廣西桂林市龍勝中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)開學(xué)考試試題理含解析

PAGE14-廣西桂林市龍勝中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)開學(xué)考試試題理（含解析）一、選擇題1.已知，則下列向量中與平行的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)空間向量共線的等價(jià)條件推斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)中的向量與不平行；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)中的向量與不平行；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)中的向量與不平行；對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)中的向量與平行.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量共線的推斷，考查計(jì)算實(shí)力與推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.用三段論推理命題：“任何實(shí)數(shù)的平方都大于，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以”你認(rèn)為這個(gè)推理（）．A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.結(jié)論正確【答案】A【解析】：任何實(shí)數(shù)的平方大于0，這句話是錯(cuò)誤的，所以導(dǎo)致后面的結(jié)論是錯(cuò)誤的，因此大前提錯(cuò)誤．3.已知，則向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再利用空間向量夾角余弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及空間向量夾角余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)有（）A微小值-1，極大值1 B.微小值-2，極大值3C.微小值-2，極大值2 D.微小值-1，極大值3【答案】D【解析】y′＝3－3x2，令y′＝0，解得x＝±1.x<－1或x>1時(shí)，y′<0；－1<x<1時(shí)，y′>0.可得f(1)＝3是極大值，f(－1)＝－1是微小值．5.若平面的法向量分別為，則（）A. B.與相交但不垂直C. D.或與重合【答案】D【解析】【分析】利用垂直于同始終線的兩個(gè)不同的平面平行以及法向量的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以平面的法向量共線，故或與重合.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面法向量判定面面位置關(guān)系，用到垂直于同始終線的兩個(gè)不同的平面平行，本題屬于簡(jiǎn)單題.6.已知向量.若，則x的值為（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】分析】先求解的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)表示向量垂直，列出等式，即得解【詳解】∵，∴，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題7.曲線在點(diǎn)（1,1）處切線的斜率等于（）.A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】試題分析：由，得，故，故切線的斜率為，故選C.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的集合意義.8.如圖所示，在空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且為中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的加法和減法運(yùn)算，，即得解【詳解】由向量的加法和減法運(yùn)算：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的加法和減法運(yùn)算，考查了學(xué)生空間想象，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題9.視察按下列依次排列的等式：，，，，猜想第個(gè)等式應(yīng)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】解：因?yàn)椋海?，，，則可以歸納猜想第個(gè)等式應(yīng)為，故選B10.已知，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并令代入可求得.將的值代入可得導(dǎo)函數(shù)，即可求得的值.【詳解】函數(shù)，則，令代入上式可得，則，所以，則，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義與運(yùn)算法則，在求導(dǎo)過程中留意為常數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.11.在正方體，中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成的角的正弦值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量以及坐標(biāo)，按線面角向量法求解.【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立坐標(biāo)系，則，平面法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查用向量法求直線與平面所成的角，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：，令即，當(dāng)a≥0，x∈R；當(dāng)a＜0時(shí)，解得，或；因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，所以，解得a≥-3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3，+∞）考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性二、填空題13.已知點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，若PA⊥AB,PA⊥AC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______.【答案】【解析】【分析】由題意，得到的坐標(biāo)，利用，列出方程組即可求解.【詳解】由已知得，由題意得即，解得，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中熟記空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.＝2，＝3，＝4……若＝6(a，b均為實(shí)數(shù))，猜想，a＝________，b＝________．【答案】(1).6(2).35【解析】依據(jù)發(fā)覺的規(guī)律可知.15.假如函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列推斷：①函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；②函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；③函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有微小值；⑤當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值；則上述推斷中正確的是___________．【答案】①②③⑤【解析】【詳解】由函數(shù)圖像可知，在函數(shù)遞增，在函數(shù)遞減，在函數(shù)遞增，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)取得最大值，當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得微小值，綜上可知①②③⑤正確考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性與極值16.由拋物線，直線及軸圍成的圖形的面積為___________【答案】【解析】【分析】畫出由拋物線，直線及軸圍成的圖形，面積可用定積分表示為：，計(jì)算即得解【詳解】由題意，由拋物線，直線及軸圍成的圖形如下圖陰影部分所示：可用定積分表示為：故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了定積分在曲邊梯形面積表示中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)力，屬于中檔題四、解答題17.計(jì)算：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（2）計(jì)算定積分：【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，即得解；（2）因?yàn)椋梦⒎e分基本定理，得到，計(jì)算即得解【詳解】（1）設(shè)，則（2）因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和定積分的求解，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題18.已知，求，，.【答案】，，【解析】分析】利用向量加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算即得解【詳解】由題意，故且，，【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題19.已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）求的極值【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)改變確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用（1）中的單調(diào)性確定極值．詳解：（1），令，得或(2)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值等學(xué)問，意在考查學(xué)生的邏輯思維實(shí)力和基本計(jì)算實(shí)力．20.已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程;（2）求經(jīng)過點(diǎn)曲線的切線方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【詳解】試題分析：（1）求出,求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)的切線方程，將代入切線方程可求得的值，從而可得結(jié)果.試題解析：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程，即為；（2）設(shè)切點(diǎn)為，可得，由的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率為，切線的方程為，由切線經(jīng)過點(diǎn)，可得，化為，解得或．則切線的方程為或，即為或．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，屬于中檔題.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；（2）己知斜率求切點(diǎn)即解方程；（3）巳知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn)利用求解.21.如圖，四棱柱中，側(cè)棱底面,為棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【詳解】試題分析：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得：（1）易得,則,（2）由題意可得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，則,故二面角的正弦值為試題解析：如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得，（1）證明：易得,于是,所以（2）,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則,即消去，得，不妨令，所以平面的一個(gè)法向量為由（1）知，又平面，所以平面，故為平面的一個(gè)法向量，于是,從而所以二面角的正弦值為22.某商場(chǎng)銷售某件商品的閱歷表明，該商品每日的銷量(單位：千克)與銷售價(jià)格(單位：元/千克)滿意關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價(jià)格為元/千克時(shí)，每日可售出該商品千克.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若該商品的成本為元/千克，試確定銷售價(jià)格的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大，并求出最大值.【答案】（1）（2）當(dāng)銷售價(jià)格為元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲的利潤(rùn)最大.最大值42【解析】【分析】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，代入函數(shù)式，運(yùn)算即得解；（2）先表示商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得