蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)6.1.3共面向量定理【教學(xué)課件】

6.1.3共面向量定理第6章§6.1

空間向量及其運(yùn)算1.了解共面向量的概念.2.理解空間共面向量定理，會(huì)證明直線與平面平行.3.理解空間向量共面的充要條件，會(huì)證明空間四點(diǎn)共面.學(xué)習(xí)目標(biāo)在平面向量中，向量b與向量a(a≠0)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.那么，空間任意一個(gè)向量p與兩個(gè)不共線的向量a，b共面時(shí)，它們之間存在什么樣的關(guān)系呢？導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、共面向量二、共面向量定理三、空間四點(diǎn)共面的條件內(nèi)容索引一、共面向量問題1

如圖，在長方體中，向量a，b，p與平面ABCD有怎樣的位置關(guān)系？提示

向量a，b與平面ABCD平行，向量p在平面ABCD內(nèi).知識(shí)梳理能平移到

內(nèi)的向量叫作共面向量.注意點(diǎn)：(1)共面向量不僅包括在同一個(gè)平面內(nèi)的向量，還包括平行于同一平面的向量.(2)空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量就不一定共面了.同一平面A.有相同起點(diǎn)的向量

B.等長向量C.共面向量

D.不共面向量解析如圖所示.√三個(gè)向量的模不一定相等，故B錯(cuò)誤；反思感悟

若a，b不共線且同在平面α內(nèi)，則p與a，b共面的意義是p在α內(nèi)或p∥α.跟蹤訓(xùn)練1

(多選)下列說法錯(cuò)誤的是A.空間的任意三個(gè)向量都不共面B.空間的任意兩個(gè)向量都共面C.三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面D.若三向量兩兩共面，則這三個(gè)向量一定也共面√√√二、共面向量定理知識(shí)梳理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由兩個(gè)不共線的向量a，b線性表示.注意點(diǎn)：(1)a，b不共線.(2)也可說成向量p由不共線的向量a，b線性表示.√(2)如圖，在底面為正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn).求證：AB1∥平面C1BD.又由于AB1不在平面C1BD內(nèi)，所以AB1∥平面C1BD.反思感悟如果兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使p＝xa＋yb.在判斷空間的三個(gè)向量共面時(shí)，注意“兩個(gè)向量a，b不共線”的要求.求證：MN∥平面ABB1A1.＝(1－k)a＋kb，＝(1－k)a－kc，∵M(jìn)N不在平面ABB1A1內(nèi)，∴MN∥平面ABB1A1.三、空間四點(diǎn)共面的條件提示

x＋y＋z＝1.證明如下：(1)充分性∴點(diǎn)P與A，B，C共面.(2)必要性∵點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，且點(diǎn)A，B，C不共線，且點(diǎn)O在平面ABC外，∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1.知識(shí)梳理若空間任意無三點(diǎn)共線的四點(diǎn)，對(duì)于空間任一點(diǎn)O，存在實(shí)數(shù)x，y，z使得

，且x，y，z滿足

，則A，B，C，D四點(diǎn)共面.x＋y＋z＝1例3

(1)(多選)對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，能得到P，A，B，C四點(diǎn)共面的是√√由共面的充要條件知P，A，B，C四點(diǎn)共面，故C選項(xiàng)正確；(2)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M為DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求證：A1，B，N，M四點(diǎn)共面.又∵三向量有相同的起點(diǎn)A1，∴A1，B，N，M四點(diǎn)共面.反思感悟解決向量共面的策略(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)不共線的向量來表示.跟蹤訓(xùn)練3

已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.證明如圖，連接EG，BG.(2)BD∥平面EFGH.所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.1.知識(shí)清單：(1)共面向量定理的概念及應(yīng)用.(2)空間中應(yīng)用共面向量定理判斷共面問題.2.方法歸納：類比法.課堂小結(jié)隨堂演練1.對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a，b,2a－b，它們一定是A.共面向量

B.共線向量C.不共面向量

D.既不共線也不共面的向量1234√解析由向量共面定理可知，三個(gè)向量a，b,2a－b為共面向量.1234√√解析

A選項(xiàng)中，3－1－1＝1，四點(diǎn)共面，1234且M，A，B，C四點(diǎn)共面，√1234共面課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.已知i與j不共線，則存在兩個(gè)非零常數(shù)m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件16√解析若i與j不共線，且存在兩個(gè)非零常數(shù)m，n，使k＝mi＋nj，則由共面向量定理，知i，j，k共面.若i與j不共線，且k與i，j共面，則存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)(m，n)，使k＝mi＋nj，但m，n不一定為非零常數(shù)，故選A.2.已知兩非零向量e1，e2，且e1與e2不共線，設(shè)a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ，μ≠0)，則下列結(jié)論正確的是A.a∥e1

B.a∥e2C.a與e1，e2共面

D.以上三種情況均有可能12345678910111213141516√解析假設(shè)a與e1共線，則a＝ke1，所以a＝λe1＋μe2可變?yōu)?k－λ)e1＝μe2，所以e1與e2共線，這與e1與e2不共線相矛盾，故假設(shè)不成立，則A不正確，同理B不正確，則D也錯(cuò)誤.12345678910111213141516A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件√12345678910111213141516解析空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，則P，A，B，C四點(diǎn)共面等價(jià)于x＋y＋z＝1；若x＝2，y＝－3，z＝2，則x＋y＋z＝1，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面；若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則x＋y＋z＝1，但不能得到x＝2，y＝－3，z＝2，所以x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四點(diǎn)共面的充分不必要條件.12345678910111213141516C.A，B，C，D四點(diǎn)不共面D.A，B，C，D四點(diǎn)共面√12345678910111213141516故A，B，C，D四點(diǎn)共面，故C錯(cuò)誤，D正確.12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415166.(多選)下列命題中是真命題的為A.若向量p＝xa＋yb，則p與a，b共面B.若p與a，b共面，則p＝xa＋ybC.若＝x＋y，則P，M，A，B四點(diǎn)共面√√12345678910111213141516解析對(duì)于選項(xiàng)A，由共面向量定理得p與a，b共面，A是真命題；對(duì)于選項(xiàng)B，若a，b共線，p不一定能用a，b表示出來，B是假命題；123456789101112131415167.下列命題中為真命題的是_____.①解析在空間四邊形A1A2A3A4中，但四點(diǎn)不一定共面，故②③都錯(cuò)誤.12345678910111213141516又∵P是空間任意一點(diǎn)，A，B，C，D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，1234567891011121314151612345678910111213141516(2)判斷M是否在平面ABC內(nèi).1234567891011121314151610.如圖，直三棱柱ABC－A′B′C′，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)，證明：MN∥平面A′ACC′.12345678910111213141516且點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)，因?yàn)镸N?平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.綜合運(yùn)用11.下面關(guān)于空間向量的說法正確的是A.若向量a，b平行，則a，b所在直線平行B.若向量a，b所在直線是異面直線，則a，b不共面12345678910111213141516√解析我們可以通過平移將空間中任意兩個(gè)向量平移到一個(gè)平面內(nèi)，因此空間任意兩個(gè)向量都是共面的，故B，C錯(cuò)誤；由向量平行與直線平行的區(qū)別，可知A錯(cuò)誤；1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516A.在平面BAD1內(nèi) B.在平面BA1D內(nèi)C.在平面BA1D1內(nèi) D.在平面AB1C1內(nèi)12345678910111213141516√12345678910111213141516于是M，B，A1，D1四點(diǎn)共面.12345678910111213141516P在平面ABC內(nèi)∴點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C共面.∴點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C共面.拓廣探究123456789101112131415161234567