2024中考備考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)：圓的綜合壓軸題（6大題型）

重難點(diǎn)05圓的綜合壓軸題

命題趨勢

中考數(shù)學(xué)中《圓的綜合壓軸題》部分主要考向分為六類:

、圓中弧長和面積的綜合題

、圓與全等三角形的綜合題

、圓的綜合證明問題

四、圓與等腰三角形的綜合題

五、圓的閱讀理解與新定義問題

六、圓與特殊四邊形的綜合題

圓的綜合問題是中考數(shù)學(xué)中的壓軸題中的一類，也是難度較大的一類，所以，對應(yīng)的訓(xùn)練很有必要。

熱考題型解讀

考向一：圓中弧長與面積的綜合題

1.（2023口河北）裝有水的水槽放置在水平臺面上，其橫截面是以48為直徑的半圓。，AB=50cm,如圖1

和圖2所示，MN為水面截線，GH為臺面截線，MN//GH.

計算：在圖1中，已知MN=48c〃z,作OC_LMN于點(diǎn)C.

（1）求0c的長.

操作：將圖1中的水槽沿G8向右作無滑動的滾動，使水流出一部分，當(dāng)/AMW=30°時停止?jié)L動.如

圖2.其中，半圓的中點(diǎn)為。，GH與半圓的切點(diǎn)為E,連接0E交于點(diǎn)。.

探究：在圖2中.

（2）操作后水面高度下降了多少？

（3）連接。。并延長交GH于點(diǎn)個求線段E尸與前的長度，并比較大小.

2.（2023口樂山）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開展了一次數(shù)學(xué)探究活動.

【問題情境】

劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內(nèi)容：

如圖1,將一個三角形紙板△A8C繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)。到達(dá)的位置△AB'C的位置，那么可以得到：

AB^AB',AC=AC,BC=B'C；

ZBAC=ZB'AC,ZABC=ZAB'C,ZACB=ZACB'.（）

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我

們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵.故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué).

【問題解決】

（1）上述問題情境中“（）”處應(yīng)填理由：;

（2）如圖2,小王將一個半徑為4cm,圓心角為60。的扇形紙板ABC繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。到達(dá)扇形

紙板A'B'C的位置.

①請?jiān)趫D中作出點(diǎn)。；

②如果B夕=6cm,則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長為；

【問題拓展】

小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置.另

一個在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止.此時，兩個紙板重疊部分的面積

是多少呢？如圖3所示，請你幫助小李解決這個問題.

B

1.(2023□濟(jì)寧)如圖，已知48是OO的直徑，CD=CB,BE切。。于點(diǎn)8,過點(diǎn)C作C/LOE交BE于

點(diǎn)、F,EF=2BF.

(1)如圖1,連接8D,求證：AADB/AOBE；

(2)如圖2,N是A。上一點(diǎn)，在A8上取一點(diǎn)M,使/MCN=60。，連接MN.請問：三條線段MN,

BM,DN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

2.(2023口哈爾濱)已知為BC內(nèi)接于。。，AB為。。的直徑,N為金的中點(diǎn)，連接ON交AC于點(diǎn)

(1)如圖①，求證：BC=2OH；

(2)如圖②，點(diǎn)。在。。上，連接。8,DO,DC,DC交OH于點(diǎn)、E,若DB=DC,求證。Z)〃AC；

(3)如圖③，在(2)的條件下，點(diǎn)尸在8D上，過點(diǎn)歹作歹G，。。，交。。于點(diǎn)G,DG=CH,過點(diǎn)產(chǎn)

作fRLOE,垂足為R,連接EA,EF-DF=3：2,點(diǎn)7在BC的延長線上，連接AT,過點(diǎn)T作：?

LDC,交。C的延長線于點(diǎn)若FR=CM,AT=他,求AB的長.

3.(2023口長春)【感知】如醺，點(diǎn)A、B、P均在。。上，/AO8=90。，則銳角NAPB的大小為_45

度.

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，O。是等邊三角形A8C的外接圓，點(diǎn)尸在弧AC上(點(diǎn)P不

與點(diǎn)A、C重合)，連接PA、PB、PC.求證：PB=PA+PC.小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點(diǎn)E,使AE=PC,

連接BE,通過證明△PBC也△EB4.可推得△P8E是等邊三角形，進(jìn)而得證.下面是小明的部分證明過

程：

證明：延長上4至點(diǎn)E,使AE=PC,連接BE.

...四邊形ABC尸是的內(nèi)接四邊形，

/.ZBAP+ZBCP=180°,

VZBAP+ZBAE=1SQ°,

：.ZBCP=ZBAE,

?:△ABC是等邊三角形，

：.BA=BC,

:.APBC2LEBA(SAS).

請你補(bǔ)全余下的證明過程.

【應(yīng)用】如圖③，是△ABC的外接圓，ZABC=90°,AB=8C,點(diǎn)尸在。。上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在

AC的兩側(cè)，連接PA、PB、PC,若PB=2aPA，則的值為.

P

10

圖①圖②圖③

考向三：圓的綜合證明問題

1.(2023口黃石)如圖,AB為的直徑,D4和O。相交于點(diǎn)凡AC平分ND4B,點(diǎn)C在。。上，且C。

±DA,AC交B尸于點(diǎn)P.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)求證：ACO>C=BC2；

AF

(3)已知3C2=3尸尸⑦。，求呈7的值.

D

C

2.如圖，在O。中，直徑AB垂直弦CO于點(diǎn)E,連接AC,AD,BC,作CbLA。于點(diǎn)八交線段。8于點(diǎn)

G(不與點(diǎn)。，8重合)，連接。足

(1)若BE=1,求GE的長.

(2)求證：BC2=BG30.

(3)若FO=FG,猜想NCAD的度數(shù)，并證明你的結(jié)論.

3.(2023口永州)如圖，以4B為直徑的。。是△ABC的外接圓，延長BC到點(diǎn)。.使得/A4c=/BD4,

點(diǎn)E在ZM的延長線上，點(diǎn)M在線段AC上，CE交BM于N,CE交AB于G.

(1)求證：ED是。0的切線；

(2)若設(shè)=泥，BD=5,AOCD,求BC的長;

(3)若。E[3A/=AC口。，求證：BMLCE.

4.(2023口廣東)綜合探究

如圖1,在矩形ABC。中(AB>A。),對角線AC,BO相交于點(diǎn)。，點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)為A'.連

接A4'交BD于點(diǎn)E,連接C4'.

(1)求證：AA'_LCA；

（2）以點(diǎn)。為圓心，0E為半徑作圓.

①如圖2,。。與co相切，求證：皿'=V3CAy；

②如圖3,O。與C4'相切，AD=1,求O。的面積.

考向四：圓與等腰三角形的綜合

1.（2023□寧波）如圖，慨tZ\ABC中，ZC=90°,E為AB邊上一點(diǎn)、,以AE為直徑的半圓。與BC相

切于點(diǎn)。，連結(jié)4,8￡=3,8。=3^/是48邊上的動點(diǎn)，當(dāng)△的＞尸為等腰三角形時,A尸的長為

2.（2023□上海）如圖O所示，已知在AABC中，AB=AC,。在邊AB上，點(diǎn)/是邊中點(diǎn)，以。

為圓心，8。為半徑的圓分別交CB,AC于點(diǎn)。，E,連接￡歹交。。于點(diǎn)G.

圖＜2）

四邊形CEGD為平行四邊形;

(2)如圖（2）所示，連接。E,如果N54C=90°,ZOFE=ZDOE,AO=4,求邊08的長;

(3)連接BG,如果△OBG是以08為腰的等腰三角形，且4。=。F,的值.

3.（2023口泰州）已知:A、3為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，NC為g所對的圓周角.

ccc

圖①圖②圖③

知識回顧

（1）如圖①，。。中，B、C位于直線AO異側(cè)，ZAOB+ZC=135°.

①求NC的度數(shù)；

②若。。的半徑為5,AC=8,求8C的長；

逆向思考

（2）如圖②，若尸為圓內(nèi)一點(diǎn)，且/APB<120。，PA=PB,/APB=2/C.求證：尸為該圓的圓心；

拓展應(yīng)用

（3）如圖③，在（2）的條件下，若NAP8=90°,點(diǎn)C在OP位于直線AP上方部分的圓弧上運(yùn)動.點(diǎn)

。在OP上，滿足cz）=y巧CB-CA的所有點(diǎn)。中，必有一個點(diǎn)的位置始終不變.請證明.

考向五：圓的閱讀理解與新定義問題

1.（2023口青海）綜合與實(shí)踐

車輪設(shè)計成圓形的數(shù)學(xué)道理

小青發(fā)現(xiàn)路上行駛的各種車輛，車輪都是圓形的.為什么車輪要做成圓形的呢？這里面有什么數(shù)學(xué)道理

嗎？帶著這樣的疑問，小青做了如下的探究活動：

將車輪設(shè)計成不同的正多邊形，在水平地面上模擬行駛.

（1）探究一：將車輪設(shè)計成等邊三角形，轉(zhuǎn)動過程如圖1,設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2,以車輪轉(zhuǎn)動一

次（以一個頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是麗，BA=CA=DA=2,圓心角/BAZ）=120。.此時

中心軌跡最高點(diǎn)是C（即的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是8。（水平線），請?jiān)趫D2中計算C

到BD的距離dv

（2）探究二：將車輪設(shè)計成正方形，轉(zhuǎn)動過程如圖3,設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2,以車輪轉(zhuǎn)動一次（以

一個頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是BD，BA=CA=DA=2,圓心角N8A￡）=90°.此時中心軌跡

最高點(diǎn)是C（即的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是8。（水平線），請?jiān)趫D4中計算C到的

距離&（結(jié)果保留根號）.

（3）探究三：將車輪設(shè)計成正六邊形，轉(zhuǎn)動過程如圖5,設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2,以車輪轉(zhuǎn)動一次

（以一個頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是麗，圓心角.

此時中心軌跡最高點(diǎn)是C（即麗的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是8。（水平線），在圖6中計算C

到8。的距離a=（結(jié)果保留根號）.

（4）歸納推理：比較4,d2,4大小：,按此規(guī)律推理，車輪設(shè)計成的正多邊形邊數(shù)越

多，其中心軌跡最高點(diǎn)與轉(zhuǎn)動一次前后中心連線（水平線）的距離（填“越大”或“越小”）.

（5）得出結(jié)論：將車輪設(shè)計成圓形，轉(zhuǎn)動過程如圖7,其中心（即圓心）的軌跡與水平地面平行，此時

中心軌跡最高點(diǎn)與轉(zhuǎn)動前后中心連線（水平線）的距離d=.這樣車輛行駛平穩(wěn)、沒有顛簸感.所

以，將車輪設(shè)計成圓形.

2.（2023口陜西）O如圖①，/4。2=120。，點(diǎn)尸在/AOB的平分線上，OP=4.點(diǎn)E,尸分別在邊

OA,OB_L,且/EPF=60°,連接EF.求線段EF的最小值；

（2）如圖②，是一個圓弧型拱橋的截面示意圖.點(diǎn)尸是拱橋定的中點(diǎn)，橋下水面的寬度AB=24m,點(diǎn)

尸到水面的距離尸H=8加.點(diǎn)尸］,占均在上，=，且片尸2=1°機(jī)，在點(diǎn)尸1，尸2處各裝

有一個照明燈，圖中△/co和歹分別是這兩個燈的光照范圍.兩燈可以分別繞點(diǎn)片,尸2左右轉(zhuǎn)動，

且光束始終照在水面A8上.即NC4。，/E/歹可分別繞點(diǎn)尸1，尸2按順（逆）時針方向旋轉(zhuǎn)（照明燈

的大小忽略不計），線段CO,EF在A8上，此時，線段是這兩燈照在水面上的重疊部分的水面

寬度.已知/”1。=/￡尸2尸=90°，在這兩個燈的照射下，當(dāng)整個水面AB都被燈光照到時，求這兩個

燈照在水面上的重疊部分的水面寬度.（可利用備用圖解答）

3.(2023口北京)在平面直角坐標(biāo)系rOy中，的半徑為1.對于O。的弦AB和。。外一點(diǎn)C給出如下

定義：若直線C4,中一條經(jīng)過點(diǎn)。，另一條是。。的切線，則稱點(diǎn)C是弦A8的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

(1)如圖，點(diǎn)A(-1,0),B[(),嗎(,).

①在點(diǎn)g(-1,1),C2(-V2,0),C3(0,)中，弦AB1的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是;

②若點(diǎn)C是弦A與的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出0C的長；

(2)已知點(diǎn)M(0,3),N(旦要，0),對于線段MN上一點(diǎn)S,存在。0的弦尸。，使得點(diǎn)S是弦

5

直接寫出r的取值范圍.

4.在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補(bǔ)的四邊

形的四個頂點(diǎn)共圓.請應(yīng)用此結(jié)論，解決以下問題:

如圖1,△ABC中，AB=AC,ZBAC=a(60°<a<180°).點(diǎn)。是BC邊上的一動點(diǎn)(點(diǎn)。不與凡

C重合)，將線段AO繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a到線段AE,連接8E.

(1)求證：A,E,B,D四點(diǎn)共圓；

(2)如圖2,當(dāng)時，。。是四邊形AE8O的外接圓，求證：AC是。。的切線；

(3)已知a=120。，BC=6,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，此時。尸是四邊形的外接圓，直接寫出圓

心P與點(diǎn)M距離的最小值.

圖1

考向六：圓與特殊四邊形綜合

1.（2023口威海）已知：射線。尸平分/MON,A為。尸上一點(diǎn)，OA交射線OM于點(diǎn)2,C,交射線ON

于點(diǎn)。，E,連接AB,AC,AD.

（1）如圖1,若試判斷四邊形08AD的形狀，并說明理由;

交OP于點(diǎn)、F;過點(diǎn)。作OGLON,交OP于點(diǎn)G.求證:AG=AF.

2.（2023口益陽及口圖，線段A8與。。相切于點(diǎn)8,A。交。。于點(diǎn)其延長線交。。于點(diǎn)C,連接BC,

ZABC=12Q°,。為O。上一點(diǎn)且DB的中點(diǎn)為加，連接A〃，CD.

⑴求NACB的度數(shù);

(2)四邊形ABC。是否是菱形？如果是，請證明；如果不是，請說明理由;

(3)若AC=6,求CD的長.

,(重難再關(guān)練（建議用時：80分鐘）

1.（2023口宜昌）如圖1,已知A8是。。的直徑，尸8是O。的切線，PA交OO于點(diǎn)C,AB=4,PB=3.

(1)填空：NPBA的度數(shù)是,尸A的長為；

(2)求AABC的面積；

(3)如圖2,CDLAB,垂足為D.E是北上一點(diǎn)，AE=5EC.延長AE,與DC,8尸的延長線分別交于

點(diǎn)F,G,求的值.

2.(2023口臺州)我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置

刻畫圓上點(diǎn)的位置.如圖，AB是的直徑，直線/是。。的切線，B為切點(diǎn).P,。是圓上兩點(diǎn)(不

與點(diǎn)A重合，且在直徑的同側(cè))，分別作射線AP,A。交直線/于點(diǎn)C,點(diǎn)。.

(1)如圖1,當(dāng)AB=6,弧2尸長為TT時，求2C的長；

(2)如圖2,當(dāng)黑三,時，求的值；

AB4

(3)如圖3,當(dāng)sin/BAQ。?，BC=C。時，連接BP,PQ,直接寫出的值.

3.(2023□遂寧)如圖，四邊形內(nèi)接于。。，為。。的直徑，AD=CD,過點(diǎn)。的直線/交8A的

延長線于點(diǎn)M.交8C的延長線于點(diǎn)N且/AOM=/D4C.

(1)求證：MN是。O的切線；

(2)求證：Ar>2=ABEW；

(3)當(dāng)AB=6,sin/OCAuY^時，求AM的長.

4.(2023口麗水)如圖，在5。中，AB是一條不過圓心。的弦，點(diǎn)C,D是定的三等分點(diǎn)，直徑CE交

A8于點(diǎn)己連結(jié)AD交B于點(diǎn)G,連結(jié)AC,過點(diǎn)C的切線交氏4的延長線于點(diǎn)H

(1)求證：AD//HC；

(2)若空=2,求tan/E4G的值；

(3)連結(jié)交A。于點(diǎn)N,若。。的半徑為5.

下面三個問題，依次按照易、中、難排列.請根據(jù)自己的認(rèn)知水平，選擇其中一道問題進(jìn)行解答.

①若=拳求的長；

②若四二句,求△ANB的周長；

③若HHZB=88,求△BHC的面積.

5.（2023口長沙）如圖，點(diǎn)4,B,C在00上運(yùn)動，滿足AB2=BC2+AC2,延長AC至點(diǎn)O,使得/OBC

=/CAB,點(diǎn)E是弦AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合），過點(diǎn)E作弦AB的垂線，交AB于點(diǎn)凡交BC

的延長線于點(diǎn)N,交。。于點(diǎn)M（點(diǎn)M在劣弧標(biāo)上）.

（1）是。。的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；

(2)記△BOC,△ABC,△ADB的面積分別為邑，S2,S,若邑［3=(S2)2,求(tanD)2的值;

（3）若。。的半徑為1,設(shè)府=無，F(xiàn)EO-NLd—^—+-1=y,試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫

VBOBNAE4C

6.（2023口寧波）如圖1,銳角△ABC內(nèi)接于。為8C的中點(diǎn)，連結(jié)A。并延長交。0于點(diǎn)E,連結(jié)

BE,CE,過C作AC的垂線交AE于點(diǎn)P,點(diǎn)G在A。上，連結(jié)2G,CG,若BC平分/EBG且/BCG

=ZAFC.

E

圖1圖2

（1）求N5GC的度數(shù).

（2）①求證：AF=BC.

②若AG=DF,求tan/GBC的值.

（3）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。恰好在BG上且。G=1時，求4c的長.

培優(yōu)爭分練（建議用時：80分鐘）

1.（2023口東營區(qū)校級一模）如圖,PA、PB是。。的切線，切點(diǎn)分別為A、B,BC是。。的直徑，尸0交

。0于E點(diǎn)，連接交尸。于F,連接CE交AB于。點(diǎn).下列結(jié)論：①PA=PB；?OPLAB-③CE

平分；④卷⑤是△的內(nèi)心；⑥咨其中一定成立的有（

NACBOFAC;EPABACDAAEDF.）個.

A.5B.4C.3D.2

2.（2023□鹿城區(qū)校級三模）如圖1,在△ABC中，ZACB=90a,BC=2AC=2,過BC上一點(diǎn)。作。E

±BC,交AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)。為圓心，DE的長為半徑作半圓，交AC,AB于點(diǎn)尸，G,交直線BC于點(diǎn)

H,/（點(diǎn)/在H左側(cè)）.當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時（如圖2）,GH=；當(dāng)EF=G8時，CD=.

3.（2023口湖北模擬）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C是。0上一點(diǎn)，A。與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為。，

直線。C與AB的延長線交于點(diǎn)尸，弦CE平分/ACB,交于點(diǎn)個連接BE,BE=7?下列四個結(jié)

論：

①AC平分ND4B；

③若BC=/oP,則陰影部分的面積為

3

④若PC=24,則tan/PCB=?；

4

其中，所有正確結(jié)論的序號是

4.(2024口邦州區(qū)校級一模)如圖1,AB,CD是。。的兩條互相垂直的弦，垂足為E,連結(jié)BC,BD,OC.

(1)求證：ZBCO=ZABD.

(2)如圖2,過點(diǎn)A作交CO于G,求證：CE=EG.

(3)如圖3,在(2)的條件上，連結(jié)BG,若BG恰好經(jīng)過圓心O,若。。的半徑為5,si_nD=去4求

b

AB的長.

國I圖2圖3

5.(2024口常州模擬)對煙C和OC上的一點(diǎn)A,若平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足：射線A尸與OC交于點(diǎn)。(點(diǎn)。

pt

可以與點(diǎn)尸重合，且則點(diǎn)P稱為點(diǎn)A關(guān)于OC的“陽光點(diǎn)”.已知點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，QO

的半徑為1,點(diǎn)A(-1,0).

(1)若點(diǎn)尸是點(diǎn)A關(guān)于。。的“陽光點(diǎn)”，且點(diǎn)尸在x軸上，請寫出一個符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)

(2)若點(diǎn)8是點(diǎn)A關(guān)于的“陽光點(diǎn)”，且AB=2“，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)f的取值范圍；

(3)直線了於x+b與x軸交于點(diǎn)M,且與y軸交于點(diǎn)N,若線段MN上存在點(diǎn)A關(guān)于的“陽光點(diǎn)”，

請直接寫出6的取值范圍是_奠

6.(2024口廣東一模)如圖1,在。。中，為。O的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)。在劣弧BC上，CE

_LC。交于E,連接BD

(1)求證：4ACE?LBCD；

(2)若COS/A8C=7",求瞿；(用含機(jī)的代數(shù)式表示)

BD

4

(3)如圖2,。石的中點(diǎn)為G,連接GO,若BD=a,cosZABC=^-,求OG的長.

5

AA

圖1圖2

7.(2024□鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬)在矩形中，M、N分別在邊BC、CD且以MN為直徑

作O。，連結(jié)AN交。。于點(diǎn)連結(jié)C”交于點(diǎn)尸，AB=8,AD=12.

(1)求證：ZMAD=ZMHC；

(2)若AM平分/BAN,求MP的長;

(3)若△CMH為等腰三角形，直接寫出的長.

8.(2024口浙江一模)如圖，在3。中，AB是一條不過圓心。的弦，C,。是定的三等分點(diǎn)，直徑CE交

A8于點(diǎn)孔連結(jié)8。交CF于點(diǎn)G,連結(jié)AC,DC,過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)H.

(1)求證：FG=CG.

(2)求證：四邊形是平行四邊形.

(3)若。。的半徑為5,OF=3,求△ACH的周長.

9.(2024口五華區(qū)校級模擬)如圖,AB,CD是。。的兩條直徑，且點(diǎn)E是右上一動點(diǎn)(不與

點(diǎn)8,。重合)，連接￡)￡并延長交的延長線于點(diǎn)己點(diǎn)P在A歹上，且/PEF=NDCE,連接AE,

CE分別交。。，。8于點(diǎn)m，N,連接AC,設(shè)。。的半徑為r.

(1)求證：PE是。0的切線；

(2)當(dāng)/。CE=15。時，求證：AM=2ME；

(3)在點(diǎn)E的移動過程中，判斷ANHM是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

D

10.(2024□福建模擬)已知：如圖,。0內(nèi)兩條弦A3、CD,且A8LC。于E,0A為。。半徑，連接AC、

BD.

(1)求證：ZOAC=ZBCD；

(2)作ENLBD于N,延長NE1交AC于點(diǎn)求證：AH=CH-

(3)在(2)的條件下，作/￡族=60°交AB于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸在尸E上，連接PC交于點(diǎn)"當(dāng)EL=

HF=2y/7>CL=8,BE=2P/時，求。。的半徑.

11.（2024口鹿城區(qū)校級一模）如圖1,銳角△ABC內(nèi)接于。。，點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，連結(jié)E。并延長交BC

于。，點(diǎn)尸在AC上，連結(jié)AD,DF,ZBAD=ZCDF.

（1）求證：DF//AB.

（2）當(dāng)AB=9,4尸=即=4時，

①求tan/CDF的值；

②求BC的長.

（3）如圖2,延長A。交。。于點(diǎn)G,若正；CA：AB=1：4；3,求的值.

【材料】自從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2022年版）》實(shí)施以來，九年級的晏老

師通過查閱新課標(biāo)獲悉：切線長定理由“選學(xué)”改為“必學(xué)”，并新增“會過圓外的一個點(diǎn)作圓的切線”，

在學(xué)習(xí)完《切線的性質(zhì)與判定》后，她布置一題：“已知：如圖所示，及。。外一點(diǎn)尸.求作：直

線尸。，使尸。與。。相切于點(diǎn)Q.李蕾同學(xué)經(jīng)過探索，給出了如下的一種作圖方法：

（1）連接OP,分別以0、P為圓心，以大于看OP的長為半徑作弧，兩弧分別交于A、B兩點(diǎn)（A、B

分別位于直線OP的上下兩側(cè)）；

（2）作直線AB,AB交。尸于點(diǎn)C；

（3）以點(diǎn)C為圓心，C。為半徑作OC,OC交。。于點(diǎn)。（點(diǎn)。位于直線OP的上側(cè)）；

（4）連接尸。，尸。交于點(diǎn)。，則直線尸。即為所求.

【問題】

（1）請按照步驟完成作圖，并準(zhǔn)確標(biāo)注字母（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；

（2）結(jié)合圖形，說明尸。是。0切線的理由；

（3）若。。半徑為2,OP=6.依據(jù)作圖痕跡求。。的長.

0

13.（2024口泌陽縣一模外賀同學(xué)在數(shù)學(xué)探究課上，用幾何畫板進(jìn)行了如下操作：首先畫一個正方形ABC。，

一條線段。P（。尸＜AB）,再以點(diǎn)A為圓心，OP的長為半徑，畫OA分別交于點(diǎn)E.交于點(diǎn)G.過

（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,8E與DG的大小和位置關(guān)系：.

（2）【嘗試證明】如圖2,將正方形AEFG繞圓心A轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)過程中，上述（1）的關(guān)系還存在嗎？

請說明理由.

（3）【思維拓展】如圖3,若48=20尸=4,則:

①在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)8,A,G三點(diǎn)共線時，CF的值為；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，Cb的最大值是.

14.（2024□秦都區(qū)校級一模）問題提出：Q）如圖①，。。的半徑為4,弦AB=4正，則點(diǎn)。到的

距離是.

問題探究：（2）如圖②，的半徑為5,點(diǎn)A、B、C都在。。上，AB=6,求△ABC面積的最大值.

問題解決：（3）如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，的直徑為60機(jī)，等邊△ABP的邊AB是。。的弦，

頂點(diǎn)P在O。內(nèi)，延長AP交O。于點(diǎn)C,延長交O。于點(diǎn)連接CD現(xiàn)準(zhǔn)備在△尸A8和△PC。

區(qū)域內(nèi)種植花卉，圓內(nèi)其余區(qū)域?yàn)椴萜?按照預(yù)算，草坪的面積盡可能大，求草坪的最大面積.（提示：

15.（2024口碑林區(qū)校級一模）問題探究

（1）寒假期間，樂樂同學(xué)參觀爸爸的工廠，看到半徑分別為2和3的兩個圓形零件。4、08按如圖1

所示的方式放置，點(diǎn)A到直線m的距離AC=4,點(diǎn)B到直線m的距離BD=6,CO=5,M是。4上一點(diǎn)，

N是。8上一點(diǎn)，在直線冽上找一點(diǎn)P,使得PM+PN最小.請你在直線機(jī)上畫出點(diǎn)尸的位置，并直接

寫出PM+PN的最小值.

問題解決

（2）如圖2,樂樂爸爸的工廠欲規(guī)劃一塊花園，如圖所示的矩形ABC。，其中AB=30的米，8C=30米，

點(diǎn)E、廠為花園的兩個入口，米，。尸=10米.若在△BCD區(qū)域內(nèi)設(shè)計一個亭子G（亭子大小

忽略不計），滿足/BZ）G=/GBC,