中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：幾何壓軸題分類復(fù)習(xí)

中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)??幾何壓軸題分類復(fù)習(xí)

類型一動(dòng)點(diǎn)探究型

例1(?江西)在菱形ABCD中，ZABC=60°,點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP

為邊向右側(cè)作等邊4APE,點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE,BP與CE的數(shù)量關(guān)

系是_______，CE與AD的位置關(guān)系是________;

(2)當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證

明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由(選擇圖②，圖③中的一種情況予以證明或說(shuō)理)；

(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE,若AB=20BE=

2g求四邊形ADPE的面積.

圖③圖④

例1題圖

【分析】⑴要求BP與CE的數(shù)量關(guān)系，連接AC,由菱形和等邊三角形的性質(zhì)

根據(jù)SAS可證明△ABPZ^ACE,從而證得BP=CE,且NACE=30。，延長(zhǎng)CE

交AD于點(diǎn)F,可得NAFC=90。，所以CELAD;

(2)無(wú)論選擇圖②還是圖③，結(jié)論不變，思路和方法與⑴一致；

(3)要求四邊形ADPE的面積，觀察發(fā)現(xiàn)不是特殊四邊形，想到割補(bǔ)法，分成鈍

角AADP和正4APE,分別求三角形的面積，相加即可.

【自主解答】

解：(1)BP=CE;CE±AD;

(2)選圖②，仍然成立，證明如下：

如解圖①，連接AC交BD于點(diǎn)0,設(shè)CE交AD于點(diǎn)H.

在菱形ABCD中，ZABC=60°,BA=BC,

例1題解圖①

「.△ABC為等邊三角形，

；.BA=CA.

?「△APE為等邊三角形，

.\AP=AE,ZPAE=ZBAC=60°,

.?.ZBAP=ZCAE.

在4BAP和ACAE中,

AB=AC

]AP=AE

E

例1題解圖②

.?.ABAP^ACAE(SAS),

.?.BP=CE,ZACE=ZABP=30°.

?「AC和BD為菱形的對(duì)角線，

ZCAD=60°,

Z.ZAHC=90°,即CEJ_AD.

選圖③，仍然成立，證明如下：

如解圖②，連接AC交BD于點(diǎn)0,設(shè)CE交AD于點(diǎn)H,

同理得ABAPZACAE(SAS),

BP=CE,CE±AD.

⑶如解圖③，連接AC交BD于點(diǎn)0,連接CE交AD于點(diǎn)H,

由(2)可知，CE±AD,CE=BP.

在菱形ABCD中，AD//BC,

.,.EC±BC.

VBC=AB=2^3,BE=2^T9,

.?.在R3BCE中，

CE=勺(2y[T9)2-(2丁)2=8,

.?.BP=CE=8.

?「AC與BD是菱形的對(duì)角線，

AZABD=|ZABC=3O°,AC±BD,

.?.BD=2BO=2ABcos30°=6,

1K

A0=2AB=/,

.,.DP=BP-BD=8-6=2,

.?.0P=0D+DP=5.

在RtAAOP中，AP=^JAO2+OP2=2J7,

AS*=S+S

四邊形ADPEAADPAAPE

=；DPAO+fAP2

=1x2x^3+^x(2^7)2

【難點(diǎn)突破】本題的難點(diǎn)：一是如何找到全等的三角形，根據(jù)含60。內(nèi)角菱形

的特點(diǎn)，連接AC是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；二是點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到菱形的外

部時(shí)，在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由“手拉手”模型找全等三角形；三是求不規(guī)則四邊形的

面積，要想到運(yùn)用割補(bǔ)法，將四邊形分解成兩個(gè)三角形求解.

弓命題研究專家點(diǎn)撥

幾何壓軸題中的“動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們

在線段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開(kāi)放性題目.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求

靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)

“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路，這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問(wèn)題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì).

針對(duì)訓(xùn)練

1.（?沈陽(yáng)）已知，AABC是等腰三角形，CA=CB,0°<ZACB<90°,點(diǎn)M在邊

AC上，點(diǎn)N在邊BC上（點(diǎn)M、點(diǎn)N不與所在線段端點(diǎn)重合），BN=AM,連接

AN,BM.射線AG〃BC,延長(zhǎng)BM交射線AG于點(diǎn)D,點(diǎn)E在直線AN上，且

AE=DE.

⑴如圖,當(dāng)NACB=90。時(shí):

①求證：△BCMZ4ACN;

②求NBDE的度數(shù)；

（2）當(dāng)NACB=a,其他條件不變時(shí)，ZBDE的度數(shù)是_____________________;

（用含a的代數(shù)式表示）

⑶若AABC是等邊三角形，AB=3^/3,點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn)，直線ED

與直線BC交于點(diǎn)F,請(qǐng)直接寫出線段CF的長(zhǎng).

2.(?金華)在R3ABC中，ZACB=90°,AC=12.點(diǎn)D在直線CB上，以CA,

CD為邊作矩形ACDE,直線AB與直線CE,DE的交點(diǎn)分別為F,G.

(1)如圖，點(diǎn)D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形.

①若點(diǎn)G為DE中點(diǎn)，求FG的長(zhǎng)；

第2題圖

②若DG=GF,求BC的長(zhǎng)；

(2)已知BC=9,是否存在點(diǎn)D,使得4DFG是等腰三角形？若存在，求該三角

形的腰長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由.

類型二新定義型

例2(?江西)我們定義：如圖①，在AABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)利0。<

01<180。)得到人：6，，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)P得到AC,連接BC.當(dāng)a+P=

180。時(shí)，我們稱AABC，是AABC的“旋補(bǔ)三角形"，AAB'C^BC上的中線AD

叫做AABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.

特例感知

(D在圖②，圖③中，△AB，。是△ABC的“旋補(bǔ)三角形"，AD是AABC的“旋補(bǔ)中

線”.

①如圖②，當(dāng)AABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=

________BC;

②如圖③，當(dāng)NBAC=90。，BC=8時(shí)，則AD長(zhǎng)為.

猜想論證

(2)在圖①中，當(dāng)AABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予

證明.

拓展應(yīng)用

(3)如圖④，在四邊形ABCD中，ZC=90°,ZD=150°,BC=12,CD=2，3,

DA=6.在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P,使4PDC是APAB的“旋補(bǔ)三角形"？若存

在，給予證明，并求4PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

B)DC

【分析】⑴①證明4ADB是含有30。角的直角三角形，則可得AD=；AB，=；

BC;②先證明ABACZABAC,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半即可；

(2)結(jié)論：AD=；BC.如解圖①中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)M,使得AD=DM,連接

B'M,CM,先證明四邊形ACMB，是平行四邊形，再證明△BACZAAB'M,即

可解決問(wèn)題；

(3)存在.如解圖②中，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作BE_LAD于點(diǎn)E,

作線段BC的垂直平分線交BE于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)F,連接PA,PD,PC,作

△PCD的中線PN,連接DF交PC于點(diǎn)O.先證明PA=PD,PB=PC,再證明N

APD+NBPC=180。即可.

【自主解答】

解：⑴①;；

【解法提示】VAABC是等邊三角形，

.?.AB=BC=AB=AB,=AC\

?.?DB'=DC',

.,.ADXB'C；

Va+P=180°,ZBAC+NB'AC'=180°,

ZBAC=60°,

，NB，AC=120。，

二.NB，=NC=30。，

.?.AD=；ABVBC.

②4;

【解法提示】Va+p=180°,

ZBAC+ZB'AC'=180°.

ZBAC=90°,

，ZB,AC,=ZBAC=90°.

VAB=AB\AC=AC',

...△BACZAB'AC'(SAS),

，BC=BC.

VB,D=DC\

.\AD=；BC=；BC=4.

(2)結(jié)論：AD=；BC.

證明：如解圖①中，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)M,使得AD=DM,連接CM.

C

B

例2題解圖①

?.,B'D=DC',AD=DM,

???四邊形ACMB，是平行四邊形，

.,.AC,=B,M=AC.

Va+p=180°,

二.ZBAC+NB'AC'=180°.

ZB'AC'+ZAB'M=180°,

Z.NBAC=NMBA

VAB=AB;

Z.ABAC0△AB，M(SAS),

；.BC=AM,

AD=；BC.

(3)存在.

證明：如解圖②中，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,作BE_LAD于點(diǎn)E,作

線段BC的垂直平分線交BE于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)F,連接PA,PD,PC,作

△PCD的中線PN,連接DF交PC于點(diǎn)O.

M

例2題解圖②

,/ZADC=150°,

.,.ZMDC=30°,

在RtADCM中，

VCD=2^3,ZDCM=90°,ZMDC=30°,

Z.CM=2,DM=4,ZM=60°.

在RtABEM中，

VZBEM=90°,BM=14,ZMBE=30°,

，EM=；BM=7,

.,.DE=EM-DM=3.

VAD=6,.,.AE=DE.

VBEXAD,

，PA=PD.

?「PF垂直平分BC,

.?.PB=PC.

在RtACDF中，VCD=2^,CF=6,

tan/CDF=,

Z.ZCDF=60°=ZCPF.

易證△FCPZ/XCFD,

.?.CD=PF.

VCD//PF,

???四邊形CDPF是平行四邊形.

ZDCF=90°.

???四邊形CDPF是矩形，

ZCDP=90°,

ZADP=ZADC-ZCDP=60°,

???△ADP是等邊三角形.

ZBPF=ZCPF=60°,

.?.ZBPC=120°,

二.ZAPD+ZBPC=180°,

APDC是APAB的“旋補(bǔ)三角形”.

在RtAPDN中，VZPDN=90°,PD=AD=6,DN=、,，

/.PN=JDN2+PD2=N(0)2+62=

【難點(diǎn)突破】第⑶問(wèn)根據(jù)新定義判斷點(diǎn)P的存在性是本題難點(diǎn)，但運(yùn)用“直角

三角形中30。的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”的性質(zhì)以及三角形全等添加合適

輔助線即可求解.

卷命題研究專家點(diǎn)撥

解決這類問(wèn)題，首先要理解新定義的含義及實(shí)質(zhì)；其次要注意，在證明線

段、角度相等或某個(gè)特殊圖形時(shí)，主要應(yīng)用全等，在計(jì)算線段的長(zhǎng)或圖形的周

長(zhǎng)、面積時(shí)，常注意運(yùn)用相似、勾股定理及圖形面積公式等.

針叼訓(xùn)練@

1.(?江西模擬)聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念.

定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心.

舉例：如圖①，若PA=PB,則點(diǎn)P為AABC的準(zhǔn)外心.

求解：(1)如圖②，CD為等邊AABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=；AB,

求NAPB的度數(shù)；

(2)已知AABC為直角三角形，斜邊BC=5,AB=3,準(zhǔn)外心P在AC邊上，求

PA的長(zhǎng).

圖②

第1題圖

2.(?江西第二次大聯(lián)考)如圖①，在AABC中，過(guò)頂點(diǎn)A作直線與對(duì)邊BC相交

于點(diǎn)D,兩交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)圖形.若其中有一個(gè)圖形與

原三角形相似，則把這條線段叫做這個(gè)三角形的“頂似線”.

⑴等腰直角三角形的“頂似線”的條數(shù)為

(2)如圖②，在AABC中，AB=AC,ZA=36°,BD是NABC的角平分線，求

證：BD是AABC的“頂似線”；

(3)如圖③，在AABC中，AB=4,AC=3,BC=6,求^ABC的“頂似線”的

長(zhǎng).

第2題圖

3.(?南昌一模)如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三

角形為這條邊上的“奇特三角形”,這條邊稱為“奇特邊”.

(1)如圖①，已知AABC是“奇特三角形"，AOBC,且NC=90。.

①4ABC的“奇特邊”是_______;

②設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,求a：b：c;

(2)如圖②，AM是z\ABC的中線，若AABC是BC邊上的“奇特三角形”，找出

BC2與AB2+AC2之間的關(guān)系;

(3)如圖③，在四邊形ABCD中，ZB=90°(AB<BC),BC=2J7,對(duì)角線AC把

它分成了兩個(gè)“奇特三角形”，且4ACD是以AC為腰的等腰三角形，求等腰

△ACD的底邊長(zhǎng).

第3題圖

4.(?淮安)如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與P滿足2a+p=90。，那么我們稱這樣的三

角形為“準(zhǔn)互余三角形”.

(1)若AABC是“準(zhǔn)互余三角形"，ZC>90°,ZA=60°,則NB=;

(2)如圖①，在R3ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是NBAC的

平分線，不難證明^ABD是“準(zhǔn)互余三角形”.試問(wèn)在邊BC上是否存在點(diǎn)E(異

于點(diǎn)D),使得△ABE也是“準(zhǔn)互余三角形”？若存在，請(qǐng)求出BE的長(zhǎng)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖②，在四邊形ABCD中，AB=7,CD=12,BD±CD,ZABD=2Z

BCD,且AABC是“準(zhǔn)互余三角形”，求對(duì)角線AC的長(zhǎng).

圖②

第4題圖

類型三操作探究型

M3（?贛州六校聯(lián)考）【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在邊長(zhǎng)為I個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)

均在格點(diǎn)上.

A

⑴請(qǐng)按要求畫圖：將AABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

B，，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，，連接BB，；

（2）在⑴所畫圖形中，ZAB'B=.

【問(wèn)題解決】

如圖②，在等邊三角形ABC中，AC=7,點(diǎn)P在AABC內(nèi)，且NAPC=90。，Z

BPC=120°,求AAPC的面積.

小明同學(xué)通過(guò)觀察、分析、思考，對(duì)上述問(wèn)題形成了如下想法：

想法一：將AAPC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，得到AAPB,連接PP，，尋找

PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；

想法二：將AAPB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，得到AAPC,連接PP，，尋找

PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

請(qǐng)參考小明同學(xué)的想法，完成該問(wèn)題的解答過(guò)程.（一種方法即可）

【靈活運(yùn)用】

如圖③，在四邊形ABCD中，AEXBC,垂足為E,ZBAE=ZADC,BE=CE

=2,CD=5,AD=kAB（k為常數(shù)），求BD的長(zhǎng)（用含k的式子表示）.

【分析】

【操作發(fā)現(xiàn)】（D先找到點(diǎn)B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，，C,再連接構(gòu)成三角形即可；

(2)求NABB的度數(shù)可先判斷AABB是等腰直角三角形，再求角度；

【問(wèn)題解決】根據(jù)兩種不同的想法，選擇其中一個(gè)進(jìn)行證明；

【靈活運(yùn)用】需將AABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到zXACG,再證明NCDG=90。即可.

【自主解答】

解：【操作發(fā)現(xiàn)】(1)如解圖①所示，即為所求；

(2)45°.

【解法提示】連接BB7.FABC是由AABC繞點(diǎn)A

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到的，

.?.AB=AB',NB'AB=90°,

二.ZAB3=45°.例3題解圖①

【問(wèn)題解決】

如解圖②，???將AAPB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，得到△加，€：,

ZkAPP，是等邊三角形，ZAP'C=ZAPB=360°-90°-120°=150°,

例3題圖②

二.PP，=AP,ZAPT=ZAPP'=60°,

，NPPC=90°,ZP'PC=30°,

.?.PP，=SPC,即AP=yPC.

,/ZAPC=90°,

AP2+PC2=AC2,即0^PC)2+PC2=72,

APC=2^7,；前=0,

?.0APC=；APPC=7/;

【靈活運(yùn)用】如解圖③，連接AC.

VAEXBC,BE=EC,.*.AB=AC,

將zXABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得AB與AC重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G,連接DG.

貝IjBD=CG.

ZBAD=ZCAG,

ZBAC=ZDAG.

VAB=AC,AD=AG,

，ZABC=ZACB=ZADG=ZAGD,

AABC^AADG.

VAD=kAB,

.\DG=kBC=4k.

VZBAE+ZABC=90°,ZBAE=ZADC,

ZADG+ZADC=90°,

.?.ZGDC=90°,

CG=[DG2+CD2=yi6k2+25.

.,.BD=CG=[16k2+25.

【難點(diǎn)突破】在【靈活運(yùn)用】一問(wèn)中，要確定BD與k的數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵在于

旋轉(zhuǎn)AABD,使得AB與AC重合，從而證明NCDG=90。，構(gòu)造直角三角形是

解決本題的難點(diǎn)，也是解決問(wèn)題的突破口.

◎命題研究專家點(diǎn)撥

對(duì)于操作探究問(wèn)題，首先掌握?qǐng)D形變換的性質(zhì)，如圖形的折疊：折痕為對(duì)

稱軸，有折痕就有角平分線，有折痕就有垂直平分等；圖形的平移：有平移就

有平行；圖形的旋轉(zhuǎn)：旋轉(zhuǎn)前后圖形全等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)

與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角為旋轉(zhuǎn)角，有旋轉(zhuǎn)就有等腰三角形；其次注意運(yùn)用

全等證明線段相等，利用勾股定理或相似求線段的長(zhǎng).

針對(duì)訓(xùn)練

1.（?宜春4月模擬）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)F為對(duì)角線

BD上的一點(diǎn)，且EFJ_AB.

⑴若四邊形ABCD為正方形.

①如圖①，請(qǐng)直接寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系；

②將4EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②所示的位置，連接AE,DF,猜想AE與

DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）若四邊形ABCD為矩形，BC=mAB,其他條件都不變.

①如圖③，猜想AE與DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②將4EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0OVaV90。）得到△EBF,連接AE，，DF,請(qǐng)?jiān)?/p>

圖④中畫出草圖，并直接寫出AE，和DF的數(shù)量關(guān)系.

圖②

第I題圖

2.(?淄博)(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，小明畫了一個(gè)等腰三角形ABC,其中AB=

AC,在ZkABC的外側(cè)分別以AB,AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD,

ACE,分別取BD,CE,BC的中點(diǎn)M,N,G,連接GM,GN.小明發(fā)現(xiàn)了：線

段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是______________;位置關(guān)系是

⑵類比思考：如圖②，小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考.把等腰三角形ABC

換為一般的銳角三角形，其中AB>AC,其他條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論

還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖③

第2題圖

⑶深入研究：如圖③，小明在(2)的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步的探究.向^ABC的

內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其他條件不變，試判斷AGMN的形

狀，并給予證明.

3.（?江西模擬）如圖，AM是AABC的中線，D是線段AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重

合），DE〃AB交AC于點(diǎn)F,CE〃AM,連接AE.

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)M重合時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖③，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)H,若BH_1AC,且BH=AM.

①求NCAM的度數(shù)；

②當(dāng)FH=y3,DM=4時(shí)，求DH的長(zhǎng).

參考答案

類型一

1.解：(1)@VCA=CB,BN=AM,.,.CB-BN=CA-AM,

.,.CN=CM,

VZACB=ZACB,BC=CA,AABCM^AACN.

②解：VABCM^AACN,Z.ZMBC=ZNAC.

?/EA=ED,ZEAD=ZEDA.

VAG//BC,.?.ZGAC=ZACB=90°,ZADB=ZDBC,

Z.ZADB=ZNAC,

，NADB+NEDA=ZNAC+ZEAD,

,ZZADB+ZEDA=180°-90°=90°;ZBDE=90°.

(2)a或180。-01；(3)413或守.

2.解：（1）①在正方形ACDE中，DG=GE=6,

在RtAAEG中，AG=[AE2+EG2=6/.

：EG〃AC,/.△ACF^AGEF,

.FG_EG_1……

??AF=AC=2,＞，F(xiàn)G=3AG=2V5-

第2題解圖①

②如解圖①，在正方形ACDE中，AE=ED,ZAEF=ZDEF=45°.

VEF=EF,

AAEF^ADEF,

.?.N1=N2,設(shè)Nl=N2=x.

VAE//BC,ZB=Zl=x.

VGF=GD,.*.Z3=Z2=x,

在4DBF中，Z3+ZFDB+ZB=180°,

.*.x+(x+90°)+x=180°,解得x=30°,.,.ZB=30°,

AC

.?.在R3ABC中，BC=tan30o=12^.

(2)在RtAABC中，AB=^AC2+BC2=^122+92=15,

如解圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，此時(shí)只有GF=GD.

第2題解圖②

：DG〃AC,

AABDBC3

/.ABDG0°ABCA,，DG=AC=4，

.?.設(shè)BD=3x,貝ljDG=4x,BG=5x,AE=CD=9-3x,

.,.GF=GD=4x,貝ljAF=15-9x.

VAE//CB,AAAEF^ABCF,

.AE=AF.9-3x=15-9x

,，BC-BF,9~~9x,

整理得X2—6X+5=0,

解得x=l或5(舍去)，

???腰長(zhǎng)GD為4.

如解圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且直線AB,CE的交點(diǎn)在AE上方

時(shí)，此時(shí)只有GF=DG,設(shè)AE=3x,貝ljEG=4x,AG=5x,

第2題解圖③

.\FG=DG=12+4x.

VAE//BC,.,.△AEF^ABCF,

.AE=AF

,，BC-BF,

.3X=9X+12

一9-9X+27'

解得x=2或一2(舍去)，

???腰長(zhǎng)DG為20.

如解圖④，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且直線AB,EC的交點(diǎn)在BD下方

時(shí)，此時(shí)只有DF=DG,過(guò)點(diǎn)D作DH_LFG于點(diǎn)H.

第2題解圖④

設(shè)AE=3x,貝!|EG=4x,AG=5x,DG=4x+12,

416x+48

FH=GH=DG-cosNDGB=(4x+12)X5=5,

32x+96

；.GF=2GH=5，

7x+96

.,.AF=GF-AG=5

：AC〃DG,.,.△ACF^AGEF,

7x+96

.AC=AF.12=5

,?EG-FG,,，4X-32X+96，

5

解得x=12yp或一12yz（舍去），

84+48.04

；?腰長(zhǎng)GD為7'，

如解圖⑤，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)只有DF=DG,過(guò)點(diǎn)D作DH

_LAG于點(diǎn)H.

設(shè)AE=3x,貝!|EG=4x,AG=5x,DG=4x-12,

16x-48

Z.FH=GH=DG-cosZDGB=c,

第2題解圖⑤

32x-96

.\FG=2FH=',

96-7x

.?.AF=AG-FG=5

：AC〃EG,Z.AACF^AGEF,

96-7x

.AC=AF.12=-5-

,?EG-FG,，，4X-32X^96,

5

口尸或」干（舍知

解得x=

-84+48^04

腰長(zhǎng)為

DG7

綜上所述，等腰三角形ADFG的腰長(zhǎng)為4或20或84+：打或―84：48\/14

類型二

1.解：⑴①如解圖①，若PB=PC,連接PB,則NPCB=NPBC.

?「CD為等邊三角形的高，，AD=BD,ZPCB=30°,

AZPBD=ZPBC=30°,.，.PD=^DB=^AB,

與已知PD=；AB矛盾，...PB#PC;

②若PA=PC,連接PA,同理可得PARPC;

③若PA=PB,由PD=；AB,得PD=AD,

Z.ZAPD=45°,故NAPB=90。.

(2)VBC=5,AB=3,ZBAC=90°,

/.AC=^/BC2—AB2=^52—32=4.

①若PB=PC,設(shè)PA=x,則PC=PB=4—x,

77

，x2+32=(4-x)2,...x=,即PA=;

oo

②若PA=PC,則PA=2;

③若PA=PB,由解圖②知，在R3PAB中，不可能存在.

綜上所述，PA的長(zhǎng)為2或1

O

圖①圖②

第1題解圖

2.⑴解：L

(2)證明：VAB=AC,ZA=36°,Z.ZABC=ZACB=72°.

???BD是NABC的角平分線,

AZABD=ZDBC=36°,，NA=NCBD.

又YNC=NC,AAABC^ABDC,

.,.BD是△ABC的“頂似線”.

(3)解：①如解圖①，當(dāng)AADCsZiBAC時(shí)，AD為AABC的“頂似線”,

UII[AD_ACpnAD_3

則AB—BC，即丁一6'.\AD=2;

②如解圖②，當(dāng)^ADCsZkACB時(shí)，CD為AABC的“頂似線"，則||=*，即

CD_39

CD

~6~~4f2；

③過(guò)頂點(diǎn)B的“頂似線”不存在.

綜上所述，AABC的“頂似線”的長(zhǎng)為2或;.

圖①

第2題解圖

3.解：⑴①AC;

②如解圖①，過(guò)點(diǎn)B作AC邊上的中線BE,則］BE=AC=b,CE=AE=；b.

在RtZkABC中，a2+b2=c2,

在RtABCE中，a2+（；b）2=b2.

解得a=^b,c=yb.

a：b：c=yj3:2:yjl.

(2)如解圖②，過(guò)點(diǎn)A作AF_LBC于點(diǎn)F,則NAFB=NAFC=90。.

設(shè)AM=BC=a,AF=h,MF=x,貝ljBM=CM=；a.

在R3ABF中，ABz=BF2+AF2=（j+x）2+hz,

在RtZkACF中，AC2=CF2+AF2=（；—x）2+h2,

/.AB?+AC2=；+2x2+2h2.

在R3AMF中，AM2=MF2+AF2,即a2=X2+h2.

<a25

/.AB2+AC2=2=2BC2.

(3)VZB=90°,BOAB,.，.BC為AABC的“奇特邊”.

VBC=2^7,

???由(1)②知AB=$BC=p,AC=￥BC=7.

設(shè)等腰AACD的底邊長(zhǎng)為y,由(2)中結(jié)論知：

S7

①當(dāng)腰為“奇特邊”時(shí)，有72+y2=2*72,解得y=2，6(負(fù)值已舍去).

②當(dāng)?shù)走厼椤捌嫣剡叀睍r(shí)，有72+72=：xy2,解得丫=2/5(負(fù)值已舍去).

等腰AACD的底邊長(zhǎng)為;枳或亂.

4.解：(l)VZC>90°,ZA=60°,

.?.0=60。，a=15°,Z.ZB=15°.

(2)若存在一點(diǎn)E,使得AABE也是“準(zhǔn)互余三角形”，

貝()2ZEBA+ZEAB=90°.

如解圖①，作射線BF,使得NFBE=NABE,延長(zhǎng)AE交BF于點(diǎn)F,則NBFE

=90°.

圖②

第4題解圖

即BE為NFBA的角平分線，過(guò)點(diǎn)E作EG，AB于點(diǎn)G,

貝|JEG=EF,可得△BEFdBEG.

XVABEG^ABAC,.?.△BEF^ABAC,

.BF_EF.BF_EF1

,，BC-AC,一5］。

.EF_BF.EF_BF_

XVABEF^AAEC,‘"一更.'s—BE一?、冢?/p>

由①②可得，BE=1.8.

(3)如解圖②，將ABCD沿BC翻折得ABCE,貝ljCE=CD=12,ZABD=2Z

BCD=ZDCE,ZDCE+ZDBE=180°,

即NABD+NDBE=180。，.?.點(diǎn)A,B,E共線，

易知2NACB+NBAC=90。不成立，

存在2NBAC+NACB=90。，易證得△ECBsZkEAC,

.EC=BE

,,AE-EC,

即r解得BE=9(負(fù)值已舍去)，

7+BE1/

.\AE=16,在R3AEC中，

利用勾股定理得，AC=^AE2+CE2=20.

類型三

1.解：⑴①DF=/AE；

②DF=\?AE;

理由：VZEBF=ZABD=45°,Z.ZABE=ZFBD.

?EAB.?.△ABES/\DBF,

VBF=BD''

.AEAB，

,,DF=BD=2DF=\pAE.

(2)①如解圖①，過(guò)點(diǎn)F作FG_LAD于點(diǎn)G,則四邊形AEFG是矩形，，GF=

AE.

RAGF

??,tanNFDG=：R=/3AD=BC=mAB,.-.DG=mGF,

AL)DO

在RtADGF中，由勾股定理得DF=^GF2+DG2=^/T+H^GF,

.?.DF=^l+m2AE.

圖①

②畫出草圖如解圖②，DF，=y