立體幾何五大類題型解題技巧-高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義

立體幾何五大類題型解題技巧

一、空間中的垂直關(guān)系解題技巧

常見題型

空間中的垂直關(guān)系是高考中的高頻考點(diǎn)，需熟練掌握線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)定理,

同時(shí)還需注意書寫過程的規(guī)范性，需重點(diǎn)強(qiáng)化練習(xí).

知識(shí)遷移空間中的垂直關(guān)系

線線垂直

①等腰三角形（等邊三角形）的三線合一證線線垂直②勾股定理的逆定理證線線垂直

③菱形、正方形的對角線互相垂直

線面垂直的判定定理

性質(zhì)定理1:一直線與平面垂直，則這條直線垂

直于平面內(nèi)的任意一條直線

圖形語言符號(hào)語言

1

1±a一1_La

1a7

性質(zhì)定理2：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

圖形語言符號(hào)語言

面面垂直的判定定理

判定定理：一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個(gè)

平面，則兩個(gè)平面垂直

（或：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則面面

垂直）

圖形語言_符號(hào)語言

面面垂直的性質(zhì)定理

性質(zhì)定理：兩平面垂直，其中一個(gè)平面內(nèi)有一條直線與交

思路

已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑魚球面上,且PA=PB=PC=AC=BC,AC±BC,N為AB的中點(diǎn).

⑴證明:PNL平面ABC

⑵若M是線段PC上的點(diǎn)，且平面MAB與平面PAB的夾角為45°.求AM與平面PBC所成角的正

弦值.

證法一:連結(jié)PN、CN（如圖），

易知4ABC是以AB斜邊的等腰直角三角形，，AN=BN=CN,又：PA=PB=PC,

APAN^APBN^APCN,

?.?PA=PB,N為BC的中點(diǎn)，

APNXAB,

AZPNA=ZPNB=ZPNC=90°,即PN±NC,

VCNnAB=N,CN,ABu平面ABC,...PN，平面ABC.

D

證法二:取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)ND、PD（如圖），

VPB=PC,.*.BC±PD,

XVPB=PA,APNXAB,

VBCXAC,DN/7AC,.*.BC±ND,

VDNnPD=D,DN、PDu平面PND,平面PND.

VPNc平面PND.ABCXPN,

XVPN±AB,ABnBC=B,AB,BCu平面ABC,

.?.PN,平面ABC;

證法三：易知AABC為等腰直角三角形，

不妨設(shè)AC=BC=2a,則.AB=2y[2a,

又N為斜邊AB中點(diǎn)，CN=V2a,

又：PA=PB=2a,AB=/2a

??.△PAB為等腰直角三角形，且.PN=g,

???PC=2a,PC2=CN2+PN2,：.PN1NC

又?.*PN±AB,CNnAB=N,CN、ABu平面ABC,

.?.PN,平面ABC.

例如圖，在三棱柱ABC-ABC中,平面ABC,ZACB=90°.

⑴證明：平面.ACC&L平面BB￡iC;

(2)設(shè)AB=AjB,AA『2,習(xí)求四棱錐Ai-BB￡￡的高.

【詳解】(1)證明：因?yàn)锳￡,平面ABC,BCu平面ABC,所以AjCLBC,

又因?yàn)镹ACB=90°,即AC±BC,

A￡,ACu平面ACC1AlA￡nAC=C,

所以BC,平面ACQAL

又因?yàn)锽Cu平面BCCIBL

所以平面ACC&L平面BCCB，

(2)如圖，

過點(diǎn)A1作AiOXCCi,垂足為0.

因?yàn)槠矫鍭CCiA」平面BCCiB"平面ACC/iA平面BCCB=

CC?AjQu平面ACCjA^

所以A1。，平面BCgBi

所以四棱錐A「BBiCiC的高為A。

因?yàn)锳￡,平面ABC,AC,BCu平面ABC,

所以A￡，BC,AiCXAC,

又因?yàn)锳】B=AB,BC為公共邊，

所以AABC與aAiBC全等,所以A￡=AC.

設(shè)ac=ac=%,則Ac=x,

所以。為cci中點(diǎn)，ocr=IAA1=i,

22

又因?yàn)锳￡,AC,所以.A±C+AC^AAi

即x2+x2=2，解得x=VX

2

所以.Ar0=J&C/-OC/=J(V2)—12=i,

所以四棱錐a-BBCC的高為1.

例如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,BD±CD,NADB=NADC=60。，E為BC的中點(diǎn).

⑴證明：BCLDA;

⑵點(diǎn)F滿足EF=瓦5,求二面角D—AB—F的正弦值.

【詳解】⑴連接AE,DE,因?yàn)镋為BC中點(diǎn),DB=DC,所以DELBC①，

因?yàn)镈A=DB=DC,ZADB=ZADC=60°,所以4ACD與4ABD均為等邊三角形，

...AC=AB,從而AELBC②，由①②,AEnDE=E,AE,DEc=平面ADE,

所以,BC,平面ADE,而ADu平面ADE,所以BC±DA.

⑵不妨設(shè)DA=DB=DC=2,：BD，CD,...BCM/aDEAE=V2.

：.AE2+DE2=4=AD2,：.AE1DE,XVAEXBC,DEnBC=E,DE,BCu平面BCD...AE,平面BCD.

以點(diǎn)E為原點(diǎn)，ED,EB,EA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)D倡0,0),A(0,0或2),B(0V22,0),E(0,0,0)

設(shè)平面DAB與平面ABF的一個(gè)法向量分別為H=(xj/y/Zi),西=(久＜y，z),

二面角D—AB—F平面角為。，而.AB=(0-V2--V2),

因?yàn)榍?石？=（一/，0，魚）,所以F（-/，。，/）,即有AF=（-V2>0>0）,

（—V2%1+V2Zd=0血Ybl、［—>/YYY、

1廠廠，取X=1,所以%=（1，1，1）；

I91-伍1=0

a22=°,取萬1,所以元2=（。，1，1）,

%2=0

|n|_卮?闔=2_>/6_

所以，1c0o0嗣s隔前4x0-3，從而sin。=X6V3

1----9=—3.

所以二面角D-AB-F的正弦值為y.

例如圖，已矢口ABCD和CDEF都是直角梯形,AB/7DC,DC〃EF,AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二

面角F-DC—B的平面角為60°.設(shè)M,N分別為AE,BC的中點(diǎn).

⑵求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

【詳解】(1)過點(diǎn)E、D分別做直線DC、AB的垂線EG、DH并分別交于點(diǎn)G、H.

四邊形ABCD和EFCD都是直角梯形,AB〃DC,CD/7EF,AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,由平

面幾何知識(shí)易知,DG=AH=2,NEFC=NDCF=NDCB=NABC=90°,則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩

形，.?.在RtAEGD和RtADHA,EG=?！?2小,

,：DCJLCF,DC，CB,且CFnCB=C,

.,.DC,平面BCF,ZBCF是二面角F-DC-B的平面角，則NBCF=60°,

ABCF是正三角形，由DCu平面ABCD,得平面ABCD,平面BCF,

VN是BC的中點(diǎn)，...FNLBC,又DC,平面BCF,FNu平面BCF,可得FNXCD,而BCnCD=C,...FN，平

面ABCD,而ADu平面ABCDAFNXAD.

(2)因?yàn)镕N,平面ABCD,過點(diǎn)N做AB平行線NK,所以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,NB、NF所在直線分別為

x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-xyz,

設(shè)A(5V33,O),B(O島0),D⑶房0)”(1,0,3),則M(3哼|),???前=(3'—爭|),而=

(-2>-2V3>0),D￡=(-2>V3>3)

設(shè)平面ADE的法向量為ni=(x,y,z)

rH(n,AD=0f—2x—2V3y-0

由G?屁=0府］一2久+0y+3z=0'取九=(百'-1'百)'設(shè)直線網(wǎng)與平面ADE所成角為9,

日前|_|36+)+歲|

???sin。=|cos(n)BM)\-5百_5V7

同麗廠V3+1+3-J9+I+1V7-2V3-14'

3強(qiáng)化

練習(xí)如圖，四面體ABCD中,AD，CD,AD=CD,NADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn)

D

A

⑴證明：平面BED，平面ACD;

⑵設(shè)AB=BD=2,NACB=60°,點(diǎn)F在BD上，當(dāng)4AFC的面積最小時(shí)，求三棱錐F-ABC的體積.

練習(xí)在四棱錐P-ABCD中，PD,底面ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DPV3

⑵求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

練習(xí)在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=QC=3.

⑴證明：平面QAD,平面ABCD;

⑵求二面角B-QD—A的平面角的余弦值.

練習(xí)已知直三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面AA/iB為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中

點(diǎn),D為棱A小1上的點(diǎn).BFXAiBi

c

⑴證明：BFLDE;

⑵當(dāng)BP為何值時(shí),面BB￡￡與面DFE所成的二面角的正弦值最小?

練習(xí)已知平行四邊形ABCD如圖甲，ZD=60°,DC=2AD=2,沿AC將4ADC折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置,且

PC±BC,連接PB得三棱錐P-ABC,如圖乙.

⑴證明：平面PAB,平面ABC;

⑵在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使二面角M-AB-C的余弦值為若存在，求出翳的值，若不存

在，請說明理由.

二、向量法與幾何法求空間角的解題技巧

常見題型解讀

立體幾何中空間角是高考中的高頻考點(diǎn)，需熟練掌握向量法和幾何法求角，難度中等偏上，需重

點(diǎn)強(qiáng)化練習(xí).

知識(shí)遷移

1.兩條異面直線所成角的求法

設(shè)a,b分別是兩異面直線II，12的方向向量，則L與1新成的角。的范圍為（0,口/2],公式為

\a-b\

cosOn=---

\a\\b\

2.直線與平面所成角的求法

設(shè)直線1的方向向量為a,平面a的法向量為n,直線1與平面a所成的角為。，a與n的夾角為

B,則sin。=|cos夕尸就

3.求二面角的大小

（1）如圖①,AB,CD是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱1垂直的直線，則二面角的大小。

=（AB>~CD）.

2.如圖②③,n?n2分別是二面角a-1-B的兩個(gè)半平面a,B的法向量，則二面角的大小。滿足

|cos0|=\cos（n-n二面角的平面角大小是向量n1與電的夾角（或其補(bǔ)角）.

解題思路

例已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑魚球面上,且PA=PB=PC=AC=BC,AC±BC,N為AB的中點(diǎn).

⑴證明:PN,平面ABC

⑵若M是線段PC上的點(diǎn)，且平面MAB與平面PAB的夾角為45°.求AM與平面PBC所成角的正弦值.

VAC=PA,BC=PB,/.△ABC^AABP,

二.△PAB是等腰直角三角形，

VN為AB中點(diǎn)，，NP=NA=NB=NC,

AN為三棱錐P-ABC外接球的球心，

依題意NA或z，AC=2

連結(jié)MN,

AB±PN,AB±CN,PNnCN=N,PN、CNu平面PCN,

.'.AB，平面PCN,

VMNc平面PCN,AAB±MN,

...NMNP為二面角M-AB—P的平面角，等于45°,解法一：由上知4PCN為等腰直角三角形，.?力為PC

的中點(diǎn)，

,.,AP=BP=BC=BP,

APCXAM,PC±BM,AMHBM=M,AM、BMu平面ABM,

...PC,平面ABM,

VPCcz平面PBC,.,.平面ABM,平面PBC,

.?.點(diǎn)A在平面PBC上的射影在BM上，

ZAMB即為AM與平面PBC所成的角，易得AM=BM=V3,AB=2vx由余弦定理可得cosNAMB

AM2+MB2-AB21/.A/n戛-----------5~2G

=-----------------=——=>sinNz4MB=V1-cos2^AMB=-V2.

2AM-MB33

解法二：由⑴知CN、AB、PN兩兩垂直,分別以CN、AB、PN所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

貝|J.A(O,V22,O),B(OV22,0),C(V22,0,0),P(0,0信

為PC的中點(diǎn)，

~MA==(-V2--V2>0),~PB=(0,V2--V2),

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)

元?前=—V2x—V2y=0

則00

n?PB=0V2y—V2z=0

取y=l,則x=-l,z=l得n=(-1,1,1),

,----?Iy[2k\[2.1—

_|二一V2-y|_2V2

???sin?=cos(wMA)=

\n\-\MA\―V3-V33

，AM與平面PBC所成角的正弦值為手.

例如圖，在三棱錐P-ABC中,AB1BC,AB=2,BC=孤PB=P=何,BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為D,E,0,AD=V5

DO,點(diǎn)F在AC上,BFLAO

D

E

⑴證明：EF〃平面ADO;

⑵證明：平面ADO,平面BEF;

(3)求二面角D—AO-C的正弦值.

【詳解】(1)連接DE,OF,設(shè)AF=tAC,則.BF=B2+AF=(l-t)~BA+tBC,10-BA+^BC,

BF^\AO,

則BF-ZO=[(1-t\BA+tBC]■(-0+=(t-1)B12+|tBC2=4(t-1)+4t=0,

于是DEAB,DEAB,OFAB,OF=|BPDE〃OF,DE=OF,則四邊形ODEF為平行四邊形,

EF/7D0,EF=DO,又EFC平面ADO,DOu平面ADO,所以EF〃平面ADO.

⑵法一：由⑴可知EF〃OD,則AO=V6,DO=亨，得AD=小DO=早，

因止匕。。2+4。2=AD2=則OD±AO,有EFXAO,又AO±BF,BFnEF=F,BF,EFu平面BEF,

則有ACU平面BEF,又AOu平面ADO,所以平面ADO，平面BEF.

法二：因?yàn)锳BLBC,過點(diǎn)B作z軸，平面BAC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

A(2,0,0,),B(0,0,0),C(0,伍0)

在ABDA中,cosBA=1

2DBAB

2X2XT

在APBA中，PA2=PB2+AB2-2PB-ABcosBA=6+4-2連x2x()=14,

（PA=V14（（%-2尸+/+z2=14

設(shè)P（x,y,z）,所以由PB=V^可得：，%2+y2+z2=6

IPC-V6+（y-2V2）+z2-6

可得：為=-l,y=A/XZ=舊，所以P（-l，/，苗），

則。（-瀉書，所以3（消號(hào)），網(wǎng)1，加0）,

AO=（-2，&，0）,布=（-1苧？）

設(shè)平面ADO的法向量為五=

(n-Ad=0

t—2xr+——0

則口前=0得

5,V2,V3_>

-2%1+~y1+~zr-0

令％=1,則%=VXzi=g,所以n7=(1-V2-V3),

BE=&亭］)廊=(1*V2-0)

,

設(shè)平面BEF的法向量為nJ=(x2'y2z2),

?他?雇=0/聶聲+亨力=°,

則\__>，得1.+/加=0

{n^?BF=0

令％=2,則y?=-V2,z2=0,斤以=(2，一魚，0),

n^-n^=2xl+V2x(―V2)+0=0,

所以平面ADO,平面BEF;

⑶法一：過點(diǎn)0作OH〃BF交AC于點(diǎn)H,設(shè)ADnBE=G,由A0XBF,得H0XA0,且.FH=^AH,

又由（2）知,OD±AO,則ND0H為二面角D-AO-C的平面角，因?yàn)镈,E分別為PB,PA的中點(diǎn)，因此G為APA

B的重心，即有DG=-AD.GE=-BEXFH=工4”,即有DH=-GF,cos^ABD==4+6~^,

33322x2x——2x2X-y6

2

解得PA=64同理得BE=y,

y—2/廣、2

2

于是.BE?+EF2=8尸2=3,即有BE^EF,則GF=(|xy)+得)=|,

ii訴V153V15V15

從血GruF=——,DnHu=-x——=——j

3232

—6I,--3-----1-5-

在△DOH中，OH/BF=*OD=與,DH=殍，干是cosND?！?444罟2DOH=

2冷段

所以二面角D-AO-C的正弦值為f,

法二：平面ADO的法向量為與=(1，后8),平面ACO的法向量為詬=(0,0，1),所以cos元i，&=

=A?="，因?yàn)橛?，西e[0，兀],所以sin冠，元3=J1-cos?冗1，&="，故二面角D-AO-C的正

Lv

\nr\-\n3\,1+2+32°°02

弦值為y.

處三棱臺(tái)ABC-AiB￡i中，若A/，面ABC,AB，AC,AB=AC=44=2,4C=1,M,N分別是BC,BA中點(diǎn).

(1)求證:AjN〃平面CM；

⑵求平面CM與平面ACC》1所成夾角的余弦值;

⑶求點(diǎn)C到平面CM的距離.

【詳解】(1)

連接MN,CA由M,N分別是BC,BA的中點(diǎn),根據(jù)中位線性質(zhì),MN〃AC,且MN=竽=1,

由棱臺(tái)性質(zhì),A￡i〃AC,于是MN〃A￡i由.MN=AC=1可知，四邊形MNA￡i是平行四邊形，則A】N

〃MC1

又AN：平面CMMCiU平面CM于是A。〃平面C^MA.

(3)過M作ME±AC,垂足為E,過E作EFLAC1垂足為F,連接MF,C】E.

由MEu面ABC,A/XffiABC,故AAjXME,又ME±AC,ACnAA『A,AC,AAq平面ACC1Al貝UME,平面ACC1A

i，由AC]U平面ACCjAi故MEXACi,又EF，AC?MEnEF=E,ME,EFu平面MEF,于是ACJ平面MEF,由MFu

平面MEF,故ACi±MF.于是平面CMA與平面ACC島所成角即NMFE.

又ME=y=l,cos/SCi=X則sin/CaC]=意故EF=1xsin41Q=意在RtAMEF中，ZMEF

=90°，則MF=^1+1=^,

于是cosNMFE=—=-

MF3

(3)［方法一：幾何法］

過J作CiPXAC,垂足為P,作CiQXAM,垂足為Q,連接PQ,PM,過P作PRXCA垂足為R.

由題干數(shù)據(jù)可得，CM=QC=遙,GM=JCP2+PM?=逐,根據(jù)勾股定理,GQ=

由CP，平面AMC,AMu平面AMC,貝UCfLAM,又C】Q，AM,CiQnCiP=C“C。C】Pu平面C】PQ,于是AM,平

面CiPQ.

又PRu平面C^Q,則PR±AM,又PRXCAC】QnAM=Q,C&,AMu平面C】MA,故PR,平面C1MA.

在RtAC】PQ'中，PR=^=W=|，

2

又CA=2PA,故點(diǎn)C到平面CiMA的距離是P到平面CiMA的距離的兩倍，

即點(diǎn)C到平面C1MA的距離!

［方法二：等體積法］

輔助線同方法一.

設(shè)點(diǎn)C到平面C1MA的距離為h.

X

%1-AuC-3XSMC--X2X-x(V2)=

T71011K3A/2

Vc-c^tA=3XXSANC1=-xx-xV2x—=y

[2art4

由K?!-AMC=KT-QMAy=]即=]

例已知直三棱柱ABC—4BC中，側(cè)面AA&1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CCi的中點(diǎn),D

為棱A1B1上的點(diǎn).BFXA^Bi

C

⑴證明：BFLDE;

⑵當(dāng)B&為何值時(shí),面BB￡￡與面DFE所成的二面角的正弦值最小?

【詳解】（1）［方法一］:幾何法

因?yàn)锽FXAiBj,A此〃AB,所以BF±AB.

又因?yàn)锳BXBBi,BFABBFB,所以AB,平面BCC/1.又因?yàn)锳B=BC=2,構(gòu)造正方體ABCG—AiBEiG］如圖所

示，

過E作AB的平行線分別與AG,BC交于其中點(diǎn)M,N,連接A】M,B】N,

因?yàn)镋,F分別為AC和CCi的中點(diǎn)，所以N是BC的中點(diǎn)，易證RtABCF也RtABjBN,則.NCBF=

/BBN.

又因?yàn)?/BBN+/BNB=90°,所以/CBF+NB=9O°,BF1BN

又因?yàn)锽F14B,BNCAB=B,，所以BF,平面A^NB】.又因?yàn)镋Du平面AiMNB”所以BF

±DE.

［方法二］【最優(yōu)解】：向量法

因?yàn)槿庵鵝BC—aBC是直三棱柱，...BBi，底面ABC,...BBiLAB

,.?AiBi〃AB,BFLAJBLABFXAB,又BB】nBF=B,...AB，平面BCCiB1.所以BA,BC,BB1兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA,BC,BB斯在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

.?.B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),加(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1).

由題設(shè)D(a,0,2)(0WaW2).

因?yàn)锽F=(0,2,1),麗=(1—a，1，—2),

所以.BF-DE=0x(l-a)+2xl+lx(-2)=0,所以BF±DE.

［方法三］:因?yàn)锽F，AiB?AjBi〃AB,所以BF±AB,故.BF-不瓦=G,BF-AB=0,所以BF-ED

~BF-

(EB+BBi+B、D)=BF-B1D+BF-(EB+BBj=BF?EB+BF.BBX=BF(-加一；BC)+

BF-BB=-|BF-B1-|BF-BC\BF\■\BBi\cos^FBB1=-1xV5x2x^+V5x2x-^=0,

以BFLED.

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：向量法

設(shè)平面DFE的法向量為m=(x,y,z),

因?yàn)镋F=(一1，1，1),屁=(1-a，1，-2),

ecfm-EF=0pnf—%+y+z=0

所以PJIm-DE^O'l(l-a)%+y-2z=0-

令z=2-a,則m=(3,1+a,2-a)

因?yàn)槠矫鍮CCiBi的法向量為BA=(2,0,0),

設(shè)平面BCCiBi與平面DEF的二面角的平面角為9,

廂麗______

則|cos0|6_______3

\m\-\BA\~2xV2a2-2a+14V2a2-2a+14'

當(dāng)a=g寸，2a2-2a+14取最小值為孑,

此時(shí)cos9取最大值為W=V6

2731

所以(sine)min=j1-管)=?此時(shí)B]D—

［方法二］:幾何法

如圖所示，延長EF交A￡1的延長線于點(diǎn)S,聯(lián)結(jié)DS交B1C1于點(diǎn)T,則平面DFEn平面BB1C1C=FT.

作BiHXFT,垂足為H,因?yàn)镈BJ平面BB￡i&聯(lián)結(jié)DH,則NDHB1為平面BB￡￡與平面DFE所成二面角的

平面角.

設(shè)B出t,te[0,2],BQs,過C1作Cfi//A^DS于點(diǎn)G.由容=；=能得JG=“2—t).

SA-]3A~tD3

又號(hào)=器即-r￡，所以

又皿=虹即皿=

:斯以BH

r2

CtFFT1Vl+(2-s)

s

Jl+(2-s)2.

I9t2

所以04二JB1”2+4。2=2

q2t2-2t+5+t.

則"MDHBL翳=E=

q2t2-2t+5

所以，當(dāng)”次寸,(sinMHBi)min=/,

［方法三］:投影法

如圖，聯(lián)結(jié)FBLFN,

△DEF在平面BB&C的投影為ABiNF,記面BB￡iC與面DFE所成的二面角的平面角為0,貝Ucos0=

SB±NF

SDEF

設(shè)BD=t(0<t<2),在.RtADBiF中，.DF=何聲率瓦聲=Vt2+5.

在RtAECF中，EF=y/EC2+FC2=舊,過D作B】N的平行線交EN于點(diǎn)Q.

在RtADEQ中，DE=y/QD2+EQ2=J5+(1-療.

222

在4DEF中，由余弦定理得cosNDFE=DF+EF-DE

2DFEF

5/3/+15?+1)2"-2t+14i

,sin/DEE=>SDFE=QDF.

3(t2+5)3(t2+5)

2

EFsinZDFE=|V2t-2t+14,SB1NF=|,

39

cos0===sin0=11——-v

22

SDFEV2t-2t+14q2(t-t+7)

當(dāng)t=*即BiD=5面BB￡￡與面DFE所成的二面角的正弦

值最小，最小值為f.

【整體點(diǎn)評(píng)】第一問，方法一為常規(guī)方法，不過這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間

直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的

定義運(yùn)算進(jìn)行證明不常用，不過這道題用這種方法過程也很簡單，可以開拓學(xué)生的思維.

第二問：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最

優(yōu)方法；方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面BB￡iC與面DFE所成的二面角，并求出其正弦值的最

小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE在面BB1cle上的投影三角形的面積與4DFE面積之比即

為面BB￡￡與面DFE所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進(jìn)而求出二面角的正弦值最小，

非常好的方法，開闊學(xué)生的思維.

3強(qiáng)化

練習(xí)如圖，在三棱柱ABC—ZBC中,底面ABC,ZACB=90°,AA=2,A到平面BCC此

的距離為1.

(1)證明：ACAC-,

⑵已知AAi與BBi的距離為2,求AB】與平面BCJB新成角的正弦值.

練習(xí)如圖，在三棱錐A—BCD中，平面ABD，平面BCD,AB=AD,0為BD的中點(diǎn).

⑴證明：OA，CD;

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E—BC—D的大小為

45°,求三棱錐A-BCD的體積.

練習(xí)如圖，在四棱錐C—ABDE中，DEL平面BCD,AB=AD=bBD=4,DE=/

⑴求證:AE〃平面BCD;

⑵若BC±CD,二面角A-BC-D的正切值為四求直線CE與平面ABC所成角的正弦值.

練習(xí)如圖，在多面體ABCDEFG中，側(cè)面ABGF是矩形，側(cè)面BCDG與底面EFGD是直角梯形，BC〃DG,FE〃

1

GD,ZFGD=ZBGD=90°,BC=EF

=-2DG.

⑴求證：四邊形ACDE是平行四邊形;

(2)若AB=BC=2,二面角A-DE—G的正切值為a2,求多面體ABCDEFG的體積

三、空間距離的解題技巧

常見題型

立體幾何中空間距離的求解常?？梢赞D(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離的求解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為對應(yīng)幾何體的高來

求解，高考中的高頻考點(diǎn)，需熟練掌握向量法和幾何法求點(diǎn)面距，需重點(diǎn)強(qiáng)化練習(xí).

知識(shí)遷移

1.空間兩點(diǎn)間的距離公式

222

若.A(XLz,,B(x》yazj,則以口=\AB\=^JAB-AB=(%2-x^+(y2-y1)+(z2-z1).

2.點(diǎn)B到平面a的距離

4=呻(口為平面a的法向量，AB是經(jīng)過面a的一條斜線，Aea).

網(wǎng)

解題思路

例如圖，在四棱錐C-ABDE中，DEL平面BCD,BD=4,DE=立AB=AD=243.

⑴求證:AE〃平面BCD;

⑵若BCXCD,且直線BC與AE所成角為30°,求點(diǎn)E到平面ABC的距離.

【詳解】⑴取BD中點(diǎn)為F,連接AF,因?yàn)锳B=AD=遮今所以AFXBD,且2F=AB2-BF2=V22

因?yàn)镈EL平面BCD,BDu平面BCD,所以DE±BD,因?yàn)镈Eu平面ABDE,AFu平面ABDE,所以,DE/7AF,且

DE=2F=2/,故四邊形AEDF為平行四邊形，所以AE〃BD,

又AEC平面BCD,BDu平面BCD,所以AE〃平面BCD.

⑵因?yàn)锽CLCD,且直線BC與AE所成角為30°,DE〃AF,所以NCBD=30°,

在RtaBCD中，(CD=BDsin30。=2,BC=BDcos30。=2百，以C為原點(diǎn)，而,而分另U為x,y

軸的正方向，過點(diǎn)C作垂直于平面BCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由⑴知,DE/7AF,DEL平面BCD,所以AF,平面BCD,

則A(1岳722),6(0,V33,0),C(0,0,0),E(2,0,低)

得潦=(1，V3>2V2),CB=(0,2V3-0),CE=(2,0,2e)

設(shè)ni=(x,y,z)為平面ABC的一個(gè)法向量，

則產(chǎn),三久+場(2&z=0,取z=&得元=(-4,0詞,所以點(diǎn)E到平面ABC的距離d=

(CB?元=2V3y=0

例如圖，在直三棱柱ABC-AiB￡i中，.AB=441=次,AB，AC,D為A￡i的中點(diǎn).

⑴證明：ABJBD;

⑵若點(diǎn)C到平面ABD的距離百3，求平面ABC與面BCD的夾角的正弦值.

【詳解】(1)

連接A出,

因?yàn)樗倪呅蜛AiBiB為正方形,所以ABJA6

在直三棱柱ABC-AiB￡i中，平面AAjBiB，平面A/Ei由ABXAC得又平面AA在iBA平面4世￡

所以A￡△平面AAiBjB,又ABF平面AA在出,所以A￡JABj,

又A]BnA￡i=AiAiBu平面A把D,A￡iU平面A】BD,所以AB1，平面AjBD,又BDu平面AjBD,所以ABiXBD.

⑵以A為原點(diǎn),AB,AC,AAi所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AC=2a,則A(0,0,0),BV33,0,0),C(0,2a,0),D(0,aV33)AB=(g，0,0),AC=(0,2a-0),AD=

(0,a,V3).

設(shè)ni=(x,y,z)為平面ABD的一個(gè)法向量,

元,亞=0,即ay+_^z一。，得x=0,令z=a,則y=-百,故n=（0,-遍a）,

n?AB=0V3x=0

由題意，管=^=低解得日

所以就=（-V3-2,0）,CD=（0>-1>V3）.

設(shè)：=（p，q，r）為平面BCD的一個(gè)法向量,

則f,更=°,即「島尸。,

ti?CD^0I-q+V3r=0

令q二百,貝IP=2,r=l,即：=（2-V3-1）,

平面ABC的一個(gè)法向量為j=（0,0,1）,

設(shè)平面ABC和平面BCD的夾角為0,

所以平面ABC和平面BCD的夾角的正弦值為學(xué).

4

例在如圖所示的圓錐中，已知P為圓錐的頂點(diǎn)，0為底面的圓心，其母線長為6,邊長為舊3的等邊

△ABC內(nèi)接于圓錐底面，OD=4而且AG[|<1].

⑴證明:平面DBC,平面DA0;

⑵若E為AB中點(diǎn)，射線0E與底面圓周交于點(diǎn)M,當(dāng)二面角A-DB—C的余弦值時(shí)，求點(diǎn)M到平B

CD的距離.

【詳解】（1）因?yàn)镻為圓錐的頂點(diǎn)，0為底面的圓心，所以P0,面ABC.

又因?yàn)锽Cc面ABC,所以P0±BC,即D0±BC.

因?yàn)?為AABC外接圓圓心，且AABC為正三角形，所以0ALBC.

又因?yàn)?AA0D=0且0A,ODc面AOD,所以BCL面AOD,因?yàn)锽Cu面BCD,所以面DBC上面DAO.

⑵作OG〃BC交AB于G,取BC中點(diǎn)為F.

因?yàn)镺A±BC,0G/7BC,所以O(shè)F±OG.

因?yàn)?D上面ABC,OG,OFu面ABC,所以O(shè)D±OG,OD±OF.

如圖，以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OG,OF,0D所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz.

因?yàn)镻A=6,AB=V33,所以AO=3,PO=遮

所以0(0,0,0)4(0,-3,0),8(舊3、0)<(聲pO)P(0,0,6

由35=2而，得D(0,0,3V^),同=(手，g，0),而=(0>3>3V3A),

~BC=(-3/’0,0)加=律心,-3例).

設(shè)面ABD的法向量為m—(%/y/Zi),則

(m-AB=手%]+=0

{m■AD-3yl+3^/3Az1=0

取當(dāng)=75尢則z——l,x——3尢所以m-(—3A-V3A--1).

設(shè)面BCD的法向量為n—(久2"/2),則

(n?BC——3y[3x2—0

Ifi,DB—%2+—y2—3y/3A.Z2—0

取刈=則z—3,x—0,所以n—6V3A<3).

由|cos(而，詞=恒包=----118M-3|-----=三且入e\->1\

解得a=I，所以D(0,0,b3),n=(0,百3,3)

又因?yàn)橛?甲，—1，0),所以DM=^>-|>-2V3),

所以M到面BCD的距離d=里普=

\n\

|-|X4A/3+3X(-2V3)|_12V3_12V19

V57-V57-19'

強(qiáng)化

練習(xí)如圖，在長方體ZBCD-aBC。中，44=4。=2,點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BB1上

靠近Bi的三等分點(diǎn)，BD]與BiD交于點(diǎn)0.

DiG

AMB

⑴求證:0M〃平面BCCiBi；

⑵若COXBiD,求點(diǎn)N到平面COM的距離.

練習(xí)如圖，等腰梯形ABCD中,AD〃BC,AB=BC=CD|2AD=2現(xiàn)以AC為折痕把4ABC折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P

⑴證明：面PAC上面ACD;

(2)若M為PD上的一點(diǎn)，點(diǎn)P到面ACM的距離為爭，求二面角M—AC—D的余弦值.

練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形，平面P

AD,平面ABCD,AB±PD.

⑴求證：平行四邊形ABCD為矩形；

⑵若E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)“且平面ACE與平面ABP所成角的余弦值為自求點(diǎn)B到平面ACE的距離.

四動(dòng)點(diǎn)的應(yīng)用及解題技巧

常見題型

立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題是一類難點(diǎn)問題，需要尋找題干中動(dòng)點(diǎn)滿足的對應(yīng)條件，從幾何法或空間

向量法去解決待解問題，需強(qiáng)加練習(xí)和重點(diǎn)復(fù)習(xí).

解題思路

例如圖，在梯形ABCD中，.=BC==2,/4BC=n/3.將aADC沿對角線AC折到4A

PC的位置,點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影H恰好落在直線AB上.

(1)求二面角P-AC—B的正切值;

⑵點(diǎn)F為棱PC上一點(diǎn)，滿足PF=2FC,在棱BC上是否存在一點(diǎn)Q,使得直線FQ與平面ABF所成的角

為n/3?若存在，求出?瞿的值；若不存在，請說明理由.

【詳解】(1)如圖,過點(diǎn)H作HM±AC于點(diǎn)M,連接PM,DM,???PH,平面ABCD,ACu平面ABCD,APH±AC,又

HM±AC,HMnPH=H,HM,PHu平面PMH,...AC，平面PMH,

VPMc平面PMH,AAC±PM,AAC±DM.

ZPMH為二面角P—AC-B的平面角.

：AB=AC,ZABC=60°".△ABC為等邊三角形,AC=2,又RtADMC中,ZDCM=60°,CD=3,ACM|2,AM3又

AH〃(8,二瞿=黑=，二==1,11為線段人8的中點(diǎn).

CDMC3

???PM=DM=MH=-DM=

232

ARtAPMH中，.PH=V6,.-.tanNPMH=里=2Vx所以二面角P-AC-B的正切值為V2

MH

⑵連接CH,?:△ABC為等邊三角形,H為線段AB的中點(diǎn),CH,AB,

又PH,平面ABCD,則HC,HB,HP兩兩垂直，

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HC,HB,HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則.A(0,T,0),B(0,1,0),CV33,0,0),P(0,0V6e)ACF==CF-CB=

(學(xué)T呼),ZB=(0-2-0).

設(shè)平面ABF的法向量為n=Q，y，z),???伊?亞=0

(-n-BF=0

2y=0

,2V3.V6

——x—yd——z=0n

3,3

令x=l,可得n=（1，0^—V2）.

假設(shè)棱BC上存在滿足要求的點(diǎn)Q,設(shè).麗=2就,ae[0，l],阮=b（3，-1,0）

~BQ=（V3A--%0）,.?.而=麗一加=

（何—等,1

因?yàn)橹本€FQ與平面ABF所成的角為n/3,

,si,n7—1=—\FQ：—-n\=.V3A--=——V3

-3|FQ||n|r星2'

J（內(nèi)-釣+（一）2+卜當(dāng)）XV3

整理得：8%一184+9=0,解得4=3或2=3（舍去）.

42

所以的=:畫則吊=3.

4QC

所以當(dāng)整=3時(shí),FQ與平面ABF所成的角為n/3.

強(qiáng)化

練習(xí)如圖，在三棱柱ZBC—aBC中，.AB