高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)重難點(diǎn)突破04三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(七大題型)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)突破04三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)目錄1、基本性質(zhì)設(shè)三次函數(shù)為：(、、、且)，其基本性質(zhì)有：性質(zhì)1：=1\*GB3①定義域?yàn)椋?2\*GB3②值域?yàn)?，函?shù)在整個(gè)定義域上沒有最大值、最小值．=3\*GB3③單調(diào)性和圖像：圖像性質(zhì)2：三次方程的實(shí)根個(gè)數(shù)由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，故以三次函數(shù)為例來研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，判別式為：△=，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：(1)若，則恰有一個(gè)實(shí)根；(2)若,且，則恰有一個(gè)實(shí)根；(3)若,且，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(4)若,且，則有三個(gè)不相等的實(shí)根.說明:(1)(2)含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號），所以（或，且）;(5)有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以，且;(6)有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線與軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號.所以且.性質(zhì)3：對稱性（1）三次函數(shù)是中心對稱曲線，且對稱中心是；；（2）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2、常用技巧（1）其導(dǎo)函數(shù)為對稱軸為，所以對稱中心的橫坐標(biāo)也就是導(dǎo)函數(shù)的對稱軸，可見，圖象的對稱中心在導(dǎo)函數(shù)的對稱軸上，且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)也是二階導(dǎo)為零的點(diǎn)；（2）是可導(dǎo)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則圖象關(guān)于直線對稱.（3）若圖象關(guān)于直線對稱，則圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.（4）已知三次函數(shù)的對稱中心橫坐標(biāo)為，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則有.題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問題例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．（2023·江蘇揚(yáng)州·高三校考階段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）求的極值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根?若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由．例3．（2023·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且在和處取得極值.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式1．（2023·天津河西·高三天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，.（1）當(dāng)，求的極值；（2）當(dāng)，，設(shè)，求不等式的解集；（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值.變式2．（2023·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上有解，求的取值范圍；（3）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)為，則點(diǎn)恰好就是該函數(shù)的對稱中心.試求的值.變式3．（2023·山西太原·高三太原市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)過點(diǎn)，且函數(shù)在點(diǎn)處的切線恰好是直線.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．題型二：三次函數(shù)的最值、極值問題例4．（2023·云南·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求的零點(diǎn).例5．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求在上取得最大值時(shí)，對應(yīng)的值.例6．（2023·江蘇常州·高三常州市北郊高級中學(xué)校考期中）已知函數(shù)f(x)=，其中a>0.(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線與y軸的交點(diǎn)為（0，b），求b+的最小值.變式5．（2023·廣東珠海·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)（a，），其圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，且．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且的一個(gè)根為（1）求的值；（2）求證：還有不同于的實(shí)根、，且、、成等差數(shù)列；（3）若函數(shù)的極大值小于，求的取值范圍變式8．（2023·浙江寧波·高三效實(shí)中學(xué)校考期中）已知函數(shù)(其中).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求的取值范圍.題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問題例7．（2023·陜西商洛·高三校考階段練習(xí)）已知三次函數(shù)在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()A．m<2或m>4 B．－4<m<－2 C．2<m<4 D．2≤m≤4例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例9．（2023·江西宜春·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，m是實(shí)數(shù).（1）若在區(qū)間(2,+∞)為增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下,函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.變式9．（2023·陜西榆林·高三綏德中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三次函數(shù)在處取得極值，且在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，求的取值范圍.變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______．題型四：三次函數(shù)的切線問題例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；(2)設(shè)常數(shù)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍．例11．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明:.例12．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，滿足，已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，曲線在處的切線為.(1)求切線的傾斜角的取值范圍；(2)若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式11．（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在處取得極值．（1）求m的值；（2）若過可作曲線的三條切線，求t的取值范圍．變式12．（2023·陜西西安·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處取得極值．(1)設(shè)點(diǎn)，求證：過點(diǎn)的切線有且只有一條，并求出該切線方程；(2)若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍；(3)設(shè)曲線在點(diǎn)、處的切線都過點(diǎn)，證明：．題型五：三次函數(shù)的對稱問題例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在一定點(diǎn)滿足：若過點(diǎn)的直線與曲線交于不同于的兩點(diǎn)，就恒有的定值為，則的值為______.例15．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為曲線的“拐點(diǎn)”，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”.設(shè)函數(shù)，則_____________.變式14．（多選題）（2023·江蘇南京·高三南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值為B．有且僅有2個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是的對稱中心D．變式15．（多選題）（2023·廣東佛山·高三南海中學(xué)校考期中）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心，已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)C．過可以作兩條直線與圖像相切D．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則變式16．（多選題）（2023·安徽阜陽·高三安徽省太和中學(xué)?？几傎悾┒x：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心.已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．的值是199.C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)D．過可以作三條直線與圖像相切題型六：三次函數(shù)的綜合問題例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．1 D．8例17．（2023·陜西西安·高三西安中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，，給出下列四個(gè)結(jié)論，分別是：①；②在上單調(diào)；③有唯一零點(diǎn)；④存在，使得．其中有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的一定不可能是（

）A．① B．② C．③ D．④例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號是__．變式17．（2023·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；

②；

③；

④.其中正確結(jié)論的序號為（

）A．②③ B．①④ C．②④ D．①③變式18．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù).(1)若函數(shù)的對稱中心為，求函數(shù)的解析式.(2)由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個(gè)一次因式的乘積.進(jìn)而，一元n次多項(xiàng)式方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）.如設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，，則方程可變形為，展開得：則有，即，類比上述推理方法可得實(shí)系數(shù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，①若，方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為、、，當(dāng)時(shí)，求的最大值；②若，函數(shù)的零點(diǎn)分別為、、，求的值.變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且方程的三個(gè)根分別為．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求的取值范圍．變式20．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的.“固點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“固點(diǎn)”，且該“固點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.根據(jù)以上信息和相關(guān)知識回答下列問題：已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，試求的對稱中心.(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.題型七：三次函數(shù)恒成立問題例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且，．（1）求的極值；（2）求證：對任意，都有．例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，.(1)求的極值；(2)對于，，都有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.例21．（2023·四川瀘州·高三瀘州老窖天府中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)．（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，若對于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，，都有，求出實(shí)數(shù)的取值范圍．變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)若為函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)整數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)對任意時(shí)，任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)對任意，使得是函數(shù)在區(qū)間上的最大值，試求最大的實(shí)數(shù)．(2)若，對于區(qū)間的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、，且，都有成立，求的取值范圍．變式23．（2023·遼寧沈陽·高三東北育才學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(2)若對任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若對任意，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式24．（2023·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中，.（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，且時(shí)，（i）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：；（ii）若對任意的，都有成立，求正實(shí)數(shù)的最大值.變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值，．（1）求的值與的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，已知函數(shù)，若對于任意、，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

重難點(diǎn)突破04三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)目錄1、基本性質(zhì)設(shè)三次函數(shù)為：(、、、且)，其基本性質(zhì)有：性質(zhì)1：=1\*GB3①定義域?yàn)椋?2\*GB3②值域?yàn)椋瘮?shù)在整個(gè)定義域上沒有最大值、最小值．=3\*GB3③單調(diào)性和圖像：圖像性質(zhì)2：三次方程的實(shí)根個(gè)數(shù)由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，故以三次函數(shù)為例來研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，判別式為：△=，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：(1)若，則恰有一個(gè)實(shí)根；(2)若,且，則恰有一個(gè)實(shí)根；(3)若,且，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(4)若,且，則有三個(gè)不相等的實(shí)根.說明:(1)(2)含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號），所以（或，且）;(5)有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以，且;(6)有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線與軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號.所以且.性質(zhì)3：對稱性（1）三次函數(shù)是中心對稱曲線，且對稱中心是；；（2）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2、常用技巧（1）其導(dǎo)函數(shù)為對稱軸為，所以對稱中心的橫坐標(biāo)也就是導(dǎo)函數(shù)的對稱軸，可見，圖象的對稱中心在導(dǎo)函數(shù)的對稱軸上，且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)也是二階導(dǎo)為零的點(diǎn)；（2）是可導(dǎo)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則圖象關(guān)于直線對稱.（3）若圖象關(guān)于直線對稱，則圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.（4）已知三次函數(shù)的對稱中心橫坐標(biāo)為，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則有.題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問題例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.例2．（2023·江蘇揚(yáng)州·高三校考階段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）求的極值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根?若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1），令，得或．∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上遞減，在上遞增，在上遞減，的極小值為，極大值為．（2）由（1）知，在上遞減，在上遞增，在上遞減，而，即函數(shù)的極大值大于極小值．∴當(dāng)極大值等于0時(shí)，極小值小于0，此時(shí)曲線與軸恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，如圖1所示．，即．

當(dāng)極小值等于0時(shí)，極大值大于0，此時(shí)曲線與軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，如圖2所示．，即．綜上所述，當(dāng)或時(shí)，方程恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．例3．（2023·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且在和處取得極值.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），因?yàn)樵诤吞幦〉脴O值，所以和是方程＝0的兩個(gè)根，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件，所以；（2）由題意知，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，又取足夠大的正數(shù)時(shí)，，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，，因此，為使曲線與軸有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合的單調(diào)性，得：或，∴或，即當(dāng)或時(shí)，使得曲線與軸有一個(gè)交點(diǎn).變式1．（2023·天津河西·高三天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，.（1）當(dāng)，求的極值；（2）當(dāng)，，設(shè)，求不等式的解集；（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值.【解析】（1），∴，，.0+0-0+-4∴在時(shí)，取極大值.在時(shí)，取極小值-4.（2），即，設(shè)，，單調(diào)增函數(shù)，且，∴不等式的解集為.（3），，.，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，而，所以至多一個(gè)零點(diǎn)，（舍去）..，單調(diào)增，所以至多一個(gè)零點(diǎn)，（舍去）..，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，而，，∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.∴.變式2．（2023·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上有解，求的取值范圍；（3）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)為，則點(diǎn)恰好就是該函數(shù)的對稱中心.試求的值.【解析】（1）因?yàn)樗运笄芯€的斜率又因?yàn)榍悬c(diǎn)為所以所求的切線方程為（2）因?yàn)?，所以因?yàn)樵谏嫌薪?，所以不小于在區(qū)間上的最小值.因?yàn)闀r(shí)，，所以的取值范圍是.（3）因?yàn)?，所?令可得，所以函數(shù)的對稱中心為，即如果，則，所以.變式3．（2023·山西太原·高三太原市外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知三次函數(shù)過點(diǎn)，且函數(shù)在點(diǎn)處的切線恰好是直線.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），由題意可知：；（2）令，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故有，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1），，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，即，的最小值為．（2），，．①若，則，在上恒成立，在上單調(diào)遞增．，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．②若，則，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為，，．，．當(dāng)變化時(shí)，，的取值情況如下表：00增極大值減極小值增，，，同理，．因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，故，解得．故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)．綜上所述，的取值范圍是．題型二：三次函數(shù)的最值、極值問題例4．（2023·云南·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求的零點(diǎn).【解析】（1）∵在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴在上有解，又是對稱軸為的二次函數(shù)，所以在上的最大值大于0，而的最大值為，∴，解得：.（2），∴，由得：，，則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∵當(dāng)時(shí)，，，∴在上的最大值點(diǎn)為，最小值為或，而，當(dāng)，即時(shí)，，得，此時(shí)，的零點(diǎn)為；當(dāng)，即時(shí)，，得（舍）.綜上的零點(diǎn)為.例5．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求在上取得最大值時(shí)，對應(yīng)的值.【解析】（1）∵在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴在上有解，即在上成立，而的最大值為，∴，解得：.（2），∴，由得：，，則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∵當(dāng)時(shí)，，，∴在上的最大值點(diǎn)為，最小值為或，而，當(dāng)，即時(shí)，，得，此時(shí)，最大值點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，，得（舍）.綜上在上的最大值點(diǎn)為.例6．（2023·江蘇常州·高三常州市北郊高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)=，其中a>0.(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線與y軸的交點(diǎn)為（0，b），求b+的最小值.【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，，令，得或，故的增區(qū)間為，.(2)，則，而，故曲線在的切線方程為：，它與軸的交點(diǎn)為，故，故，其中，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故即的最小值為.變式5．（2023·廣東珠海·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)（a，），其圖象在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【解析】（1），，，又圖象在點(diǎn)處的切線方程為，所以，解得；（2）由（1）得，，或時(shí)，，時(shí)，，所以的增區(qū)間是和，減區(qū)間是，極大值是，極小值是；（3）由（2）知在和上遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以在上的最大值是，最小值是．變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，且．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【解析】（1）由得，，解得，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）由（1），令得或，令得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且的一個(gè)根為（1）求的值；（2）求證：還有不同于的實(shí)根、，且、、成等差數(shù)列；（3）若函數(shù)的極大值小于，求的取值范圍【解析】（1），由題意，可知是極大值點(diǎn)，故.（2）令，得或,由的單調(diào)性知，是方程的一個(gè)根，則，，方程的根的判別式，，又，（）即不是方程的根有不同于的根、，，、、成等差數(shù)列.（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知是極大值點(diǎn),，于是,令，求導(dǎo)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，即.變式8．（2023·浙江寧波·高三效實(shí)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)(其中).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求的取值范圍.【解析】（1）,①當(dāng)即時(shí)，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)，為()的兩根，，設(shè)()，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，即.題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問題例7．（2023·陜西商洛·高三?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()A．m<2或m>4 B．－4<m<－2 C．2<m<4 D．2≤m≤4【答案】D【解析】，由題意得恒成立，，，故選D.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，得因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，則在上恒成立，即恒成立，當(dāng)，即時(shí)，恒成立；當(dāng)，即時(shí)，，則，即，因?yàn)?，所以，即；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不是三次函數(shù)，不滿足題意，所以.故選：A．例9．（2023·江西宜春·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，m是實(shí)數(shù).（1）若在區(qū)間(2,+∞)為增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下,函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.【解析】(1)，因?yàn)樵趨^(qū)間為增函數(shù),所以在區(qū)間恒成立,所以,即恒成立,由,得.所以的取值范圍是.(2)，所以,令,解得或,時(shí),,在上是增函數(shù),不合題意,時(shí),令,解得或,令,解得,所以在遞增,在遞減,所以極大值為,極小值為,要使有3個(gè)零點(diǎn),需，解得.所以的取值范圍是.變式9．（2023·陜西榆林·高三綏德中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三次函數(shù)在處取得極值，且在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【解析】（1），由題意，解得，所以；（2）由（1），，在是遞增，則在上恒成立，，時(shí)，，所以．變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______．【答案】【解析】①當(dāng)對任意的恒成立時(shí)，則，則，對任意的恒成立，則，此時(shí)；②當(dāng)對任意的恒成立時(shí)，則，則，對任意的恒成立，則，此時(shí)不存在；③當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，則；當(dāng)時(shí)，恒成立，則，可得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的的取值范圍為.故答案為：.題型四：三次函數(shù)的切線問題例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；(2)設(shè)常數(shù)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)，．切線方程為，即．（2）由已知關(guān)于的方程，即有三個(gè)不等實(shí)根．令，則．可知在遞減，在遞增，在遞減，的極小值為：，極大值為．所以.例11．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明:.【解析】（1）則在點(diǎn)處的切線方程為整理得（2）構(gòu)造函數(shù)，即過點(diǎn)可做曲線的三條切線等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn).，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以，即可得例12．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，滿足，已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，曲線在處的切線為.(1)求切線的傾斜角的取值范圍；(2)若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，則，解得，所以，則，故，，，，，切線的傾斜角的的取值范圍是，，.（2）設(shè)曲線與過點(diǎn)，的切線相切于點(diǎn)，則切線的斜率為，所以切線方程為因?yàn)辄c(diǎn)，在切線上，所以，即，由題意，該方程有三解設(shè)，則，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，極大值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.變式11．（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在處取得極值．（1）求m的值；（2）若過可作曲線的三條切線，求t的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以．經(jīng)驗(yàn)證符合題意；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，所以方程為，將代入切線方程，得．令，則，則，解得．當(dāng)或時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．所以的極大值為，的極小值為．因?yàn)橛腥龡l切線，所以方程有三個(gè)不同的解，與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以．變式12．（2023·陜西西安·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），由在點(diǎn)處的切線方程為，得，，故，故，（2）由（1）得，過點(diǎn)向曲線做切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為．因?yàn)榍芯€過，故，整理得到：，∵過點(diǎn)可做曲線的三條切線，故方程有3個(gè)不同的解.記，．∴當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值．故當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處取得極值．(1)設(shè)點(diǎn)，求證：過點(diǎn)的切線有且只有一條，并求出該切線方程；(2)若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍；(3)設(shè)曲線在點(diǎn)、處的切線都過點(diǎn)，證明：．【解析】（1）證明：由，得：，由題意可得，所以，．此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在處取得極大值．設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，即，即為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程可得，即，所以，即點(diǎn)為切點(diǎn)，且切點(diǎn)是唯一的，故切線有且只有一條．所以切線方程為.（2）因?yàn)榍芯€方程為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程可得，因?yàn)橛腥龡l切線，故方程得有三個(gè)不同的實(shí)根．設(shè)，，令，可得和．當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，函數(shù)在處取得極大值，且，函數(shù)在處取得極小值，且，因?yàn)榉匠逃腥齻€(gè)根，則，解得，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，．（3）證明：假設(shè)，則，則，因?yàn)椋裕桑?）可得，兩式相減可得．因?yàn)椋剩汛肷鲜娇傻?，，所以，，所以．又由，這與矛盾．所以假設(shè)不成立，即證得．題型五：三次函數(shù)的對稱問題例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，令，可得，又，所以的圖像的對稱中心為，即，所以，故選：B.例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在一定點(diǎn)滿足：若過點(diǎn)的直線與曲線交于不同于的兩點(diǎn)，就恒有的定值為，則的值為______.【答案】2【解析】因?yàn)闉槎c(diǎn)，為定值，所以兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，由可得，設(shè)，令，解得，所以根據(jù)三次函數(shù)的對稱中心的二階導(dǎo)數(shù)為0可得是三次函數(shù)的對稱中心，所以，即.故答案為：2例15．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為曲線的“拐點(diǎn)”，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”.設(shè)函數(shù)，則_____________.【答案】－3033【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，令，可得，又，所以，即，所以，所以.故答案為：.變式14．（多選題）（2023·江蘇南京·高三南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值為B．有且僅有2個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是的對稱中心D．【答案】ACD【解析】由函數(shù)，可得，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為，所以A正確；又由極小值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；由，可得，令，可得，又由，所以點(diǎn)是函數(shù)的對稱中心，所以C正確；因?yàn)槭呛瘮?shù)的對稱中心，所以，令，可得，所以，所以，即，所以D正確.故選：ACD.變式15．（多選題）（2023·廣東佛山·高三南海中學(xué)校考期中）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心，已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)C．過可以作兩條直線與圖像相切D．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則【答案】ACD【解析】對于A中，由，可得，則，因?yàn)辄c(diǎn)是對稱中心，結(jié)合題設(shè)中“拐點(diǎn)”的定義可知，且，解得，所以A正確；對于B中，由，可知，則，令，可得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又，則函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；對于C中，因?yàn)?，所以點(diǎn)恰好在的圖象上，畫出函數(shù)的切線，如圖所示，由圖象可知過點(diǎn)可作函數(shù)的兩條切線，所以C正確；

對于D中，若在區(qū)間上有最大值，由上圖可知，最大值只能是，所以且，解得，所以D正確.故選：ACD.變式16．（多選題）（2023·安徽阜陽·高三安徽省太和中學(xué)校考競賽）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心.已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．的值是199.C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)D．過可以作三條直線與圖像相切【答案】AB【解析】因?yàn)椋?，從而，由題意，即，解得，故A正確；因?yàn)楹瘮?shù)的對稱中心為，所以有，設(shè)，所以有，得，，所以即的值是199.故B正確；因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在與處取得極大值與極小值，又，，即的極大值與極小值大于0，所以函數(shù)不會有3個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，又切線過，則，化簡得，即，解得或，即滿足題意的切點(diǎn)只有兩個(gè)，所以滿足題意只有兩條切線，故D錯(cuò)誤.故選：AB.題型六：三次函數(shù)的綜合問題例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．1 D．8【答案】A【解析】由得，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，在上是減函數(shù)，所以，所以，此時(shí)的另外一個(gè)根，所以，因?yàn)榉匠逃?個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是，，2，所以，所以且，所以則所以，因?yàn)椋?，所以的最小值?.故選：A．例17．（2023·陜西西安·高三西安中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，，給出下列四個(gè)結(jié)論，分別是：①；②在上單調(diào)；③有唯一零點(diǎn)；④存在，使得．其中有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的一定不可能是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】，假設(shè)①錯(cuò)誤，則，因此二次函數(shù)是開口向下的拋物線，因此④一定正確，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，②成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以③有唯一零點(diǎn)正確；假設(shè)②錯(cuò)誤，則在上不單調(diào)，所以有，即，兩根為：，顯然④正確，要想①正確，二次函數(shù)是開口向上的拋物線，所以函數(shù)從左到右先增后減再增，要想③正確，只需或，比如當(dāng)時(shí)可以使①③正確；假設(shè)③錯(cuò)誤，則在上單調(diào)，且，因此，所以④也錯(cuò)誤；假設(shè)④錯(cuò)誤，則，因此②在上單調(diào)遞增，顯然此時(shí)有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以③有唯一零點(diǎn)正確，故選：C例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號是__．【答案】③④⑤【解析】求導(dǎo)函數(shù)可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，或時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極大值為，的極小值為，函數(shù)沒有最值，要使有三個(gè)解、、，那么結(jié)合函數(shù)草圖可知：，所以，且，所以，，，，故①②錯(cuò)誤；③④⑤正確.故答案為：③④⑤．變式17．（2023·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎?，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；

②；

③；

④.其中正確結(jié)論的序號為（

）A．②③ B．①④ C．②④ D．①③【答案】A【解析】分析：先求出f′（x），再進(jìn)行因式分解，求出f′（x）＜0和f′（x）＞0對應(yīng)x的范圍，即求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再由條件判斷出a、b、c的具體范圍和f（1）＞0且f（2）＜0，進(jìn)行求解得到abc的符號，進(jìn)行判斷出f（0）的符號．由題意得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），∴當(dāng)x＜1或x＞2時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（﹣∞，1），（2，+∞），減區(qū)間是（1，2），∴函數(shù)的極大值是f（1）=，函數(shù)的極小值是f（2）=2﹣abc，∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，∴a＜1＜b＜2＜c，f（1）＞0且f（2）＜0，解得2＜，∴f（0）=﹣abc＜0，則f（0）f（1）＜0、f（0）f（2）＞0，故答案為：A．變式18．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù).(1)若函數(shù)的對稱中心為，求函數(shù)的解析式.(2)由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個(gè)一次因式的乘積.進(jìn)而，一元n次多項(xiàng)式方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）.如設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，，則方程可變形為，展開得：則有，即，類比上述推理方法可得實(shí)系數(shù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，①若，方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為、、，當(dāng)時(shí)，求的最大值；②若，函數(shù)的零點(diǎn)分別為、、，求的值.【解析】（1）為奇函數(shù)，則恒成立.即，整理得：恒成立，故，解得，故.（2）①若，則，由題有的三個(gè)實(shí)根為，，.設(shè)，展開得，故，則，又，故，綜上：當(dāng)時(shí)，的最大值為0；②時(shí)，，由有，同時(shí)除以得，令，，，由題知是方程的三個(gè)根，則，展開得，則.變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且方程的三個(gè)根分別為．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求的取值范圍．【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)得，由題設(shè)兩根為，則，所以.（2）由（1）和條件得,，則，所以所以是方程的兩根，所以，解得，又，所以所以.所以的范圍是.變式20．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的.“固點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“固點(diǎn)”，且該“固點(diǎn)”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.根據(jù)以上信息和相關(guān)知識回答下列問題：已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，試求的對稱中心.(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.【解析】（1），，，令，，，故的對稱中心為.（2），令，則，，當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在，上，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在，上，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3），，令，，，所以對稱中心為，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；；，要使得有三個(gè)解，故，，且，，是方程的根，由于對稱性，為了簡化研究，只研究的情況，，根據(jù)常數(shù)項(xiàng)知：，根據(jù)對稱性知：，，且，故，即，.當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí).題型七：三次函數(shù)恒成立問題例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且，．（1）求的極值；（2）求證：對任意，都有．【解析】（I）由題意，令且所以由的單調(diào)性可知的極小值為極大值為（II）且從而問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立.試題解析：（I）依題意得，知在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)∴，

（II）法1：易得時(shí)，，依題意知，只要由知，只要令，則注意到，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，即，綜上知對任意，都有法2：易得時(shí)，，由知,,令則注意到，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，，所以,即.綜上知對任意，都有.

法3:易得時(shí)，，由知,,令,則令,則,知在遞增,注意到,所以,在上是減函數(shù)，在是增函數(shù),有,即綜上知對任意，都有.

例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，.(1)求的極值；(2)對于，，都有，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增故函數(shù)的極大值為，極小值為.(2)對于，，都有，則.由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則且不恒為零，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由題意可得，故.例21．（2023·四川瀘州·高三瀘州老窖天府中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三次函數(shù)．（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，若對于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，，都有，求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程是，可得，解得，，所以．（2）由（1）知，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在和上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，，，所以在區(qū)間上