2023年初中數(shù)學(xué)圓的知識(shí)點(diǎn)歸納

《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

一、圓的概念

集合形式日勺概念：

1、圓可以看作是到定點(diǎn)H勺距離等于定長H勺點(diǎn)H勺集合；

2、圓日勺外部：可以看作是到定點(diǎn)H勺距離不小于定長H勺點(diǎn)H勺集合；

3、圓日勺內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)時(shí)距離不不小于定長H勺點(diǎn)H勺集合

軌跡形式日勺概念：

1、圓：到定點(diǎn)H勺距離等于定長H勺點(diǎn)口勺軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑H勺圓；

2、垂直平分線：到線段兩端距離相等H勺點(diǎn)的軌跡是這條線段日勺垂直平分線（也叫中垂

線）；

3、角H勺平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)H勺軌跡是這個(gè)角H勺平分線；

4、到直線H勺距離相等H勺點(diǎn)H勺軌跡是：平行于這條直線且到這條直線H勺距離等于定長H勺兩條

直線；

5、到兩條平行線距離相等H勺點(diǎn)H勺軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等H勺

一1條直線。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一一'、

1、點(diǎn)在圓內(nèi)二>點(diǎn)C在圓內(nèi);

2、點(diǎn)在圓上二>點(diǎn)3在圓上;

3、點(diǎn)在圓外=>d>r=>點(diǎn)A在圓外;

三、直線與圓的位置關(guān)系

1>直線與圓相離=>d>r=>無交點(diǎn);

2、直線與圓相切=>d—r=>有一種交點(diǎn);

四、圓與圓的位置關(guān)系

外離（圖1）n無交點(diǎn)nd>R+r；

外切（圖2）=>有一種交點(diǎn)=>d=H+r；

相交（圖3）=>有兩個(gè)交點(diǎn)=>R-r<d<R+r；

內(nèi)切（圖4）=>有一種交點(diǎn)=>d=R—r；

內(nèi)含（圖5）=>無交點(diǎn)=>d<R-r；

圖4圖5

五、垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦H勺直徑平分弦且平分弦所對(duì)H勺弧。

推論1:(1)平分弦(不是直徑)H勺直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)H勺兩條??；

(2)弦H勺垂直平分線通過圓心，并且平分弦所對(duì)H勺兩條??；

(3)平分弦所對(duì)日勺一條弧日勺直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)H勺另一條弧

以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要懂得其中2個(gè)即

可推出其他3個(gè)結(jié)論，即：

①AB是直徑②ABLCD③CE=DE④弧BC=弧BD⑤弧47=弧40

中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。A

推論2：圓日勺兩條平行弦所夾日勺弧相等。/~、(\

即：在。。中，：AB〃C￡>

弧AC=弧BD

六、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等H勺圓心角所對(duì)日勺弦相等，所對(duì)

日勺弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論

只要懂得其中已勺1個(gè)相等，則可以推出其他日勺3個(gè)結(jié)論,

即：①ZAOB=/DOE；②AB=DE；

③OC=OF；④弧BA=MBD

七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對(duì)H勺圓周角等于它所對(duì)H勺圓心H勺角的二

分之一。

即：；ZAOB和ZACB是弧AB所對(duì)R勺圓心角和圓周角

...ZAOB=2ZACB

2、圓周角定理的推論：

推論1:同弧或等弧所對(duì)H勺圓周角相等；同圓或等圓中，相等時(shí)

圓周角所對(duì)日勺弧是等?。?/p>

即：在。。中，；NC、ND都是所對(duì)R勺圓周角

，ZC=Z￡>

推論2:半圓或直徑所對(duì)H勺圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)H勺弧

是半圓，所對(duì)H勺弦是直徑。

即：在。。中，是直徑或???NC=90°

...ZC=90°，AB是直徑

推論3：若三角形一邊上H勺中線等于這邊H勺二分之一，那么這個(gè)三角

形是直角三角形。

即：在△ABC中，?.,OC=Q4=OB

.?.△ABC是直角三角形或NC=90°

注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形H勺推論：在直角三角形中斜邊上H勺中線等于斜邊日勺二

分之一的逆定理。

八、圓內(nèi)接四邊形

圓H勺內(nèi)接四邊形定理：圓H勺內(nèi)接四邊形H勺對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它H勺內(nèi)對(duì)角。

即：在。。中,

:四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形

：.ZC+ZBAD=180°ZB+ZD=180°

ZDAE=ZC

九、切線的性質(zhì)與鑒定定理

(1)切線日勺鑒定定理：過半徑外端且垂直于半徑H勺直線是切線;

兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，兩者缺一不可

即：且過半徑Q4外端

，是。勺切線

(2)性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)H勺半徑(如上圖)

推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。

推論2：過切點(diǎn)垂直于切線日勺直線必過圓心。

以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理:

即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中懂得其中兩個(gè)條件就能推出最終一

種。

十、切線長定理

切線長定理:

從圓外一點(diǎn)引圓日勺兩條切線，它們H勺切線長相等，這點(diǎn)和圓心H勺連線平分兩條切

線H勺夾角。

即：,：PA,是H勺兩條切線

:.PA=PB

P0平分N3R4

十一、圓布定理

(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得H勺兩條線段H勺乘積相

等。

即：在。。中，；弦AB、相交于點(diǎn)P,

PAPB=PCPD

(2)推論：假如弦與直徑垂直相交，那么弦H勺二分之一是它分直徑所c

OEA

成日勺兩條線段H勺比例中項(xiàng)。

D

即：在。。中，?.?直徑AB_LCD,

，CE2=AEBE

(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓口勺切線和割線，切

線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)日勺兩條線段長H勺比例中項(xiàng)。

即：在。。中，是切線，P3是割線

/.P代=PC-PB

(4)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓H勺兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓H勺交點(diǎn)H勺兩條線段長

日勺積相等(如上圖)。

即：在。。中，,:PB、PE是割線

/.PCPB^PDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心H勺連線垂直并且平分這兩個(gè)圓H勺

H勺公共弦。

如圖：go2垂直平分AB。

即：:。。］、。。2相交于A、B兩點(diǎn)、

，垂直平分AB

十三、圓的公切線

兩圓公切線長H勺計(jì)算公式：

(1)公切線長：RfAOQ2c中，AB?=C。；=80；_CO；;

(2)外公切線長：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長：CQ是半徑之和。

十四、圓內(nèi)正多邊形H勺計(jì)算

(1)正三角形

在。。中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在用公80￡＞中進(jìn)行:

OD:BD:OB=1:#>:2；

(2)正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtAOAE中進(jìn)行，

OE:AE:OA=l:l：y[2:

(3)正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在及AQ46中進(jìn)行，AB:OB:OA=l：y/3:2.

十五、扇形、圓柱和圓錐的有關(guān)計(jì)算公式

1、扇形：(1)弧長公式：/=絲4；

180

nyr/?21

(2)扇形面積公式：S=-----=—lR

3602

n：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)日勺圓日勺半徑/：扇形弧長S：扇形面積

2、圓柱：

D

AD1

(1)圓柱側(cè)面展開圖

母線長

底面圓周長