線性代數(shù) 向量組的極大線性無關(guān)級(jí)

第三節(jié)向量組的極大線性無關(guān)組一向量組的等價(jià)二向量組的極大線性無關(guān)組三向量組的秩與矩陣的秩四應(yīng)用舉例一、向量組的等價(jià)定義設(shè)兩向量組假設(shè)向量組Ａ中每一個(gè)向量皆可由向量組B線性表示，那么稱向量組Ａ可以由向量組B線性表示.假設(shè)兩個(gè)向量組可以互相線性表示，那么稱這兩向量組等價(jià).向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有自反性、對(duì)稱性、傳遞性.即存在矩陣即對(duì)任意的自反性:A等價(jià)于A對(duì)稱性:假設(shè)A等價(jià)于B，那么B等價(jià)于A傳遞性:假設(shè)A等價(jià)于B，B等價(jià)于C，那么A等價(jià)于C如何證明兩個(gè)向量組等價(jià)？證明：向量組A與B等價(jià)假設(shè)A可由B線性表示，且r>s，那么向量組A線性相關(guān)(Page82)由定義：證明兩向量組能相互表示定理：設(shè)Rn中的兩個(gè)向量組例如：若為R2中的基本向量組，即,向量組AB推論1：若向量組A可由向量組B線性表示，且A線性無關(guān)，則必有r≤s推論2：若向量組A與B均線性無關(guān)且等價(jià)，則它們所含向量的個(gè)數(shù)相同二、向量組的極大線性無關(guān)組若向量組A中的一個(gè)部分組滿足(1)線性無關(guān)(2)向量組A中的每個(gè)向量均可由線性表示則稱為A的一個(gè)極大線性無關(guān)組注：①向量組A的極大線性無關(guān)組與它自身等價(jià)②極大線性無關(guān)組與A中的另外的向量所組成的新的向量組必線性相關(guān)③向量組的極大線性無關(guān)組通常不唯一定理：一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)是唯一的例：求向量組A的一個(gè)極大線性無關(guān)組提示：線性無關(guān)均線性無關(guān)又因均A的極大線性無關(guān)組故例：Rn中的基本向量組是Rn的一個(gè)極大線性無關(guān)組三、向量組的秩與矩陣的秩1、定義：一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩定理：等價(jià)的向量組秩相等注：①秩相等的向量組不一定等價(jià)②任意n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)〔Rn的秩為n〕2、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系矩陣與向量組之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么秩之間又有什么關(guān)系？定理有相同的線性相關(guān)性與線性組合系數(shù).相同的線性相關(guān)性是指：已知n維列向量組若對(duì)Ａ施行行初等變換把Ａ化為則向量組①線性表示，且表達(dá)式的系數(shù)對(duì)應(yīng)相同.②線性表示，對(duì)應(yīng)的③極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng).線性相關(guān)<==>線性相關(guān)作用：為判斷向量組線性相關(guān)或無關(guān)以及求極大線性無關(guān)組提供了一種簡(jiǎn)單的方法證明設(shè)Ａ的某些列有關(guān)系那么相應(yīng)的具有相同的線性相關(guān)性.即B中列向量組與Ａ中列向量組求向量組Ａ的列向量組的秩及一個(gè)極大線性無關(guān)組，例

設(shè)矩陣并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示.所以Ａ的列向量組的秩為３.故極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)為３個(gè).解顯然極大線性無關(guān)組為所以可得定義矩陣Ａ的列向量組的秩稱為列秩，記為：Ａ的行向量組的秩稱為行秩，記為：定理①當(dāng)r=m時(shí)，那么A的行向量組線性無關(guān)；當(dāng)r<m時(shí)，那么A的行向量組線性相關(guān).結(jié)論，且②當(dāng)r=n時(shí)，那么A的列向量組線性無關(guān)；當(dāng)r<n時(shí)，那么A的列向量組線性相關(guān).③假設(shè)m=n時(shí)，那么A的列〔行〕向量組線性無關(guān)的充要條件是|A|≠0.1、向量組線性無關(guān)，證明：線性無關(guān).四、應(yīng)用舉例2、設(shè)所以線性無關(guān)試討論及秩及線性相關(guān)性.線性相關(guān)解且3、已知設(shè)