2024年中考數(shù)學(xué)暑假?gòu)?fù)習(xí)講義：45°角策略

45。角策略

【原題呈現(xiàn)】

如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸,y軸于A,B兩點(diǎn),已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0).設(shè)

P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA,PC.若NCPA=45。,則m的值是.

【研題策略】

來(lái)路④

緊緊抓住45。角這一關(guān)鍵條件，形成解決此類(lèi)問(wèn)題的一條主線：“45?！獦?gòu)造等腰直角三角形——構(gòu)造直角三

基本圖形是解決綜合性幾何問(wèn)題的一個(gè)很好的突破口，從復(fù)雜的圖形中抽取出簡(jiǎn)單的基本圖形，利用基本圖

形的性質(zhì)，化難為易，順利得解.

思路

1.“一線三等角”是一種常見(jiàn)的建立三角形相似的方法，該模型在本題的應(yīng)用中看上去有些異常，一個(gè)只有兩等

角，另一個(gè)根本不存在等角，所以我們利用45。角去構(gòu)造等腰直角三角形，形成“一線三等角”的基本模型，再利用

相似三角形的基本性質(zhì)列出方程.

2.“三垂型”模型是一個(gè)基本圖形，該模型不僅可以找到全等三角形，也可以用來(lái)證明勾股定理.看到45。角可以

構(gòu)造等腰直角三角形，進(jìn)而形成“三垂型”模型.

3.由于45。是90。的一半，構(gòu)造角平分線，恰好可以利用三角形內(nèi)角平分線的基本性質(zhì).遇45。角補(bǔ)全直角也是

一種常見(jiàn)的手段.

4.“半角模型”也是一種常見(jiàn)的基本圖形，這類(lèi)問(wèn)題一般利用旋轉(zhuǎn)的方法，可以得到全等三角形，進(jìn)而得到線段

之間的關(guān)系.

5.遇到直角問(wèn)題，有時(shí)要回歸勾股定理，利用勾股定理能夠列出方程.尤其在折疊問(wèn)題中，我們經(jīng)常會(huì)利用勾

股定理構(gòu)造方程.本題中依/CPA=45。構(gòu)造等腰直角三角形，同時(shí)得到APOAs/XCDA,一箭雙雕，見(jiàn)圖9.

6.“四點(diǎn)共圓”是一種常見(jiàn)的基本圖形，它可以運(yùn)用同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角等一系列

知識(shí)點(diǎn)，靈活多變.

出路56

解法一

構(gòu)造“一線三等角“，利用相似三角形.

如圖3所示，在y軸截取OD=OC,此時(shí)/PDC=45。,可以證得ABPOPDC.-.BP=BA.

CDPD

由CD=2JZAB=BP=%DP=0+2,可得S：20=V7m:（0+2）,解得mx=12或m2=0（舍去），故

222V27

m=12.

解法二

構(gòu)造“三垂型，，模型，利用全等三角形.

如圖4所示，過(guò)點(diǎn)C作CDLCP,交AP于點(diǎn)D,作DE^x軸,垂足為E,易得△OPC會(huì)^ECD.

DE=OC=2,CE=OP=^,AE=0A-0C-CE=^--2

22

,/DE//OP,

.DE-AE

OPAO

2:%=（2.-2）:m,

解得mi=12或m2=0（舍去）.故m=12.

解法三

構(gòu)造“角平分線”，運(yùn)用內(nèi)角平分線的性質(zhì).

預(yù)備知識(shí)：如圖5所示，AD是△ABC的角平分線，則有也=改.

ACCD

圖S

如圖6所示，過(guò)點(diǎn)P作.PDJ.P4

,?ZAPC=45°,/.CP為AaPD的角平分線.

.PD.—CD.

PAAC

...PD=QP=Z=1，點(diǎn)D的坐標(biāo)（―如o\

PAOAm2V47

工=二

2m-2

解得m=12.

解法四

構(gòu)造“正方形”，借用正方形旋轉(zhuǎn).

預(yù)備知識(shí)：如圖7所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC和CD上，且NR4F=45。,貝UBEDF

EF.

如圖8所示，過(guò)點(diǎn)P構(gòu)造正方形OPDE.

根據(jù)幾何知識(shí)，有EN=DN=嗎

4

根據(jù)預(yù)備知識(shí)，得CN=%2.

4

?；CE=2—2,在ACEN中，有（㈣-2）2?）2=（彳2）2,

解得m1=12或m2=0（舍去）.故m=12.

解法五

構(gòu)造“三角形的高“，回到勾股定理.

如圖9所示，作(CD，2P,,垂足為點(diǎn)D,可知△PCD為等腰直角三角形.

由PO:AO=CD:AD=l:2,AC=m-2,

易得CD=(m-2),PC=(m-2).

55

2

在RtAPOC中,利用勾股定理，得Of+22=

2

解得nh=12或m=一出舍去).故m=12.

Z3

解法六

構(gòu)造“四點(diǎn)共圓”，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式.

如圖10所示，以AC為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形ADC,CD交AB于點(diǎn)E.

因?yàn)镹D=NAPC=45。,

所以A,C,P,D四點(diǎn)共圓，且以CD為直徑,E為圓心.

因?yàn)辄c(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,m-2),點(diǎn)P的坐標(biāo)為((0，與,,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(E±2?，叱與,

222

根據(jù)EP=EC,得

(S±2.-0)2+(g―叼2=慳(6_2)「，

解得mi=12或m2=0(舍去).故m=12.

【舉一反三】

1.如圖所示,已知點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(0,2),點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=K的圖象上.作射線AB,再將射線AB繞點(diǎn)A按

照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。,交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是

2.如圖所示，在平面直線坐標(biāo)系xOy中，直線AB的表達(dá)式為丫=nX,點(diǎn)M(2,l)是直線AB上一點(diǎn)，將直線A

2

B繞點(diǎn)M