2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：三角函數(shù)與三角恒等變換（解析）

專題01三角函數(shù)與三角恒等變換

一、三角函數(shù)

1.如圖，P,Q是以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若它們同時(shí)從點(diǎn)4(1,0)出發(fā)，沿逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蚪撬?/p>

度運(yùn)動(dòng)，其角速度分別為?*(單位：弧度/秒)，M為線段PQ的中點(diǎn)，記經(jīng)過(guò)x秒后(其中0WxW6),f(x)=

\OM\

(I)求y=fO)的函數(shù)解析式；

(H)將/(x)圖象上的各點(diǎn)均向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=g(x)的圖象，求函數(shù)g=g(x)的單調(diào)遞減區(qū)

間.

【答案】(I)/(x)=cos^x,(0<x<6),(II)[2,8].

【分析】(I)依題意可知/尸。4=gx,ZQOA=AM0Q=從而求得/'(x)—\OM\—cosZ

MOQ的解析式；

(II)依題意可知g(x)=cos(TZ%—(2<x<8),由2htW三一？W2E+7t,求得x的范圍，可得函數(shù)y=g

(x)在[2,8]上的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】解：(I)依題意可知NPO/=*,ZQOA=1x.

'：\OP\=\OQ\=\,：.\OM\=\OQ\^cosZMOQ=cosZMOQ,

：.ZMOQ==ir,：.f(x)=QM=cos$:(0<x<6),

即f(x)=cos-x,(0<x<6).

(II)依題意可知g(x)=cos^|(x-2)=cos(2<x<8),

由2人兀4~v—7<2左兀+兀，得24人+2Svg24左+14,

12o

故函數(shù)y=g(x)在[2,8]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[2,8].

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

2.設(shè)函數(shù)/'(久)=4cos￡sin(x-5)+g,x&R.

(I)當(dāng)xe[0,日時(shí)，求函數(shù)"久)的值域；

(II)已知函數(shù)y=/O)的圖象與直線：=1有交點(diǎn)，求相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離.

【答案】(I)[-VJ.2](II)

【詳解】試題分析：(I)先根據(jù)兩角差正弦公式、二倍角公式、配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)f(x)=

2sin(2x-"再根據(jù)基本三角函數(shù)性質(zhì)求其值域；(II)先根據(jù)方程解出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)間距離求最

小值

試題解析：(I)解：因?yàn)?(x)=4cosx(2sinx-苴cosx)+

=isinXCOSX-2I/3COS*X--73

-3；N”-/S,.

=2sin(2x—

因?yàn)?<x<p

所以—三2x—三苧，

所以一手Wsin(2x—“<1,

即一我Wf(x)<2,

其中當(dāng)x=,時(shí)，/(X)取到最大值2；當(dāng)x=0時(shí)，1AX)取到最小值一JJ，

所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-。，口.

(II)依題意，得2sin(2x—g)=1,sin(2x冶)=g,

所以2x-m=m+2kir或2x—N=圮+2kn,

3b36

所以x=：+kii或x=^+kn(k6Z),

所以函數(shù)y=f(x)的圖象與直線j二1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的最短距離為爭(zhēng)

考點(diǎn)：兩角差正弦公式、二倍角公式、配角公式，三角函數(shù)性質(zhì)

3.已知tana=(,且a是第三象限角，

(1)求sina的值；

(2)求sin26+a)+sina?COS(TT-a)的值.

【答案】(1)-g;(2)|.

【解析】(1)由同角三角函數(shù)的關(guān)系可得2sina=cosa,結(jié)合siMa+cos2a=1,a是第三象限角可得sina,

cosa的值；

(2)利用誘導(dǎo)公式將原式化簡(jiǎn)，代入sina,cosa的值可得答案.

【詳解】解：(1)由tana=:，可得121101=m吧=3即2sina=cosa,

2cosa2

'.__A/5

可得｛2sina-cosa,由觀是第三象限角，可得|‘ma-一裊，

+cosza=12V5

cosa=------

i5

故sina的值為一個(gè)；

(2)sin2+a)+sina-cos(ir—a)=cos20t—sina-cosa,

代入sina=-］，cosa=一等的值，

可得原式=3-1=|.

【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用及誘導(dǎo)公式，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性，屬于基礎(chǔ)題型.

4.如圖，某市準(zhǔn)備在道路所的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道，賽道的前一部分為曲線段E8U該曲線段是函

數(shù)y=4sin(3x+K)(4>0,3>0),xe［―4,。］時(shí)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B(—1,2),賽道的中間部

分為長(zhǎng)百千米的直線跑道CA,且CD//EF；賽道的后一部分是以。為圓心的一段圓弧

(1)求3的值和/DOE的大??；

(2)若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，矩形的一邊在道路跖上，一個(gè)頂點(diǎn)在半

徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)尸在圓弧DE上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時(shí)尸點(diǎn)的位置.

【答案】(1)3=2NDOE=T⑵Smax=3&—3；

0qiiictA,

【分析】(1)依題意，得A=2,5=3,根據(jù)周期公式T=,可得3,把B的坐標(biāo)代入結(jié)合已知可得<p,從而可求

ZDOE的大小

(2)由(1)可知OD=OP,矩形草坪的面積S關(guān)于。的函數(shù)，有結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求S取得最

大值

【詳解】⑴由條件可得A=2,5=3,)=§.?.3=也.?.曲線段FBC的解析式為y=2sin@x+3，

當(dāng)x=0時(shí)，y=OC=b，又CD=仃，4COD=g,Z_DOE=?

(2)由(1),可知0D=&,又易知當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)，點(diǎn)P在弧DE上，

故OP=V6,設(shè)NPOE=9,0<0<^,“矩形草坪”的面積為S=V6sin0(V6cos0—V6sin0)=6(sin0cos0—

sin20)=6Qsin20+|cos20~~j~3V2sin(2。+?)—3

???0<ew：,故當(dāng)28+：=泄，8屋時(shí)，s取得最大值Smax=3a_3,

此時(shí)Xp=V6cos^,y=V6sin^

rOrpO

故面積最大值為：Smax=3或一3,P點(diǎn)坐標(biāo)為(J2d6+28J2a-2⑼

2'2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)際問(wèn)題中，由丫=Asin(3x+(p)的部分圖象確定函數(shù)的解析式，常規(guī)步驟為：

由函數(shù)的最值確定A的值，由函數(shù)所過(guò)的特殊點(diǎn)確定周期T,利用周期公式求3,再把函數(shù)所給的點(diǎn)(一般

用最值點(diǎn))的坐標(biāo)代入求<p，從而求出函數(shù)的解析式；還考查了實(shí)際問(wèn)題中的最值的求解，解題關(guān)鍵是要把

實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)求解

5.在中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.

(I)求cosB的值；

(II)求$也卜8+￡)的值.

【答案】(I)一:；

(n)_3V5+7

16

【分析】(I)由題意結(jié)合正弦定理得到a,b,c的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得cosB的值

(II)利用二倍角公式首先求得sin2B,cos2B的值，然后利用兩角和的正弦公式可得sin(2B+》的值.

【詳解】(1)在4人8(：中，由正弦定理上二三得bsinC=csinB,

sinBsmC

又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.

又因?yàn)閎+c=2a,得到b=ga,c=|a.

2,42167

由余弦定理可得cosB==a7了=—i

2ac2-a--a4

(11)由(1)可得sinB=V1—cos2B=—,

4

從而sin2B=2sinBcosB=--,cos2B=cos2B-sin2B=-1

88

71

故+frsi?n/2QBD+I-吟)=s■ino2Bco￡s-+IcosQ2DBs?in-=--V-1-5x-V-3---7x-1=--3-v-^-+-7-.

\6/66828216

【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正

弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查計(jì)算求解能力.

6.已知函數(shù)/(x)=2cos久-1+2V3sintoxcos6ox(0<to<1),直線久=方是函數(shù)兀r)的圖象的一條對(duì)稱軸.

(1)求函數(shù)段)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=/(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，然后再向左平移g個(gè)單位

長(zhǎng)度得到的,若g(2a+/)=,aC(0,]),求sina的值.

【答案】(1)[-y+2kTr^+2kn],keZ；(2)筆小

【解析】(1)首先化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)=2sin(2a)x+g,再根據(jù)x=5是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，代入求3,再求函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)先根據(jù)函數(shù)圖象變換得到g(x)=2cos],并代入g(2a+])=汨，得cos(a+=)=|,

再利用角的變換求sina的值.

【詳解】(1)f(x)=cos2a)x4-V3sin2a)x=2sinf2a)x+-

K1

++k得kz

--Bt,3X2-n7-1-7-1G--+3-kG

3362z,22

v0<o)<1,，o)=5,

即f(x)=2sin(x+?),令—]+2kn<x+^<^+2kn,

解得：-g+2ki[WxWg+2kmkcZ,

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是卜y+2kn(+2kn],keZ；

(2)g(x)=2sin||(x+9)+1|=2cos1x,

g(2a+=)=2cos(a+g=f,得cos(a+",

??.ae(o,5,a+sin(a+￡)=Jl—cos2(a+X

sina=sin[(a+j=sin(a+])cos^—cos(a+§sin：

4V3314V3-3

——■x------x——-------

525210

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的圖象變換，以及y=Asin((ox+年)的性質(zhì)，屬于中檔題型,y=Asin(x+(p)

的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(或縮短)到原來(lái)的工倍，得到函數(shù)的解析式是y=Asin(a)x+cp),若y=Asincox向右(或左)

(0

平移(p((P>0)個(gè)單位，得到函數(shù)的解析式是y=Asin[3(x—叩)]或y=Asin[co(x+3)].

7.已知函數(shù)/(x)=2sin(23久+?)+1.

⑴若fOl)</(X)<f3)，kl-x2lmin=泉求f(x)的對(duì)稱中心;

(2)己知0<3<5,函數(shù)f(x)圖象向右平移巳個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，X=(是g(x)的一個(gè)零點(diǎn)，若函

數(shù)9(%)在[科幾](m,7lER且THV幾)上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，求九—TH的最小值；

(3)已知函數(shù)九(%)=acos(2x-^)-2a+3(a>0),在第(2)問(wèn)條件下，若對(duì)任意％iG[0,：],存在％2￡[。，：]，

使得九(%1)=g(%2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)(—^+y,l)(kEZ)或偌-y,l)(k€Z)；

(2號(hào)

(3)(?，i

【分析】(1)由Kx。Wf(x)Wf(X2)，|X1—X21min=]可求得函數(shù)Kx)的最小正周期，進(jìn)而確定參數(shù)3的值，

再由整體代換即可求得對(duì)稱中心；(2)由三角函數(shù)的平移變換求得g(X)的解析式，再由零點(diǎn)的定義確定參

數(shù)3的值，結(jié)合圖象可得n-m的最小值；(3)將所給條件轉(zhuǎn)化為h(x)和g(x)的值域的包含關(guān)系，即可求得

參數(shù)a的取值范圍.

【詳解】(1)?.嚇。)=25也(23*+方)+1的最小正周期為丁=落，

又?.?f(xD<f(x)<f(X2),|X1-x2|min=M，f(x)的最小正周期是兀，

故T=篙=71,解得3=±1,

當(dāng)0)=1時(shí)，f(x)=2sin(2x++由2x+?=kir(kGZ)=>x=—77-+—(keZ),f(x)的對(duì)稱中心為

\6/6122

(Y+印l)(kez)；

當(dāng)0)=-1時(shí)，f(x)=2sinf-2x+-)+1,由-2x+-=kn(kCZ)=>x==一二(keZ),f(x)的對(duì)稱中心為

\6/6122

七號(hào)，1)(立外；

綜上所述，f(x)的對(duì)稱中心為(一點(diǎn)+果1)(kez)或佶—/1)(kez).

(2)?.?函數(shù)f(x)圖象向右平移2個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，

g(x)=2sin(23X+合23)+1.

又；x=W是g(x)的一個(gè)零點(diǎn)，

g(7)=2sin償3+J_、3)+1=0,即sin償3+白=1，

3\3OD/\0O/L

工^①+7=T+2kir或乙①+-=—+2kn,kGZ,

366366

解得=3+6k(kGZ)或=5+6k(keZ),

由0Vo)V5可得o)=3

???g(x)=2sin(6x—￡)+1,最小正周期T=]

令g(x)=0,貝ijsin(6x_￡)=-1

即6x—1=—g+2ki兀或6x—U=—?+2k27t,kez,解得*=等+?或*=萼，k^kzeZ；

若函數(shù)g(x)在[m,n](111,11€1^且111<11)上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，故4TVn—mV6T

要使n-m最小，須m、n恰好為g(x)的零點(diǎn)，故(n-m)min=4X?卓

(3)由(2)知g(x)=2sin(6x-￡)+1,對(duì)任意x[E[0,；],存在x?E[05],使得h(xl=g(x2)成立，則

{y|y=h(x)}c{y|y=g(x)},

當(dāng)X2E[。用時(shí),6x—yG,sin(6x—胡E[—l,l],g(x2)6[—1,3],

當(dāng)XiE[0q]時(shí),2x—'E[—K],cos(2x—^6悖,1],fi(xjG|a+3,—a+3j,

(a>0

由{y|y=h(x)}工{y[y=g(x)}可得卜|a+3>-1,解得aE

1-a+3W3

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0琲

【點(diǎn)睛】本題第(3)小問(wèn)為不等式的恒成立問(wèn)題，解決方法如下：

一般地，已知函數(shù)y=f(x),x￡[a,b],y=g(x),x6[c,d]

(1)若VX]€[a,b],VX2E[c,d],總有f(xDVg(X2)成立，故f(x)maxVg(X2)min；

(2)若2X1e[a,b],3X2e[c,d],有f(xj<g(x2)成立，故f(x)max<g(x2)max；

(3)若"e[a,b],3X26[c,d],有f(x。<g(x2)成立，故f(x)min<g(x2)max；

(4)若VxiG[a,b],3X2G[C,d],有f(xj=g(%2)，則f(%)的值域是9(%)值域的子集.

8.已知函數(shù)g(%)=sin(%-習(xí)，/i(x)=cos%,從條件①/(%)=g(%)?/i(x)>條件②f(%)=g(%)+/i(%)這兩

個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

(1)/(%)的最小正周期；

(2)/(x)在區(qū)間可上的最小值.

【答案】(1)選條件①十選條件②2n

(2)選條件①-今選條件反

【分析】選條件①：f(x)=g(x)?/l(x)；

(1)利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可得f(x)=isin(2x-^)-i

由周期公式可得答案;

(2)根據(jù)x的范圍求得sin⑵一習(xí)的范圍可得答案；

選條件②：f(x)=g(x)+h(x).

(1)利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可得f(x)=sin(x+習(xí)，

由周期公式可得答案；

(2)根據(jù)x的范圍求得sin(x+習(xí)的范圍可得答案.

【詳解】(1)選條件①：f(x)=g(x)?ft(x)；

弓)=停12

(1)f(x)=sin(x—cosxsinx-[cosx)cosx=fsinxcosx—一COS”

2

V3111+cos2x

=——x—sin2x——x-------------

2222

V311

=——sin2x----cos2x——

444

=lsin(2x-7)-?

所以f(x)的最小正周期是Tl.

選條件②:f(x)=g(X)+九(X).

f(x)=sin(x—￡)+cosx=(曰sinx—cosx)+cosx

V31

二—sinx+—cosx

=sin(x+{)，

所以f(x)最小正周期是2Tl.

(2)選條件①：f(x)=g(x)-h(x)；

因?yàn)?wxw],

所以-浮x-*，

當(dāng)2x-已,即x=0時(shí)，f(x)有最小值一

選條件②：f(x)=g(x)+h(x).

因?yàn)?/p>

所咤X+若，

所以9sin(x+^<1,

當(dāng)x+1=2,即x=0時(shí)，f(x)有最小值去

9.在AABC中，內(nèi)角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且cosB=±-;.

c2c

⑴求c；

(2)若c=2a,求sinB.

【答案】明

【分析】(1)首先利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；

(2)利用正弦定理將邊化角即可得到sinA,再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosA,最后根據(jù)sinB=

sin(A+C)利用兩角和的正弦公式計(jì)算可得；

【詳解】(1)解：因?yàn)镃OSB=2—?,

即2ccosB=2a—b,由正弦定理可得2sinCcosB=2sinA—sinB,

又sinA=sin[ir—(B+C)]=sin(B+C),

即2sinCcosB=2sin(B+C)—sinB,

所以2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC-sinB,

即2sinBcosC=sinB,因?yàn)閟inB>0,所以cosC=又C￡(0,n),所以C=g

(2)解：因?yàn)閏=2a,所以sinA=^sinC=工x追=理，

2224

因?yàn)閏>a,所以cosA=V1—sin2A=—,

4

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=x1+x?=$十客

10.已知函數(shù)/(%)=sin3%+9)(co>0,\(p\<x=￡是函數(shù)/(%)的對(duì)稱軸，且/(%)在區(qū)間&與)上單調(diào).

⑴從條件①、條件②、條件③中選一個(gè)作為已知，使得/(%)的解析式存在，并求出其解析式；

條件①：函數(shù)f(%)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,鄉(xiāng)；

條件②：&0)是f(x)的對(duì)稱中心；

條件③：管,0)是/(久)的對(duì)稱中心.

(2)根據(jù)(1)中確定的/'(%),求函數(shù)y=f(x)(%e[o,,)的值域.

【答案】⑴f(x)=sin(2x+§)

⑵卜則

【分析】⑴根據(jù)題意得到。<3<2和?X3+<p=kn+/keZ),

再根據(jù)選擇的條件得到第三個(gè)方程，分析方程組即可求解；

(2)先求出2x+￡所在的范圍，再根據(jù)圖像求出函數(shù)值域即可.

【詳解】⑴因?yàn)閒(x)在區(qū)間上單調(diào),所以上冷戶,

因?yàn)門=襦，且3>0,解得0<3W2；又因?yàn)閄=￡是函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸，

所以3+cp=kn+y(k￡Z)；

若選條件①：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,?所以simp

因?yàn)榧碔V*所以y二*所以搟X3+.=k7r+],即co=6k+2(kEZ),

當(dāng)k=0時(shí)，3=2,滿足題意，故f(x)=sin(2x+]).

o

若選條件②：因?yàn)間,o)是f(x)的對(duì)稱中心，所以^X3+<p=mn(meZ),

-xoi)4-(p=k7i+-

6,2

0<o)<2,此方程無(wú)解，故條件②無(wú)法解出滿足題意得函數(shù)解析式.

{x0)+(p=mu

若條件③：因?yàn)樾?0)是f(x)的對(duì)稱中心，所以登x3+cp=mn(m€Z),

71,,,TV

-xa)+<p=kTt+-_工

0<a)<2,解得隼一:，所以f(x)=sin(2x+".

TT=2

(—5xU)+cp=mu

(2)由(1)知,f(x)=sin(2x+￡),

o

所以y=f(x)(xe[0圖)等價(jià)于f(x)=sin(2x+1，x￡[o,^],

所以2x+￡C2,倒，所以sin(2x+g)E[—[,1],

即函數(shù)丫=￡5)[^?)的值域?yàn)椋翰?1].

11.已知向量H=(sin%,：),5=(cos%,-1).

(1)當(dāng)H//5時(shí)，求cos2%—sin2%的值；

(2)設(shè)函數(shù)/(%)=2(H+石)?石,已知在△ZBC中，內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=y[3,b=2,sinB=

爭(zhēng)求/㈤+4cos(24(xe[O,引)的取值范圍.

【答案】(晦

(2)[^-1,72-1]

【分析】(1)Efea//b,可得tanx=-*化簡(jiǎn)cMx-sin2x可得cos2x-sin2x=^|,再代值計(jì)算即可,

(2)由題意利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)可得f(x)=?sin(2x+9+|,再利用正

弦定理可求得A=；,從而可得f(x)+4coshA+9=V2sin(2x+^)-|,由xe［。，得2x+：e

［p知，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得其范圍

【詳解】(1)因?yàn)閃=(sinx,§,6=(cosx,-1),a//b,

所以吧=一［,所以tanx=3

cosx44"

二匚[、1—2tanx

所以Icos7x—sm.zcx=cos7x—czsm?xcosx=-co-s--xn—--z-sm--xc—osx

sinx+cosxl+tan2x

3

1+2x48

1+25

(2)因?yàn)?=(sinx,：),b=(cosx,-1),

所以+b=(sinx+cosx,—[),

所以f(x)=2(a4-b)-b=2[cosx(sinx+cosx)+

=2sinxcosx+2cos2x+—

3

=sin2x+cos2x+—

=?sin(2x+=)+1)

在^ABC中，a=V3,b=2,sinB=—,

所以由正弦定理得」7=上，亮=備，得sinA=^

sinAsmBsinA-y2

因?yàn)閍<b,所以角A為銳角，所以A=3，

4

所以f(x)+4cos(2A+§

3/nn\

V2sin(2x++—+4cos(2x—+—)

2V46/

=V2sin(2x+；)-1)

因?yàn)閤E[o,,,所以2x+2e?，，

所以sin等工sin(2x+￡)<si嗎

1Z\4/L

中斗，.11TI./2K.2TTH,TT

內(nèi)為sin——=sin—,I-ir-\=sin—cos-+cos—2nsi.n-=-V-6-V-2，

12\34734344

所以yWsinQx+9Wl,

所以等<V2sin(2x+￡)WVL

所以~l~‘sin(2x+^-1<V2-1，

所以f(x)+4cos(2A+])(x6[o,,)的取值范圍為惇—1,夜—g

1[C2.已—1矢口一<a</7i,t,anaI+--1=---10.

4tana3

⑴求tana的值；

-_p.sina+cosa

(z2)x求的值;

(3)求2sin2a—sinacosa—3cos2a.的值

【答案】⑴-！

(2)-1

11

(3)-y

【分析】⑴根據(jù)tana+L=—日可得3tan2a+10tana+3=0,解方程并結(jié)合角的范圍求得tana；

tana3

(2)利用弦化切，將陋事化為里隼，可得答案；

sma—cosatana—1

(3)利用1=sin2a+cos2a,將-sinacosa-3cos2a化為空金警產(chǎn)”,繼而化為^

sinza+cosatanza+l

求得答案.

【詳解】(1)由tana+「一=—學(xué)得3tan2a+iotana+3=0,

tana3

解得tana=-3或一|,

因?yàn)楹鮒aVn,故一lVtanaVO,則tana=—1；

sina+cosatana+1-1

(2)-------------=----------=-i—=-----;

sina-cosatana—1-----12

3

zxo-7.c72sin2a—sinacosa—3cos2a

(3o)2smza—sinacosa—3cosza=---------,--------------

sina+cosa

_2tan2a-tana-3_2(-3)2+3-2_11

tan2a+l(~)2+i5，

13.已知函數(shù)f(%)=2sinx-sin(x+§.

⑴求f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若對(duì)任意工￡上母，都有上(%)—4日，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】(1)[一2+kn,|^+kii|,kEZ

⑵/

【分析】(1)f(x)的解析式可化簡(jiǎn)為f(x)=sin(2x—§+弓，令-5+2k7tW2x—mw5+2kir,kez,即可

解得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間

(2)對(duì)恒成立的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化后，結(jié)合2x一方的范圍可得-5W2t-從而解得t的范圍

【詳解】(1)f(x)=2sinx-sin(x+])=2sinx(手sinx+|cosx)

1V3/n\V3

=sinxcosx+V3sinz7x=,sin2x+-^-(l—cos2x)=sin(2x—引+—

令--+2kn<2x--<-+2kir,kEZ

“232

解之得一己+kTr〈xw|^+kii,kEZ

???f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為卜盤+kn堵+則,kEZ

(2)對(duì)任意x6［培卜都有卜(x)—耳＜日o|sin(2x＜與

；2x/e［2t-盟，

.-.0<t<p

...實(shí)數(shù)t的范圍為

14.已知函數(shù)f(%)=sin(2%+1+cos\2x+§-2sinxcosx.

⑴求函數(shù)/Q)的最小正周期及對(duì)稱軸方程;

⑵將函數(shù)y=/(%)的圖象向左平移工個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,

得到函數(shù)y=g(%)的圖象，求y=g(%)在［0,2兀］上的單調(diào)遞減區(qū)間.

【答案】⑴最小正周期為m對(duì)稱軸方程為x=-2+浮kez

⑵因檔，如］

【分析】(1)利用兩角和差的正余弦公式與輔助角公式化簡(jiǎn)可得f(x)=2cos(2x+9,再根據(jù)周期的公式與

余弦函數(shù)的對(duì)稱軸公式求解即可;

(2)根據(jù)三角函數(shù)圖形變換的性質(zhì)可得g(x)=2cos(x+§,再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可.

【詳解】(1)f(x)=/in2x+Vcos2x+Vcos2x[sin2x-sin2x,

,1

f(x)=V3cos2x-sin2x=2--cos2x--sin2x

22

=2(cos2xcos--sin2xsin-)=2cos(2x+J

\667

所以函數(shù)f(x)的最小正周期為71,

令2x+合kmkGZ,得函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程為x=—日，kez.

(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移右個(gè)單位后所得圖象的解析式為y=2cos(2(x+自=2cos(2x+

5，

所以g(x)=2cos(2xgx+§=2cos(x+f,

令2kn<x++2ku,

所以——+2kll&x4—+2ku,kGZ.又xG[0,2ir],

所以y=g(x)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為[。,篇,[y,27r].

15.已知函數(shù)f(%)=b-(a+"?)，其中向量五=(sin%,—3cosx),b=(sin%,—cos%)，~c=(—cosx,sin%),xER-

(1)求f(%)的解析式及對(duì)稱中心和單調(diào)減區(qū)間；

(2)不等式I/O)-加<3在xe層]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(l)f(x)=2+岳in3+弓)，對(duì)稱中心為償一卷2),keZ,單調(diào)減區(qū)間是卜尹由譚+對(duì)*eZ

(2)(-1,5-V2)

【分析】(1)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和正余弦的二倍角公式可得f(x),再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解;

(2)由題意可得：f(x)-3<m<f(x)+3在xe[羽上恒成立，求出f(x)的最值，轉(zhuǎn)化為

解之即可.

【詳解】(1)f(x)=b-(a+c)=(sinx,—cosx)?(sinx-cosx,sinx—3cosx)

=sin2x—2sinxcosx+3cos2x=1—sin2x+2cos2x

=2+cos2x—sin2x=24-V2sin(2x+

令2x+*=knQx二段—半，對(duì)稱中心怎一工,2),kEZ

又令三十2kir<2x4--<—+2kn=>--+kn<x<—+ku,

24288

所以單調(diào)減區(qū)間是卜；+kit*+kn],keZ

(2)「不等式|f(x)-m|<3在xe玲U上恒成立，

3<f(x)-m<3,即f(x)-3<m<f(x)+3在xef上恒成立,

?1?f(X)max_3<m<f(X)mm+3,

因?yàn)閤e肉斗，所以2X+乎6忖,知，

LoZJ44

當(dāng)2x+苧=苧，即x=^寸，f(x)取得最小值，

最小值為f(X)min=2+V2siny=2—

當(dāng)2x+,=m即X=：時(shí)，f(x)取得最大值，

最大值為f(x)max=2,

即｛得一l<m<5—應(yīng),

(.m<2-72+3

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(—1,5-V2)

16.已知函數(shù)/'(久)=2sin2(%+：)+V2cos(久—(sinx—cosx).

⑴求函數(shù)/(x)的對(duì)稱中心及最小正周期；

(2)若9€(譚,日)，f⑹=/求tane的值.

【答案】(1)函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為(葭+a1)，keZ,函數(shù)f(x)的最小正周期為m

⑵tan。=

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心及最小

正周期；(2)由⑴可得sin(2e-：)=茶結(jié)合兩角差正弦函數(shù)，二倍角公式，同角關(guān)系化簡(jiǎn)可求tan。.

【詳解】(1)

27T

f(x)=2sin(:x+

=1-cos僅x+g)+V2cos(x-gV2sin(x-9

=1+sin2x+2sin(x--)cos(x--It

4,4.

1+sin2x+sin(2X-9,

=14-sin2x—cos2x,

=V2sin(2x-：)+1,

令2x-：=kn,keZ,可得x=^+SkGZ,

428

又f得+=V2sin(kn)+1=1,

所以函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為(弓+會(huì)1),kez,

函數(shù)f(x)的最小正周期T=y=TT;

(2)因?yàn)閒(0)=3所以或sin(2e-g+l

所以sin(20-=—9

\4710

所以它sin28——cos20=—,

22io

所以sin20—cos20=1,

所以lOsin0cos0—5(COS29—sin20)=sin20+cos20,

所以4sin20+lOsin0cos0—6cos20=0,

因?yàn)?6所以cosB>0,

故2tan204-5tan0—3=0,

所以(2tan。—l)(tan0+3)=0,

所以tan0=—3或tan0=

又ee(-祥)，故tan*.

17.已知函數(shù)/(x)=Asin(3久+0)+8(4>0,3〉0,|如<3的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/'(久)的解析式；

(2)將函數(shù)y=/(%)圖象上所有的點(diǎn)向右平移:個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2

倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象.當(dāng)久e[。，制時(shí)，方程。(久)-a=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

KV%2<%3)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及％1+2%2+%3的值.

【答案】(l)f(x)=2sin(2x+0+3

141T

(2)aG[2,3],X1+2X2+X3=詈

【分析】(1)由三角函數(shù)圖象的最大值與最小值，求出A=2,B=3,得到最小正周期，求出3=與=2,

再代入特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，求出9=己，得到函數(shù)解析式；

(2)先根據(jù)平移變換和伸縮變換得到g(x)=2sin(x-9+3,令t=x—.e[-/2n],換元后利用整體法

求出函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)值，得到a￡[2,3],再根據(jù)對(duì)稱性得到口+t2=2x：=n,t2+t3=2x與=3m

相加后得至u(xi—?jiǎng)?262-g+卜3—g=4m求出答案.

【詳解】⑴由圖示得：七t號(hào)=5解得：A=?=2,B=￥=3,

又；5兀*兀=]，所以T=m所以o)=與=2,

所以f(x)=2sin(2x+(p)+3.

又因?yàn)閒(x)過(guò)點(diǎn)(亳,5),所以5=2sin(2x工+cp)+3,即sin&+cp)=1,

所以5+年=5+2kn,k€Z,解得(p=g+2kTT,k€Z,

oZ5

又即1<全所以隼=*所以f(x)=2sinhx+§+3.

(2)y=f(x)圖象上所有的點(diǎn)向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，得到f(x)=2sin[2(x-：)+耳+3=2sin(2x—￡)+3,

將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到g(x)=2sin(x-J+3,

當(dāng)xe[0,誓|時(shí),x—Y卜源葉

令t=x-(€[2Tt|,則2sin(x-、+3=2sint+3,

令h(t)=2sint+3,在te卜羽上單調(diào)遞增，在te仔"上單調(diào)遞減，

在te(￡,2T上單調(diào)遞增，

且九(—e)=2sE(―2)+3=2,h=2sin1+3=5,

hd)=2sin)+3=1,h(2n)=2sin2n+3=3,

所以ae[2,3]時(shí)，.當(dāng)xe時(shí)，方程g(x)-a=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

因?yàn)閔(t)-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根ti，t2，t3(L<t2<t3),

且口后關(guān)于t=]對(duì)稱，12大3關(guān)于1=爭(zhēng)寸稱，

貝壯1+t2=2X^=TT,t24-t3=2Xy=3TI,

兩式相加得：ti+2t2+t3=4K,

即(Xi—。+2(X2-2+(X3—?)=4m所以Xi+2X2+x3=等.

18.已知y=/(%)為奇函數(shù)，其中/(%)=cos(2x+。),已W(0,7i).

⑴求函數(shù)y=/(%)的最小正周期和/(%)的表達(dá)式；

(2)若/'⑨=—g,a6你兀)，求sin(a+§的值.

【答案】(1)兀，f(x)=-sin2x

(2喑

【分析】(1)根據(jù)2cos2xcosB=0列關(guān)于。的等式，即可求出解析式，得到周期；

(2)根據(jù)f。=_Ja€&n),求出sina=p與cosa然后再求解.

【詳解】(1)因?yàn)閥=f(x)為奇函數(shù)，

所以f(x)+f(-x)=0,

化簡(jiǎn)得到求出2cos2xcos0=0

0e(0,冗)，所以。=]

f(x)=-sin2x,最小正周期是冗；

(2)若fg)T，...sina=?

vaE&冗)，Jcosa=—

所以sin(a+-)=sinacos-+cosasin-=4-3^

\373310

19.已知函數(shù)/(%)=/sin3x+w)(4>0,3>0,0<WV》同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①/(一搟)=。；

②/(。)=-1；③最大值為2；④最小正周期為71.

(1)給出函數(shù)/(X)的解析式，并說(shuō)明理由；

⑵求函數(shù)人%)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【答案】(l)f(x)=2sin(2x+p,理由見(jiàn)解析

(2)[kir+^,kir+g](keZ)

【分析】(1)由A＞0,0＜隼可以排除條件②，再利用條件①③④根據(jù)特殊值、最值與周期公式即可求

解；

(2)運(yùn)用整體思想直接代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可求解.

【詳解】(1)依題意，

若函數(shù)f(x)滿足條件②，則f(0)=Asincp=_1,

這與人＞0,0＜甲＜^矛盾，所以f(x)不能滿足條件②，

所以f(x)應(yīng)滿足條件①③④

由條件④得舍=兀，且3＞0,所以3=2,

由條件③得A=2,

再由條件①得f(—3)=2sin(-W+(p)=0,

?！?/p>

且0<9<今所以隼=*

所以f(x)=2sin(2x+三)；

(2)由2kir+—<2x+—<2kirH■■—,(kGZ),

得ku+AWxWkn+工,(keZ),

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kn+.kn+工](keZ).

20.已知函數(shù)/'(x)=2sin(o>%+s)(o>>0,\(p\<的部分圖象如圖所示.

(1)求“X)的解析式，并求/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若對(duì)任意x6［蜀，都有-一W1,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】(l)f(x)=2sin(2x+§,單調(diào)遞增區(qū)間為[kit—號(hào),kir+3(keZ)

⑵[*)

【分析】(1)先求出f(x)的周期，再代點(diǎn)進(jìn)去求出隼，從而得到f(x)的解析式后，進(jìn)而利用整體法即可求得

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)先根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)絕對(duì)值內(nèi)的表達(dá)式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解不等式即可.

【詳解】⑴由圖象可得f(x)的最小正周期T=4管一§=7T,.\[3|=^=2,又3>0可知3=2,

由2x工+(p=^+2kit,1<€2解得隼=彳+2皿，keZ,

又因?yàn)镮隼I<京得叩=全；.f(x)=2sin(2x+。

由2kTT—5W2x+gW2kir+3，keZ,解得kn-萼WxWkn+[,keZ,

乙sz1ZIN

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kn-號(hào),kTT+總(k6Z).

(2)f(x)f(x-=2sin(2x+§-2sin2x=4Qsin2x+4cos2x)?sin2x

=2sin22x+2V3sin2xcos2x=V3sin4x—cos4x+1=2sin(4x-J+1.

由k(x)f(x——11<1得12sin(4x—^|<1,—^<sin(4x_J<

?.,兀j“九’7n

??4t—W4x—工—,

666

作出y=sinx的部分圖像如下:

結(jié)合圖像可知:解得：Wt〈方

OOO勺J

所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為tw).

二、三角恒等變換

cos2x

已知函數(shù)/。)=

21.sin(x+^)?

(1)如果/(a)=p試求sin2a的值；

(2)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(畤；

(2)遞增區(qū)間是(2kn—j2kir—：)(keZ),遞減區(qū)間是(2kir—2kit+?)(keZ).

【分析】(1)利用二倍角公式、和角的正弦公式及輔助角公式變形函數(shù)f(x),再利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式

求解作答.

(2)根據(jù)給定函數(shù)的定義域，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求解作答.

【詳解】(1)函數(shù)f(x)=;g常中，x+：7kn,keZ,即xHkn—jk€Z,

4

兀

f(X)得

=笨管=a(c°sx-sinx)=2cos(x+式由f)-COS+

(a3-ca-4

所以sin2a=—cos(2a+1)=一cos2(a+；)=-2