2.2 直線的方程（原卷版）-2024-2025學(xué)年【暑假預(yù)習(xí)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修一）

.2直線方程知識點(diǎn)一點(diǎn)斜式【【解題思路】直線的點(diǎn)斜式方程的步驟(1)求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)點(diǎn)斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示過點(diǎn)P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．【例1】（2024江蘇淮安·階段練習(xí)）寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程．（1）經(jīng)過點(diǎn)，且其傾斜角與直線相等；（2）經(jīng)過點(diǎn)，且與軸平行；（3）經(jīng)過點(diǎn)，且與軸垂直．(4)經(jīng)過點(diǎn)，斜率為3；(5)經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角是；(6)經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角是．【變式】（23-24新疆）根據(jù)條件寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)A(2，5)，斜率是4；(2)經(jīng)過點(diǎn)B(2，3)，傾斜角是45°；(3)經(jīng)過點(diǎn)C(－1,－1)，與x軸平行．(4)P（2，3），；(5)P（-2，-1），；(6)P（-5，-1），．（7）經(jīng)過點(diǎn)，斜率是；（8）經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角是；（9）經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角是；（10）經(jīng)過點(diǎn)傾斜角是．知識點(diǎn)二斜截式【【解題思路】求直線的斜截式方程的思路(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在．(2)直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個參數(shù)，因此要確定直線方程只需兩個獨(dú)立條件即可．【例2】（2024湖北）寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率是，在軸上的截距是；(2)傾斜角為，在軸上的截距是；(3)傾斜角為，在軸上的截距是．【變式】1．（2024四川眉山·階段練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A.且它的傾斜角是直線的傾斜角的兩倍，則直線l的斜截式方程為.2．（22-23高一下·上海楊浦·期末）直線l：繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)與直線重合，則的斜截式方程是.3．（2023高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）寫出下列直線的斜截式方程：(1)傾斜角為45°且在y軸上的截距為2；(2)直線過點(diǎn)（3，1）且在y軸上截距是-1.(3)斜率為2，在y軸上的截距是5；(4)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；(5)傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3.知識點(diǎn)三兩點(diǎn)式【【解題思路】兩點(diǎn)式求直線的方程(1)首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件，然后代入兩點(diǎn)式．(2)若滿足即可考慮用兩點(diǎn)式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程．【例3】（2023江蘇·課后作業(yè)）已知直線分別經(jīng)過下面兩點(diǎn)，用兩點(diǎn)式方程求直線的方程：(1)A(3,1),B(2,－3)；(2)A(2,1),B(0,－3)；(3)A(0,5),B(4,0).【變式】1．（2024吉林長春·階段練習(xí)）過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程是A． B． C． D．2．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）求過下列兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程：(1)，；(2)，．（3），；

（4），．知識點(diǎn)四截距式【【解題思路】截距式求直線方程(1)如果問題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．(2)選用截距式直線方程時，必須首先考慮直線能否過原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直．(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用【例4-1】（2023湖北）直線的截距式方程是（

）A． B．C． D．【例4-2】（23-24高二上·天津南開·階段練習(xí)）過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【例4-3】（23-24高二上·吉林·期末）（多選）直線l經(jīng)過點(diǎn)，且兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線l的方程可能是（

）A． B． C． D．【變式】1．（23-24高二上·北京順義·期中）過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或2．（23-24高二上·天津和平·期中）經(jīng)過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（

）A． B．C．或 D．或3．（23-24高二上·黑龍江·期中）（多選）若直線在x軸和y軸上的截距相等，則實數(shù)a的值為（

）A． B．1 C． D．34．（2023-2024山西）（1）經(jīng)過點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于6的直線的截距式方程為.（2）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距之差為3的直線的截距式方程是.5（2024福建）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求：(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；(2)BC邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.知識點(diǎn)五直線的一般式【例5】根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式.①斜率是，經(jīng)過點(diǎn)；②經(jīng)過點(diǎn)，平行于x軸；③在x軸和y軸上的截距分別是，；④經(jīng)過兩點(diǎn)【變式】1．（23-24高二上·陜西渭南·階段練習(xí)）根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并化成一般式．(1)斜率是，經(jīng)過點(diǎn)；(2)法向量，經(jīng)過點(diǎn)；(3)經(jīng)過點(diǎn)，平行于x軸；(4)在x軸和y軸上的截距分別是，；(5)經(jīng)過兩點(diǎn)．(6)經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角是直線的傾斜角的2倍；(7)經(jīng)過兩點(diǎn)，；(8)經(jīng)過點(diǎn)，平行于x軸；(9)在x軸，y軸上的截距分別為，．2．（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知的三個頂點(diǎn)是，，，求下列直線的方程（用一般式表示）.(1)邊上的中線所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線的方程；(3)邊上的垂直平分線所在直線的方程.知識點(diǎn)六直線圖像【例6-1】（22-23高二上·山東聊城·階段練習(xí)）若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則有（

）A．， B．，C．， D．，【例6-2】（23-24湖南）已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A．B．C．D．【變式】1．（22-23高二·江蘇·課后作業(yè)）直線可能是（

）A． B．C． D．2．（23-24江西撫州）已知，，則直線通過（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限3．（23-24高二上·安徽六安）直線不過第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2023江西南昌·階段練習(xí)）兩直線與的圖象可能是圖中的哪一個（

）A． B．C． D．知識點(diǎn)七直線與坐標(biāo)軸圍城的面積【例7】（2023-2024陜西）過點(diǎn)作直線l分別交x軸、y軸的正半軸于A，B兩點(diǎn).(1)求的最小值，及此時直線l的截距式方程；(2)求的最小值，及此時直線l的截距式方程.【變式】1．（23-24高二上·河北邯鄲·階段練習(xí)）直線的傾斜角是直線傾斜角的一半，且直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則直線的方程可能是（

）A． B．C． D．2．（2023山東德州·階段練習(xí)）直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為3，則m的值可以為（

）A．2 B． C．3 D．3．（23-24高二上·湖南·階段練習(xí)）已知直線l過點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A?與y軸正半軸交于點(diǎn)B.（1）求面積最小時直線l的方程（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）求的最小值及取得最小值時l的直線方程.知識點(diǎn)八含參直線過定點(diǎn)【【解題思路】含參直線過定點(diǎn)的解題思路：提出參數(shù)令參數(shù)的系數(shù)為0【例8-1】（23-24高二下·上海寶山·期末）若無論實數(shù)取何值，直線都經(jīng)過一個定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為.【例8-2】（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）已知直線，若直線與連接兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍是．【變式】1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）當(dāng)m變化時，直線（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒過定點(diǎn).2．（23-24高二上·福建泉州·期末）直線恒過定點(diǎn).3．（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·期末）（多選）已知直線：，其中，則下列說法正確的有（

）A．直線過定點(diǎn) B．若直線與直線平行，則C．當(dāng)時，直線的傾斜角為 D．當(dāng)時，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等4．（23-24高二上·河南商丘·期中）（多選）已知點(diǎn)，，直線與線段有交點(diǎn)，則可以為（

）A． B． C．1 D．3【題組一點(diǎn)斜式】1.（23-24高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）過點(diǎn)且斜率為的直線的點(diǎn)斜式方程為（

）A． B．C． D．2（22-23陜西延安）若光線沿傾斜角為的直線射向軸上的點(diǎn)，經(jīng)軸反射，則反射直線的點(diǎn)斜式方程是（

）A． B．C． D．3（2023上海浦東新·期中）已知、、三點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)且與平行的直線的點(diǎn)斜式方程為4（2024上海浦東新）在中，，則邊上的高所在的直線的點(diǎn)斜式方程為.【題組二斜截式】1（2023高二上·江蘇·專題練習(xí)）寫出下列直線的斜截式方程：(1)直線斜率是，在y軸上的截距是；(2)直線傾斜角是，在y軸上的截距是；(3)直線在軸上的截距為，在y軸上的截距為.2（23-24高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程.(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；(2)傾斜角為，在y軸上的截距是.【題組三兩點(diǎn)式】1．（22-23高二·全國·課后作業(yè)）一條直線不與坐標(biāo)軸平行或重合，則它的方程（

）A．可以寫成兩點(diǎn)式或截距式B．可以寫成兩點(diǎn)式或斜截式或點(diǎn)斜式C．可以寫成點(diǎn)斜式或截距式D．可以寫成兩點(diǎn)式或截距式或斜截式或點(diǎn)斜式2．（22-23高二·全國·課后作業(yè)）有關(guān)直線方程的兩點(diǎn)式，有如下說法：①直線方程的兩點(diǎn)式適用于求與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線方程；②直線方程也可寫成；③過點(diǎn)，的直線可以表示成.其中正確說法的個數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．33．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程是．4．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）過點(diǎn)，直線的兩點(diǎn)式方程為．5．（2024云南）已知直線過兩直線和的交點(diǎn)，且過點(diǎn)，則直線的兩點(diǎn)式方程為．【題組四截距式】1（2024浙江·期中）直線的截距式方程為（

）A． B． C． D．2（2024北京）已知直線過點(diǎn)，且與，軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)．若的面積為12（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線的截距式方程為（

）A． B． C． D．3（2024安徽）已知三頂點(diǎn)坐標(biāo)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則中位線所在直線的截距式方程為()A． B．C． D．4（2024高二上·全國·專題練習(xí)）（多選）下列說法中錯誤的是（）A．直線方程的截距式可表示除過原點(diǎn)外的所有直線B．與是直線的截距式方程C．直線方程的斜截式都可以化為截距式D．在x軸、y軸上的截距分別是2，3的直線方程為5（2024上海）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求：(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；(2)BC邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.【題組五一般式】1（2023高二·全國·專題練習(xí)）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)經(jīng)過點(diǎn)兩點(diǎn)；(3)在x軸，y軸上的截距分別為；(4)經(jīng)過點(diǎn)，且平行于x軸．(5)求過點(diǎn)，斜率是3的直線方程.(6)求經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上截距為2的直線方程.2（23-23高二·全國·課后作業(yè)）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)A(5,3)；(2)經(jīng)過點(diǎn)A(－1,5)，B(2，－1)兩點(diǎn)；(3)在x軸，y軸上的截距分別為，；(4)經(jīng)過點(diǎn)B(4,2)，且平行于x軸．【題組六直線的圖像】1．（2023陜西安康·期末）直線通過第一、二、四象限，則有（

）A． B． C． D．2（2024四川雅安·期中）若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則系數(shù)、、滿足條件為（）A．、、同號 B．，C．， D．，3（2024湖南株洲）直線的方程為：，若直線不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4（2024山西運(yùn)城·期中）已知則直線不過A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5（2023·全國·單元測試）若直線不經(jīng)過第二象限，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題組七直線與坐標(biāo)軸圍城的面積】1．（2023高二·江蘇·專題練習(xí)）直線l的傾斜角是直線傾斜角的一半，且直線l與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為10，則直線l的方程可能是（

）A． B．C． D．2．（2023四川涼山·開學(xué)考試）經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是（

）A．或B．或C．或D．或3（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，，則下列選項中錯誤的是（

）A．存在正實數(shù)使得△面積為的直線l恰有一條B．存在正實數(shù)使得△面積為的直線l恰有二條C．存在正實數(shù)使得△面積為的直線l恰有三條D．存在正實數(shù)使得△面積為的直線l恰有四條4（22-23高二上·浙江紹興·階段練習(xí)）已知直線l過點(diǎn)，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點(diǎn)，分別求滿足下列條件的直線方程：(1)時，求直線l的方程．(2)當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線l的方程．5（22-23高二上·天津靜?！るA段練習(xí)）設(shè)直線l的方程為(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍.(3)若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程.6（2024內(nèi)蒙古呼和浩特）已知一條動直線，(1)求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線l與、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線l同時滿足下列條件：①的周長為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.7（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知直線與x軸，y軸的正半