2024年廣東省汕頭市潮南區(qū)高考數(shù)學考前測試試卷及答案解析

2024年廣東省汕頭市潮南區(qū)高考數(shù)學考前測試試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。

1.（5分）已知復數(shù)z=€p則復數(shù)2在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（5分）已知集合河=口6兇1084忘1},N=[-1,0,1,2},若MCAUN,則滿足集合A的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

—>—>—>—?—>

3.（5分）已知四邊形A8CD是平行四邊形，BE=2EC,DF=FC,貝!]EF=（）

A.一々人呂+可?!。B.—qAB—@人。

]T[T]T]T

C.一可/8+々4。D.—@48-2人。

4.(5分)已知等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為&4/2=3,〃2〃=2班+1,若品+劭+1=100,貝!I幾=()

A.8B.9C.10D.11

5.（5分）在平面直角坐標系xOy中，角0的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點（-

3,1）,貝!]cos26=（）

3344

A.一己B.—C.—pD.一

5555

x2y2

6.（5分）已知橢圓C：—+—=1的兩個焦點分別為四，F(xiàn)i,尸是C上任意一點，則下列不正確的是

1612

（）

1

A.C的離心率為5

B.|P"的最小值為2

C.|PFi|?|P尸2]的最大值為16

D.可能存在點P,使得/FIPF2=65°

71

7.（5分）在母線長為4的圓錐P0中，其側面展開圖的圓心角為5,則該圓錐的外接球的表面積為（）

8.（5分）已知A,B,C是直線>=機與函數(shù)/（x）=2sin（wx+cp）（3>0,0<cp<Tt）的圖象的三個交

點，如圖所示.其中，點4（0,V2）,B,C兩點的橫坐標分別為xi,xi,若冷―/=柒貝U（）

A兀

A-9=4

B./（f）=-V2

C.f（x）的圖象關于（IT,0）中心對稱

D.f（x）在［0,自上單調(diào)遞減

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

A.樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差

B.樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)

C.樣本乙的方差一定小于樣本甲的方差

D.樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)

（多選）10.（6分）已知拋物線C：y1=2px（p>0）的焦點為凡。為坐標原點，動點P在C上，若定

點M（2,國）滿足|知下|=2|。/|,則（）

A.C的準線方程為x=-2

B.周長的最小值為5

C.四邊形OPMF可能是平行四邊形

D.FM-OP的最小值為-3

(多選)11.(6分)已知定義域為R的函數(shù)/(x).滿足/(尤+y)=于(x)f(y)-y),且

f(0)7^0,/(-1)=0,貝I]()

A./(1)=0B.f(x)是偶函數(shù)

c『2024q,.

C.\f(尤)]2+|/(1+x)]2=1D-Xi/(D=T

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)已知二項式(2%+5廣(716N*)的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6,則展開式中常數(shù)項

為.

13.(5分)已知圓C經(jīng)過A(2,0),B(0,2),C(2,4)三點.

(z)則圓C的標準方程為;

(方)若直線A3關于y=a對稱的直線與圓C有公共點，則a的取值范圍是.

14.(5分)4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c2=2a2-2b2,則A-8的最大值

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15.(13分)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CZ)是邊長為2的正方形，出，平面ABC。，B4=2,

M是BC中點，N是中點.

(1)證明：直線MN〃平面E48；

(2)若病=3民，求平面PC。與平面GMN的夾角的余弦值.

16.(15分)已知函數(shù)/(無)=x(e^-ax2).

(1)若曲線y=/(x)在x=-1處的切線與y軸垂直，求y=/(x)的極值.

(2)若/(無)在(0,+8)只有一個零點，求a.

17.(15分)假設甲同學每次投籃命中的概率均為j.

(1)若甲同學投籃4次，求恰好投中2次的概率.

(2)甲同學現(xiàn)有4次投籃機會，若連續(xù)投中2次，即停止投籃，否則投籃4次，求投籃次數(shù)X的概率

分布列及數(shù)學期望.

(3)提高投籃命中率，甲學決定參加投籃訓練，訓練計劃如下：先投w(〃eN+,wW33)個球，若這〃

個球都投進，則訓練結束，否則額外再投100-3〃個.試問n為何值時，該同學投籃次數(shù)的期望值最大？

18.（17分）已知雙曲線C：———l（a>0,6>0）的漸近線方程為丫=土*%,過點（4,0）的直線

a，z

/交雙曲線C于N兩點,且當/_L無軸時，|MN|=6.

（1）求C的方程；

k

（2）記雙曲線C的左右頂點分別為Ai,A2,直線AIM,A2N的斜率分別為h,to,求/的值.

上2

（3）探究圓E：?+y2-4."4y-1=0是否存在點S,使得過S作雙曲線的兩條切線/1,/2互相垂直.

19.（17分）在直角坐標平面內(nèi)，將函數(shù)/（?=2-備及gQ）在第一象限內(nèi)的圖象分別記作Ci,C2,

I_L<DA-

點七（M，過，作平行于X軸的直線，與C2交于點。〃，再過點。拉作平行于

y軸的直線，與C1交于點Pn+l.

1

1-

2

1

-

3

14

求

-證

3-3-

券

2

稈

X

2024年廣東省汕頭市潮南區(qū)高考數(shù)學考前測試試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。

1.（5分）已知復數(shù)2=呂，則復數(shù)2在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：z=^=*黔=+

則2=-1-i,

故復數(shù)2在復平面內(nèi)對應的點（-1，-1）位于第三象限.

故選：C.

2.（5分）已知集合〃={尤CN|log"Wl},N={-1,0,1,2},若MUAUN,則滿足集合A的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：因為集合聞={天6兇108”忘1}={2,1},N={-1,0,1,2},

若MUAUN,則A中一定有元素1,2,

則A的個數(shù)為22=4.

故選：D.

—>—>—>—>—>

3.（5分）已知四邊形A8CD是平行四邊形，BE=2EC,DF=FC,則EF=（）

A.-'AB+可71￡）B.-qAB-gAO

〔~ii—>

C.—@48+'4。D.-—2%。

—>—>—>—>

【解答】解：四邊形A8CD是平行四邊形，BE=2EC,DF=FC,

T—>—?*1_*[T>

則EF=EC+CF=+=^AD-^AB.

故選：A.

4.（5分）已知等差數(shù)列{斯}的前〃項和為S〃，（n=3,a2n=2an+lf若品+劭+1=100,則〃=（）

A.8B.9C.10D.11

【解答】解：設等差數(shù)列{板}的公差為d,前〃項和為

由〃2=3,〃2八=2即+1,可得〃i+d=3,m+（2n-1）d=2ai+2（n-1）d+1,

即為m+d=3,d=ai+l,解得m=l,d=2,

則斯=1+2(n-1)=2n-1,Sn=+n(1+2〃-1)

由8+即+1=100,即n2+2n+l=100,解得n=9.

故選：B.

5.（5分）在平面直角坐標系xOy中，角。的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點（-

3,1),貝!Jcos28=()

344

A.B.-C--D.-

5J55

【解答】解：?.?角e的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點（-3,1）,

.,.|OPI=VTo,

.\sing需

則cos26=l-2sin20=1-2x2-4

-5-

故選：D.

x2y2

6-（5分）已知橢圓°：森+石=1的兩個焦點分別為四，F(xiàn)2,「是C上任意一點，則下列不正確的是

)

1

A.c的離心率為&

B.|PA|的最小值為2

C.|尸乃|?|尸放|的最大值為16

D.可能存在點尸，使得NQP尸2=65°

工2y2

【解答】解」.橢圓C森+五=1的兩個焦點分別為乃，也可知『4,c=2,b=2后

對于A：e=E=^，故A正確;

對于5：|尸尸1|的最小值為〃-c=2,故5正確;

\PFI\+\PF\）2=（與）2=16,當且僅當吠1|=|尸產(chǎn)2|=4時等號成立，故C正確.

對于C：|PF1||PF2|^(2

2

對于。：點P在橢圓的短軸端點時，/乃尸尸2取得最大值，tan/四尸。=嘉=亭，所以，ZF1PF2

得最大值60°,故。不正確.

故選：D.

n

7.（5分）在母線長為4的圓錐尸。中，其側面展開圖的圓心角為則該圓錐的外接球的表面積為（）

647r2567r2567r

A.321rB.——C.----D.----

31549

TV

【解答】解：圓錐尸。的母線長/=4,側面展開圖的圓心角為設圓錐的底面半徑為r,

則圓錐的底面周長為滿足2m*=4x*,解得r=l；

設圓錐的外接球的球心為H,半徑為R,

則該圓錐的高為h=VZ2-r2=V16—1=V15；

設外接球的半徑為R,

在△AHO中，AH1=HO1+OA2,

即(V15-7?)2+f2=R2n2vr^R=16,

解得公卷

所以S球表面積=4117?2=需?

故選：C.

8.(5分)已知A,B,C是直線與函數(shù)/(x)=2sin(3x+(p)(3>0,0<cp<Tr)的圖象的三個交

點，如圖所示.其中，點4(0,V2),B,C兩點的橫坐標分別為xi,XI,若冷―貝U()

B./(J)=-V2

C.f(X)的圖象關于(1T,0)中心對稱

D.f(x)在［0,芻上單調(diào)遞減

【解答】解：由f(0)=2sin(p=V2,可得sing=孝,

因為0<（p<n,且點A在/（龍）圖象的下降部分,

所以9=苧，/（X）=2sin（3x+苧），A錯誤；

因為4（0,V2）,所以A,B,C是直線y=&與/（x）的圖象的三個連續(xù)的交點，

由A點橫坐標X4=0,即3/+與=苧，得3久1+普=導，3叼+苧=與匕

解得久】=蓼叼=藉，

所以久2-=券，

因為%2一修=/，

TCTCRTT

所以=I，所以a）=2,/（%）=2s譏（2%+

則f（^）=2s譏（7T+當3=-2sin=—V2,B正確；

因為/（TT）=2sin（2兀+苧）#0,C錯誤；

37T37T77T

當OWxW￡時，—<2x+—<—,此時了（無）不單調(diào)，。錯誤.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）如圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說法判斷正確的是（）

A.樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差

B.樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)

C.樣本乙的方差一定小于樣本甲的方差

D.樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)

【解答】解：對于選項4甲的數(shù)據(jù)介于［1.5,7.5］之間，極差小于或等于6；乙的數(shù)據(jù)分布于［2.5,8,5］,

極差小于或等于6,

從而甲和乙的極差可能相等，故A錯誤；

對于選項2：根據(jù)頻率分布直方圖可知，甲的眾數(shù)介于［2.5,5.5）之間，乙的眾數(shù)介于（5.5,6.5］,故

乙的眾數(shù)大于甲的眾數(shù)，故8正確；

對于選項C甲的數(shù)據(jù)平局分布，乙的數(shù)據(jù)分布波動較大，故甲的方差小于乙的方差，故C錯誤；

對于選項D：對于甲，各組頻率依次為：0.15,0.20,0.20,0.20,0.15,0.10,因為前兩組頻率之和0.15+0.20

=0.35<0.5,

前三組頻率之和0.15+0.20+0.20=0.55>0.5,

故中位數(shù)位于［3.5,4.5）之間，

同理，對于乙,各組頻率依次為：0.05,0.10,0.15,0.50,0.20,0,15,前三組頻率之和0.05+0.10+0.15

=0.3<0.5,

前四組頻率之和0.05+0.10+0.15+0.50=0.8>0.5,

故中位數(shù)位于［5.5,6.5）之間，

所以乙的中位數(shù)大于甲的中位數(shù)，故。正確.

故選：BD.

（多選）10.（6分）已知拋物線C：（p>0）的焦點為R。為坐標原點，動點P在C上，若定

點M（2,,）滿足|九/|=2|。/|,貝I（）

A.C的準線方程為x=-2

B.周長的最小值為5

C.四邊形OPMF可能是平行四邊形

—>—>

D.FM-OP的最小值為-3

【解答】解：拋物線C：y=2px（p>0）的焦點為尸（p0）,準線方程為尤=—與

定點M（2,百）滿足可得］（2-令2+3=p,解得p=2,

故C的準線方程為x=-1,故A錯誤；

設PG”，〃），產(chǎn)在準線上的射影"可得1PM+|PF|=|PH|+|PM邦Affl|=2+1=3,

當P,M,X共線時，△PA加周長取得最小值為3+|MF|=3+2=5,故8正確；

若四邊形。PA加是平行四邊形，可得〃。品PM=OF,即

即有也=，,解得V3）,|PM=2—卜好1,故四邊形不可能是平行四邊形，故C錯

In2=4m444

誤;

-―21

設尸Gn,“)，可得"2=4"?,FM'OP=(1,遮)?(％w)=m+V3/i=+V3/?=j(”+2次)2-3,當

―?—>

”=-28時，F(xiàn)M?OP取得最小值-3,故。正確.

故選：BD.

(多選)11.(6分)已知定義域為R的函數(shù)/(x).滿足/(尤+y)—f(x)f(y)-/(1-x)/(1-y),且

f(0)^0,/(-1)=0,貝!]()

A./(1)=0B.f(x)是偶函數(shù)

C.\f(x)]2+|/(1+x)]2=1D.24f(i)=-l

【解答】解：對于A項，由/(x+y)=f(x)f(y)-/(I-%)/(1-y),

令光=y=g,則f(1)=[/8)]2-/&)]2=0,故A項正確；

對于B項，令x=y=0,則/(0)=[/'(0)]2-U(1)]2=|/(0)]2,

因y(o)NO,故y(o)=1,

令y=l,則/(尤+1)—f(尤)/(1)-/(1-x)/(0)=-/(l-x)①，

所以函數(shù)/(x)關于點(1,0)成中心對稱，

令x=y=l,則/(2)=1/(1)]2-\f(0)產(chǎn)=-1,

令y=2,貝！1/(x+2)=于(尤)f(2)-/(1-x)/(-1)=-f(x)②，

由①可得：f(x+2)=-f(-x)③，由②③可知：/(-x)=f(x),

且函數(shù)了(無)的定義域為R,則函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，故2項正確；

對于C項，令y=-x,則/(0)=/(x)/(-尤)-/(1-x)f(1+^),

因為/(0)=1,/(-無)—f(x),f(x+1)=-/(1-尤)，代入上式中得，

故得：[f(x)]2+[/(1+X)]2=1,故C項正確；

對于。項，由上可知：f(x+2)--f(x),則/(x+4)—-f(x+2)—f(x),

故函數(shù)/(x)的一個周期為4,故/'(4)=f(0)=1,

令x=2,y=l,則7(3)=/(2)/(l)-/<-1)/(0)=0,

所以7(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0+(-1)+0+1=0,

則￡??①=254x0=0,故。項錯誤.

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)已知二項式(2支+義尸(>1€N*)的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6,則展開式中常數(shù)項為

60.

【解答】解：因為展開式中第2項的二項式系數(shù)為6,

所以盤=6,即〃=6,

所以(2x+急)6展開式的通項公式為小1=%(2支尸.(母=Cb-/號

令6—與=0,則r=4,

所以展開式中常數(shù)項為盤22=60.

故答案為：60.

13.(5分)已知圓C經(jīng)過A(2,0),B(0,2),C(2,4)三點.

(/)則圓C的標準方程為(X-2)2+(y-2)2=4;

5)若直線AB關于y=a對稱的直線與圓C有公共點，則。的取值范圍是[1-V2,1+V21.

【解答】解：(力根據(jù)題意可設圓的方程為f+y2+￡)x+Ey+B=0,

(4+2D+F=0

貝44+2E+F=0,

.4+16+2D+4F+F=0

解得D--4,E--4,尸=4,

，圓C的方程為/+/-4x-4y+4=0,

即圓C的標準方程為(x-2)2+(廠2)2=4；

(n)由題意知，直線48的斜率為日8=懸=一1,

直線AB方程為y=-x+2,與y=a的交點為(2-a,a),

所以直線A8關于對稱的直線的斜率為k=l,

故對稱直線的方程為y-a=l(x-2+a),即x-y-2+2a=0,

由(x-2)2+(y-2)2=4知，圓心為(2,2),半徑為2,

因為對稱直線與圓有公共點，

解得1-&WaWl+/，即實數(shù)a的取值范圍為[1-/，1+迎].

故答案為：(尤-2)2+(y-2)2=4；[1-V2,1+V2].

14.(5分)△ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,6,c,已知,2=2/_2啟，則A-8的最大值為一.

-6-

【解答】解：因為。2=202一2戶，

2

所以由正弦定理得sin2c=2sin2A-2sinB=2x1一半2"-2x-。產(chǎn)⑶=COS25-COS2A=COS(J?+A+B-A)

-cos[B+A-(B-A)]=-2sin(B+A)sin(B-A),

可得sin2C=-2sinCsin(B-A),

因為sinCWO,可得sinC=-2sin(B-A),

可得sinC=-2sinBcosA+2sinAcosB,

即sin(A+B)=-2sinBcosA+2sinAcosB,

所以sinAcosB+sinBcosA=-2sinBcosA+2sinAcosB,

可得3sinBcosA=sinAcosB,即3bcosA=acosB,

又。2=2/一2■>0,

所以〃>。，則A>3,

71

所以BE(0,-),cosB>0,

2

所以由3Z?cosA=tzcosB,可得cosA>0,

所以tanA=3tanB,且tanB>0,

匚匚[、iz.tanA—tanB2tanB2,273

所以tan(A-8)=73--TT-石=——77；=—i-------------<,==丁，

1+tanAtanBl+3tanB^3tanBU^x3tanB3

LUfLD+27tanB

1F5

當且僅當----=3tanB,即tanB=丁時等號成立，

tanB3

又OVA-BVn,

77"TC

所以即A的最大值為二.

66

71

故答案為：

6

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15.(13分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8C。是邊長為2的正方形，必_L平面A8CD,PA=2,

M是BC中點，N是尸。中點.

(1)證明：直線A/N〃平面B4脫

—>—>

(2)若PG=3GC,求平面PC￡)與平面GMN的夾角的余弦值.

【解答】證明：(1)設AP的中點為E,連接BE,EN,如圖所示,

由M,N分別為BC,P。的中點可得8M〃AZ),BM=^AD,EN//AD,EN=^AD,

：.BM=EN,且.BM〃EN,四邊形BMNE為平行四邊形，：.MN//BE,

又MN會面BEc?PAB,；.MN〃面B4B；

(2)由B4L面ABCDAB±AD,以A坐標原點，AB,AD,AP分別為無軸，y軸，z軸正半軸建立空

間直角坐標系，則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0)P(0,0,2),M(2,1,

0),N(0,1,1),

—>T—>—>

PC=(2,2,-2),PD=(0,2,-2),MN=(-2,0,1),MP=(-2,-1,2),

TT33]TTT[11

由PG=3GC,可得PG=]PC=(-,一力，：.MG=MP+PG=(一二一,

4222222

設面尸C￡)的法向量為%=(xi,yi,zi),

L=o,即工+學二蕓=0,令〃=],則->

則zi=0,xi=0,/.Hi=(0,L1),

/丫

四?PD=01/Z]—U

設面MNG的法向量為R=(X2,>2,Z2),

,(n7-MN=0f-2x2+z2=0->

則|-，即[1,1,1八，令無2=1,則Z2=2,y2=19??九2=(1，-1,2),

ln2-MG=0l-尸2+2%+產(chǎn)2=。

?icos<)7上>|=隔Rl_|0xl-1X1+1X2|_1_總

"V2同卜曲71+1x71+1+42V36,

平面PCD與平面GMN的夾角的余弦值為一.

6

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=冗(/-〃X2).

(1)若曲線y=/(x)在x=-1處的切線與y軸垂直，求y=/(x)的極值.

(2)若/(x)在(0,+8)只有一個零點，求

【解答】解：(1)/(x)-Q/+X(/_2ax)-3〃工2,

所以/(-1)=-3〃，因為曲線y=/G)在％=-1處的切線與y軸垂直，

所以/(-1)=-3〃=0,解得〃=0,

所以/(%)=xex,f(x)=(x+1)

當(-8,-i)時，，(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當比(-1,+8)時，，(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以/(X)在尤=-1處取得極小值為/(-1)=無極大值.

(2)若/(x)=x(e^-ox2)在(0,+8)只有一個零點，即函數(shù)g(x)在(0,+°°)只有

一個零點，

即方程/-初2=0在(0,+8)只有一個根，即。=與在(0,+OO)只有一個根，

X乙

即函數(shù)y=a與//(x)的圖象在(0,+8)只有一個交點，

及，(尤):〃箕2—0兀2-(x-2)e:

X4X3

當比(0,2)時，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

當尤(2,+8)時，h'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

一「2

所以力(x)min=h(2)=彳，當無一0時，h(X)一+8,當工一+8時，"(%)-^4-oo,

所以要使函數(shù)y="與。(x)=%的圖象在(0,+8)只有一個交點，

P2

則〃=彳?

17.(15分)假設甲同學每次投籃命中的概率均為去

(1)若甲同學投籃4次，求恰好投中2次的概率.

(2)甲同學現(xiàn)有4次投籃機會，若連續(xù)投中2次，即停止投籃，否則投籃4次，求投籃次數(shù)X的概率

分布列及數(shù)學期望.

(3)提高投籃命中率，甲學決定參加投籃訓練，訓練計劃如下：先投w(w6N+,"W33)個球，若這"

個球都投進，則訓練結束，否則額外再投100-3w個.試問n為何值時，該同學投籃次數(shù)的期望值最大？

【解答】解：(1)依題意，甲同學投籃4次，恰好投中2次的概率°=廢&Ax?！?/p>

(2)由題意可知，投籃次數(shù)X的可能取值為2,3,4,

111111111K

貝!]P(X=2)=X2=4,P(X=3)=2X2X2=8,P=4)=1—g=g,

所以X的分布列為:

234

P115

488

11q27

所以E(X)=2x[+3xt+4x>令；

(3)設甲同學投籃的次數(shù)為y,則Y的可能值為%w+100-3?=100-2n,w€N+,"W33,

11

于是P(y=n)=血,P(Y=100-2n)=1-血,

數(shù)學期望E(Y)=n-+(100-2n)?(1—*)=雙芋如-2n+100,

令/'(n)=%*-2n+100,n￡N,

貝療(ri+1)=節(jié)等-2n+98,

所以f(ri+1)—/(n)=I。，蒜2n+2,

顯然數(shù)列｛103-3n-2/2｝是遞減的，

當"W4時，103-3”-2"2>O,/(〃+i)>/(w),當"》5時，103-3w-2"2<0,/(〃+i)</(?),

即有/(I)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)>f(6)>f(7)>-?-,

因此/(5)最大，

所以當〃=5時，甲同學投籃次數(shù)的期望值最大.

18.(17分)已知雙曲線C：f—J=l(a>0,6>0)的漸近線方程為丫=土印x,過點(4,0)的直線

a，z

/交雙曲線C于M,N兩點，且當/J_x軸時，|MN|=6.

(1)求C的方程；

k

(2)記雙曲線C的左右頂點分別為Ai,Ai,直線AiM,A2N的斜率分別為依，ki,求廣的值.

上2

(3)探究圓E：/+9-4尤---1=0是否存在點5,使得過S作雙曲線的兩條切線力/2互相垂直.

【解答】解：(1)由對稱性知，雙曲線C過點(4,3),

住=西

則"1]，解得憶上，

x2y2

所以雙曲線C的方程為丁—-=1.

43

(2)由(1)得A(-2,0),A2(2,0),設"(xi,yi),N(x2,y2),

顯然直線MN不垂直于y軸，設直線MN的方程為x=my+4,

聯(lián)立^4/=12'消去x得(3m2-4)/+24my+36=0,

顯然3川-4W0,A=144(m2+4)>0,

yi+y2=3^^，為為=3；之4,所以為+%=—竽，即小為、2=-j(yi+72)，

yi

%工+27I(X-2)yi(my+2)

物以-=y,=-----2---=-------2----

kz(%i+2)yy(my+6)

X?一乙222

o

=一當)/2+2力=_2(7］+丫2)+2《］=_1

根%，2+6"2-|(y1+y2)+6y2弓

(3)圓氏f+y2-4x-4y-1=0上存在點S,使得過S作雙曲線的兩條切線互相垂直.

若雙曲線的兩條切線有交點，則兩條切線的斜率存在且不為0,

設雙曲線的兩條切線分別為y=kix+m,y=kuc+n2.

x2y2

y=kx+n代入］——=1,

消去y得：(3-4廬)-Sknx-4n2-12=0,

由A=0得64a2+4(3-4必)(4n2+12)=0,

解得一=4省-3,因此后=4fci-3；712=4fc2-3,

設兩條切線的交點坐標為(xo,笫)，

則匕°一歸°二：1，即有仇一心32=4般一3,且仇一上232=4抬一3,

U?！狵2X0—n2

222

即(%()2-4)kJ_2xoyofei+y02-3,(x0-4)fc2-2xoyok2+y0-3,

于是k\,%2是方程(瞪-4)法-2xoyo%+羽+3=0的兩根，

而依比=-1,則學3=-1,即詔+據(jù)=1,從而兩條切線交點的軌跡為圓S+y2=l,

%o-4

而/+y2=l的圓心為。(0,0),半徑為1,圓E：(x-2)2+(j-2)2=32的圓心￡(2,2),半徑為

3.

顯然|。國=722+22=2V2,

滿足3-1<|0劇<3+1,即圓。與圓E相交，

所以圓E：/+?-4.X-4V-1=0上存在點S,

使得過S作雙曲線的兩條切線互相垂直.

19.(17分)在直角坐標平面內(nèi)，將函數(shù)/Q)=2-備及以久)=熹在第一象限內(nèi)的圖象分別記作Ci,C2,

A-IJ.<DA-

點6(即，/(an))(neN*)在Ci±.過，作平行于x