2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型突破訓(xùn)練：數(shù)列不等式（原卷版）

第05講數(shù)列不等式

目錄

題型一：數(shù)列不等式中恒成立問題......................................1

角度1：判斷（證明）數(shù)列中的恒成立問題...........................1

角度2：根據(jù)數(shù)列中的恒成立求參數(shù).................................2

角度3：數(shù)列中的恒成立的探索性問題...............................4

題型二：數(shù)列不等式中能成立（有解）問題............................7

題型一：數(shù)列不等式中恒成立問題

角度1：判斷（證明）數(shù)列中的恒成立問題

典型例題

例題1.（2023春?云南?高三云南師大附中校考階段練習(xí)）數(shù)列｛氏｝滿足/用=3%,+1-2〃，%=2,數(shù)列

2n-\

｛%,｝的前”項(xiàng)和為s,，數(shù)列低｝滿足2=^^,數(shù)列帆｝的前〃項(xiàng)和為

an+2n

（1）求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S.；

（2）求證：4＜；

例題2.（2023?山東?沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，S2=l,

⑴求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式;

⑵證明：工＜2.

例題3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知j,—J,an+1=sineN,.

（1）判定數(shù)列單調(diào)性；

⑵判斷"”〈羲2019，'"N*是否恒成立.

角度2:根據(jù)數(shù)列中的恒成立求參數(shù)

典型例題

例題1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列｛g｝是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，S“為數(shù)列｛4｝的前〃

項(xiàng)和，則使不等式/+…成立的最小正整數(shù)"的值是（）

A.8B.9C.10D.11

例題2.(2023?安徽合肥?合肥市第八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝,其前〃項(xiàng)和為S”，且滿

M1

足(％+l)2=4(S“+l),數(shù)列也｝滿足”=(T)用——，其前“項(xiàng)和小設(shè)XeN,若(＜彳對(duì)任意weN*恒

anan+l

成立，則2的最小值是.

例題3.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學(xué)校?？既?已知數(shù)列［盧與的前n項(xiàng)和

分別為與＜，貝!1$3-4=；若J-7；＜〃〃+1)(〃+2)對(duì)于任意"€4恒成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是

例題4.(2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和為S“，弓=1,S用=25“+2向，”N*.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)｛￡｝的前〃項(xiàng)和為I，若對(duì)任意的正整數(shù)〃，不等式7；＞蘇］；+7恒成立,求實(shí)數(shù)冽的取

值范圍.

例題5.(2023春?江蘇?高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為

邑=2%-2叫

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對(duì)一切正整數(shù)〃.不等式2rr-n-3＜恒成立.求A的最小值.

角度3：數(shù)列中的恒成立的探索性問題

典型例題

例題1.（2023春?廣東佛山?高二佛山一中?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“,

%=1,且a；+an=2S“eN*）.

⑴設(shè)a=/；，求數(shù)列低｝的前"項(xiàng)和為小

⑵設(shè)4=4"+㈠廣為非零整數(shù)，〃eN*）,是否存在確定的2值，使得對(duì)任意〃eN*,有*〉c,

恒成立?若存在，請(qǐng)求出2的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

例題2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)q=l,an+l=^a；-2an+2+Z＞（neN*）.

（1）若6=1,求0，/及數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

⑵若6=-1,問：是否存在實(shí)數(shù)。，使得知＜。＜右用對(duì)所有〃eN*成立？證明你的結(jié)論.

精練核心考點(diǎn)

1.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知S”是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和,

Sn+l=2（an+^sXa3a5=64,若而“一S?"-65W0對(duì)”eN*恒成立，則實(shí)數(shù)4的最大值為（）

A.872B.16C.1672D.32

2.（2023春?遼寧沈陽?高二沈陽二十中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且二±若

乜二2Vl-"恒成立，則實(shí)數(shù)4的最大值為.

n

3.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，5,為其前"項(xiàng)和，且a”S,H（"wN*）成

等差數(shù)列.則｛%,｝的通項(xiàng)公式為;若n“為數(shù)列［片^］的前〃項(xiàng)積，不等式II”,2：+1對(duì)

V"eN*恒成立，則實(shí)數(shù)2的最小值為.

4.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)S“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知V〃eN*,a">0,a；+l=2a￡.

⑴求凡;

(2)求證：a?+l<an.

5.（2023?天津和平,耀華中學(xué)?？级＃┮阎炔顢?shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，%=1,邑=10,數(shù)列也｝滿

足：4=3,4+］=24-l（〃eN*）.

⑴證明：抄“-1｝是等比數(shù)列；

（2）證明:S2n+1-bn>2Sn-bn+x-

小卜，〃為奇數(shù)

aa、工日RV/9

⑶設(shè)數(shù)列｛c,｝滿足：c?=-nn+2.證明：

紜,“為偶數(shù)yT

b“

6.(2023春?北京海淀?高二北理工附中校考期中)設(shè)數(shù)列｛0“｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足S“=2%-l(〃eN*

⑴求證數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列;

(2)數(shù)列也｝滿足加=%+%(〃eN*),且4=3.

(i)求數(shù)列｛，｝的通項(xiàng)公式；

(ii)若不等式logz(或-2)〈五小+幾對(duì)〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

7.(2023?湖北?模擬預(yù)測(cè))設(shè)對(duì)任意”eN*,數(shù)列｛%｝滿足0〈%<1,%+1<而］，數(shù)列匕｝滿足的=巴紅

%

⑴證明：｛c"｝單調(diào)遞增，且C“<1；

2n

(2)記”=竺皿-又一，證明：存在常數(shù)乙使得、>.</.

%+1%%+2k=l

8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛七｝的前"項(xiàng)和為E,,4=；,且滿足(〃-1)國(guó)+2加/用=0

⑴設(shè)"=2，證明：低｝是等比數(shù)列

n

(2)設(shè)Cl/2，數(shù)列匕,｝的前〃項(xiàng)和為1,證明：Tn<2

4-a?+2

9.（2023春?北京豐臺(tái)?高二北京市第十二中學(xué)校考期中）已知等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和公式為,2a3-a2=5,

S5~S3=14.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若對(duì)V〃eN*，斗-氏+晝0恒成立，求4的取值范圍.

10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為"eN+，%=2"-l,設(shè)"=—1—,數(shù)列也｝的

anan+i

前〃項(xiàng)和為是否存在最小的正整數(shù)加？使得對(duì)一切〃eN+，7；＜三成立，說明你的理由.

題型二：數(shù)列不等式中能成立（有解）問題

例題1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛叫滿足%=。＞0,%+1=-。：+加.卜€(wěn)江），若存在實(shí)數(shù)乙

使｛與｝單調(diào)遞增，則〃的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

例題2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式?！?2〃+3,若"=丁二，是否存在正整數(shù)掰，

。一%

使得"=20+1,若存在，求出現(xiàn)的值；若不存在，說明理由

例題3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知定義在次上的函數(shù)/(x)滿足/(x+l)=2/(x)+l,當(dāng)xe[0,l)時(shí),

/(同=式設(shè)“X)在區(qū)間+(“eN*)上的最小值為.若存在〃eN*,使得4%+1)＜2”7有解,

則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

例題4.(2023?北京通州?統(tǒng)考三模)已知：正整數(shù)列｛%｝各項(xiàng)均不相同，〃eN*,數(shù)列｛[｝的通項(xiàng)公式

T=4+電+…+4〃

n1+2+---+H

(1)若刀=3,寫出一個(gè)滿足題意的正整數(shù)列｛%｝的前5項(xiàng)：

(2)若%=1,%=2,4=?,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑶證明若V左eN*,都有應(yīng)4”,是否存在不同的正整數(shù)"J,使得刀，％為大于1的整數(shù)，其中3"＜八

例題5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，數(shù)列｛，｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等

比數(shù)列，4=8,4-34=4.

⑴求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(2)在①見=20,②邑=2%，③3%-%=%，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.

問題：已知%="，，是否存在正整數(shù)M使得數(shù)列]!的前左項(xiàng)和l＞三？若存在，求人的

最小值；若不存在，說明理由.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.)

精練核心考點(diǎn)

1.（2023?上海?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,,存在正偶數(shù)〃使得

（a?-2）（a?+1+A）＞0,且對(duì)任意正奇數(shù)〃有心「幻（。用+㈤＜0,則實(shí)數(shù)彳的取值范圍是（）

A.[1]B,18廠”（1,+8）C.HJD.

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)歹￡