,就是與得公垂線得中點,兩點分別在直線,上滑動,且,試證直線得軌跡就是一個單葉雙曲面。證明:以,得公垂線作為軸,作為坐標原點,再令軸與,得夾角均為,公垂線得長為,若設,則,得方程分別為:令,,則有:又,所以:亦即(2)又設為上任一點,則(3)從(1)——(3)中消去,得:即:(4)不垂直,(4)表示單葉雙曲面,即得軌跡就是一單葉雙曲面。7、試驗證單葉雙曲面與雙葉雙曲面得參數方程分別為:與解為:令確定與與均在該曲面上。有:從而所以要求得橢圓拋物面得方程為:即:2、適當選取坐標系,求下列軌跡得方程:(1)到一定點與一定平面距離之比為定常數得點得軌跡;(2)與兩給定得異面直線等距離得點得軌跡,已知兩異面直線間得距離為,夾角為。解:(1)取定平面為面,過定點且垂直于面得直線作為軸,則定點得坐標設為,而定平面即為,設比值常數為,并令所求得軌跡為,則點即此為得方程。(2)取二異面直線得公垂線為軸,中點得坐標為原點;再取軸,使其與二異面直線得夾角相等,則二異面直線得方程為:與設所求得軌跡為,則解:略。5、試驗證橢圓拋物面與雙曲拋物面得參數方程可分別寫成:與式中得為參數。解:對方程消去參數得:這正就是橢圓拋物面得方程。對方程消去參數得:這正就是雙曲拋物面得方程。§4、7單葉雙曲面與雙葉雙曲面得直母線求下列直紋面得直母線族方程:(1)(2)解:(1)從原方程得:即:亦即:為了避免取極限,將上方程寫成:(1)若將原方程變形為:,則可得到:(2)若令,,則(2)便就是(1)原曲面得直母線族就是(1),其中不全為零。(2)原方程變形為:亦即:(1)由得:(2)(1)(2)即這原曲面得兩組直母線族方程。求下列直線族所成得曲面(式中得為參數)(1);(2)解:(1)原方程等價于從此式中消去,得:此即為直母線(1)所形成得曲面。(2)從原方程中消去得:此即為(2)得直母線族所形成得曲面。3、在雙曲拋物面上,求平行于平面得直母線。解:雙曲拋物面得兩族直母線為:及第一族直母線得方向矢量為:第二族直母線得方向矢量為:據題意,要求得直母線應滿足:要求得直母線方程為:及4、試證單葉雙曲面得任意一條直母線在面上得射影,一定就是其腰圓得切線。證明:單葉雙曲面得腰圓為兩直母線為:它在面內得射影為:(2)將(2)得第一式代入(1)得第一式得:即:上述方程得判別式為: (2)與(1)相比,證畢。5、求與兩直線與相交,而且與平面平行得直線得軌跡。解:設動直線與二已知直線分別交于,則,又動直線與平面平行,所以,對動直線上任一點,有:從(1)——(4)消去,得到:6、求與下列三條直線,與都共面得直線所構成得曲面。解:動直線不可能同時平行于直線及直線不妨設其與第一條直線交于注與第二條直線得平面為:過與直線得平面為動直線得方程為:從上式中消去參數,得:此為所要求得軌跡方程。7、試證明經過單葉雙曲面得一直母線得每個平面一定經過屬于另一族直母線得一條直母線,并舉一反例,說明這個命題與雙曲拋物面得情況下不一定成立。證明:單葉雙曲面得一族直母線為:過該族中一條直母線得平面為:即:(1)另一族直母線為:過該族中一條直母線得平面為:即(2)對照(1)、(2)得,只要令,得(2)便就是(1)了亦即過族每一直母線得任一平面都經過族中得一條直母線,同理,對族得直母線也有類似性質。對雙曲拋物面:其族直母線為:(*)取其中得一條(即取定),顯然平面通過直母線(*),但該平面不通過族直母線中得任何一條,這就是因為:族直母線得方向矢量為而平面不能通過族中得任何直母線。8、試求單葉雙曲面上互相垂直得兩條直母線交點得軌跡方程。解:由于過單葉雙曲面上每點僅有一條母線與一條母線,所以它得同族直母線不能相交,設單葉雙曲面得二垂直相交得直母線為:將兩方程化為標準式,得:由此求出二直線得交點坐標為:又二直線垂直,即又交點在單葉雙曲面上,所以:故交點得軌跡為9、試證明雙曲拋物面上得一兩條直母線直交時,其交點必在一雙曲線上。證明:由于過雙曲拋物面上一點僅有一條族直母線,也僅有一條族直母線,所以同族得直母線不能相交。設兩相交得直母線為:其方向矢量為與其方向矢量為由二直線直交,所以:(*)二直母線得交點坐標為:但由(*)式有:(**)(**)為一雙曲線方程,交點在一雙曲線上。10、已知空間兩異面直線間得距離為,夾角為,過這兩條直線分別作平面,并使這兩平面相互垂直,求這樣兩平面交線得軌跡。解:建立坐標系:取二異面直線得公垂線作為軸,公垂線得中點為原點,讓軸與二異面直線夾角相等,則二直線方程為:與過這兩直線得平面為:二平面得交線為:(1)