2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)突破訓(xùn)練：數(shù)列 解答題（六大題型）（原卷版新高考專用）

特訓(xùn)13數(shù)列解答題（六大題型）

方法歸納

1.對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系.數(shù)列的求和主要是等差、等

比數(shù)列的求和及裂項(xiàng)相消法求和與錯(cuò)位相減法求和，本題中利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，然后利用"=i,

d>0證明不等式成立.另外本題在探求｛斯｝與｛金｝的通項(xiàng)公式時(shí)，考查累加、累乘兩種基本方法.

2.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)

和，再利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進(jìn)行不等式的證明.

3.（1）形如斯+1=犯+￡（存0,1,毋0）的遞推式可用構(gòu)造法求通項(xiàng)，構(gòu)造法的基本原理是在遞推關(guān)系的兩邊加

上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差數(shù)列或等

比數(shù)列.

（2）遞推公式即+i=aa〃+夕的推廣式斯+i=aa”+價(jià)^（分。/，年0,#0,1）,兩邊同時(shí)除以產(chǎn)后得到*7=1不

+9轉(zhuǎn)化為勿+1=軌+3#0,1）的形式，通過構(gòu)造公比是人的等比數(shù)歹小“一沿1求解.

題型歸納

目錄：

?題型01：定義法求數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和

?題型02：等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

?題型03：由遞推關(guān)系求遞推公式

?題型04：數(shù)列的綜合應(yīng)用

?題型05：利用數(shù)列證明不等式

?題型06：求參數(shù)范圍

?題型01：定義法求數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和

1.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為%滿足S“=2q,-l（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式an及S”.

⑵若數(shù)列也,｝滿足我=|S,-31|,求數(shù)列出｝的前10項(xiàng)的和九.

2.已知數(shù)列｛%｝中，％=1,q,+i=2q,+3x2"T（〃eN*）.

⑴判斷數(shù)列;墨｝是否為等差數(shù)列，并說明理由；

⑵求數(shù)列｛%｝的前W項(xiàng)和s.

111

3.已知公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為=3,且一，一，一成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若純=100-4，求數(shù)列｛標(biāo)|｝的前〃項(xiàng)和T?.

4.已知數(shù)列｛為｝滿足q=1,??+i=2a?+l.

⑴證明：數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列；

⑵設(shè)bn=--,求數(shù)列也｝的前w項(xiàng)和Sn.

5.已知等差數(shù)列｛。,｝的前w項(xiàng)和為S“，at+a2+3a4=25,且%+2,%，%-2成等比數(shù)歹！J.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

？

⑵設(shè)bn=an-而，求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和1.

?題型02：等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

6.在數(shù)列｛?！埃?，4=2,%=8,且對任意的〃eN*,都有an+2=4an+l-4an.

(1)證明：｛。,+「2%｝是等比數(shù)列，并求出｛%｝的通項(xiàng)公式；

—,n=2k—l,keN

⑵若"=<""

，求數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和T,.

log2—,n=2k,kwN*

7.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“=3,/+5〃，數(shù)列也,｝滿足4=8,bn=64bn+l.

(1)證明｛4｝是等差數(shù)列;

(2)是否存在常數(shù)a、b,使得對一切正整數(shù)〃都有。,=log.2+6成立.若存在，求出a、b的值；若不存在,

說明理由.

8.已知數(shù)列a｝滿足4,+2=44,(4為實(shí)數(shù)，且4*1)，“eN*，4=1,%=2,且%+%，/+%，%+%成等差數(shù)列.

(I)求4的值和他“｝的通項(xiàng)公式;

(II)設(shè)或=地&H〃N*,求數(shù)列以］的前"項(xiàng)和.

a2n-\

9.已知數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和為S“，q=l,-=2S“+l(〃wN*),等差數(shù)列也｝中〃>。(“€"*),且

4+&+4=15,又％+伉、a2+b2,%+4成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛%｝、｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)求數(shù)歹￡?！靶?｝的前n項(xiàng)和

io.已知數(shù)列I：；和："滿足不｝…/=18『1，；7口若上｝為等比數(shù)列，且為=2寓=喙*逐

(1)求<7.與％：;

(2)設(shè)j=-ln€.V*l.記數(shù)列kJ的前；：項(xiàng)和為S丁

⑴求；

(ii)求正整數(shù)k，使得對任意三.\一，均有12st.

11.已知〃wN*,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S“=a用-%；數(shù)列他,｝的前w項(xiàng)和為且滿足

(+4="+：〃(1+4)，且

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)c“=，，問：數(shù)列｛%｝中是否存在不同兩項(xiàng)G，J(l<i<j,JeN*),使G+c,仍是數(shù)列｛cj

un

中的項(xiàng)?若存在，請求出i,力若不存在，請說明理由.

?題型03:由遞推關(guān)系求遞推公式

12.已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

(1)求｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)歹！J工的前”項(xiàng)和S“，證明：

1

13.已知數(shù)列｛?！埃凉M足：4=3,an=an_i+2"-(M>2,MeN*).

(1)求數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和S“；

⑵令，(=4+24+I+2"T2("WN*),求證：7；,<1(neN*).

a，a

n?+i-6

、，41

14.已知數(shù)列｛q,｝滿足q=3,出=5,an+2=-??+1--an

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式％

(2)設(shè)么=：/(6-%),S"為數(shù)列他」的前〃項(xiàng)和，若S,+："?)"<3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

323m+2

15.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”(〃eN*),在數(shù)列也｝中，4=q=l,na”=2〃-1,

帥2bM.b"b田=3$,

⑴求數(shù)列｛%｝,也,｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)c“=(T)""，，T"為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，求T,的最值.

un

16.已知數(shù)列｛%｝滿足q=g,”用=7

,、b

⑴證明：存在等比數(shù)列低｝,使〃〃=武p

(2)若‘+,+'+…+’<2022,求滿足條件的最大整數(shù)〃.

dyCl?^^3n

17.已知數(shù)列｛%｝中，flj=1,a,=2,%+2-%=4(〃eN*),數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S「

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

(2)若*=$匚'求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和T"；

⑶在(2)的條件下，設(shè)g=—，求證：6寧--

444+2，k=\，

18.在數(shù)列｛。“｝中，=a,a2=b,a3=c,且。川=.函數(shù)y=/(x)滿足：八")的值均為正整數(shù)，其中“eN*,

數(shù)列勿=%").

⑴若a=Lb=2,c=3"(〃)=2〃+l,求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(2)若a,b,c互不相等，且/(〃)=4"(4€川'，4>1)也+2=%也+產(chǎn)〃,，求4的取值范圍；

⑶若/⑺=2"+(-1)^，求數(shù)列圾｝的前2021項(xiàng)的和.

19.在遞增的等差數(shù)列｛q｝中，已知出+%=10,?！?。4=16.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵若數(shù)列也｝滿足今+3+3+?+含，求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

⑶令％=等，求數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和T?.

?題型04：數(shù)列的綜合應(yīng)用

20.已知首項(xiàng)為垓的等比數(shù)列｛an｝不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n￡N*),且S3+a3,Ss+as,S4+a4成等

差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)Tn=Sn-/(n€N*),求數(shù)列｛「｝的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.

21.已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)的i，%為是關(guān)于x的方程/-?^包上)》+3左？*=的兩個(gè)根，且

alk_x<a2k(k=1,2,3,).

(I)求q，&，。3107；

(II)求數(shù)列1%｝的前2"項(xiàng)和工”;

lflsin/il)(一1)/⑵(-I)/。)(_i)"4)(一1*

(III)記/(")=彳^^+3,T"=S—++—+...+^—,求證：Jw］〈三5(”eN*).

aa

2(sin〃Ja5a62n-i2n624

22.已知數(shù)列｛即｝,｛bn］,為數(shù)列｛〃〃｝的前幾項(xiàng)和，向量x=(1,加)，，二(即一1,5〃)，xlly.

(1)若bn=2,求數(shù)列｛的｝通項(xiàng)公式；

(2)若勿=—,〃2=0.

①證明：數(shù)列｛即｝為等差數(shù)列；

②設(shè)數(shù)列｛切｝滿足。”=嗅，問是否存在正整數(shù)/,做/<叫且印2,?#2),使得Q,%4成等比數(shù)列，若存

4+2

在，求出/、機(jī)的值；若不存在，請說明理由.

?題型05：利用數(shù)列證明不等式

23.在數(shù)列｛%｝中d=2,(??+1=2--,在數(shù)列｛4｝中4=1,且J=色"=4".

4〃a2n-la2n

⑴求證數(shù)列［六］成等差數(shù)列并求為；

1111cl1,

(2)求證：—+—+-+——+—<3-------7(?>1).

4a2a2n-la2?nn+1

rb

24.已知數(shù)列｛q,｝,｛2｝,｛5｝滿足％=伉=1,且3=/.

Cn%

⑴若｛%｝是等比數(shù)列，且。用=”“+c,也=3,求源23的值，并寫出數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

1111cin—2、丁*

(2)若｛(a｝是等差數(shù)列，公差d>0,且2=%+「"〃，求證：一+—+—...+—<----.

C1C2C3Cn。3-3

25.已知數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為％若q>+q,+q粵++上q、=*+”,

345n+2

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

11113

(2)證明：—+—+—++T7<g,

532七%°

26.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S”.若對任意“CN*,都有2S"=3(%—〃)

(1)求q,出的值；

(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

on+2

(3)記功=-----,數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和為(，求證：Tn<l.

4A+i

[21

27.已知正數(shù)數(shù)列｛%｝中,且。；+1+鏟〃+。_鏟；=O(〃EN).

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵式"％""乙+1陞”1

證明：b+b++bn<—.

x24

28.已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,q+i=〃+歸+1(其中〃EN*)

(1)判斷并證明數(shù)列｛0｝的單調(diào)性；

(2)記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，證明：1<S2022<1.

29.已知正項(xiàng)數(shù)列｛。,｝滿足q=l,當(dāng)“22時(shí)，=2w-l,｛a,｝的前”項(xiàng)和為S”.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式及S“；

(2)數(shù)列他,｝是等比數(shù)列，4為數(shù)列也｝的公比，且伉=4=%，記J=”「，證明：(<G+02+…+%<(

?題型06：求參數(shù)范圍

30.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛g｝滿足％+。3+。4=39,且%+6是“2，。4的等差中項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若勿=a，，l°gga，，，Sn=bi+b2++bn,對任意正整數(shù)小與+與”。向＜0恒成立，試求，"的取值范圍.

31.記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”,q=2,S“+S“+i=3區(qū)田-4.

⑴求｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)bn=a?log2a?，記｛%｝的前〃項(xiàng)和為&若+24看對于〃22且熊eN*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范

圍.

32.已知數(shù)列｛。"｝滿足q=14,an+1=3an-4.

⑴證明數(shù)歹U｛%-2｝為等比數(shù)列，并求｛可｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)％=_（TZ_

⑵/'（3"+1）（3向+1）,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為若存在〃wN*,使〃讓（，求機(jī)的取值范圍.

33.已知數(shù)列｛%｝滿足：4=1,叫-5+1）%=?！?,=eN*,且。，產(chǎn)0;等比數(shù)歹!）也｝滿足：4=；，

b?=2%]+3b*2,〃eN*,且，＞。.

⑴求數(shù)列｛%｝、也｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)數(shù)列的前九項(xiàng)和為S”,若不等式（T）"（信）-義V2對任意〃6N*都成立,求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

模擬精練

一、解答題

1.（2024?陜西渭南?二模）已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和為S“，且滿足/+%=3,54=15.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列也｝滿足勿=fl?+（-ir（3n-l）,求數(shù)列也｝的前2n項(xiàng)和T2n.

2.（2024?貴州貴陽?三模）已知正項(xiàng)數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和為5.，且滿足q=1石,=號旦.試求：

（1）數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式;

（2）記?！?電"，數(shù)列上的前〃項(xiàng)和為（，當(dāng)北>'!時(shí)，求滿足條件的最小整數(shù)”.

〔c,%J9

3.（2024?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）己知復(fù)數(shù)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為a“=i"〃2（i是虛數(shù)單位），S”為｛%｝的前〃

項(xiàng)和.

（1）求5的值；

（2）求證：2〃+1>"+4；

（3）求｛邑“｝的通項(xiàng)公式.

4.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝滿足q=L%M=24+〃T（〃eN*）.

（1）證明：數(shù)列｛4+〃｝是等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

1

⑵設(shè)2=，數(shù)列論A+J的前〃項(xiàng)和為1,若，〈病一相-1對于任意〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)加的

10g2(??+?)

取值范圍.

5.（2024?浙江?三模）已知等比數(shù)列｛。,｝和等差數(shù)列他,｝‘滿足4+1>%,4=偽=1,a2=b2,3%=的.

⑴求數(shù)列｛%｝,｛2｝的通項(xiàng)公式；

⑵記數(shù)歹!1｛見a｝的前〃項(xiàng)和為1,數(shù)列的前"項(xiàng)和為匕.證明：《<2上-1.

也?+1

6.（2024?天津南開?二模）已知｛4｝是等差數(shù)列，公差dwO,q+%=8,且%是可與%的等比中項(xiàng).

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式

⑵數(shù)列也｝滿足與心旦=2??,且4=4.

,盧〃+12

（i）求