高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)重難點(diǎn)突破08證明不等式問(wèn)題(十三大題型)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)突破08證明不等式問(wèn)題目錄利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題（6）同構(gòu)變形題型一：直接法例1．（2023·北京房山·北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于直線，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)及此切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，．（其中）例2．（2023·北京·高二北京二十中?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：.例3．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：，．題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)討論的單調(diào)性，并證明：當(dāng)時(shí)，．例5．已知曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，．例6．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求證：當(dāng)時(shí)，．變式1．已知函數(shù)．（1）證明：；（2）數(shù)列滿足：，．（ⅰ）證明：；（ⅱ）證明：，．變式2．討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，．題型三：分析法例7．已知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求；（2）設(shè)函數(shù)．證明：．例8．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)求在處的切線;(2)若，證明當(dāng)時(shí)，.例9．已知，函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：（?。?；（ⅱ）．變式3．已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）記是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：．題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)例10．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，證明：任意的，都有恒成立.例11．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上存在最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．例12．已知函數(shù)．（Ⅰ）若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）若，為的導(dǎo)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，．變式4．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：．題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友例13．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證．例14．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求、的值；（2）當(dāng)且時(shí)．求證：．例15．已知二次函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿足，且（1），令．（1）求的表達(dá)式；（2）設(shè)，．證明：對(duì)任意，，，恒有．變式5．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，求證：．變式6．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，求證：．題型六：放縮法例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.例18．已知函數(shù)．（其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，．變式7．已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．變式8．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）解關(guān)于的不等式題型七：虛設(shè)零點(diǎn)例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，．例20．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若在區(qū)間上有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：.例21．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極小值．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，證明：．變式10．（2023·山東淄博·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.題型八：同構(gòu)法例22．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明．例23．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．例24．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：．變式11．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明不等式．題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明不等式：．例26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：例27．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且.（函數(shù)求導(dǎo)次可用表示）(1)求的通項(xiàng)公式.(2)求證：對(duì)任意的，，都有.變式12．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知且，求證：.變式13．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式．例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為．根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：（1）求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；（2）比較（1）中與的大?。?）已知不小于其在點(diǎn)處的階泰勒展開式，證明：．題型十：分段分析法、主元法、估算法例28．（2023·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對(duì)，恒成立．例29．（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)，且時(shí)，．例30．若定義在上的函數(shù)滿足，，．（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更接近，并說(shuō)明理由．變式15．已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，．題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值例31．已知函數(shù)（1）求曲線在原點(diǎn)處的切線方程；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，求證：．例32．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，的值；（2）證明：；（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明．例33．設(shè)函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)為，，證明：．題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問(wèn)題例34．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)已知且，求證：.例35．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求的值；(2)證明：（且）.例36．（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)是的導(dǎo)函數(shù)，求的最小值；(2)證明：對(duì)任意正整數(shù)，都有（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）變式16．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)對(duì)任意的，求證：.變式17．（2023·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.題型十三：三角函數(shù)例37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．當(dāng)，時(shí)，求證：．例38．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的極值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.例39．已知函數(shù)在，（1）處的切線為．（1）求的單調(diào)區(qū)間與最小值；（2）求證：．

重難點(diǎn)突破08證明不等式問(wèn)題目錄利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題（6）同構(gòu)變形題型一：直接法例1．（2023·北京房山·北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于直線，求切點(diǎn)P的坐標(biāo)及此切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，．（其中）【解析】（1）由題意得，，所以切線斜率，所以，即，此時(shí)切線方程為；（2）令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，所以，即恒成立，所以當(dāng)時(shí)，．例2．（2023·北京·高二北京二十中?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求證：.【解析】（1）,，,所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得，，所以切線方程為：.（2）由題可得，設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，即.例3．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：，．【解析】解：（1），因，，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)在內(nèi)的最小值為，欲證不等式成立，即證，即證，因，所以只需證，令，則，所以，函數(shù)在，內(nèi)單調(diào)遞減，（1），又因，即．所以，即當(dāng)時(shí)，成立，綜上，當(dāng)時(shí)，，．題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)討論的單調(diào)性，并證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）證明：令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即．令，則有，所以，所以，即．（2）由可得，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，．令，則有，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以對(duì)于，有，所以，所以，即，整理得：．例5．已知曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（Ⅰ）解：，，依題意（1）（1），；（Ⅱ）證明：由，得，令，則，時(shí)，，遞減；時(shí)，，遞增．時(shí)，（1），即，綜上所述，時(shí)，．例6．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）解：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：直線是函數(shù)圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)為，，則，即，切點(diǎn)在切線上，，，，解得，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，等價(jià)于，設(shè)，則，，，由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，（1），即，．變式1．已知函數(shù)．（1）證明：；（2）數(shù)列滿足：，．（ⅰ）證明：；（ⅱ）證明：，．【解析】證明：（1）由題意知，，，①當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此，故當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，所以；（2）（?。┯桑?）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，因?yàn)?，故，所以，因此?dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，（ⅱ）函?shù)，，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；因此，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，因此，所以對(duì)，．變式2．討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，．【解析】解：，，當(dāng)時(shí)，或，在和上單調(diào)遞增，證明：時(shí)，．題型三：分析法例7．已知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求；（2）設(shè)函數(shù)．證明：．【解析】（1）解：由題意，的定義域?yàn)?，令，則，，則，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，則有，即，所以，當(dāng)時(shí)，，且，因?yàn)?，則在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)．綜上所述，；（2）證明：由（1）可知，，要證，即需證明，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以需證明，即，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為的極小值點(diǎn)，所以，即，故，所以．例8．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)求在處的切線;(2)若，證明當(dāng)時(shí)，.【解析】（1）因?yàn)?，所以，切線斜率為因?yàn)?，所以切點(diǎn)為切線方程為即（2）法一：令，所以，所以在單調(diào)遞增，，所以，所以，所以要證只需證明變形得因?yàn)樗灾恍枳C明，即兩邊同取對(duì)數(shù)得：令，則顯然在遞增，所以存在當(dāng)時(shí)遞減，當(dāng)時(shí)遞增;因?yàn)樗栽谏虾愠闪?，所以原命題成立法二：設(shè)則，要證：需證：即證：因?yàn)?，需證，即證：①時(shí)必然成立②時(shí)，因?yàn)樗灾恍枳C明，令，，令，∴在上為增函數(shù)因?yàn)?，所以所以存在，使得∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)∴綜上可知，不等式成立例9．已知，函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：（?。?；（ⅱ）．【解析】證明：（Ⅰ），恒成立，在上單調(diào)遞增，，（2），又，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)．（Ⅱ），，，，令，，，一方面，，，，在單調(diào)遞增，，，，另一方面，，，當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，（1），，（1），，在單調(diào)遞減，，，綜上，，．要證明，只需證，由得只需證，，只需證，只需證，即證，，，，．變式3．已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）記是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：．【解析】（Ⅰ）解：函數(shù)，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以，故函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，由，得，若，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增，不符合題意；若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，使得，而當(dāng)時(shí)，時(shí)，故，使得，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，，，使得，符合題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（Ⅱ）證明：，所以，即，由（Ⅰ）知且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故只要證明：，即，，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，即（1），所以成立；綜上所述，成立．題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)例10．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，證明：任意的，都有恒成立.【解析】由題設(shè)有，設(shè)，，要證即證.下面證明：當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故在上，有，，故當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，，，當(dāng)時(shí)，要證即證即證，設(shè)，其中，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故在上，，故，所以當(dāng)時(shí)，成立.綜上，任意的，都有恒成立.例11．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上存在最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1）（1）由得：（），①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在不存在最大值，②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)，取得最大值，又由函數(shù)在上存在最大值，因此，解得：，所以的取值范圍為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)的定義域?yàn)椋C明，即證明時(shí)，，只需要證明：時(shí)，，因?yàn)?，所以不等式等價(jià)于設(shè)（），則，令得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，且當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；又設(shè)（），則，令得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，且當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；綜上可得：時(shí)，，且等號(hào)不同時(shí)成立，所以時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，得證.例12．已知函數(shù)．（Ⅰ）若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）若，為的導(dǎo)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】解：（Ⅰ）的定義域是，則，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合條件，若，令，解得：或，若，則當(dāng)和，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故是的極小值點(diǎn)，符合條件，若，則恒成立，沒(méi)有極值點(diǎn)，不符合條件，若，則當(dāng)和時(shí)，當(dāng)，時(shí)，故是的極大值點(diǎn)，不符合條件，故的取值范圍是，；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，則，，，設(shè)，，，，由，可得（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，，設(shè)，則在，上遞減，（1），（2），故存在，，使得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，由于（1），（2），故（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，故當(dāng)時(shí)，（1）（2）．變式4．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：．【解析】解當(dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，由可得或由可得綜上可得，時(shí)，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，單調(diào)遞減區(qū)間證明：原不等式可化為容易得，上式兩邊同乘以可得設(shè)，則由可得（舍或時(shí)，，時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)令，可得在上單調(diào)遞增，且（1）當(dāng)時(shí)，有最小值由于上面兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)取得，故有，則原不等式成立題型五：對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友例13．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證．【解析】解：（Ⅰ），；時(shí)，；，時(shí)，；（1）是函數(shù)的極小值，即的最小值；又，（2）；的最大值是；函數(shù)在上的最小值是0，最大值是；（Ⅱ），要證明原不等式成立，只要證明；設(shè)，則；函數(shù)在上是增函數(shù)，（1）；；原不等式成立．例14．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求、的值；（2）當(dāng)且時(shí)．求證：．【解析】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，可得（1），（1），解得；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，即為，即，當(dāng)時(shí)，，即為，設(shè)，，可得在遞增，當(dāng)時(shí)，（1），即有；當(dāng)時(shí)，（1），即有．綜上可得，當(dāng)且時(shí)，都成立．例15．已知二次函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿足，且（1），令．（1）求的表達(dá)式；（2）設(shè)，．證明：對(duì)任意，，，恒有．【解析】（1）解：設(shè)，于是，所以，，又（1），則．所以．（5分）（2）證明：因?yàn)閷?duì)，，，所以在，內(nèi)單調(diào)遞減．于是（1）證明，即證明，記，則，所以函數(shù)在，是單調(diào)增函數(shù)，所以（e），故命題成立．（12分）變式5．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，求證：．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，若，則在上單調(diào)遞增；若，則在上單調(diào)遞減；（2）證明：函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，可得，此時(shí)，要證，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，由，即，故存在使得，此時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在上單減，在，上單增，故當(dāng)時(shí)，有最小值，成立，即得證．變式6．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，求證：．【解析】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得．若，，單調(diào)遞增；若，，單調(diào)遞減綜合上述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，，解得．．即．．令．．．令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，存在，使得，可得，．．成立．題型六：放縮法例16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，故函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，令，得，x+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)故，無(wú)極小值.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．（2）顯然，要證：，即證：，即證：，即證：．令，故只須證：．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，所以，從而有．故，即．例17．（2023·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎瘮?shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.【解析】（1），（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，得，①時(shí)，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；③時(shí)，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）方法一：等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則，令，令，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵，∴存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，∴，∴，故.方法二：當(dāng)時(shí)，，令，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，∴，即，∴.例18．已知函數(shù)．（其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）解：由，得．①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由，解得，由，解得，故在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）證明：．令，則．當(dāng)時(shí)，．令，則當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（1）．即，故．變式7．已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】解：（1），當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)，即時(shí)，由解得，由解得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）令當(dāng)時(shí)，欲證，即證．即證，即，即證先證：．設(shè)則設(shè)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)．再證：．設(shè)，則．在上單調(diào)遞增，則，即．，所以．．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．又與．兩個(gè)不等式的等號(hào)不能同時(shí)取到，成立，即當(dāng)時(shí)，成立．變式8．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）解關(guān)于的不等式【解析】解：（1）函數(shù)．定義域?yàn)椋海?，?）．令，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．，．，函數(shù)單調(diào)遞減．時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．（2）不等式，即．，，舍去．當(dāng)時(shí)，不等式的左邊右邊，舍去．，且．①時(shí)，由，要證不等式．可以證明：．等價(jià)于證明：．令．，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（1）．②當(dāng)時(shí)，不等式．令，．，函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1）．由，．不等式成立．綜上可得：不等式的解集為：．題型七：虛設(shè)零點(diǎn)例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，．【解析】（1）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，，即?i)若，則在定義域上恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；(ii)若，令，即，解得,令，即，解得,所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，要證明，只用證明，令，，令，即，可得方程有唯一解設(shè)為，且，所以，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下，單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，因?yàn)?，因?yàn)?，所以不取等?hào)，即，即恒成立，所以，恒成立，得證.例20．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若在區(qū)間上有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：.【解析】（1）函數(shù)，定義域?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增，若在區(qū)間上有極小值，則有，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2），即，由，可化簡(jiǎn)得，要證，即證.設(shè)，，由，則有，得，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，時(shí)，時(shí)，則，，此時(shí)，則時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，故，即.設(shè)，，解得，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由，得，則有，即故，即有.所以，即.例21．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極小值．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】（1），由題意知，則，即，由，知，即．（2）由（1）得，設(shè)，則．設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一，使得，即．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，．變式9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】記．．令，則，所以即在上單調(diào)遞增．由，知．．即，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增．故在處取得極小值，也是最小值，，由（*）式，可得．代入式，得．令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，即，故．．由．故，即，原不等式得證．變式10．（2023·山東淄博·統(tǒng)考三模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?令函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和.（2）當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，.令，，令，，令，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.于是，所以.令函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，則.因?yàn)椋?，故，?綜上所述：當(dāng)時(shí)，.題型八：同構(gòu)法例22．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明．【解析】解：（1）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，②當(dāng)時(shí)，由可得，由，可得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，由可得，由，可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，證明（2）設(shè)，則，由（1）可得在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，，．例23．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上恒成立；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，即，△，解得或，若，此時(shí)△，在恒成立，所以在單調(diào)遞增．若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．若，此時(shí)△，方程的兩根為：，且，，所以在上單調(diào)遞增．綜上所述：若，在單調(diào)遞增；若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（1），所以在上恒成立．（3）證明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面證，即證2，設(shè)，，設(shè)，，易知在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即當(dāng)時(shí)，．法二：，即，令，則原不等式等價(jià)于，，令，則，遞減，故，，遞減，又，故，原結(jié)論成立．例24．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】（1）解：，得，得，在上遞減，在上遞增．（2）解：函數(shù)在處取得極值，，，令，則，由得，，由得，，在，上遞減，在，上遞增，，即．（3）證明：，即證，令，則只要證明在上單調(diào)遞增，又，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增．，即，在上單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，有．變式11．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明不等式．【解析】解：（1）．當(dāng)時(shí)，，從而，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則，從而，若，則，從而，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（4分）（2）根據(jù)（1）函數(shù)的極值點(diǎn)是，若，則，，即，，即，令，則，得：是函數(shù)在內(nèi)的唯一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，故，故；（3）由即，構(gòu)造函數(shù)，則，，，即在遞增，，，．題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明不等式：．【解析】設(shè)，則，，代入的二階泰勒公式，有，．所以原題得證．例26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）證明：【解析】證明：設(shè)，則在處帶有拉格朗日余項(xiàng)．三階泰勒公式例27．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列滿足，且.（函數(shù)求導(dǎo)次可用表示）(1)求的通項(xiàng)公式.(2)求證：對(duì)任意的，，都有.【解析】（1）由，得，所以或，因?yàn)?，所以，所以，所以?）證明：當(dāng)時(shí)，恒成立，令，即，則，……，所以在上遞增，所以，所以在上遞增，所以，所以在上遞增，……所以在上遞增，所以，所以在上遞增，所以，綜上對(duì)任意的，，都有.變式12．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知且，求證：.【解析】（1）因?yàn)椋院瘮?shù)定義域?yàn)椋?因?yàn)?，且，所以是函?shù)的極小值點(diǎn)，則，所以，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，滿足條件，故.（2）由（1）可得，.令，則，所以，即，，所以.證畢.變式13．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．【解析】解：（1），，△，①時(shí)，恒成立，故函數(shù)在遞增，無(wú)遞減區(qū)間，②時(shí)，或，故函數(shù)在，，遞增，在，遞減，綜上，時(shí)，函數(shù)在遞增，無(wú)遞減區(qū)間，時(shí)，函數(shù)在，，遞增，在，遞減，（2），對(duì)，恒成立，即，時(shí)，恒成立，令，，則，令，則，在遞減且（1），時(shí)，，，遞增，當(dāng)，，，遞減，（1），綜上，的范圍是，．（3）證明：當(dāng)時(shí)，，，不妨設(shè)，下先證：存在，，使得，構(gòu)造函數(shù)，顯然，且，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，存在，，使得，即存在，，使得，又為增函數(shù)，，即，設(shè)，則，，①，②，由①②得，，即．變式14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式．例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為．根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：（1）求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；（2）比較（1）中與的大?。?）已知不小于其在點(diǎn)處的階泰勒展開式，證明：．【解析】（1），，，，，，，即；同理可得：；（2）由（1）知：，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（3）令，則，，在上單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即；在點(diǎn)處的階泰勒展開式為：，，①由（2）知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；②由（2）知：當(dāng)時(shí)，，，令，則，在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，，，；綜上所述：．題型十：分段分析法、主元法、估算法例28．（2023·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對(duì)，恒成立．【解析】（1）由已知可得，，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以，即在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由可得，．由可得，，所以，即在上單調(diào)遞減；由可得，，所以，即在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)椋詫?duì)，有．設(shè)，則．解可得，或或．由可得，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；由可得，或，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．所以，在處取得極大值，在處取得極小值．又，所以，即．所以，有，整理可得，，所以，有，恒成立．例29．（2023·山東泰安·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)，且時(shí)，．【解析】（1），，①當(dāng)，即時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增．②當(dāng)，即時(shí)，令，得，令，得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減．③當(dāng)，即時(shí)，若，則，在區(qū)間單調(diào)遞增．若，令，得，令，得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增．綜上，時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減；時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減、在區(qū)間單調(diào)遞增．（2）證明：要證，即證，即證．令，，則，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時(shí)，，即時(shí)，．令，，則在時(shí)恒成立，所以，且時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)闀r(shí)，，，且，所以，且時(shí)，，即．所以，且時(shí)，．例30．若定義在上的函數(shù)滿足，，．（Ⅰ）求函數(shù)解析式；（Ⅱ）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若、、滿足，則稱比更接近．當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更接近，并說(shuō)明理由．【解析】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得（1），所以（1）（1），即．又（1），所以．（Ⅱ），，①時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅲ）解：設(shè)，，，在，上為減函數(shù)，又（e），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．，，在，上為增函數(shù)，又（1），，時(shí)，，在，上為增函數(shù)，（1）．①當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，在，上為減函數(shù)，（1），當(dāng)，，，比更接近．②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，在時(shí)為減函數(shù)，（e），在時(shí)為減函數(shù)，（e），，比更接近．綜上：在且時(shí)時(shí)，比更接近．變式15．已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，，．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，，故則在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，要證明對(duì)任意的，，．則只需要證明對(duì)任意的，，．設(shè)（a），看作以為變量的一次函數(shù)，要使，則，即，恒成立，①恒成立，對(duì)于②，令，則，設(shè)時(shí)，，即．，，在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故④式成立，綜上對(duì)任意的，，．題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值例31．已知函數(shù)（1）求曲線在原點(diǎn)處的切線方程；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，，求證：．【解答】解：（1），，，故曲線在原點(diǎn)處的切線方程為．（2）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于恒成立．設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，且（1）在遞減，在遞增．在的最小值為（1）；③當(dāng)時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于恒成立．設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，．，綜上所述：．（3）依（2）得時(shí)，，曲線在原點(diǎn)處的切線方程為設(shè)，，，令，解得，或．在，遞增，在遞減．，時(shí)，，遞增，而，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，分別與，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，．則，，（證畢）例32．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，的值；（2）證明：；（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明．【解答】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?），曲線在點(diǎn)處的切線方程為即，，；（2）證明：令，則，令，則，單調(diào)遞增，又（1），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），，，（3）證明：的兩個(gè)零點(diǎn)，，即為的兩根，不妨設(shè)，由題知，曲線在處的切線方程為，令，即即的根為，則，由（2）知，，單調(diào)遞增，，設(shè)曲線在處的切線方程為，，，設(shè)方程即的根為，則，令，由（2）同理可得，即，，又單調(diào)遞減，，．例33．設(shè)函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)為，，證明：．【解答】解：（1），則，又，切線方程為，即；（2）證明：先證明，令，則，易知函數(shù)在上遞減，在，上遞增，則，即，再證明，令，則，易知函數(shù)在上遞減，在上遞增，則（1），即，如圖，設(shè)直線與直線，相交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，即得證．題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問(wèn)題例34．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)已知且，求證：.【解析】（1）由，得.令，則.注意到，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則，所以，得.當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)