2025年河南省安陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年河南省安陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

（本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學(xué)校、姓名和考生號，并將

條形碼正向準(zhǔn)確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)，請保持條形碼整潔、不污損.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上.

3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改

動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答

案無效.

4.作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點，再做答.

5.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1

1.(5分)已知集合4={x|y=(12+久一久2)4},8={x|x>3},則AUB=()

A.(3,4)B.(-8,-3]U[4,+8)

C.[-3,+8)D.[-4,+8)

2.（5分）若函數(shù)y=/（無）在尤=xo處的導(dǎo)數(shù)為1,則%當(dāng)（）

A.2B.3C.-2D.-3

3.（5分）己知復(fù)數(shù)z=cose+isin9（i是虛數(shù)單位,9GR）,貝!J|zT-1的最小值是（）

A.V2B.V2-1C.V2+1D.1

—>—>

BC=V3BD,AD=1,貝！Me?=(

C.-V3D.-3

5.（5分）如圖，在正方體ABCD-ALBCLDI中，E,尸分別為棱A3,AO的中點，過瓦F,G三點作該

B.4C_L平面。所

C.平面45101〃平面QEF

D.該截面與棱BB1的交點是棱BB1的一個三等分點

6.（5分）當(dāng)x=6時，/（%）=6siri2]+2sin*cos5—3取得最大值，則tan8=（）

1I

A.3B.-3C.-D.-4

33

4%_-i

7.（5分）已知函數(shù)/（%）=鏟二五，數(shù)列｛劭｝滿足。1=〃2=1,an+3=an（尤N）,于（M2）4/（。3+〃4）=0,

則2晉4七=（）

A.1B.2C.3D.4

8.（5分）已知點M是直線li：ax+y-2a=0和勿x-ay+2=Q（tzGR）的交點，A（-1,0）,B（m,0）,

且點M滿足|M*恒成立.若C（2,2）,則21MAi+|MC|的最小值為（）

A.V6B.2V6C.V10D.2V10

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率

B.已知樣本數(shù)據(jù)XI,無2,…X〃的平均數(shù)為元，則數(shù)據(jù)XI,XI,Xn,元與原數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)都相

同

C.若48兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相長系數(shù)分別為卷=0.97,陽=-0.99,則A組數(shù)據(jù)比8組數(shù)據(jù)的線性

相關(guān)性強

D.已知y關(guān)于x的回歸直線方程為y=0.3-0.7元，則樣本點（2,-3）的殘差為-1.9

（多選）10.（6分）在物理學(xué)中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的

運動稱為“簡諧運動”.在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，某個簡諧運動可以用函數(shù)/（%）=Asin（3x+（p）（A>

0,3>o,Icp|<-rr）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

C.函數(shù)/（無）在信，要］上的值域為［0,2］

D.若把/（x）圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的［倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移看個單位，則所得

函數(shù)是y=2sin（3x+金）

（多選）11.（6分）對于任意兩個正數(shù)〃，v（w<v）,記曲線y=］與直線x=〃，1軸圍成的曲邊梯

形的面積為L（u,v）,并約定L（w,"）=0和L（%v）=-￡（v,〃），德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）

最早發(fā)現(xiàn)￡（1,x）=lnx.關(guān)于L（小v）,下列說法正確的是（）

11

A.引="4,8）

B.L（2100,3100）=100￡（2,3）

C.L（〃匕儼）>v-u

”7/

D.2L（",v）V----

uv

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（版+68的展開式中f4的系數(shù)為.

13.（5分）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)，如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)

軟件制作的“蚊香”，畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段A8,作一個等邊三角形ABC,然后

以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點。（第一段圓?。?，再以點C為圓心,

。為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E,再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧…以此

類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時，“蚊香”的長度為

14.(5分)在△ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊，。是AB上的三等分點(靠近點A),且

CD—1,(a-b)sinA=(c+b)(sinC-sinB),則a+26的最大值是

四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2V3.

(1)若a,b,c成等差數(shù)列，求△ABC的面積；

(2)若sin/l-sinC=求a.

16.(15分)如圖，將邊長為企的正方形ABC。沿對角線AC折起，使得點。到點。的位置，連接B。,

。為AC的中點.

(1)若平面O'AC_L平面ABC,求點。到平面ZZBC的距離；

(2)不考慮點。與點8重合的位置，若二面角A-8。-C的余弦值為-多求80的長度.

Xv

17.（15分）設(shè)雙曲線E：---=1（?>0,b>0）的左、右頂點分別為A,B,左、右焦點分別為尸1,

a2b2

1

F2,|FIF2|=2V5,且E的漸近線方程為/=±5彳，直線/交雙曲線E于P,。兩點，

（1）求雙曲線￡的方程；

（2）當(dāng)直線/過點（4,0）時，求的取值范圍.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=alnx-(。+1)x+J?.

(1)討論，(x)的單調(diào)性：

2

(2)當(dāng)a=l時，h(x)=f(x)—^x+2%+p數(shù)列｛功｝滿足tiE(0,1),且tn+l=h(%)(〃EN*).

①比較方+1,歷+2,1的大小(尤N*)；

②證明：濟(jì)+i+e+3>2e+2(九eN*).

32

19.(17分)甲和乙兩個箱子中各裝有N個大小、質(zhì)地均相同的小球，并且各箱中g(shù)是紅球，g是白球.

(1)當(dāng)N=5時，從甲箱中隨機(jī)抽出2個球，求2個球的顏色不同的概率.

(2)由概率學(xué)知識可知，當(dāng)總量N足夠多而抽出的個體足夠少時，超幾何分布近似為二項分布.現(xiàn)從

甲箱中不放回地取3個小球，恰有2個白球的概率記作尸1；從乙箱中有放回地取3個小球，恰有2個

白球的概率記作p2.

①求Pl,P2；

②當(dāng)N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001(即Pi-P2W0.001)的前提下認(rèn)為超幾何分布近

似為二項分布？(參考數(shù)據(jù)：V578=24.04).

2025年河南省安陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1

1.(5分)已知集合4={%|y=(12+%—/)4},B={x|x>3},則AU5=(

A.(3,4)B.(-8,-3]U[4,+8)

C.[-3,+8)D.[-4,+°°)

1.

解：由y=(12+%——)4,可得12+1-1220,即(%-4)(%+3)W0,

解得-3WxW4,故&=a-3WxW4},

貝ijAU8={x|x2-3}.

故選：C.

2.（5分）若函數(shù)y=/（x）在％=xo處的導(dǎo)數(shù)為1,則〃TH

Ax(

A.2B.3C.-2D.-3

解：由題意可得/（xo）=1,

f(Xo+24久)/(%o—f(%o+2A%)

則〃m=—3lim=—3f(xo)=-3.

Ax△%-0—3Ax

故選：D.

3.（5分）已知復(fù)數(shù)z=cos6+isin。（i是虛數(shù)單位，9eR）,則|z-1-i|的最小值是（

A.V2B.V2-1C.V2+1D.1

解:復(fù)數(shù)z=cos0+zsin0,

則|z|=l,

故|zT-i\>|l-i|-kl=V2-1.

故選：B.

—?T

BC=WBD,AD=1,則AC?AD=()

C.-V3D.-3

解：AD-AC=\AD\■\AC\cosZDAC,

U：\AD\=1,

：.AC*AD=\AD\?\AC\COSZDAC=\AC\9COSZDAC,

TT

,：ZBAC=^+ZDAC9

cosZDAC=sinZBAC,

—>—>—>—>—>

AC?4D=|24D|?\AC\cosZDAC=\AC^cosZDAC=\AC\smZBAC,

—>—>

在△ABC中，由正弦定理得四■=,因°變形得|AC|sinNBAC=|BC1sin8,

sinBsinZ-BAC

—>T—>—?—>T

AC-AD=\AD\■\AC\cosZDAC=\AC\"cosZDAC=\AC\smZBAC,

\AD\i—

=|BC|sinB=|JBC|~=

故選：A.

5.（5分）如圖，在正方體ABCD-ALBICIDI中，E,尸分別為棱AB,的中點，過E,F,Ci三點作該

正方體的截面，則（）

A.該截面是四邊形

B.AiC_L平面C1EF

C.平面平面C1EF

D.該截面與棱BB1的交點是棱BB1的一個三等分點

解：對A：如圖，將線段EP向兩邊延長，分別與棱C2的延長線，棱C。的延長線交于點G,H,

連接C1G,C1H,分別與棱221,DD1交于點、P,Q,得到截面CiPEE。是五邊形，故A錯誤；

對5：因為461_1面8。。51,BCiu面故4Bi_LBCi；

XBCi-LBiCfBiCnAiBi=BifBiC,AiBiu面AiBiC,故5cl_1面Ai5iC,

又ACu面451c故8CJ_AiC；

彳設(shè)設(shè)AiC_LCiP,XCiPABCi=Ci,CiP,BCicffiBCCiBi,^AiCXffiBCCiBi,

又481，面BCCLBI,顯然過一點作一個平面的垂直只能有一條，假設(shè)不成立，即4C與GP不垂直;

又CiPu平面QER所以4C與平面CLE尸不垂直，故8錯誤；

對C。。1_1面AiBiGDi,Bi￡hu面AiBiCifh,故3i￡h_LCCi,又5i￡h_LACi,

AiCi0CCi=Ci,AiCi,CGu面AiCiC故31。1，面AiCiC,又AiCu面AiCiC,

故81D1_LAC,同理可得AiCLLADi,又AOiG5iOi=￡h,AOi,BiDiu面ABiDi,

故AC_L平面ABiDi,又AC與平面CiEF不垂直，

所以平面ABLDI與平面CiEb不平行，故。錯誤；

11BPBG1

對D：易知BG=亍BC=亍B]C],所以---二-----=一，

22PB]BrCr2

所以截面C1PEFQ與棱BB1的交點P是棱BB1的一個三等分點，故。正確.

故選：D.

6.(5分)當(dāng)x=8時，/(%)=6sE2*+2sizi*cos1—3取得最大值，則tan8=()

1I

A.3B.-3C.-D.—□

33

解：因為f(x)=6sin2*4-2sin*cos*—3=6x--+sinx-3=sinx-3cos],

因為時，函數(shù)/(x)取得最大值，

故sin0-3cos0=V10,

所以sin26+9cos29-6cos6sin0=10,

故8cos2。-6sin0cos0=9,

~,8cos20-6sin0cos3

所以---s-i-n-z-6--+-c-o-sz7Z6—=%

8-6tan26

所以,=9,

l+tan20

解得tan9=—

故選：D.

7.(5分)已知函數(shù)f(X)=3%+］，數(shù)列｛?！ǎ緝勺?。2=1,dn+3=dn(MEN),/(。2)(。3+。4)=0,

則于竽a.=()

A.1B.2C.3D.4

解：由題意可知：f(x)的定義域為R，且/(%)+/(—%)=；%+；+=.+；+；+：%=。,

即/(x)=-/(-x),可知/(%)為定義在R上的奇函數(shù)，

因為/(%)=我|=1—島->=3%在R上單調(diào)遞增，可知/(x)在R上單調(diào)遞增，

綜上所述：/(x)在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，

因為f(〃2)+于(〃3+。4)=0,則/(〃3+。4)=-于(〃2)=f(-42),可得〃3+。4=-42,即〃2+。3+。4二

0,

由即+3=劭可知：3為數(shù)列｛劭｝的周期，2024=3X674+2,

所以E黃片ai=ar+a2=2.

故選：B.

8.(5分)已知點M是直線/i：ax+y-2a=0flh：%-〃y+2=0(”ER)的交點，A(-1,0),B(m,0),

且點M滿足|M4|恒成立.若C(2,2),則21MAi+|MC|的最小值為()

A.V6B.2V6C.V10D.2V10

解：設(shè)M(x,y).由題可知直線/1過定點(2,0),/2過定點(-2,0),且

所以點Af的軌跡方程為/+y2=4(xW2),

因為|M*恒成立，

所以4(x+1)2+4y2=(X-加)2+y2恒成立，

結(jié)合/+y2=4,可得機(jī)=-4,

即2(-4,0),

由題可知2\MA\+\MC\=\MB\+\MC\,

直線BC的方程為尤-3y+4=0,

42V10

所以坐標(biāo)原點到直線BC的距離為<2,

J#+(-3)25

所以在直線8c上存在兩個點P,。滿足8,P,C或8,Q,C共線，

所以21MAi+\MC\=\MB\+\MC\>\BC\=2，IU，

即21MAi+|MC|的最小值為2aU.

故選：D.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率

B.已知樣本數(shù)據(jù)尤1,尤2,…X”的平均數(shù)為元，則數(shù)據(jù)尤1,尤2,…，加，元與原數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)都相

同

C.若4、8兩組成對數(shù)據(jù)的樣本相長系數(shù)分別為小=0.97,陽=-0.99,則A組數(shù)據(jù)比8組數(shù)據(jù)的線性

相關(guān)性強

D.已知y關(guān)于x的回歸直線方程為y=0.3-0.7元，則樣本點（2,-3）的殘差為-1.9

解：對于4數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為頻率除以組距，故A錯誤；

對于B,新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為」（71±+均=焉與原數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，且元不會是最大數(shù)，也不會是

n+1

最小數(shù)（除非這組數(shù)據(jù)是一樣的），

不管如何，極差不變；故B正確；

對于C,樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，線性相關(guān)性越強，所以B組數(shù)據(jù)比A組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性強，

故C錯誤；

對于。，由y關(guān)于x的回歸直線方程為y=0.3-0.7x,則樣本點（2,-3）的殘差為-3-（0.3-0.7X2）

=-1.9,故D正確.

故選：BD.

（多選）10.（6分）在物理學(xué)中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的

運動稱為“簡諧運動”.在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，某個簡諧運動可以用函數(shù)/（%）=Asin（3尤+（p）（A>

0,3>o,|<p|<n）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

C.函數(shù)人無)在冷，等］上的值域為［0,2］

D.若把/(x)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的;倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移三個單位，則所得

312

函數(shù)是y=2sin(3x+金)

3137T4TT37Tl

解：根據(jù)函數(shù)的圖象，A=2,-T=――—~=—，故T=n,所以3=2；

412124

,TT,TC27r

當(dāng)％=亍時，f(―)=2sin(—+0)=2,

3，33

2TCTCTT

所以：—+0=2/CTT+—,(蛇Z),整理得(p=2/CTT—K(zCZ),

326

由于

所以當(dāng)女=0時，叩=—親

故/(x)=2sin(2x-1).

1

對于A：3=2,T=m頻率為一，初相為一n著故A錯誤；

對于5：當(dāng)x=Y時，/(Y)=2sin(-J-)=-2,故5正確；

對于C：由于xe［各籌］,故2%—臺［0,巖］,故函數(shù)的值域為［0,2］,故C正確；

對于。：把/(x)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的|倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=2sin(3x-1)的圖

TCTT

象，再向左平移石個單位，則所得函數(shù)是y=2s譏(3%+麥)，故￡)正確.

故選：BCD.

(多選)11.(6分)對于任意兩個正數(shù)〃，v(w<v),記曲線y=］與直線x=〃，x=vfx軸圍成的曲邊梯

形的面積為L(w,v),并約定L(w,〃)=0和L(w,v)=-L(v,德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Leibniz)

最早發(fā)現(xiàn)L(1,x)=lnx.關(guān)于LQu,v),下列說法正確的是()

11

A」G,/=L(4,8)

B.L(2100,3100)=100￡(2,3)

C.L(〃"，儼)>v-u

D.2L(小v)<---

uv

解：由題意L(1,x)=-L(x,1)=lnx,所以￡(%,1)=-Inx,

當(dāng)">1時，L(w,v)=L(1,v)-L(1,w)=lnv-Inu,

當(dāng)v<l時，L(w,v)=L(w,1)-L(v,1)=L(1,v)-￡(Lu)=lnv-Inu,

當(dāng)〃VIVy時，L(w,v)=L(u,1)+L(1,v)=L(1,v)-L(1,〃)=lnv-Inu,

當(dāng)u=l或K=1時，L(w,v)-/〃〃也成立，

名示卜.,L(4,v)=Inv—Inn9

對A,L(4，2)="2—仇4=仇2,L(4,8)—InS-1幾4=1幾2,即LQ,引=L(4,8),故A正確；

對5,￡(2100,3100)=Zn3100-ZH21OO=1OO(切3-血2),而L(2,3)=ln3-ln2,所以L(2100,3100)

=100L(2,3),故8正確；

對C,取〃=1,v=2,則L(/,vv)=L(1,2)=ln2<2-1=1,故C錯誤；

對。，如圖，

因為S陰影＜S梯形，所以L（a,u）=ZTW一伍aV號（u—a）g+}=*匕石涓-=g媼一》,

即2LQ,"）〈捻—去故。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（版+68的展開式中尤-4的系數(shù)為56.

解：（版+38的展開式的通項為7；+i=以（證）8-6廠=8—4r

8-4r

令A(yù)----=-4,r=5,

3

則(證+1)8的展開式中/4的系數(shù)為或=/=56.

故答案為：56.

13.(5分)蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)，如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)

軟件制作的“蚊香”，畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段A3,作一個等邊三角形ABC,然后

以點B為圓心，A8為半徑逆時針畫圓弧交線段C8的延長線于點。(第一段圓弧)，再以點C為圓心,

。為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E,再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧…以此

類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時，“蚊香”的長度為807T.

每段圓弧的半徑依次增加1,

故第〃段圓弧的半徑為小弧長記為許，

貝ijan=竽”，

2TC

所以蚊香”的長度為飛~x(1+2+3+??-+15)=807r.

故答案為：80n.

14.(5分)在△ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,。的對邊，。是A8上的三等分點(靠近點A),且

CD=1,(a-Z?)sinA=(c+b)(sinC-sinB),則a+2b的最大值是2遙.

解:由Qa-b)sinA=(c+Z?)(sinC-sinB),

利用正弦定理可得：(a-b)a—Qc+b)Qc-b),

化為：c^+b2-c1=ab=2abcosC,可得cosC=±,CE(0,n).

?,?rC—衛(wèi)3.

???。是A3上的三等分點(靠近點A),

—>DT1T

ACD=氯4+“8,

42124

-PT+--

兩邊平方可得：1=999

整理可得：/+4廬+2浦=9.

，Q+2b)2=9+2a6W9+(?/產(chǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)a=26=舊時取等號.

解得a+26W2b.

."+2b的最大值是2次.

四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,己知B=1，6=2值.

(1)若a,b,c成等差數(shù)列，求△ABC的面積；

(2)若s譏力一s譏。=瞪6,求a.

解：(1)因為4,b,c成等差數(shù)列，所以〃+c=2/?,

又b=2次，所以。+。=4y，①

在△A3C中，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB,

又B=與所以12=〃2+°2_〃c=(a+c)2-3ac,②

由①②得ac=12,

11

所以△ABC的面積S=^acsinB=^xl2x^=3A

(2)因為b=2E，sinA—sinC=^b,所以sinA—s譏C=*,

又因為A+5+C=TI且B=系所以。=與一4

所以sizb4—siTifj-2—A)—2>

整理可得：-sin/——cosA=一，

222

所以—號)=2，

又因為OVAVTT,所以“一號=看

所以4=貨

所以a=-=4.

si"n口B

16.(15分)如圖，將邊長為魚的正方形ABC。沿對角線AC折起，使得點。到點。的位置，連接&7,

。為AC的中點.

DCD'

---------------4上-------------B

(1)若平面。'AC_L平面ABC,求點。到平面ZZBC的距離；

(2)不考慮點。與點B重合的位置，若二面角A-80-C的余弦值為―名求8。的長度.

解：(1)連接。。'，0B,貝!|0O_LAC,

:平面。'AC_L平面ABC,OZTu平面。AC,

AOD'，平面ABC,又08u平面ABC,

：.0D'LOB,又正方形ABC。的邊長為魚,

：.OD'=OB=OC=1,BD'=BC=D'C=V2,

設(shè)點。到平面D'BC的距離為h,則VD'-OBC=VO-DBC,

111V3/—2

x-xlxlxl=-x—x(V2)-h,

3234v7

?,?%=亨，即點。到平面。3C的距離為今；

(2)取ZXB的中點E,連接AE,EC,

"：AB=AD'=BC=D'C=

：.AE1BD',EC±BD',

：.ZAEC為二面角A-8。-C的平面角,：.cos^AEC=

由題可知AABD四△CBD',

4尸24「尸2_402

在△AEC中，AC=2,AE=CE,cos^AEC=T/crc=

：.AE2=CE2=I，

：.D'E2=AD'2-XF2=2-1=I，

：.D'B=WE=等

17.(15分)設(shè)雙曲線E：--77=1(a>0,b>0)的左、右頂點分別為A,B,左、右焦點分別為人,

a2b2

1

Fi,|FIF2|=2V5,且E的漸近線方程為/=±5無，直線/交雙曲線片于P,。兩點，

(1)求雙曲線E的方程；

—>—>

(2)當(dāng)直線/過點(4,0)時，求4P-4Q的取值范圍.

解：(1)由題意得：12=工,解得c=逐，a=2,b=1,

Ia2

\a2+b2—c2

x2

所以雙曲線E的方程為丁—y2=1.

4

(2)①當(dāng)PQLx軸時，直線/過點(4,0),

%=4

聯(lián)立/21，解得尸(4,V3),Q(4,-V3),

-T-yv

又A(-2,0),

—>—>

所以AP=(6,V3),AQ=(6,-V3),

—>—>

所以=36-3=33,

②當(dāng)直線尸。的斜率存在時，設(shè)直線P。的方程為：x=tv+4G#0),

'%=ty+4

聯(lián)立1小,整理得(*-4)y+8"+12=0,

(彳-y=i

P-4W0,A=64?+192>0,設(shè)尸(xi,yi),Q(%2,”),

8t12

則yi+y2=——,,

乙_32

xi+x2=(<yi+4)+(/J2+4)=t(yi+y2)+8=--《-----1-8=——，

t—4t—4

xix2=(Zjn+4)(。2+4)=ry\yi+^t(yi+y2)+16=—Q-----1-16=-4—%——,

t—4t—4

-?->

所以AP?4Q=(xi+2)(X2+2)+yiy2

X1X2+2(xi+x2)+4+yiy2

480―—32…12

-4—n---F2x-O---F4d—n—

r-4tz-4r-4

一132

=中

11132

因為4-He(-8,4],所以——-e(-co,0)U[-,+co),所以——-G(-co,0)U[33,+8).

4一件44-tz

—>—>—>—>—>—>

③當(dāng)斜率為。時，直線/與無軸重合，此時尸或。與點A重合，向量4P=?；?Q=0,所以APYQ=0.

綜上可得：疝5的取值范圍是(-8,0]U[33,+8).

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=alnx-(a+1)x+^x2.

(1)討論/(x)的單調(diào)性：

(2)當(dāng)。=1時，h(x)=/(x)-1x2+2x+p數(shù)列｛加｝滿足ne(0,1),且加+i=/z(/?)(?eN*).

①比較G+1,方+2,1的大小(nGN*);

②證明：仇+1+啟+3>2功+2(MGN*).

1

解：(1)因為/(%)=由九%-(a+1)%+]%2,可得其定義域為xc(0,+8),

所以「(久)=^-(a+l)+%=--(a*+a=(無一警—1),

當(dāng)aWO時，令f(x)>0,解得x>l；令f(無)<0,解得0<x<l,

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<。<1時，令f(x)>0,解得0<x<a或x>l；

令f(無)<0,解得a<無<1,

所以/(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(ml)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a=l時，f(x)20,所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>l時，令f(x)>0,解得0<x<l或無>a；令/(x)<0,解得1Vxem

所以了(無)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)aWO時，/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)0c時，/(%)

在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)a=l時，/(無)在(0,

+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>l時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,a)上單調(diào)遞減，在(a,+°°)

上單調(diào)遞增；

1

(2)證明：當(dāng)〃=1時，h(x)=Inx+

則"。)=3，

令h(x)<0,可得OVxVl；令h(x)>0,可得x>l,

所以/z(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以h(x)2力(1)=1,

因為九E(0,1),t2=h(九)>1,t3=h(/2)>1,…，tn+l=h(