2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)模型及其應(yīng)用 專項訓(xùn)練【原卷版】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.9-函數(shù)模型及其應(yīng)用-專項訓(xùn)練【原卷版】

基礎(chǔ)鞏固練

1.一根蠟燭長20cm，點燃后每小時燃燒5cm,燃燒時剩余的長度九（單位：cm）

小時）之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為（）.

B.

D.

2.若用實線表示某景點收支差額y關(guān)于游客量工的圖象，由于目前虧損，景點

決定降低成本，同時提高門票的價格，改變后收支差額y關(guān)于游客量工的圖象用

3.某農(nóng)科院學(xué)生為研究某花卉種子的發(fā)芽率y和溫度為（單位：°C）的關(guān)系，在

20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)&,%）?=1,2,…,20）得到

了下面的散點圖，則在10°C至40。（2之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為

發(fā)芽率y和溫度％的回歸方程類型的是（）.

第1頁

0o%

8o%

6o%

4o%

2O%

。

A.y—ax+bB.y=ax2+bC.y=alnx+bD.y—aex+b

4.已知三個因變量yi，y2,乃隨自變量無變化的數(shù)據(jù)如表所示，

X12468

yi241664256

丫214163664

乃0122.5853

則下列反映為，為，乃隨％變化的情況擬合較好的一組函數(shù)模型是（）.

A.也=/，>2=2"，乃=Iog2%B.為=2X,>2=/,乃=log2%

2XX2

C.乃—log2x,y2—x,y3—2D.y1—2,y2—log2%；乃—x

5.某研究表示，蓄電池的容量C（單位：A-h）與放電時間t（單位：h）、放

電電流/（單位：A）之間的關(guān)系符合經(jīng)驗公式C=〃?t,其中n=log32.已知在

2

電池容量不變的條件下，當放電電流/=10A時，放電時間t=56h,則當放電

電流/=15A時，放電時間為（）.

A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h

6.在入住新房時，空氣中的甲醛濃度不能超過0.08mg/n?,否則該新房達不到

安全入住的標準.若某套住房自裝修完成后，通風(fēng)%（久=1,2,3,…,50）周與室內(nèi)甲

醛濃度y（單位：mg/n?）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)-0.48-0.17（%）（%GN*）,

2

其中f（x）=loga[k（x+2x+l）]（/c>0,x=1,2,3,…,50）,且f（2）=2,/（8）=3,

則該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，至少需要通風(fēng)（）.

A.17周B.24周C.28周D.26周

7.現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過60°C.一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1

分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為80℃,65P現(xiàn)給出三個茶溫T（單位:

°C）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間t（單位:分鐘）的函數(shù)模型:①T=at+b^a<0）；

②T=at2+bt（a<0）；③T=20+b?0t（b>0,0<a<1）.根據(jù)生活常識，從

這三個函數(shù)模型中選擇一個，模擬茶溫T關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間t的關(guān)系，

并依此估計這杯茶泡好后到飲用至少需要等待的時間為（）.（參考數(shù)據(jù)：lg2~

0.3,1g3?0.5）

A.1分鐘B.2分鐘C.3分鐘D.4分鐘

8.[2024?福州質(zhì)檢]某銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立

了實際還款比例P關(guān)于貸款人的年收入%（單位：萬元）的函數(shù)模型：P（%）=

12-。.968。+/已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.若銀行

希.實際還款比例為40%,則貸款人的年收入為（）.（精確到0.01萬元，參

考數(shù)據(jù):ln3-1.0986,In2?0.6931）

A.4.65萬元B.5.63萬元C.6.40萬元D.10.00萬元

第2頁

綜合提升練

9.（多選題）當xG（0,+8）時，下列有關(guān)函數(shù)/（%）=G）,。（K）=log”，九（%）=

1

久一？的說法正確的是（）.

A./（%）的遞減速度越來越慢B.9（久）的遞減速度越來越慢

C.九（%）的遞減速度越來越慢D.。（%）的遞減速度慢于九（%）的遞減速

度

10.（多選題）某醫(yī)藥研究機構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定

的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（單位：微克）與時間t（單

位：小時）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.已知當每毫升血液中含藥量不

少于0.125微克時，治療對應(yīng)的疾病有效，則（）.

A.。=3

B.注射一次時治療該病的有效時間為6小時

C.注射該藥物;小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克

D.注射一次時治療該病的有效時間為翳小時

11.某病毒的檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR

擴增進程中成指數(shù)級增加的靶標DNA實時監(jiān)測，在PCR擴增的指數(shù)時期,熒光信

號強度達到閾值時,DNA的數(shù)量乂n與擴增次數(shù)n滿足關(guān)系式lgXn=nlg（l+p）+

lgX0淇中p為擴增效率,X0為DNA的初始數(shù)量.已知某被測標本DNA擴增10次

后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍.則該樣本的擴增效率D約為.（參考數(shù)據(jù)：

1O02-1.585,10-。2a0.631）

12.（雙空題）某中學(xué)擬建一個扇環(huán)形狀的花壇（如圖），該扇環(huán)面是由以點。

為圓心的兩個同心圓弧和延長后可通過點。的兩條直線段圍成.按設(shè)計要求扇環(huán)

的周長為30米,其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米,

圓心角為。（弧度）.當。=3時,％=米.現(xiàn)要給花壇的邊緣（實線部分）

進行裝飾,已知直線部分的裝飾費用為4元/米月瓜線部分的裝飾費用為9元/米，則

花壇每平方米的裝飾費用M=二黑）最少為______元.

\花壇總面積，----------

應(yīng)用情境練

第3頁

13.建筑學(xué)中必須要對組合墻的平均隔聲量進行設(shè)計.組合墻是指帶有門或窗等

的隔墻，假定組合墻上有門、窗及孔洞等幾種不同的部件，各種部件的面積分別

為Si，S2，…，sn（單位：m2）,其相應(yīng)的透射系數(shù)分別為q,逅，…，吃，

則組合墻的實際隔聲量應(yīng)由各部分的透射系數(shù)的平均值?確定：？=

空注會二于是組合墻的實際隔聲量（單位：dB）為R=41n士已知某墻

的透射系數(shù)為右，面積為20m2,在墻上有一門，其透射系數(shù)為右，面積為2m2,

10-10乙

則組合墻的平均隔聲量約為dB.（注：e0'693?2,e1609?5）

創(chuàng)新拓展練

14.某地中學(xué)生社會實踐小組為研究學(xué)校附近某路段的交通擁堵情況，經(jīng)實地調(diào)

查、數(shù)學(xué)建模，得到該路段上的平均行車速度b（單位：km/h）與該路段上的行

600/仆

惠nCN*,其中常數(shù)keR該路

（n2+k,n~10'

段上每日t時的行車數(shù)量n滿足關(guān)系式n=一2（忙—12|—5）2+100/e[0,24）.

已知某日17時測得的平均行車速度為3km/h.（注：3.16<V10<3.17）

（1）求實數(shù)k的值；

（2）定義車流量q=?w,求一天內(nèi)車流量q的最大值.（結(jié)果保留整數(shù)部分）

第4頁

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.9-函數(shù)模型及其應(yīng)用-專項訓(xùn)練【解析版】

基礎(chǔ)鞏固練

1.一根蠟燭長20cm，點燃后每小時燃燒5cm,燃燒時剩余的長度九（單位：cm）

與燃燒時間t（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為（B）.

［解析］由題意得函數(shù)關(guān)系式為九=20-5t（0<t<4）.故選B.

2.若用實線表示某景點收支差額y關(guān)于游客量久的圖象，由于目前虧損，景點

決定降低成本，同時提高門票的價格，改變后收支差額y關(guān)于游客量%的圖象用

虛線表示，以下能說明該事實的圖象是（D）.

［解析］對于A,當久=0時，虛線的y值比實線的y值減小，不滿足題意，A錯誤;

對于B,兩函數(shù)的圖象平行，說明票價不變，不符合題意，B錯誤；

對于C,當％=0時，y值不變，說明成本不變，不滿足題意，C錯誤；

對于D,當％=0時，虛線的y值變大，說明成本減小，虛線的傾斜角比實

線的傾斜角大，說明提高了門票的價格，符合題意，D正確.故選D.

第5頁

3.某農(nóng)科院學(xué)生為研究某花卉種子的發(fā)芽率y和溫度久(單位：。0的關(guān)系，在

20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(陽,%)。=1,2,…,20)得到

了下面的散點圖，則在10°C至40。(2之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為

發(fā)芽率y和溫度”的回歸方程類型的是(C).

0o%

8o%

6o%

4o%

2o%

。

A.y—ax+bB.y=ax2+bC.y—alnx+bD.y—aex+b

［解析］根據(jù)圖中散點圖可知,散點大致分布在某一條對數(shù)型函數(shù)曲線周圍,A選項

是直線型,B選項是拋物線型,D選項是指數(shù)型，只有C選項是對數(shù)型.故選C.

4.已知三個因變量為，y2>乃隨自變量久變化的數(shù)據(jù)如表所示，

Xi2468

yi241664256

y?14163664

乃0122.5853

則下列反映為，為，乃隨％變化的情況擬合較好的一組函數(shù)模型是（B）.

XX

A.%=/，y2=2,y3=log2xB.為=2,力=/,乃=log2x

XX2

C.yi=log2x,>2=/，乃=2D.yi=2,y2=log2x,y3=%

［解析］從題表可以看出，為，、2，乃都隨著力的增大而增大，但是增長速度不同，

其中變量%的增長呈指數(shù)函數(shù)型變化，變量力的增長呈賽函數(shù)型變化，變量乃的

增長呈對數(shù)函數(shù)型變化.故選B.

5.某研究表示，蓄電池的容量C(單位：A-h)與放電時間t(單位：h)、放

電電流/(單位：A)之間的關(guān)系符合經(jīng)驗公式C=〃?3其中幾=log32.已知在

2

電池容量不變的條件下，當放電電流/=ioA時，放電時間t=56h,則當放電

電流/=15A時，放電時間為(A).

A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h

log32Sg專

［解析］由c=/2,當/=10A時，t=56h,得102X56=C,

logs2log2log2

當/=15A時，C=152.1023x56=1523?3

/2\l°g32/3\一1唯2i,、，?

:.t=(J2x56=(5)2x56=2x56=-x56=28(h).故選A.

6.在入住新房時，空氣中的甲醛濃度不能超過0.08mg/m3,否則該新房達不到

安全入住的標準.若某套住房自裝修完成后，通風(fēng)%(%=123,…,50)周與室內(nèi)甲

醛濃度y(單位：mg/n?)之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=0.48-0.1/(%)(xEN*),

2

其中/(x)=10ga［/c(x+2x+l)］(/c>0,x=1,2,3,…,50),且/(2)=2,/(8)=3,

則該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，至少需要通風(fēng)(D).

A.17周B.24周C.28周D.26周

［解析］/(%)=loga［/c(x+1)2］=log/+21oga(x+1),

第6頁

由/⑵=2,/(8)=3,得log/+21oga(2+1)=2,log/+21oga(8+1)=3,

兩式相減得loga9=1,則a=9,所以/c=9.

所以/(%)=1+210g9(%+1).

若要該住房裝修完成后達到安全入住的標準，則0.48-0.1/(%)<0.08,則

/(%)>4,gpl+21og9(x+l)>4,解得％226,故至少需要通風(fēng)26周.故選D.

7.現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過60°C.一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1

分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為80℃,65。(1現(xiàn)給出三個茶溫T(單位：

。0關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間t(單位:分鐘)的函數(shù)模型:①T=at+b(a<0)；

@T=at2+bt(a<0)；③T=20+b-0t(b>0,0<a<1).根據(jù)生活常識，從

這三個函數(shù)模型中選擇一個，模擬茶溫T關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間t的關(guān)系，

并依此估計這杯茶泡好后到飲用至少需要等待的時間為(C).(參考數(shù)據(jù)：

1g2?0.3,1g3-0.5)

A.1分鐘B.2分鐘C.3分鐘D.4分鐘

［解析］根據(jù)生活常識，若選擇模型①或模型②，茶溫T在一定時間后會低于室溫,

不符合題意，故選擇模型③較為合適，貝甲"2?=8y解得卜=］,所以T=

80?箭+20.

t,1

令7=80-0+20<60,可得t2log3「=百|(zhì)==3.故選C.

\4/42聯(lián)21g2-lg3

8.［2024?福州質(zhì)檢］某銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù).根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立

了實際還款比例P關(guān)于貸款人的年收入%(單位：萬元)的函數(shù)模型：P(%)=

；e-。.968。+分已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.若銀行

希.實際還款比例為40%,則貸款人的年收入為(A).(精確到0.01萬元，

參考數(shù)據(jù)：In3=1.0986,In2-0.6931)

A.4.65萬元B.5.63萬元C.6.40萬元D.10.00萬元

0-0.9680+耿1z

［解析］由題意得，P(8)=；-。.968。+耿=50%=去則e-0?9680+耿=1,解得k=

p-0.9680+0.121%

0.121，所以0(%)=1+e-0.9680+0.121x-

p-0.9680+0.121x9v八一

令尸(%)=*0.9680+0.121%=40%=9得5e-69680+0.121%=2(1+

e-0.9680+0.121%),即e-o.9680+0.121%=I，0,9680+0.121%=In解得第=

In2-ln3+0.9680..

----------------x4.65.故選A.

0.121

綜合提升練

9.(多選題)當%G(0,+8)時，下列有關(guān)函數(shù)/(%)=G),9(久)=logy,九(%)=

1

/2的說法正確的是(ABC).

A./(%)的遞減速度越來越慢B.g(x)的遞減速度越來越慢

C.九(%)的遞減速度越來越慢D.g(x)的遞減速度慢于九(%)的遞減速

度

/1\X1

［解析］如圖，畫出/(%)=(萬)應(yīng)(K)==%一，的大致圖象，根據(jù)指數(shù)函

數(shù)、對數(shù)函數(shù)及暴函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合圖象可知，在(。,+8)上，/(X)=佳y

第7頁

的遞減速度越來越慢，g{x)=logix的遞減速度越來越慢，九(%)=5的遞減速

2

度越來越慢，九(%)的遞減速度慢于g(%)的遞減速度.故選ABC.

10.(多選題)某醫(yī)藥研究機構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定

的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y(單位：微克)與時間t(單

位：小時)之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.已知當每毫升血液中含藥量不

少于0.125微克時，治療對應(yīng)的疾病有效，則(AD).

A.a=3

B.注射一次時治療該病的有效時間為6小時

C.注射該藥物引、時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克

D.注射一次時治療該病的有效時間為翳小時

［解析］由函數(shù)圖象可知y=430<t<1,

0，t21,當t=1時,y=4,即G)=4，解得a=3,

所以y=4t,0<t<1,

￡-3

?,t21,故A正確；

當4t=0.125,即t=*時，藥物剛好起效，當3=0,125,即t=6時，

藥物剛好失效，故藥物的有效時間為6—白=*(小時)，藥物的有效時間不

到6個小時，故B錯誤，D正確；注射該藥物工小時后每毫升血液含藥量為4X--

88

0.5(微克)，故C錯誤.故選AD.

11.某病毒的檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR

擴增進程中成指數(shù)級增加的靶標DNA實時監(jiān)測，在PCR擴增的指數(shù)時期,熒光信

號強度達到閾值時,DNA的數(shù)量Xn與擴增次數(shù)n滿足關(guān)系式lgXn=nlg(l+p)+

lgX0,其中p為擴增效率,X0為DNA的初始數(shù)量.已知某被測標本DNA擴增10次

后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，則該樣本的擴增效率p約為色迤.(參考數(shù)據(jù)：10口2x

1.585,10-62?0.631)

［解析］由題意知,Ig(lOOXo)=101g(l+p)+IgXo,

第8頁

即2+1gX。=101虱1+p）+1gX。，即1+p=IO02?1.585,

解得p?0.585.

12.（雙空題）某中學(xué)擬建一個扇環(huán)形狀的花壇（如圖），該扇環(huán)面是由以點。

為圓心的兩個同心圓弧和延長后可通過點。的兩條直線段圍成.按設(shè)計要求扇環(huán)

的周長為30米,其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米,

圓心角為。（弧度）.當6=$寸,久=2米.現(xiàn)要給花壇的邊緣（實線部分）進行裝

飾,已知直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米，則花壇每

平方米的裝飾費用M（M=舟黑）最少為當元.

\花壇忌面積，3

、O"

［解析］由題意可得,30=+100+2(10-%),解得。=黑^

當e=［時，解得x—5,

22

因為花壇的面積S花=|xlOx0xlO-1-0-x=|(100-%)=一/+

5%+50(0<x<10),

裝飾費為90(%+10)+2(10-x)-4=9(10+2%)+8(10-x)=170+

10%,

前NM170+10%10(17+%)

所以M=-5--------=5--------,

—%2+5%+50%2—5%—50

令t=17+%,則17Vt<27,

n，____________lot_________________lot__10

”__(t-17)2-5(t-17)-50__t2-39t+324-—.39+翌

又「+子之2Jt?子=36,當且僅當上=r,即1=18時，等號成立，此時M取

得最小值，最小值為一J)。=M

所以花壇每平方米的裝飾費用M最少為日元.

應(yīng)用情境練

13.建筑學(xué)中必須要對組合墻的平均隔聲量進行設(shè)計.組合墻是指帶有門或窗等

的隔墻，假定組合墻上有門、窗及孔洞等幾種不同的部件，各種部件的面積分別

，，2，

為SiS2…，sn（單位：m）,其相應(yīng)的透射系數(shù)分別為T1逅，…，吃，

則組合墻的實際隔聲量應(yīng)由各部分的透射系數(shù)的平均值?確定：？=

空注丫二于是組合墻的實際隔聲量（單位：dB）為R=41n士已知某墻

的透射系數(shù)為右，面積為20m2,在墻上有一門，其透射系數(shù)為右，面積為2m2,

10"10”

則組合墻的平均隔聲量約為27.624dB.（注：e0￡93?23"。9?5）

11

［解析］由題意得，組合墻的透射系數(shù)的平均值下=":濘=20可濘=IO',