自動控制原理 教案 項目7 線性離散控制系統(tǒng)的分析

項目名稱項目七線性離散控制系統(tǒng)的分析教學內(nèi)容離散控制系統(tǒng)的相關概念及其特點，采樣的過程和采樣信號的保持。離散控制系統(tǒng)中應用到的Z變換方法及Z變換的基本定理。差分方程及其求解方法，脈沖傳遞函數(shù)的定義及其求取方法。離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析，閉環(huán)極點位置與動態(tài)響應的關系，離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)及穩(wěn)態(tài)誤差。應用MATLAB對離散控制系統(tǒng)進行數(shù)學模型處理，動態(tài)響應分析和穩(wěn)定性分析的方法。授課時間授課學時教學目標學習目標1.了解離散控制系統(tǒng)的基本概念及信號的采樣與保持過程。2.掌握差分方程和脈沖傳遞函數(shù)的定義及其求解方法。3.掌握離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析方法。4.掌握離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)和穩(wěn)態(tài)誤差的求取方法。5.掌握應用MATLAB對離散控制系統(tǒng)進行分析的基本方法。技能目標1.具備Z變換求解、差分方程求解和脈沖傳遞函數(shù)求解的能力。2.具備離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析和穩(wěn)定性分析的能力。3.具備應用MATLAB對離散控制系統(tǒng)進行分析的能力。素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)持續(xù)學習的能力，學會獨立思考，勇于創(chuàng)新，樹立與時俱進的思想觀念。2.培養(yǎng)靈活的思維能力，樹立自信，勇于挑戰(zhàn)，做最優(yōu)秀的自己。學情分析通過對本項目的學習，理解離散控制系統(tǒng)的相關概念及其特點，采樣的過程和采樣信號的保持。掌握離散控制系統(tǒng)中Z變換方法及Z變換的基本定理。掌握差分方程及其求解方法，脈沖傳遞函數(shù)的定義及其求取方法。掌握離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析，閉環(huán)極點位置與動態(tài)響應的關系，離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)及穩(wěn)態(tài)誤差。熟練應用MATLAB對離散控制系統(tǒng)進行數(shù)學模型處理，動態(tài)響應分析和穩(wěn)定性分析的方法。教學方法學生通過課前預習、查閱相關資料，課堂上緊跟著老師的思路，做好隨堂筆記，對老師所講的內(nèi)容要理解，課后要勤加練習、反思總結等方法進行本章節(jié)的學習。學生可以通過電腦根據(jù)在課堂上所學習的內(nèi)容，反復的操作實踐驗證；實訓課上要加強訓練，同學之間要相互討論。教學媒介教材、配套的PPT課件、多媒體教案等 教學過程教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容教學引入在控制工程中，根據(jù)系統(tǒng)中信號的性質不同，控制系統(tǒng)通常分為連續(xù)時間控制系統(tǒng)(簡稱連續(xù)控制系統(tǒng))和離散時間控制系統(tǒng)(簡稱離散控制系統(tǒng))兩大類。在前面幾個項目中所研究的控制系統(tǒng)，各個變量都是連續(xù)型的時間函數(shù)，它們在任何時刻都有確定的值，這樣的系統(tǒng)稱為連續(xù)控制系統(tǒng)。離散控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)相比較，在研究方法上既有相似之處，又有自己的特點。本項目主要介紹離散控制系統(tǒng)的基本概念、線性定常離散控制系統(tǒng)的數(shù)學模型、離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析和穩(wěn)定性分析。教授新知一、明確教學目標二、教學內(nèi)容“線性離散控制系統(tǒng)的分析”任務一離散控制系統(tǒng)概述一、離散控制系統(tǒng)的相關概念與特點(一)相關概念(1)連續(xù)信號。連續(xù)信號是指在整個時間范圍內(nèi)均有定義的信號，它的幅值可以是連續(xù)的，也可以是斷續(xù)的。(2)模擬信號。模擬信號是指在整個時間范圍內(nèi)均有定義的信號，它的幅值在某一時間范圍內(nèi)是連續(xù)的。模擬信號是連續(xù)信號的一個子集，在大多數(shù)場合與很多文獻中，二者均指模擬信號。(3)離散信號。離散信號是指僅在各個離散時間瞬時上有定義的信號，在時間上是離散的。而它的幅值可以是離散的，也可以是連續(xù)的。(4)采樣信號。采樣信號是指取模擬信號在離散時間上的值構成的信號序列。在很多場合，我們提及的離散信號就是采樣信號。(5)數(shù)字信號。數(shù)字信號是指在時間上和幅值上都是離散的信號，它是幅值整量化的離散信號。(6)采樣。采樣是指將模擬信號按一定時間通過采樣裝置轉化成離散信號的過程。(7)量化。量化是指采用一組數(shù)碼來逼近離散信號的幅值，并將其轉化成數(shù)字信號的過程。1.連續(xù)控制系統(tǒng)連續(xù)控制系統(tǒng)是指控制系統(tǒng)中所有的信號都是時間變量的連續(xù)函數(shù)。2.離散控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)是指控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號是脈沖序列形式或數(shù)字序列形式。通常，若離散信號為脈沖序列形式，則該離散控制系統(tǒng)稱為采樣控制系統(tǒng)。(二)離散控制系統(tǒng)的特點1.采樣控制系統(tǒng)的特點采樣控制系統(tǒng)的特點如下。(1)在連續(xù)控制系統(tǒng)中的一處或幾處設置采樣開關，對被控對象進行斷續(xù)控制。(2)通常采樣周期遠小于被控對象的時間常數(shù)。(3)采樣開關合上的時間遠小于其斷開的時間。(4)采樣周期通常是相同的。2.數(shù)字控制系統(tǒng)的特點數(shù)字控制系統(tǒng)具有以下特點。(1)它是由數(shù)字計算機構成的數(shù)字控制器，其控制規(guī)律由軟件實現(xiàn)。因此，與連續(xù)控制系統(tǒng)中的模擬控制裝置相比，其控制規(guī)律修改調整方便，控制靈活。(2)數(shù)字信號的傳遞可以有效地抑制噪聲，從而提高系統(tǒng)的抗干擾能力。(3)可以采用高靈敏度的控制元件，提高系統(tǒng)的控制精度。(4)可用一臺計算機分時控制若干個系統(tǒng)，提高設備的利用率，且經(jīng)濟性好。二、采樣過程與采樣定理(一)采樣信號的數(shù)學表示一個理想采樣開關可以看成是一個載波為理想單位脈沖序列δT(t)的幅值調制器，即理想采樣開關的輸出信號e?(t)是連續(xù)輸入信號e(t)調制在載波δT(t)上的結果。信號的采樣過程如下圖。當t<0時，e(t)=0，用數(shù)學表達式描述上述調制過程，則有(二)采樣信號的拉氏變換對采樣信號e?(t)進行拉氏變換，可得(三)連續(xù)信號與采樣信號頻譜的關系連續(xù)信號e(t)的頻譜E(jω)是頻域中的非周期連續(xù)信號如下圖采樣信號e?(t)的頻譜E?(jω)如下圖，它是連續(xù)信號e(t)的頻譜E(jω)以采樣角頻率ωs為周期的無窮多個頻譜的延拓。(四)香農(nóng)采樣定理香農(nóng)采樣定理指出，如果采樣開關的輸入信號e(t)具有有限帶寬，即具有最大角頻率為ωh的頻率分量，若要從采樣信號e?(t)中不失真地恢復信號e(t)，則采樣角頻率ωs必須滿足條件:ωs≥2ωh。(五)采樣周期的選取采樣周期T越小，即采樣角頻率ωs越高，控制過程的信息則獲得越多，控制效果也會越好。但是，采樣周期T選得過小，將增加不必要的計算負擔，而且采樣周期T小到一定的程度時，再減小就失去實際意義了。反之，采樣周期T選得過大，會給控制過程帶來較大的誤差，降低系統(tǒng)的動態(tài)性能，甚至有可能導致整個控制系統(tǒng)失去穩(wěn)定。三、采樣信號的保持零階保持器將前一采樣時刻nT的采樣值e(nT)一直保持到下一采樣時刻(n+1)T到來之前。(一)零階保持器的傳遞函數(shù)設零階保持器的傳遞函數(shù)為Gh(s)，給零階保持器輸入一個理想單位脈沖δ(t)，則其單位脈沖響應函數(shù)gh(t)是幅值為1、持續(xù)時間為T的矩形脈沖。對單位脈沖信號δ(t)和單位脈沖響應函數(shù)gh(t)分別取拉氏變換，得到的零階保持器的傳遞函數(shù)為(二)零階保持器的特性零階保持器的頻率特性為零階保持器的幅頻特性為零階保持器的相頻特性為零階保持器具有低通特性和相角滯后特性。任務二離散控制系統(tǒng)的數(shù)學模型一、數(shù)學基礎在離散控制系統(tǒng)中，需要通過Z變換來對系統(tǒng)的數(shù)學模型進行轉化。Z變換是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學工具，它是從拉氏變換引申出來的一種變換方法，也稱采樣拉氏變換。(一)Z變換的定義采樣信號e?(t)的拉氏變換為采樣信號e?(t)的Z變換定義為式中，E(z)就是離散時間函數(shù)e?(t)的Z變換。(二)Z變換方法1.級數(shù)求和法Z變換定義有明確的物理意義，即變量z-n的系數(shù)代表連續(xù)時間函數(shù)在采樣時刻nT上的采樣值。根據(jù)Z變換的定義，并將連續(xù)信號e(t)按周期T進行采樣，，可得最后求出上式的閉合形式，即可求得E(z)。2.部分分式法(查表法)已知連續(xù)信號e(t)的拉氏變換E(s)，將E(s)展開成各部分分式之和，即每一個部分分式Ei(s)都是Z變換表中所對應的標準函數(shù)，其Z變換可查表得出(三)Z變換的基本定理應用Z變換的基本定理，可以使Z變換的應用變得更為方便，常用的Z變換定理如下。1.線性定理2.實數(shù)位移定理3.復數(shù)位移定理4.終值定理5.卷積定理(四)Z反變換已知表達式E(z)，求相應離散序列e(nT)的過程，稱為Z反變換，記為1.部分分式法(查表法)部分分式法先將已知的E(z)分解為部分分式，再通過查Z變換表找出相應的e?(t)，或者e(nT)?？紤]到Z變換表中，所有Z變換函數(shù)E(z)在其分子上都有因子z，因此，通常先將E(z)/z展成部分分式之和，然后將等式左邊分母中的z乘到等式右邊各分式中，再逐項查表進行Z反變換。示例可參考書中【例7-3】。2.冪級數(shù)法(長除法)由于變量z-n的系數(shù)代表連續(xù)時間函數(shù)在nT時刻上的采樣值，因此，若E(z)是一個有理分式，則可以直接通過長除法，得到一個無窮項冪級數(shù)的展開式，再根據(jù)z-n的系數(shù)便可以得出時間序列e(nT)的值。示例可參考書中【例7-4】。二、離散系統(tǒng)的數(shù)學模型(一)差分方程1.差分的定義離散函數(shù)兩數(shù)之差為差分。差分又分為前向差分和后向差分。一階前向差分定義為二階前向差分定義為n階前向差分定義為一階后向差分定義為二階后向差分定義為n階后向差分定義為2.差分方程的定義n階后向差分方程為也稱為n階線性常系數(shù)差分方程，它在數(shù)學上代表一個線性定常離散系統(tǒng)，也可以用n階前向差分方程來描述，即3.差分方程的解法工程上求解常系數(shù)差分方程通常采用迭代法和Z變換法。(1)迭代法。若已知差分方程，并且給定輸入序列的初值，則可以利用遞推關系，在計算機上通過迭代一步一步地算出輸出序列，稱為迭代法。示例可參考書中【例7-5】。(2)Z變換法。用Z變換求解差分方程與用拉氏變換求解微分方程類似，即將時域內(nèi)的差分方程轉換為Z域內(nèi)的代數(shù)方程，求出代數(shù)方程的解后，再進行Z反變換，求出系統(tǒng)在各采樣時刻的輸出響應。示例可參考書中【例7-6】。(二)脈沖傳遞函數(shù)1.脈沖傳遞函數(shù)的定義如果系統(tǒng)的初始條件為零，輸入信號為r(t)，采樣r?(t)后的Z變換函數(shù)為R(z)，系統(tǒng)連續(xù)部分的輸出為c(t)，采樣后c?(t)的Z變換函數(shù)為C(z)，則線性定常離散控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義為:系統(tǒng)輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號的Z變換之比，即2.開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)當開環(huán)離散系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時，由于采樣開關的數(shù)目和位置不同，求出的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也不同。(1)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關。(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關。(3)零階保持器與環(huán)節(jié)串聯(lián)。3.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)離散系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為任務三離散控制系統(tǒng)的性能分析一、動態(tài)性能分析分析離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，通常先求取離散控制系統(tǒng)的階躍響應序列，再按動態(tài)性能指標的定義來定量計算。(一)離散控制系統(tǒng)的動態(tài)響應分析設離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)=C(z)/R(z)，則系統(tǒng)單位階躍響應的Z變換為通過Z反變換，可以求出輸出信號的脈沖序列c?(t)。若離散控制系統(tǒng)時域指標的定義與連續(xù)控制系統(tǒng)相同，則根據(jù)單位階躍響應序列c?(t)，可以對離散控制系統(tǒng)的動態(tài)性能定量計算。示例可參考書中【例7-7】。(二)閉環(huán)極點位置與動態(tài)響應的關系離散控制系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點在Z平面上的分布，對系統(tǒng)的動態(tài)響應具有重要的影響。明確它們之間的關系，對離散系統(tǒng)的定性分析具有指導意義。二、穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差與線性連續(xù)系統(tǒng)分析中的情況一樣，穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差是線性定常離散系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。(一)S平面與Z平面的關系在Z平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以借助于連續(xù)系統(tǒng)在S平面上穩(wěn)定性的分析方法。S平面與Z平面存在如下映射關系。(1)σ<0，S平面上閉環(huán)極點位于虛軸左側，系統(tǒng)穩(wěn)定，對應在Z平面上，z<1，閉環(huán)極點在單位圓內(nèi)。(2)σ=0，S平面上閉環(huán)極點位于虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，對應在Z平面上，z=1，閉環(huán)極點在單位圓上。(3)σ>0，S平面上閉環(huán)極點位于虛軸右側，系統(tǒng)不穩(wěn)定，對應在Z平面上，z>1，閉環(huán)極點在單位圓外。左半S平面映射到Z平面上為單位圓內(nèi)，如下圖。(二)Z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件由S域到Z域的映射關系及連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)，可知:(1)S左半平面映射為Z平面單位圓內(nèi)的區(qū)域，對應穩(wěn)定區(qū)域。(2)S右半平面映射為Z平面單位圓外的區(qū)域，對應不穩(wěn)定區(qū)域。(3)S平面上的虛軸，映射為Z平面的單位圓周，對應臨界穩(wěn)定情況，屬不穩(wěn)定。線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點分布在Z平面上以原點為圓心的單位圓內(nèi)，或者系統(tǒng)所有特征根的模小于1。(三)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)1.W變換與W域中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)經(jīng)過W變換之后，判別特征方程1+GH(z)=0的所有根是否位于Z平面上的單位圓內(nèi)，就轉換為判別特征方程1+GH(w)=0的所有根是否位于W左半平面。這與在S平面上應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)的情況一樣，因此根據(jù)W域中特征方程的系數(shù)，可以直接應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱為W域中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。2.二次項特征方程穩(wěn)定性的Z域直接判別法當離散系統(tǒng)的特征方程最高為二次項時，不必進行W變換，也不必求其根，可以直接在Z域判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。設系統(tǒng)的特征方程為式中，a1，a0均為實數(shù)，當同時滿足下列三個條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(四)離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差是分析和設計控制系統(tǒng)的一個主要性能指標。在連續(xù)控制系統(tǒng)中，穩(wěn)態(tài)誤差的計算可以通過兩種方法進行，一種是建立在拉氏變換終值定理基礎上的計算方法，另一種是從系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)出發(fā)的靜態(tài)誤差系數(shù)法。1.一般方法(利用終值定理)2.靜態(tài)誤差系數(shù)法任務四應用MATLAB進行離散控制系統(tǒng)分析MATLAB可用于對離散控制系統(tǒng)進行數(shù)學模型處理、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析等。一、數(shù)學模型處理(一)Z變換和Z反變換MATLAB符號工具箱中的函數(shù)ztrans和iztrans分別用于求符號表達式的Z變換和Z反變換，其調用格式為F=