北師大版七年級數(shù)學上冊講義-線段、射線、直線與比較線段的長短9類熱點題型講練（原卷版）

第01講線段、射線、直線與比較線段的長短（9類熱點題型講練）

學習目標

1.在現(xiàn)實情境中了解線段、射線、直線等簡單的平面圖形.

2.理解直線的性質(zhì)，感受圖形世界的豐富多彩.

3.了解“兩點之間，線段最短”.

4.能借助尺、規(guī)等工具比較兩條線段的大小，能用圓規(guī)作一條線段等于已知線段.

5.了解線段的中點及線段的和、差、倍、分的意義，并能根據(jù)條件求出線段的長.

思維導圖

知識點01線段、射線、直線

1.線段的表示也有兩種:I個小寫字母或用端點的兩個大寫字母.但前面必須加“線段”兩字，如：線

段。；線段48.

2.射線的表示同樣有兩種：一個小寫字母或端點的大寫字母和射線上的要給大寫字母，前面必須加“射

線”兩字

3.直線的表示有兩種：一個小寫字母或兩個大寫字母.但前面必須加“直線”兩字，如：直線/；直線

m,直線/8；直線CD

基本概念：

名稱直線射線線段

aaf

圖形e

ABABAB

端點個數(shù)無一個兩個

直線a射線a線段a

表示法

直線48(BA)射線AB線段N3(BA)

作線段a

作直線a作射線a

作法敘述作線段AB

作直線AB作射線AB

連接48

延長向兩端無限延長向一端無限延長不可延長

知識點02直線的性質(zhì)

經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線.簡單地：兩點確定一條直線.

兩條直線相交，只有一個交點.

知識點03線段大小比較

比較線段大小的方法：(1)目測法；(2)度量法；(3)疊合法

疊合比較法：利用直尺和圓規(guī)把線段放在同一條直線上，使其中一個端點重合，另一個端點位于重合

端點同側(cè)，根據(jù)另一端點與重合端點的遠近來比較長短.如下圖：

ABA.?2______

CDcDAB

AB=CDAB>CD

【說明】線段的比較方法除了疊合比較法外，度量比較法也是常用的方法.

知識點04尺規(guī)作圖

僅用圓規(guī)和沒有刻度的直尺作圖的方法叫做尺規(guī)作圖.

【說明】(1)只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題.

(2)直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個點連在一起，不可以

在上面畫刻度.

(3)圓規(guī)可以開至無限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長度.

知識點05線段的和與差

如下圖：線段上有一點C,貝>J/C+8C=/&AC=AB-BC-,BC=AB-AC,

在這里線段NC、BC、表示線段的長度，如/C+8C=/8表示NC長度與3C長度之和等于長度.

知識點06線段的中點

線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點.如下圖所示，點C是線段的中

點，貝|AB=2AC=2BC.

2

ACB

【說明】若點C是線段N3的中點，則點。一定在線段Z8上.

題型精講

題型01直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別

【典例1]（2023秋?黑龍江雙鴨山?七年級校聯(lián)考開學考試）下列各圖中直線的表示方法正確的是（）

ABAbabAb

A.直線N5B.直線/bC.直線abD.直線協(xié)

【變式1]（2023秋,全國?七年級課堂例題）下列說法錯誤的是（）

A.直線瓦i與直線48是同一條直線B.線段與線段A4是同一條線段

C.射線A4與射線48是同一條射線D.射線48與線段4B都是直線的一部分

【變式2]（2023秋,全國?七年級課堂例題）如圖，點4B,C在直線/上，下列說法中正確的有（）

①只有一條直線；②能用字母表示的射線共有3條；③一共有三條線段；④延長直線；⑤延長線段

和延長線段區(qū)4的含義是相同的；⑥點3在線段NC上.

---------------------------1

ABC

A.2個2.3個C.4個D5個

題型02畫直線、射線、線段

【典例2】（2023秋?福建福州,七年級?？茧A段練習）已知/,B,C,。四點.

A

D

??

BC

⑴畫線段48,射線直線NC；

⑵連接BD,與直線4c交于點￡；

⑶連接8C,并延長8C與射線/D交于點F

【變式1］（2023秋?全國?七年級課堂例題）如圖，平面上有四個點4B,C,D,根據(jù)下列語句畫圖:

4?

?B

D?

C

⑴畫線段/C、BD交于E點;

⑵作射線BC;

⑶取一點P,使點P既在直線上又在直線上；

⑷在線段3C延長線上作線段CM=BC.

【變式2］（2023秋?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第六十九中學校?？奸_學考試）如圖，平面內(nèi)四點/、B、

。、。，根據(jù)下列語句畫圖：

A

??B

C

⑴畫直線；

⑵畫射線C8；

⑶畫線段4D；

⑷延長線段DC與直線AB相交于點E.

題型03兩點確定一條直線

【典例3】（2022春,黑龍江齊齊哈爾?七年級克東縣第三中學?？奸_學考試）要在墻上定一根木條，至少要

用兩顆釘子，這是因為.

【變式1］（2023春?河南信陽?七年級校聯(lián)考階段練習）生活中有下列現(xiàn)象如圖所示.對于這個現(xiàn)象，請你

用數(shù)學知識解釋.

木板上彈墨線

【變式2］（2023秋?河南安陽?七年級?？计谀┰诎惭b如圖所示的掛衣鉤時，小明先在墻上標記兩個固定

孔，就可以預先確定好掛衣鈞合適的位置，這樣做的依據(jù)是：.

題型04兩點之間線段最短

【典例4】（2023秋?全國?七年級課堂例題）如圖，學生要去博物館參觀，從學校N處到博物館8處的路線

共有（1）（2）（3）三條.假設行走的速度不變，為了節(jié)約時間，盡快從N處趕到8處，你認為應該走第一

條路線（只填編號），理由是.

(1)

【變式1］（2022秋?河南南陽?七年級?？计谀┤鐖D，田亮同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部

分，發(fā)現(xiàn)剩樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是

【變式2】（2022秋?湖北咸寧?七年級統(tǒng)考期末）如圖："小草青青，足下留情”，為抄近路踐踏草坪是一種不

文明的現(xiàn)象，請你用數(shù)學知識解釋出這一不文明現(xiàn)象的原因是：,

題型05作線段（尺規(guī)作圖）

【典例5】（2023春?福建福州?七年級統(tǒng)考開學考試）如圖，已知線段/3=5,AC=1.

AIB1CI

⑴延長線段45到。，使得=BQ（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

⑵在（1）的條件下，求的長.

【變式1］（2022秋?山東荷澤?七年級?？茧A段練習）尺規(guī)作圖，已知：線段b（a>b）,求作：AB=2a-b

（保留作圖痕跡，不寫作法）.

a

I

b

【變式2］（2022秋?福建廈門?七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C在線段48上，點W是線段4B的中點，AB=6.

ACMB

⑴尺規(guī)作圖：延長線段并在延長線上作一點。，使得BD+BC=4B；（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，若CN=2/C,求線段的長度.

題型06線段的應用

【典例6】（2023秋?河南許昌?七年級統(tǒng)考期末）2022年9月8日，隨著列車從鄭州港區(qū)段鳴笛出發(fā)，鄭許

市域鐵路開始空載試運行，未來"雙城生活模式”指日可待.圖中展示了鄭許市域鐵路的其中五個站點，若要

滿足乘客在這五個站點之間的往返需求，鐵路公司需要準備種不同的車票.

【變式1］（2023秋?七年級課時練習）由汕頭開往廣州東的。7511動車，運行途中須?？康能囌疽来问牵?/p>

汕頭玲潮汕玲普寧玲汕尾玲深圳坪山玲東莞玲廣州東.那么要為。7511動車制作的車票一共有（）

A.6種B.7種C.21種D.42種

【變式2］（2022秋?河北滄州?七年級統(tǒng)考期中）如圖，48是一段高鐵行駛路線圖圖中字母表示的5個點表

示5個車站在這段路線上往返行車，需印制（）種車票.

?????

ABCDE

A.25B.20C.16D.10

題型07線段的和與差

【典例7】（2023秋?七年級課時練習）如圖，C,。是線段48上的兩點，且4c==,已知圖中

所有線段的長度之和為81,則CD的長為.

IIII

ACDB

【變式1](2023秋?七年級課時練習)如圖所示，則:

IIII

ABCD

(1)AC=BC+；

(2)CD=AD-；

(3)CD=-BC-,

(4)AB+BC=-CD.

【變式2】（2023秋?全國?七年級課堂例題）已知平面上有一條線段48=10cm,探討下列問題:

⑴平面上是否存在一點C,使它到48兩點的距離之和等于8cm?說明理由；

⑵平面上是否存在一點。，使它到48兩點的距離之和等于10cm?若存在，它的位置唯一嗎？

⑶當點E到42兩點的距離之和等于20cm時，點E一定在直線外嗎？請舉例說明.

題型08線段中點的有關計算

【典例8】（2023秋?江蘇徐州?七年級?？茧A段練習）如圖，線段4B=10cm,C是線段上一點，5C=6cm,

M是48的中點，N是/C的中點

I???I

ANCMB

⑴圖中共有一條線段

⑵求線段的長

【變式1］（2023秋?七年級課時練習）如圖，已知線段N5上有兩點C,D,且NC:CD:D8=2:3:4,點E,

尸分別為/C,的中點，EF=48cm.求的長.

EF

111III

ACDB

【變式2］（2023秋?七年級課時練習）已知。在線段力。上.

ABCD

⑴如圖，共有條線段；

⑵如圖，AB=CD.

①比較線段的大小：ACBD（填"或"<"）；

②若BD=44B,SC=12cm,則的長為cm；

（3）^AB:CD^1:2,且E為8C的中點，求/E與50的數(shù)量關系.（溫馨提醒：重新畫圖）.

題型09線段〃等分點的有關計算

【典例9】（2023秋?四川成都?七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1,點C在線段上，M,N分別是NC,BC的

中點.若23=12,AC=8,求MN的長；

AMC_N__BAMCN'B

圖1圖2

（2）設N8=a,C是線段Z8上任意一點（不與點/,8重合），

①如圖2,M,N分別是NC,3C的三等分點，即BN=^BC,求九W的長；

②若M,N分別是AC,3c的〃等分點，即=BN=-BC,直接寫出MN的值.

nn

【變式1］（2023秋?陜西寶雞?七年級校考期末）如圖，已知點2在線段NC上，AB=9,BC=6,P、Q分

11

別為線段45、BC上兩點,BP=-AB,CQ=-BC,則線段的長為

33-----------

111II

APBQC

強化訓練

一、單選題

1.（2023秋?全國?七年級課堂例題）下列說法中正確的是（）

A.兩點之間，直線最短

B.畫出3兩點的距離

C.連接點/與點8的線段，叫48兩點的距離

D.兩點的距離是線段的長度，不是指線段本身

2.（2023秋?河南周口?七年級統(tǒng)考期末）如圖，點A,B,C在直線/上，下列說法正確的是（）

~~ABC~r

A.點C在線段上瓦點A在線段的延長線上

C.射線與射線CS是同一條射線D.AC=BC+AB

3.（2023春?山東煙臺?六年級統(tǒng)考期末）下列四種實踐方式：木匠彈墨線、打靶瞄準、彎曲公路改直、拉繩

插秧，其中不可以用基本事實"兩點確定一條直線"來解釋的有（）

4.（2023春?安徽滁州?七年級?？奸_學考試）乘特快列車從濟南西站出發(fā)，沿途經(jīng)過泰安站、曲阜東站、滕

州東站，最后到達棗莊站，那么從濟南西站到棗莊站這段線路的火車票價格最多有（）

A.8種B.9種C.10種D.11種

5.（2023秋?黑龍江大慶?六年級統(tǒng)考開學考試）如圖，C,。是線段上兩點，M,N分別是線段4D,BC

的中點，下列結(jié)論：①若則=②若/C=AD,則我=5N；③/C-8O=2（MC-￡W）；

④2兒W=/8-CD其中正確的結(jié)論是（）

111I11

AMCDNB

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

二、填空題

6.（2023秋?全國?七年級課堂例題）射線、線段都是的一部分，射線有個端點，線

段有個端點.

7.（2023春?山東泰安?六年級統(tǒng)考期末）線段/8=12,點C在線段N5上，且有M是的中

點，則等于.

8.（2023秋?全國?七年級課堂例題）如圖，線段/8=3cm,在線段相上取一點K,使AK=BK,在線段

的延長線上取一點C使心3”在線段族的延長線上取一點0使加兵.

I_______1」11

DAKBC

（1）BC=cm,DC=cm；

⑵K是線段的中點.

9.（2023秋?江西九江?七年級統(tǒng)考期末）已知點M是線段上一點，若點N是直線Z8上的

4

MN

一動點，SLAN-BN=MN,則——=_________.

AB

10.（2023秋?黑龍江雙鴨山?七年級校聯(lián)考開學考試）如圖，數(shù)軸上O,4兩點的距離為4,一動點尸從點/

出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到/O的中點4處，第2次從4點跳動到4。的中點4處，第3次從4

點跳動到4。的中點4處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到點4，4，4,…，4處，那么線段44的長度

為.

P

OAiA24A

三、解答題

11.（2023春?山東青島?七年級統(tǒng)考開學考試）已知：線段a、b,

求作：線段48,使4B=2b-a

,a,,b,

用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡

12.（2023秋?甘肅白銀?七年級統(tǒng)考期末）如圖，平面上有三點A、B