2025年高考物理一輪復(fù)習(xí)（新人教版） 第11章　第4課時(shí)　專題強(qiáng)化：用“動態(tài)圓”思想處理臨界、極值問題

第十一章磁場第4課時(shí)專題強(qiáng)化：用“動態(tài)圓”思想處理臨界、極值問題目標(biāo)要求1.進(jìn)一步掌握帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界、極值問題。2.會用平移圓法、旋轉(zhuǎn)圓法、放縮圓法分析臨界狀問題。內(nèi)容索引考點(diǎn)一“平移圓”考點(diǎn)二“旋轉(zhuǎn)圓”考點(diǎn)三“放縮圓”課時(shí)精練><考點(diǎn)一“平移圓”適用條件粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同但在同一直線上的同種帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝

，如圖所示

軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在同一直線上，該直線與入射點(diǎn)的連線平行界定方法將半徑為R＝

的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法例1

(多選)如圖所示，在Ⅰ、Ⅱ兩個區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的勻強(qiáng)磁場，磁場方向分別垂直于紙面向外和向里，AD、AC邊界的夾角∠DAC＝30°，邊界AC與邊界MN平行，Ⅱ區(qū)域?qū)挾葹閐。質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子可在邊界AD上的不同點(diǎn)射入，入射速度垂直AD且垂直磁場，若入射速度大小為

，不計(jì)粒子重力，則√√設(shè)從某處E進(jìn)入磁場的粒子，其軌跡恰好與AC相切(如圖所示)，則E點(diǎn)與A點(diǎn)的距離為AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A點(diǎn)0.5d處射入，會進(jìn)入Ⅱ區(qū)域，選項(xiàng)B錯誤；返回“旋轉(zhuǎn)圓”><考點(diǎn)二適用條件粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，若入射初速度大小為v0，則圓周運(yùn)動軌跡半徑為R＝

，如圖所示

軌跡圓圓心共圓如圖，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R＝

的圓上

界定方法將一半徑為R＝

的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法例2

(2023·浙江溫州市英才學(xué)校模擬)如圖所示，豎直平面內(nèi)有一xOy平面直角坐標(biāo)系，第一、四象限中存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小記為B(B未知)。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一放射源，放射源可以源源不斷向一、四象限180°范圍內(nèi)均勻地輻射出質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子。在y軸上固定一能吸收離子的收集板MN，M點(diǎn)坐標(biāo)為(0，a)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2a)，當(dāng)輻射的離子速率為v0時(shí)離子打在收集板上的位置最遠(yuǎn)到N點(diǎn)，最近到M點(diǎn)。不計(jì)離子的重力及離子間的相互作用的影響，求：(1)恰好打到M點(diǎn)的離子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間；由題意可知，沿x軸正方向出射的離子，經(jīng)半圓到達(dá)N點(diǎn)，由此可得r＝a，可知通過M點(diǎn)的離子有兩個出射方向，如圖甲，(2)能打到收集板上的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例。例3如圖所示，在絕緣板MN上方分布了水平方向的勻強(qiáng)磁場，方向垂直于紙面向里。距離絕緣板d處有一粒子源S，能夠在紙面內(nèi)不斷地向各個方向同時(shí)發(fā)射電荷量為q、質(zhì)量為m、速率為v的帶正電粒子，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用，已知粒子做圓周運(yùn)動的半徑也恰好為d，則√粒子受到的洛倫茲力充當(dāng)向心力，粒子運(yùn)動的軌跡半徑R＝d，粒子運(yùn)動到絕緣板的兩種臨界情況如圖甲所示，由幾何關(guān)系可知，左側(cè)最遠(yuǎn)處與S之間的距離恰好是圓的直徑，則左側(cè)最遠(yuǎn)處A到C距離為右側(cè)離C最遠(yuǎn)處為B，距離為d，所以粒子能打在板上的區(qū)域長度是

故A錯誤；故C、D錯誤。返回“放縮圓”><考點(diǎn)三適用條件粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的同種帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑隨速度的變化而變化軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，運(yùn)動半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，它們運(yùn)動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上

界定方法以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法例4

(多選)如圖所示，正方形abcd區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)。若一個帶正電的粒子(重力忽略不計(jì))從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的某一速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場?，F(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°角的方向，以各種不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說法正確的是那么下列說法正確的是A.該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點(diǎn)

射出磁場B.若該帶電粒子從ab邊射出磁場，它在磁場中

經(jīng)歷的時(shí)間可能是t0√√帶電粒子以垂直于cd邊的某一速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過時(shí)間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場，則知帶電粒子的運(yùn)動周期T＝2t0。該粒子從O點(diǎn)以與Od成30°角的方向射入磁場，隨著粒子速度逐漸增大，軌跡由①→②→③→④依次漸變，由圖可知粒子在四個邊射出時(shí)，射出范圍分別為OG、FE、DC、BA之間，不可能從四個頂點(diǎn)射出，故A正確。例5

(多選)(2023·山西太原市檢測)一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，其邊界如圖中虛線所示，ab為半圓的直徑，ac、bd與直徑ab共線，a、c間的距離等于半圓的半徑R。一束質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶負(fù)電的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac以不同速率射入磁場，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用。下列說法正確的是√√返回課時(shí)精練1.如圖所示，在x軸的上方(y≥0)存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(未畫出)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。在原點(diǎn)O有一個離子源向x軸上方的各個方向發(fā)射出質(zhì)量為m、帶電荷量為q的正離子，速率都為v。對那些在xOy平面內(nèi)運(yùn)動的離子，在磁場中可能到達(dá)的位置中離x軸及y軸最遠(yuǎn)距離分別為12345678910√123456789102.(2023·江蘇泰州市靖江高級中學(xué)模擬)如圖所示，空間存在四分之一圓形磁場區(qū)域，半徑為R，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場方向垂直紙面向外。一電子以初速度v從圓心O沿OC方向射入磁場，恰好由A點(diǎn)射出。弧AD對應(yīng)的圓心角為60°，要使電子從弧AD之間射出(不包括A、D兩點(diǎn))，電子從O點(diǎn)射入的初速度可能是(不計(jì)電子的重力)12345678910√123456789103.(2023·北京市一模)如圖所示，邊長為L的正方形區(qū)域abcd中充滿勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里。一帶電粒子從ad邊的中點(diǎn)M垂直于ad邊、以一定速率射入磁場，僅在洛倫茲力的作用下，正好從ab邊中點(diǎn)N射出磁場。忽略粒子受到的重力，下列說法正確的是A.若僅將粒子射入磁場的速度增大為原來的2倍，則粒子

將從b點(diǎn)射出B.若僅將粒子射入磁場的速度增大為原來的2倍，則粒子

在磁場中運(yùn)動的時(shí)間也增大為原來的2倍C.若僅將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小增大為原來的2倍，則粒子將從a點(diǎn)射出D.若僅將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小增大為原來的2倍，則粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間也

增大為原來的2倍√1234567891012345678910粒子在磁場中運(yùn)動的周期為T＝

由圖可知，若粒子射入磁場的速度增大為原來的2倍，則粒子的半徑將增大為原來的2倍，可粒子在磁場中運(yùn)動的圓心角將減小，周期不變，則粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間將減小，B錯誤；12345678910若僅將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小增大為原來的2倍，則粒子的運(yùn)動半徑將減小為原來的

，將從a點(diǎn)射出，C正確；123456789104.如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)(圓心為O)有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于圓平面(未畫出)。一群具有相同比荷的負(fù)離子以相同的速率由P點(diǎn)在紙平面內(nèi)沿不同方向射入磁場中，發(fā)生偏轉(zhuǎn)后又飛出磁場，若離子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑大于R，則下列說法中正確的是(不計(jì)離子的重力和離子間相互作用)A.從Q點(diǎn)飛出的離子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長B.沿PQ方向射入的離子飛出時(shí)偏轉(zhuǎn)角最大C.所有離子飛出磁場時(shí)的動能一定相等D.在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的離子可能經(jīng)過圓心O點(diǎn)√12345678910由圓的性質(zhì)可知，軌跡圓與磁場圓相交，當(dāng)軌跡圓的弦長最大時(shí)偏轉(zhuǎn)角最大，故應(yīng)該是弦長為PQ，由Q點(diǎn)飛出的離子圓心角最大，所對應(yīng)的運(yùn)動時(shí)間最長，軌跡不可能經(jīng)過圓心O點(diǎn)，故A正確，B、D錯誤；12345678910因洛倫茲力永不做功，故離子在磁場中運(yùn)動時(shí)動能保持不變，但由于離子的初動能不一定相等，故飛出時(shí)的動能不一定相等，故C錯誤。5.如圖所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限內(nèi)有一圓心為O、半徑為R的半圓形勻強(qiáng)磁場，線狀粒子源從y軸左側(cè)平行于x軸正方向不斷射出質(zhì)量為m、電荷量為q、速度大小為v0的帶正電粒子。磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

、方向垂直平面xOy向里。不考慮粒子間的相互作用，不計(jì)粒子受到的重力。所有從不同位置進(jìn)入磁場的粒子中，在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長為12345678910√解得r＝2R，如圖所示，12345678910123456789106.如圖所示，真空中垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場只在兩個同心圓所夾的環(huán)狀區(qū)域存在(含邊界)，兩圓的半徑分別為R、3R，圓心為O。一重力不計(jì)的帶正電粒子從大圓邊緣的P點(diǎn)沿PO方向以速度v1射入磁場，其運(yùn)動軌跡如圖，軌跡所對的圓心角為120°。當(dāng)將該帶電粒子從P點(diǎn)射入的速度大小變?yōu)関2時(shí)，不論其入射方向如何，都不可能進(jìn)入小圓內(nèi)部區(qū)域，則v1∶v2至少為12345678910√123456789107.(多選)如圖所示，平行線MN、PQ間有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，MN、PQ間的距離為L。在MN上的a點(diǎn)有一粒子源，可以沿垂直于磁場的各個方向射入質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的粒子，且這些粒子的速度大小相等。這些粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，穿過PQ邊界線的最低點(diǎn)為b點(diǎn)。已知c是PQ上的一點(diǎn)，ac垂直于PQ，c、b間的距離為

不計(jì)粒子重力，則下列說法正確的是√√1234567891012345678910從c點(diǎn)射出磁場的粒子，在a點(diǎn)時(shí)速度與MN的夾角θ滿足2Rcosθ＝L，可得cosθ＝0.8，則θ≠30°，D項(xiàng)錯誤。123456789108.(多選)(2023·河南省聯(lián)考)如圖所示，在圓心為O、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)(不含邊界)有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，MN為直徑。大量帶正電荷的同種粒子以不同的速率從O點(diǎn)在紙面內(nèi)沿與ON成30°角的方向射入磁場。粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，不計(jì)粒子受到的重力以及粒子間的相互作用。下列說法正確的是√√1234567891012345678910123456789109.如圖所示，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁場區(qū)域圓的半徑為R。質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子在紙面內(nèi)從圓周上的M點(diǎn)射入磁場。不計(jì)粒子重力。12345678910粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡如圖所示，12345678910(2)如果大量相同的帶電粒子以相同的速率v2在紙面內(nèi)從M點(diǎn)沿不同方向射入磁場，不計(jì)粒子間相互作用，v2＝

，求粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間的最大值；12345678910粒子從N點(diǎn)射出時(shí)在磁場運(yùn)動的時(shí)間最長，如圖所示由幾何關(guān)系可知，其軌跡弧對應(yīng)的圓心角α2