冪函數(shù)、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第二章函數(shù)

第4講塞函數(shù)、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)

1.結(jié)合y=x,歹=丁y=x^y~幕函數(shù)的圖

C,>=/的圖象，理解它們的變象與性質(zhì)該講命題熱點(diǎn)為指數(shù)函

化規(guī)律，了解累函數(shù).指數(shù)幕的運(yùn)數(shù)的圖象應(yīng)用、性質(zhì)判

m算

2.通過對(duì)有理數(shù)指數(shù)基而（.a>斷，比較大小（常運(yùn)用

指數(shù)函數(shù)的指、對(duì)、幕函數(shù)的性質(zhì)

0,且qWl；m,〃為整數(shù)，且〃2019浙江T6

圖象及應(yīng)用

>0）、實(shí)數(shù)指數(shù)幕出（Q〉0,且或中間值比較大小，有

時(shí)需要構(gòu)造函數(shù)，借助

1；xGR）含義的認(rèn)識(shí)，了解2023新高考卷

指數(shù)嘉的拓展過程，掌握指數(shù)幕IT4；2023全函數(shù)單調(diào)性比較大

的運(yùn)算性質(zhì).國(guó)卷甲T11；?。?題型以選擇題為

3.了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理指數(shù)函數(shù)的2023天津主，難度中等.2025年

解指數(shù)函數(shù)的概念.性質(zhì)及應(yīng)用T3；2020全國(guó)高考備考時(shí)，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)

4.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫卷HT12；2020注指數(shù)函數(shù)的圖象與性

出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并天津T6；2019質(zhì)的靈活運(yùn)用.

理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).全國(guó)卷IT3

6學(xué)生用書P029

1.幕函數(shù)

（1）幕函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)①叫做幕函數(shù),其中x是自變量，a是常數(shù).

（2）5種常見幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1

3

函數(shù)尸Xy=x2y=xy=x2尸.1

定義域RRR②{x1x》0}③{x1xWO}

值域R④1”20}R{y1>20}⑤{v1vWO}

奇偶性奇函數(shù)⑥偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)⑦奇函數(shù)

在R上單在（一8,0）⑧在R上⑨在（0,+⑩在（一8,0）

單調(diào)性

調(diào)遞增上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增8）上單調(diào)遞增和（0,+°°）上單

(1)原函數(shù)在第一象限的圖象如圖所示，可根據(jù)函數(shù)的定義域以及奇偶性判斷嘉函

數(shù)在第二或第三象限的圖象.

(2)在(0,1)上，寡函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸；在(1,+8)上，原函

數(shù)的指數(shù)越小，函數(shù)圖象越接近x軸.

注意黑函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，若與坐標(biāo)軸有交

點(diǎn)，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).

2.指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算

(1)根式

a.(Va)一?a(“GN*,且〃>1).

b炳才‘幾為奇數(shù),

IIa|,n為偶數(shù).

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴

m__

a.a^=?_V^_(a>0,加，〃GN*,且”>1).

b.a”=-g二?三前(。>0,〃eN*,且〃>1).

注意0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)薛等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉沒有意義.

(3)有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

(。>0,廠，sGR)；*二?^：^(40,廠，sGR);

b.(ar)‘=?a'"(。>0,r,sGR)；

c.(ab)r—@grbr(a>0,b>0,rdR).

3.指數(shù)函數(shù)

(1)指數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)(a>0,且aWl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=ax(a>l)y=ax(0<?<1)

J4VI

圖象尸敘J(O，1)y=l

-o|----f

函數(shù)的定義域?yàn)镽；值域?yàn)?(0,+8).

函數(shù)圖象過定點(diǎn)?(0,1),即當(dāng)x=0時(shí)，y=l.

性質(zhì)

當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<l.當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，y>l.

函數(shù)在R上單調(diào)遞?增.函數(shù)在R上單調(diào)通?減.

注意當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)。的大小不確定時(shí)，需分。>1和兩種情況進(jìn)行討論.

規(guī)律總結(jié)

1.指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,1),(1,a),(—1,i),依據(jù)這三點(diǎn)的坐標(biāo)可得到指數(shù)

a

函數(shù)的大致圖象.

2.函數(shù)>=出(°>0,且aWl)的圖象與y=°r的圖象關(guān)于〉軸對(duì)

稱，的圖象與"的圖象關(guān)于》軸對(duì)稱，了="的圖象與

y=一屋工的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.

3.如圖，底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為0<c<d<1<a<

b.

1.［2024江蘇省南通市質(zhì)量監(jiān)測(cè)］化簡(jiǎn)：J(it—4)2+/(it—3)3=(A)

A.lB.-lC.7-27tD.2兀-7

解析J(IT—4)+J(TT—3)=I兀-4I+兀-3=4—兀+兀-3=1.故選A.

2.［多選］已知幕函數(shù)/(x)=x。的圖象經(jīng)過點(diǎn)(16,4),則下列說法正確的有

(BCD)

A/(x)是偶函數(shù)B/(x)是增函數(shù)

C.當(dāng)x>l時(shí)，f(x)>1D.當(dāng)0<xi<X2時(shí)，'"：,"</(^1)

解析因?yàn)榉龊瘮?shù)/(x)=x。的圖象經(jīng)過點(diǎn)(16,4),所以16。=4,a=［,所以/(x)=

1_

X2=V%,由其圖象可知，A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)X>1時(shí)，/(X)>/(1)=1,故C正確；由

/(x)=6的圖象可知/''I〉"2)〈/(生妥),故D正確.故選BCD.

3.函數(shù)/(%)=ax~l+2(Q>0,且aWl)的圖象恒過定點(diǎn)(1,3).

4.已知函數(shù)/(x)=ax+b(a>0,且aWl)的定義域和值域都是［―1,0］,則〃+6=二|.

f-----------------------111等靜:??選■考瞞0方向-------------------------->

6學(xué)生用書P031

命題點(diǎn)1幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1(1)［2023山西省運(yùn)城市景勝中學(xué)模擬］如圖所示的曲線是幕函數(shù)y=

產(chǎn)在第一象限內(nèi)的圖象.已知"分別取±2,四個(gè)值，與曲線G,Q,

。3，。4對(duì)應(yīng)的〃依次為(A)

A.2,L——2B.2,j,-2,

222

C.-3—2,2,工D.12,

225'r2

解析如圖所示，作直線％=2分別與曲線Ci,C2,C3,。4相交，因?yàn)楹?/p>

|L<r

1_1_、、

數(shù)y=2%為增函數(shù)，所以22>2，>22>22,所以交點(diǎn)由上到下對(duì)應(yīng)的〃

值分別為2,-1,-2,由圖可知，曲線G,C2,C3,。4對(duì)應(yīng)的〃值分別為2,1,

-1,一2.故選A.

421

(2)［全國(guó)卷ni］已知Q=2§,/?=45,。=25§,則(A)

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

412111

解析因?yàn)镼=2§=16§,6=45=165,c=253且暴函數(shù));=短在R上單調(diào)遞增，指數(shù)函數(shù)

>=16%在R上單調(diào)遞增，所以b<q〈c.故選A.

方法技巧

1.對(duì)于嘉函數(shù)的圖象識(shí)別問題，解題關(guān)鍵是把握原函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性、奇偶性、

圖象經(jīng)過的定點(diǎn)等.

2.比較幕值大小的方法

(1)同底不同指的腰值大小比較：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.

(2)同指不同底的腰值大小比較：利用嘉函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.

(3)既不同底又不同指的號(hào)值大小比較：常找到一個(gè)中間值，通過比較零值與中間值的大

小來判斷.

訓(xùn)練1(1)［2024陜西省漢中市名校聯(lián)考］已知幕函數(shù)/(x)=(加2+%—1)x，"的圖象與

坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，則/(魚)=(A)

A.|B.V2C.2D.2V2

解析因?yàn)?(X)為第■函數(shù)，所以加2+加一1=1,解得加=—2或加=1,又/'(X)的圖象

與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn)，故〃Z<0,所以機(jī)=—2,故/(X)=-2,所以/(魚)=(V2)-2=|.

故選A.

11

(2)若(2冽+1)'>(m2+m—1)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是［"三，2).

1

解析因?yàn)楹瘮?shù)歹=顯的定義域?yàn)椋?,+°°),且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以

2m+1>0,

m2+m—1>0,解得代之冽V2,所以實(shí)數(shù)冽的取值范圍為［些—，2).

{2m4-1>m2+m—1,

命題點(diǎn)2指數(shù)幕的運(yùn)算

例2計(jì)算：

_2_1

(1)(-31)~+(0.002)—10X(V5-2)-1+(V2-V3)。=一詈；

_2_2_1_21

-

解析原式=(-1)一蟲(3力一口(上)—。4+1=(鄉(xiāng))3+5007_］0X(代

8500V5—28

+2)+1=1+10V5-10V5-20+1=

113-2

(2)若茬+X-2=3,則x：+x：-3號(hào)

X2+X-2-23

1_1

解析由博+久一5=3,兩邊平方，得1=7,

x2+x~2=47,Ax2+x~2—2=45.

1_131—1—3

由(疵+%-力3=33,得冠+3城+3X—5+%-5=27.

3_33_3

.*.%2+X-2=18,.*.X2+%-2—3=15.

3_3

,%2+x2—31

..-----------2---------=-

2-23

方法技巧

指數(shù)幕的運(yùn)算技巧

、—

超導(dǎo)①有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的；②無括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)的乘方、開方，再乘除，最后加

順序減；③底數(shù)是負(fù)數(shù)的先確定符號(hào).

運(yùn)算基①化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)；②化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉；③化小數(shù)為分?jǐn)?shù)；④化帶分?jǐn)?shù)為

本原則假分?jǐn)?shù).

訓(xùn)練2(1)[2024重慶八中模擬]已知10。=2+，10。=323，則10部+>=2.

解析10能+京=(10日尸X(lOD，=(32b4X(2-b2=25XH+(4)x7=2.

Ja3b2y/ab2

a

(2)-4-ii—Z—(Q>0,b>0).

(a4b2)a3￡)3

121

(a3b2a3fe3)2之+工―i+工i+1—2—ia

解析原式=---------------ri—=a26丁3433=一,

ab2a3/)3匕

命題點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

例3(1)已知函數(shù)^="+。的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是(B)

解析由函數(shù)丁=丘+。的圖象可得左VO,OVaVl.函數(shù)y=a%+4的圖象可以看作是把

的圖象向右平移一左個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，且函數(shù)3；=出+4是減函數(shù)，故此函數(shù)的圖象與〉軸

交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于1,結(jié)合所給的選項(xiàng)，可知選B.

(2)[2024上海奉賢致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)模擬]已知?！闞,若關(guān)于x的方程I3'—1I—2a=0有

兩個(gè)不相等的實(shí)根，則。的取值范圍是(0,..

解析關(guān)于X的方程|3X—1I—2a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即曲線》=

I3X—1I與直線y=2q的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出＞=I3X—1I與＞=2Q的圖象，如圖，易

得4的取值范圍是（0,i）.J/

命題拓展外

已知adR,若關(guān)于x的方程叱一1I-20=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，則。的取值范圍是—

（0,3）.

解析關(guān)于x的方程Iax—\I—2a=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，即曲線y=Iax—1I與直線y=

2a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，y—Iax-1I的圖象是由y=o"，的圖象先向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再

將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的.當(dāng)0＞1時(shí)，如圖1,兩圖象只有一個(gè)交

點(diǎn)，不合題意；當(dāng)0＜。＜1時(shí)，如圖2,要使兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則

得OVaVg.

綜上可知，a的取值范圍是（0,.

方法技巧

與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象問題的求解策略

數(shù)形指數(shù)型函數(shù)圖象識(shí)別，一般通過確定圖象是“上升”還是“下降”、圖象位置、圖

結(jié)合象所過的定點(diǎn)、圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、函數(shù)值域等求解.

變換對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平

作圖移、伸縮、對(duì)稱變換而得到.

注意在指數(shù)函數(shù)圖象變換時(shí)，注意特殊點(diǎn)（如定點(diǎn)）、特殊線（如漸近線）的變化.

訓(xùn)練3[2024重慶市巴蜀中學(xué)適應(yīng)性考試]已知函數(shù)/（x）=/一1-2（a＞0,且aWl）的圖

象恒過定點(diǎn)“（加，"），則函數(shù)g（x）=TM+X"的圖象不經(jīng)過（D）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析?.?*=1,（x）=°LI—2的圖象恒過定點(diǎn)（1,—1）,:.m=1,?=—1,

：.g（x）=1+|,其圖象不經(jīng)過第四象限，故選D.

命題點(diǎn)4指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

角度1比較大小

例4(1)[2023天津高考]若a=1.01吟Z?=1.0106,c=005,則0,b,c的大小關(guān)系為

(D)

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

解析因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=1.01%是增函數(shù)，且0.6>0.5>0,所以即

>1;因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=0.6%是減函數(shù)，且0.5>0,所以0.6。5<0.6。=1,即cVl.綜上，b

>Q>C.故選D.

(2)[2023全國(guó)卷甲]已知函數(shù)/(x)=e1.記(爭(zhēng)，q/(爭(zhēng)，。=

/(爭(zhēng)，則(A)

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

2

解析f(%)=e-(x-1)是由函數(shù)〉=廿和〃=—(x—1)2復(fù)合而成的函數(shù)，y=e"為R上

的增函數(shù)，u=—(%—1)2在(一8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，由復(fù)

合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)在(一8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.易知

/(X)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，所以c=/(爭(zhēng)=/(2-y),又￥<2——<E<1,所

以f②<f(2-y)<f(y),所以b>c>a,故選A.

方法技巧

比較指數(shù)事大小的常用方法

單調(diào)不同底的指數(shù)函數(shù)化同底后就可以應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所以能夠化

性法同底的盡可能化同底.

取中間不同底、不同指數(shù)的指數(shù)函數(shù)比較大小時(shí)，先與中間值(特別是I)比較大小，

值法然后得出大小關(guān)系.

數(shù)形結(jié)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖象，借助圖象

合法比較大小.

角度2解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式

2

例5[2024北京市十一學(xué)校模擬]若不等式3kl<01)CLX恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

B)

A.(-4,0)B.(-4,0]

C.(0,4)D.[0,4)

2

解析因?yàn)椴坏仁?。L1<0)“”恒成立，即3"一1<3-a/恒成立，所以"一1<一辦2恒

成立，即ax2+ax—1<0恒成立，

當(dāng)a=0時(shí)，一1<0恒成立，符合題意；

(a<0,

當(dāng)aWO時(shí)，則|。解得一4<a<0.

(A=a2+4a<0,

綜上可得一4<aW0,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一4,0].故選B.

方法技巧

解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式問題的思路

(1)=qg<『OfG)=g(x).

,、c“、,>(a>1,.fO<a<1,

(2)①>度x)c]或1

1/(x)>g(x)1/(x)<g(x).

②形如的不等式，一般先將6轉(zhuǎn)化為以。為底數(shù)的指數(shù)嘉的形式，再借助函數(shù)

的單調(diào)性求解.

角度3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

一?一，1ax2—4%+3

例6已知函數(shù)y(x)=q)

(1)若a=T,則/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一2,十8),單調(diào)涕減區(qū)間為(一8,

-2)；

(2)若/(x)有最大值3,則。的值為1；

(3)若/G)的值域是(0,+8),則。的值為0.

1—12—4%+3

解析(1)當(dāng)a——1時(shí)，f(x)=(-).令u=-x2—4x+3=—(x+2)2+7,

則該函數(shù)在(-8,—2)上單調(diào)遞增，在(-2,+°°)上單調(diào)遞減.因?yàn)閥=《)"在R

上單調(diào)遞減，所以函數(shù)/(x)在(一8,-2)上單調(diào)遞減，在(一2,+8)上單調(diào)遞

增，即函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,-2).

(2)令h(x)=aN—4x+3,則/(x)=(1)h<x),因?yàn)?(x)有最大值3,所以〃(x)

(a>0,

12a_16解得。=1,即當(dāng)/(x)有最大值3時(shí)，a的值為1.

-----=—1,

4a

(3)令g(x)=°N—4x+3,由/(x)的值域是(0,+°°)知，g(x)=ax2—4x+3的

值域?yàn)镽,則必有a=0.

方法技巧

1.形如的函數(shù)的單調(diào)性：若0>1,則函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即函數(shù)y=

的單調(diào)遞增(減)區(qū)間；若0<a<1,則函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即函數(shù)y=

4的單調(diào)遞減(增)區(qū)間.

2.求解指數(shù)型函數(shù)中的參數(shù)取值范圍的基本思路

一般利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.

注意當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)分類討論.

訓(xùn)練4(1)[2024遼寧省名校聯(lián)考]已知函數(shù)/(x)=aJ^(a>0,且aWl)在區(qū)間

[2,3]上單調(diào)遞增，則。的取值范圍為(C)

A.(0,B.(1,+°°)C.(0,D.[1,

解析由0>0且得y=Jl—ax在[2,3]上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則得

(0,1),由l—3a20,解得aW,,故(0,J故選C.

(2)[2024浙江溫州聯(lián)考]如果1<2。<2叱2,那么(C)

A.aa<ab<baB.aa<ba<ab

C.ab<aa<.baD.ab<ba<.aa

ab1

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=2%在R上單調(diào)遞增，2°=l<2<2<2=29所以O(shè)VaVbVL因?yàn)楹瘮?shù)

y=ax(0<6?<1)在R上單調(diào)遞減，所以4。>次.因?yàn)楹瘮?shù)(OVaVl)在(0,+°°)

上單調(diào)遞增，所以4。<加，所以/〈片<加.故選C.

(3)[2024黑龍江省肇東市第四中學(xué)模擬]已知函數(shù)/(x)=2'+。?2一、的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，若/⑵一1)>|,則X的取值范圍為(B)

A.(-8,1)B.(1,+8)c.[3,+8)D.(-8,-2)

解析因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=2￡+a-2r的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且定義域?yàn)镽,所以/(O)=l+a

=0,解得a=—1,所以/(%)=2%—2一%.因?yàn)閥=2%在R上單調(diào)遞增，〉=2一%在R上單調(diào)

遞減，所以/(X)=2'—2一，在R上單調(diào)遞增，由/'(1)=|,f(2X-1)>|,得f(2x—

1)>/(1),所以解得x>l.故選B.

1.［命題點(diǎn)1］某同學(xué)研究了一個(gè)函數(shù)，他給出這個(gè)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：①偶函數(shù)；②值域是

WlyGR,且yWO｝；③在(一8,0)上是增函數(shù).如果他給出的三個(gè)性質(zhì)中，有兩個(gè)正

確，一個(gè)錯(cuò)誤，則他研究的函數(shù)是(B)

A/(x)=/1B.f(x)

1

C.f(x)=X3D/(X)=%3

1

解析f(x)=%"1只滿足性質(zhì)②，f(x)=爐只滿足性質(zhì)③，f(x)=短只滿足性質(zhì)③，

f(x)=%一2是偶函數(shù)，在(-8,o)上是增函數(shù)，其值域是｛yI歹>0｝.故選B.

_1_1

2.［命題點(diǎn)1］若(a+1)-5<(3—2a)-3則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一8,—1)

1-1-1

解析由森函數(shù)的圖象(圖略)可知，不等式(a+1)(3-2a)號(hào)等價(jià)于a

+1>3—2a>0或3—2a<a+l<0或a+l<0V3—2a,解得a<—1或,<a<|.

211115

3.［命題點(diǎn)2］(加成)?(-3成4-1q加折)=~9a.

2111152,1_11,1_5

解析(加成)?(-3a瀝)4-(-1a6&6)=—9加十萬一石?成一石=一9。.

4.［命題點(diǎn)3］若函數(shù)/(x)=(4蛆-〃)2的大致圖象如圖所示，則(B)

件

A.m>0,0<7?<1

B.m>0,n>l-----,

C.m<0,0<n<l

D.m<0,n>\

解析令/(x)=0,即4蛆=/則冽x=log4〃，即x='k)g4〃，

由圖可知，—log4?>0,

故當(dāng)m>0時(shí)，?>1,當(dāng)機(jī)<0時(shí)，排除A,D;

當(dāng)他<0時(shí)，易知夕=4小是減函數(shù)，

且當(dāng)X—+8時(shí)，則/G)一層，易知C不符合題意.故選B.

5.［命題點(diǎn)4角度2］若2#+1WI")L2,則函數(shù)>=2工的值域是(B)

A.［1,2)B.［p2］

C.(—8,i)D.［2,+00)

8

解析因?yàn)?^+iWI?廠2=24-巴

所以N+1W4—2x,即12+2X—3W0,解得一3WxWl,

所以函數(shù)y=2"的值域是［2一3,2］,即R,2］.

故選B.

6.［命題點(diǎn)4角度3/2024云南省昆明市第二十四中學(xué)模擬］已知奇函數(shù)/(x)=。守一已在R

上為增函數(shù)，貝(A)

A.lB.-lC.2D.-2

解析因?yàn)?(X)在R上為奇函數(shù)，貝(0)=0,即4—3=0,解得4=1或4=-1.當(dāng)4

=1時(shí)，/(x)=^—定義域?yàn)镽,因?yàn)楹瘮?shù)尸e*和尸一卷在R上都

為增函數(shù)，所以/(x)在R上為增函數(shù)，且/(—x)=er—e%=—/(x),故。=

ex6

1符合題意；當(dāng)a——1時(shí)，f(x)=—d十占在R上為減函數(shù)，不合題意，所以a=l.故

選A.

7.［命題點(diǎn)4,024遼寧期中］已知函數(shù)/(x)=會(huì)，若對(duì)任意的正數(shù)a,b,滿足/(a)+

/(2/7-2)=0,則的最小值為4.

解析因?yàn)閷?duì)任意的xWR,e〉+l>0,

所以函數(shù)/(x)=器導(dǎo)的定義域?yàn)轸?/p>

因?yàn)?(—x)=^Z1=二=—/(x),

e-x+l1+e”J

所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù).

因?yàn)?(x)=e￡「=i—^^,且函數(shù)y=e%+l在R上為增函數(shù)，所以函數(shù)/(x)=表3

在R上為增函數(shù).

若對(duì)任意的正數(shù)4,b,滿足/(a)+/(26-2)=0,貝|/(a)=_f(2b_2)=f(2-

2b),所以a=2—26,即a+2b=2,

所以(a+26)(-4-i)=；(4+?+竺)(4+2忤&)=4,當(dāng)且僅當(dāng)J

ab2ab2ba27ba匕一，

2

時(shí)，等號(hào)成立，故白+5的最小值為4.

ab

(-------------------：、練習(xí)幫，練透好題精準(zhǔn)分層-----------------------------A

口學(xué)生用書?練習(xí)幫P267

■礎(chǔ)練二&通關(guān)

1.[北京高考]已知函數(shù)/(x)=3*—0)*,則/(x)(A)

A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)

解析因?yàn)?(X)=3工一《)X,且定義域?yàn)镽,所以/(-X)=3二'—丁=(1)*一3*

=—[3*—x]=~f(x),即函數(shù)/(x)是奇函數(shù).又y=3*在R上是增函數(shù)，y—(|)x

在R上是減函數(shù)，所以/(x)=3*—(土)]在R上是增函數(shù).故選A.

2.[2024吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬]若a=1.44‘，6=1.2遮，c=V3貝I](B)

A.d>b>cB.c>a>b

C.c>b>aD.a>c>b

^2

解析1.44C遮，故1.44^<V3應(yīng)，即c>a.L44近=(1.22)=1.22^>1.28，即a

>6.故c>a>6.故選B.

3.[2024山東青島模擬]函數(shù)/(x)=ax2+2x+l與g(x)=靖在同一直角坐標(biāo)系中的圖象

不可能為(B)

AB

cD

解析對(duì)于A,拋物線開口向下，所以qVO,不妨取〃=—1,此時(shí)g(%)=5，符合；對(duì)

于B,拋物線開口向上，所以。>0,此時(shí)g(x)=加在(0,+°°)上單調(diào)遞增，不符

合；對(duì)于C,拋物線開口向上，所以。>0,不妨取4=3，此時(shí)g(%)="符合；對(duì)于

D,拋物線開口向上，所以4>0,不妨取4=2,則g(x)=x2,符合.故選B.

/1%

(±)一7x<0

4.設(shè)函數(shù)/(X)=2''若/(〃)<1,則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(C)

限,%>0,

A.(—8,—3)B.(1,+°0)

C.(-3,1)D.(—8,-3)U(1,+8)

解析當(dāng)a<0時(shí)，不等式/(a)<1可化為(|)。-7c1,即(夕a<8,即G)Y

(|)因?yàn)樗詀>—3,此時(shí)一3<aV0;當(dāng)a20時(shí)，不等式/(a)<1可

化為，即OWaCl.故a的取值范圍是(-3,1).故選C.

5.［2024安徽江淮十校聯(lián)考］已知基函數(shù)/(x)=(4—5俏+5)X"。是R上的偶函數(shù)，且

函數(shù)g(x)=/(x)-(2a—6)x在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(B)

A.(—8,4)B.(―0°,4］

C.［6,+°°)D.(―8,4］U［6,+°°)

解析因?yàn)榉瘮?shù)/(x)=(加2—5加+5)加-2是R上的偶函數(shù)，則冽2—5機(jī)+5=1,解得

加=1或加=4.當(dāng)機(jī)=1時(shí)，/(x)=x~\該函數(shù)是定義域?yàn)椋鹸IxWO｝的奇函數(shù)，不符合題

意；當(dāng)加=4時(shí)，/(x)=x2,該函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，符合題意，所以/(x)=

%2,則g(x)=X2—(2q—6)x,其圖象的對(duì)稱軸為X=a—3,因?yàn)間(x)在區(qū)間［1,3］上

單調(diào)遞增，則a—3W1,解得aW4.故選B.

6.［多選］設(shè)函數(shù)/(%)=2%,對(duì)于任意的XI，X2(X1WX2),下列結(jié)論中正確的是

(ACD)

A.f（Xl+%2）—f（Xl）*/（X2）

B/(xr%2)—f(xi)+/(%2)

C.f8-f〈3〉0

X1~X2

Df(%l+%2)(f(%1)+/(%2)

解析2肛+肛=2皿.2n2,所以A正確；2狗32/2,1+2攻，所以B不正確；函數(shù)/(x)=2工

在R上是增函數(shù)，若X1>X2,則/(X1)>/(X2),則…1)一…浦>0,若X]<X2,則

巧一%2

/(X1)<f(X2),則/為,—f>0,所以C正確；了(生土建)<f"1)+f"2)說明x=

%1_-%222

"；"2時(shí)的函數(shù)值小于點(diǎn)(XI,f(XI))與(X2,f(X2))的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，通過/(X)=

2*的圖象可知，滿足條件，所以D正確.

7.已知黑函數(shù)/(x)=xp2-2p-3(pCN*)的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，且/(X)在(0,+°°)

pP

上單調(diào)遞減，實(shí)數(shù)。滿足(a2-l)7<(3a+3)*則。的取值范圍是(一1,4).

解析?.?森函數(shù)/(x)=xp2-2p-3(pdN*)在(0,+8)上單調(diào)遞減，：.p^-2p~3<

0,解得一l<p<3.：pGN*,.?.0=1或〃=2.當(dāng)p=l時(shí)，/(x)=d4為偶函數(shù)，滿足條件.

pP

當(dāng)p=2時(shí)，/(x)=x-3為奇函數(shù)，不滿足條件.則p=1.不等式(〃―])3<(3a+3)3,

II1

即(/一1)(3a+3)*,.？=煨在R上為增函數(shù)，.'.a2—1<3°+3,解得一l<a<4.

能力練?關(guān)

8.[2024河南南陽模擬]已知函數(shù)/(x)=I3A-1I,a<b<c,且/(a)>/(6)>

/(c),則下列結(jié)論中一定成立的是(D)

A.a<0,b<0,c<0B,a<0,bNO,c>0

C.3—Y3。D.3〃+3y2

解析作出/(x)的圖象，如圖所示.因?yàn)閍<b<c,且/(a)>/(6)>

f(c),所以a<b<0,且存在〃>0,使/(6)=/(〃)，則6<c<〃，,+一'

即b<0<c<4或6<c<0<〃，故排除A,B;取0=-1,c=0,可排除

C;當(dāng)c>0時(shí)，/(a)=l-3a>f(c)=3。-1,所以3。+3c<2,當(dāng)cWO時(shí)，3a<l,

3，W1,則3"+3。<2,故D一定成立.

sin

9.[2024廣東省深圳市人大附中模擬]已知ad(品),a=(cosa)%b=

(sina)cosac=(cosa)c°sa,貝ij(A)

A.b>c>aB.c>b>a

C.c>a>bD.a>b>c

解析已知(；,1),貝1JOVcosaVsin因?yàn)槭?cosa)”是減函數(shù)，所以c=

(cosa)cosa>(cosa)sina=6z;因?yàn)榉瘮?shù))二十。，。在(0,j)上是單調(diào)遞增的，所以。=

(cosa)cosa<(sina)cosa=/?,故b>c>a.故選A.

xx

10.[2024廣西南寧三中模擬]設(shè)函數(shù)/(x)=\—2+2~(%>0")若a=ln2,b=3^,c=