天津市大港油田第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGE10PAGE9天津市大港油田第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一、選擇題（本題共10小題，每小題6分，共60分）1.若向量a=(2,0，-1)，向量b=(0,1，-2)，則2A.(-4,1，-4) B.(-4,1，0) C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4)2.拋物線y2=-8x的準(zhǔn)線方程為(????)A.x=-2 B.x=-1 C.y=1 D.x=23.雙曲線4x2-9yA.y=±32x B.y=±24.已知向量a=(-1,2，4)，b=(x,-1,-2)，并且a⊥bA.10 B.-10 C.12 D.5.焦距是10，虛軸長(zhǎng)是8，經(jīng)過點(diǎn)(32,4)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(????)Ax29-y216若動(dòng)點(diǎn)滿意方程，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程（）ABCD7.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M為A1C1的中點(diǎn)，若AB=a，A.-12aC.-128.已知雙曲線C1：x2a2線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1A.x2=833y9.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是

(A.2 B.3 C.115 D.10.設(shè)圖F1、F2分別為雙曲線x2a2-y2A.43 B.53 C.二、填空題（本題共6個(gè)小題，每題7分，共42分）11.若向量a=(x,-1,3)，向量b=(2,y，6)，且a//b，則x=______，12.若雙曲線x29-13.若方程x25-m+14.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，A(1,2，-1)，B(0,1，2)，C(1,1，1)，則異面直線OA與BC所成角的余弦值為______．15.圓與圓的公共弦長(zhǎng)為16.如圖，直三棱柱ABC一A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，A三、解答題（本題共3題，每題16分，共48分）

17.已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)，B(1,2)．(Ⅰ)求線段AB的垂直平分線方程；(Ⅱ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅲ)過點(diǎn)P(0,2)的直線l與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=23如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，點(diǎn)D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M為棱A1B1的中點(diǎn)．

(Ⅰ19.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率等于12，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)恰好是拋物線x2=83y的焦點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，已知P(2,3)，Q(2,-3)是橢圓上的兩點(diǎn)，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．

①若直線AB的斜率為12，求四邊形APBQ面積的最大值；

②已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率等于12，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)恰好是拋物線x2=83y的焦點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，已知P(2,3)，Q(2,-3)是橢圓上的兩點(diǎn)，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．

①若直線AB的斜率為12，求四邊形APBQ面積的最大值；

【答案】解：(1)設(shè)橢圓C的方程為x2∵拋物線的焦點(diǎn)為(0∴b由ca=12，∴橢圓C的方程為x2(2)設(shè)A(x1①設(shè)直線AB的方程為y=代入x216+由Δ>0，解得∴x1+∴|x∴四邊形APBQ的面積S=∴當(dāng)t=0時(shí)，S取得最大值，且②若∠APQ=∠BPQ，則直線PA，PB的斜率之和為0，

設(shè)直線PA的斜率為k，則直線PB的斜率為-k，直線PA的方程為y由y-3=k(x-∴x將k換成-k可得x∴x1+∴k∴直線AB的斜率為定值12【解析】本題考查的學(xué)問點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，其中依據(jù)已知條件計(jì)算出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的關(guān)鍵．

(1)依據(jù)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=83y的焦點(diǎn)，離心率等于12.由此列式解出出a，b的值，即可得到橢圓C的方程．

(2)①設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB的方程為y=12x+t，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系求得四邊形APBQ的面積，從而解決問題．

②設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k(x-2)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，點(diǎn)D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M為棱A1B1的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：【答案】解：依據(jù)題意，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C1(0,0，3)，

A1(2,0，3)，B1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)，

(Ⅰ)證明：依題意，C1M=(1,1，0)，B1D=(2,-2,-2)，

∴C1M·B1D=2-2+0=0，

∴C1M⊥B1D，即C1M⊥B1D；

(Ⅱ)依題意，CA=(2,0，0)是平面BB1E的一個(gè)法向量，

EB1=(0,2，1)，ED=(2,0，-1)，

設(shè)n=(x,y，z)為平面DB1E的法向量，

則n?EB1=0【解析】本題考查了空間向量在幾何中的應(yīng)用，線線垂直的證明、二面角和線面角的求法，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，轉(zhuǎn)化與化歸實(shí)力，邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題．

(Ⅰ)建立空間坐標(biāo)系，依據(jù)向量的數(shù)量積等于0，即可證明；

(Ⅱ)先求得平面DB1E的法向量n，而CA是平面BB1E的一個(gè)法向量，再依據(jù)向量的夾角公式求解；

(Ⅲ)求出cos<已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)，B(1,2)．(Ⅰ)求線段AB的垂直平分線方程；(Ⅱ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅲ)過點(diǎn)P(0,2)的直線l與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=23，求直線l【答案】解：(Ⅰ)設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則D(0,1)．

由圓的性質(zhì)，得，

所以kCD×kAB=-1，kAB=2-01+1=1，得kCD=-1．

所以線段AB的垂直平分線CD的方程是y=-x+1.

(Ⅱ)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+y2=r2，其中C(a,0)，半徑為r(r>0).

由圓的性質(zhì)，圓心C(a,0)在直線CD上，化簡(jiǎn)得a=1．

所以圓心C(1,0)，r=|CA|=1+12=2，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4;

(Ⅲ)由(1)設(shè)F為MN中點(diǎn)，則CF⊥l，得|FM|?=?|FN|=3．

圓心C到直線的距離d=|CF|?=4-(3)2【解析】本題考查直線與圓的有關(guān)問題，考查推理